5.1 Das HuygensschePrinzip u. das KirchhoffscheBeugungsintegral

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1 5. Beugung 5.1 Das Huygenssche Prinzip und das Kirchhoffsche Begungsintegral 5.2 Fraunhofer- und Fresnel-Näherung 5.3 Fourier-Optik 5.4 Optische Elemente im Wellenbild 5.5 Holografie

2 Beugung (Diffraktion) = Abweichung von geradliniger Ausbreitung des Lichts 5.1 Das HuygensschePrinzip u. das KirchhoffscheBeugungsintegral Huygens 1691: Jeder Punkt einer primären WF ist Ausgangspunkt kugelförmiger sekundärer Elementarwellen. Die WF zu einem späteren Zeitpunkt ist die Einhüllende dieser Elementarwellen.? Blende

3 Diskrete Überlagerung ebener Wellen mit Wellenvektor θ=0 M=0 θ=0 M=10 Die WF ergeben sich aus den Contourplotsder gradweisen Summe unten bei fester Zeit. Aus der gerichteten, aber unendlich ausgedehnten ebenen Welle entsteht mit zunehmender Zahl von k x -Komponenten ein räumlich eingeengter Zustand, der aber gekrümmte WF, also keine scharfe Ausbreitungsrichtung besitzt. Schließlich entsteht eine Kugelwelle. θ=0 M=30 θ=0 M=60 θ=0 M=90

4 Man kann natürlich auch Zustände mit unterschiedliche mittlerem Wellenvektor überlagern. (θ=0, M=15) + (θ=30, M=15) (θ=0, M=15) + (θ=45, M=15) In ausreichender Entfernung vom Zentrum lösen diese sich wieder auf, bleiben aber räumlich begrenzt.

5 Da auf A R inwärts gerichtet ist: A R Integral: Integrand bei ρ=r: Kirchoffsche Integralsatz (Integrale Form der Helmholz-Gleichung) Berechnung des Feldes im Punkt aus Feld auf einer umgebenden Fläche. Integrand: Beitrag der Elementarwelle ausgehend vom Element. Dies ist zunächst keine Kugelwelle al la Huygens! Anwendung auf Beugungsanordnung: H Schirm Q B P A = B + S + H P 0 S Blende Halbkugel (R -> ) 5

6 Kirchhoffsche Randbedingungen: auf S auf B (Annahmen! Gegenstand der rigorosen Beugungstheorie mit Frenelschen Formeln und Berücksichtigung der Polarisation.) einfallende Kugelwelle:,,, einsetzen in Integralsatz ( ) wenn (Fernfeld) Kirchoffsche Beugungsformel (KBF) Integrand: HuygensscheKugelwellen bis auf Phasenfaktor π/2 und Neigungsfaktor P 0 P Das Beugungsmuster entsteht durch Überlagerung aller dieser, von jedem Punkt der Blende ausgehenden Elementarwellen. Interferenz spielt dabei eine zentrale Rolle und wird von der Beugungsformel automatisch erfasst. Babinetsches Prinzip Betrachten zwei komplementäre Anordnungen A 1 =(B 1,S 1 ) und A 2 =(B 2, S 2 ) mit B 1 =S 2 und S 1 =B 2 : Feld, wenn nur A j vorhanden ist. Da B 1 + B 2 = vollständige Ebene 6

7 Folgerungen: (i) Für P mit, also als ob A 2 nicht vorhanden wäre (ii) Für P mit, also identische Intensitäten für A 1 und A 2. P P. Beiden Anordnungen liefern nach (ii) identische Intensitätsbeugungsmuster. 5.2 Fresnel- und Fraunhofer-Beugung Vereinfachung durch paraxiale Näherung Quelle sei soweit von Blende entfernt, dass hier WF = Ebenen (z.b. durch Einsatz einer Linse), so dass, z=0 x BE Q y z opt. Achse P Öffnungsweite (Apertur) (zugelassene transversale Ausdehnung der Anordnung), also mit Für Beobachtungsebene (BE) gelte, so dass im Integranden der KBF: 7

8 variiert auf der Skala von und muss daher vorsichtiger genähert werden einfallendes Feld auf B a) Fresnel-Näherung: b) Fraunhofer-Näherung: achsennaher Teil einer von B ausgehenden Kugelwelle Beugungsgeometrien werden durch die Fresnel-Zahl Modulation charakterisiert. 8

9 Es gilt: In Fresnel-Näherung wird angenommen, dass die Phasenänderung durch den 3. Term vernachlässigbar ist (za 4 /λz 4 <<1). Das ist identisch mit (also nicht N F << 1) Praxis: anwendbar ab z~10 λ, Integral aber nur numerisch berechenbar Fraunhofer-Beugung zusätzlich:, d.h., wenn a B die Apertur der Blende ist: Mit wachsendem Abstand Blende-Beobachtungsebene geht Fresnel- in Fraunhofer-Beugung über. Die Bedeutung der beiden Näherungen wird auch deutlich, wenn man eine punktförmige Blendenöffnung bei (x 0,y 0 ) betrachtet. Dann folgt aus der Kirchhoffschen Beugungsformel in paraaxialer Näherung Der Phasenunterschied zu dem Feld einer bei (x 0 + x,y 0 + y) befindlichen Punktöffnung am gleichen Ort (x,y,z) auf der Beobachtungsebene ist Die Fraunhofer-Näherung darf also nur angewendet werden, wenn der Abstand der beiden Punkte ( x 2 + y 2 ) 1/2 viel kleiner als die Wurzel aus dem Produkt aus Wellenlänge λ und der BE-Entfernung z ist. 9

10 Anwendung: Beugung am Spalt Fraunhofer-Beugung 2h 2d h=2d x Je kleiner d und h, um so mehr Licht tritt außerhalb der geometrische Schattengrenze auf! In ähnlicher Weise lassen sich die Beugungsmuster anderer Anordnungen (Lochblende, Doppelspalt, Gitter, usw. usf.) berechnen. 10

11 5. 3 Fourier-Optik (Kohärenzoptik) 2 Prinzipien (i) (ii) Fourier-Trafo (2D) Jede WF ist in ausreichender Entfernung vom Ursprung lokal aus ebenen Wellen zusammengesetzt Beispiel: Kugelwelle, WF: paraaxialer Anteil bei z z 0 : parabolische WF mit Krümmungsradius z 0, wird asymptotisch eben für z 0 -> Aufgabenstellung ebene Welle. Welches Bild gentsteht durch Beugung am Muster f? (Man sagt: gist die Antwort auf f) Antwort durch KirchhoffscheBeugungsformel: f(x,y ) im Integranden einsetzen und Grenzen ins Unendliche verschieben! Das so berechnete g(x,y) ist genau genommen die Feldamplitude am Ort (x,y,z) zum negativen Frequenzanteil. Zur Berechnung des reellen Gesamtfeldes muss dann der positive Frequenzanteil addiert bzw. bei der Energiedichte (Detektorsignal) das Betragsquadrat gebildet werden. 11

12 A) Fraunhofer-Beugung: also Fourier-Transformierte von f an den Raumfrequenzen Die Intensitätsverteilung des Bildes ist durch die Verteilung der Fourier-Komponenten des Musters gegeben! Man kann die Angelegenheit auch umdrehen: Kennen wir das Bild, so können wir auf die Fourier-Transformierte des Musters zurückschließen. Benutzen wird diese wiederum als Muster, so erhalten wir nun im Prinzip das ursprüngliche Muster als Bild zurück. Eine Anwendung dieser Tatsache ist die FresnelscheZonenplatte (siehe Abbildung). Mangel der Fraunhofer-Beugung: Wegen ist bzw., Beschränkung auf kleine Muster. B) Fresnel-Beugung: Untersuchen zuerst Antwort auf harmonische Funktion y : Raumfrequenzen Einsetzen in Beugungsformel: x =x-u, y =y-v x Fourier-Trafo der Gauß-Funktion ist wieder Gauß-Funktion, genau: 12

13 Fresnelsche Zonenplatte Das Beugungsbild einer Lochblende ist, wie im Versuch gezeigt, ein konzentrisches Ringsystem. Die Berechnung mit den Beugungsformeln führt auf spezielle Funktion (nämlich die Fresnel-Integrale), die hier nicht diskutiert werden sollen. Drehen wir das um und benutzen das Ringsystem als Bild, so wird einfallendes Licht wie bei einer Linse auf einen kleinen Fleck fokussiert. Das Problem ist, dass wir nur das Betragsquadrat des Musters kennen, aber auch die Phase die benötigen. Dies wird durch die holografische Aufnahme erreicht (siehe. Filigrane Zonenplatte, die dem Beugungsmuster einer punktförmigen Loch-Blende nahekommt. Einfache Zonenplatte mit binärem Hell- Dunkel-Kontrast. Estretentretenmultiple Brennpunkte in verschiedenen Beugungsordnungen auf. Vorteil: GroßesÖffnungsverhältnis(Scheinwerfer), Nachteil: ReduzierteDurchlässigkeit, Anwendungin Röntgenoptik, da hiern <1 (siehekapitel2) 13

14 also für das Bild am Ort z mit Das ist eine ebene Welle mit transversalen Wellenvektoren k x, k y des Musters und k z aus der Bedingung, dass sich kbzw. λnicht ändert. Beachte: f(x,y) ist hier komplexwertig. In der Praxis kann man aber nur reelle harmonisches Muster erzeugen. Diese haben dann die Komponenten 2 Wellen mit! Anwendungen hiervon sind z. B. das Optical Interconnecting, Imaging oder Scanning (siehe folgende Abbildungen) Verallgemeinerung: Jeder Fourier-Komponente des Musters entspricht eine ebene Welle mit definierter Ausbreitungsrichtung! Mathematisch: Das Integral wird kompliziert, weil k z die Raumfrequenzen ebenfalls enthält. [Sonst wäre das Ergebnis ja einfach f(x,y) ]. Das Bild am Ort (x,y) ist jetzt nicht mehr wie bei der Fraunhofer-Näherung durch eine einzelne Fourier-Komponente des Musters bestimmt, sondern eine Überlagerung aller Fourier-Komponenten. Durch die Verwendung einer Linse kann aber wieder eine einzelne Komponente herausgefiltert werden. Bevor das gezeigt wird, soll zunächst skizziert werden, wie man optische Elemente generell im Wellenbild beschreibt. 14

15 Beugung an einem harmonischen Muster (Es gibt auch eine 2. Welle, die nach θ x gebeugt wird) (aus: Saleh/Teich, Grundlagen der Photonik) 15

16 Optical Interconnecting Konzept der lokal harmonischen Fkt.: veränderlich auf Skala >> λ Rasterkoordinaten x 0, y 0 (aus: Saleh/Teich, Grundlagen der Photonik) lokale Raumfrequenzen 16

17 Imaging Scanner (aus: Saleh/Teich, Grundlagen der Photonik) 17

18 5. 4 Optische Elemente im Wellenbild Prinzip: Durchgang durch optisches Element erzeugt eine Verzerrung der WF gemäß unterschiedlichem optischem Weg nd! A) Planparallele Platte Brechungsgesetz B) Dünner Keil Ablenkwinkel Feldamplitude hinter Prisma 18

19 C) Beliebiges dünnes Element Deformation der WF durch Phasenverschiebung 19

20 D) Dünne Bikonvex-Linse Wir lassen jetzt auch schrägen Einfall zu (siehe Abbildung unten rechts). Dünne Linse und paraaxiale Näherung Phase am Linsenende Welle nach Linse Phase, ohne irrelevante konstante Beiträge Gleichung für WF mit Brennweite quadratische Ergänzung, (Beliebige Linsenform: 1/R -> 1/R 1 +1/R 2 mit korrektem Vorzeichen, geom. Optik) Das sind die WF einer Parabolwellemit Krümmungsradius f und Ursprung x 0 = (k x /k) f, y 0 = (k y /k) f Folge: Eine ebene Welle, die sich relativ zur optischen Achse im paraaxialen Bereich mit den Polarwinkeln θund ϕ ausbreitet, wird auf den Punkt fθ(cos ϕ, sin ϕ) der Brennebene fokussiert! 20

21 E) Fourier-Transformation mit einer Linse Beugungswellen einer bestimmten Fourierkomponentedes Bildes werden durch die Linse auf einen bestimmten Punkt der Brennebene fokussiert. Genauer: Die Komponente des Musters f(x,y) wird in Frensnel-Nährungauf den Punkt abgebildet. Das Intensitätsmuster auf einem sich in der Brennebene befindlichen Beobachtungsschirm ist also Damit kann man Bilder bearbeiten, wie die folgenden Abbildungen demonstrieren. 21

22 4f-Aufbau (aus: Saleh/Teich, Grundlagen der Photonik) 22

23 Optischer Hoch- und Tiefpass (Maske wird in der Fourier-Ebene platziert) (aus: Saleh/Teich, Grundlagen der Photonik) 23

24 5. 5 Holografie Aus dem Kalkül der Fourier-Optik folgt: Kann man die Fourier-Komponenten des Lichts, das von einem Objekt ausgeht als Muster festhalten, so kann durch bescheinen dieses Musters mit einer Referenzwelle das Objekt wieder (virtuell) generiert werden. Für eine einzelne Fourier-Komponente sähe das so aus: 2D-Detektor Objektwelle Referenzwelle Problem: Detektoren messen Intensität, nicht Feld (welche für eine einzelne Fourier-Komponente eine Konstante ist). Ausweg: Holografische Kodierung(Gabor 1947)? Durch Interferenz von Objekt- und Referenzwelle entsteht in der Detektorebene ein harmonisches Muster, das dann durch die Referenzwelle wieder ausgelesen werden kann. Was ist genau das Ergebnis? 24

25 a) Speicherung Hologramm(Durchlässigkeit) b) Abfrage Referenzwelle Objektwelle konjugierte Objektwelle Verallgemeinerung auf beliebige Felder unmittelbar hinterm Hologramm speziell mit Mehrdeutigkeit(ambiguity) 25

26 Holografisches Prinzip Speichern Abfragen Das wäre eine Fourier-Komponente des Lichts von einem beliebigem Objekt. 26

27 Hologramm eines beliebigen Objekts 27

28 Hologramm einer Punktquelle (Siehe: Fresnel-Zonenplatte) 28

29 Praktische Anordnung Speichern Abfragen 29