c t t 1 Abbildung 5.1: Huygenssches Prinzip.

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1 In diesem Kapitel wollen wir Phänomene untersuchen, die sich aus der räumlichen Begrenzung einer Welle durch eine (oder mehrere) Blenden ergeben. Hierbei ist im Allgemeinen eine direkte Untersuchung ausgehend von den Maxwell-Gleichungen nicht analytisch möglich. Wir werden deshalb das unten angegebene Huygenssche Prinzip für die anschauliche Erklärung von Beugungsphänomenen benutzen. Dabei betrachten wir in diesem Kapitel Licht als eine skalare Welle. 5.1 Huygenssches Prinzip Experiment: Wellenwanne mit Kamm. A c t t 1 t =t 1+ t Abbildung 5.1: Huygenssches Prinzip. Huygensches Prinzip: Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt für kugelförmige sekundäre Elementarwellen. Die Lage der Wellenfront zu einem späteren Zeitpunkt ergibt durch die Tangenten an all diese sekundären Elementarwellen. Wir wollen nun das Huygensche Prinzip auf zwei bereits behandelte Probleme anwenden. 5-1

2 5.1.1 Brechung an einer Grenzfläche Experiment: Wellenwanne mit Glasplatte. Im Folgen soll das Brechungsgesetz anhand des Huygensschen Prinzips hergeleitet werden. Hierzu betrachten wir die Grenzfläche zwischen zwei Medien mit Brechungsindizes n 1 und n. Im Medium 1 breiten sich die Kugelwellen mit der Geschwindigkeit c 1 = c 0 /n 1 aus. Die Strecke DC wird von den sekundären Elementarwellen in der Zeit t zurückgelegt: DC = tc 0 n 1. (5.1.1) In der gleichen Zeit legen die sekundären Elementarwellen im Medium die Strecke AB zurück: AB = tc 0 n. (5.1.) Mit sin(α i ) = DC und sin(α AC t) = AB (die Wellenfronten stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) erhalten wir wieder das AC Brechungsgesetz: n 1 sin(α i ) = n sin(α t ). (5.1.3) i D c1 t A c t C B t n 1 n Abbildung 5.: Brechung einer Welle an einer Grenzfläche. 5-

3 5. Beugung durch eine ebene Blende 5.1. Doppelbrechung In einem uniaxialen Kristall ist der Brechungsindex (und damit die Phasengeschwindigkeit) der außerordentlichen Welle eine Funktion der Ausbreitungsrichtung. Die sekundären Elementarwellen sind im Fall der außerordentlichen Welle deshalb keine Kugeln sondern Ellipsoide. Der Brechungsindex der ordentliche Welle hängt dagegen nicht von der Ausbreitungsrichtung ab. Dieser Fall kann deshalb analog zum vorherigen Abschnitt behandelt werden. Ordentlicher Strahl Außerordentlicher Strahl co t Optische Achse ce t co t Optische Achse Abbildung 5.3: Doppelbrechung. Fällt eine unpolarisierte Welle senkrecht auf einen uniaxialen Kristalls, so tritt die ordentliche Welle senkrecht durch die Grenzfläche (siehe Abbildung 5.3, links). Die außerordentliche Welle wird dagegen seitlich versetzt (siehe Abbildung 5.3, rechts), so dass sie schräg durch den Kristall läuft. In Übereinstimmung mit unserer Diskussion in Kapitel 3.3. sind die zugehörigen Phasenfronten aber weiterhin parallel zur Grenzfläche. 5. Beugung durch eine ebene Blende Im Folgenden soll eine monochromatische Welle betrachtet werden, die auf eine ebene Blende 1 Σ trifft. Die komplexe Amplitude der Welle in der Blendenebene sei E 0 (x, y). Hierbei hat E 0 (x, y) nur innerhalb der Blende einen von null verschiedenen Wert. Nach dem Huygenschen Prinzip hat die Welle im Punkt P = (X, Y, z) hinter der Blende den Wert: exp (ıkr) E(X, Y, z) = E 0 (x, y) Q dx dy. (5..1) Σ r 1 Als Blende bezeichnen wir eine Öffnung in einer ansonsten lichtundurchlässigen Schirm. Wir vernachlässigen hier Polarisationseffekte und behandeln das elektrische Feld als skalare Größe. 5-3

4 x X S O r e p P z y Y Abbildung 5.4: Beugung an einer ebenen Blende. Hierbei ist r = SP. Der sogenannte Neigungsfaktor Q berücksichtigt die Abhängigkeit der Amplitude der von einem Flächenelement dσ = dx dy abgestrahlten Welle vom Winkel θ gegen die Flächennormale. Eine genaue Behandlung im ahmen der Kirchhoffschen Beugungstheorie zeigt, dass Q (cos(θ) + 1)/. Abbildung 5.4 entnehmen wir: r = [ (X x) + (Y y) + z ] 1 = [ X + Y + z + x + y xx yy ] 1 = [ 1 + x + y xx yy ] 1 (5..) mit = [ X + Y + z ] 1 (5..3) 5-4

5 5.3 Fraunhofersche Näherung 5.3 Fraunhofersche Näherung In der Fraunhoferschen Näherung wird angenommen, dass der Abstand im Vergleich zu allen anderen Dimensionen sehr groß ist (Fernzone). In diesen Fall ist Q eine Konstante und der Ausdruck für r kann entwickelt werden: ( ) xx + yy xx + yy r 1 =. (5.3.1) Für die Welle im Punkt P = (X, Y, z) ergibt sich somit 3 : E(X, Y, z) Q exp(ık) Σ E 0 (x, y) e ı( kx x+ ky y) dx dy. (5.3.) Im Folgenden nehmen wir an, dass der Schirm mit einer ebenen Welle beleuchtet wird: mit E 0 (x, y) = E 0 t(x, y) (5.3.3) t(x, y) = { 1 falls S = (x, y, 0) in der Blende 0 falls S = (x, y, 0) auf dem Schirm (5.3.4) Einsetzen in obige Gleichung liefert: E(X, Y, z) Q exp(ık) E 0 t(x, y) e ı( kx x+ ky y) dx dy. (5.3.5) Das Integral kann als die räumliche Fourier-Transformierte der Blende identifiziert werden: F {t (x, y)} = t(x, y) e ı( kx x+ ky y) dx dy. (5.3.6) Für die Intensität erhalten wir somit: I(X, Y, z) = Q E 0 F {t (x, y)}. (5.3.7) In der Fernzone ist die Intensitätsverteilung (bis auf einen konstanten Vorfaktor) durch das Betragsquadrat der räumlichen Fourier-Transformierten der Blende gegeben. 3 Im Nenner nähern wir r 5-5

6 5.3.1 Beugung an einer rechteckigen Blende Experiment: Beugung an einer rechteckigen Blende. Als erstes Beispiel betrachten wir eine rechteckige Blende mit Seitenlängen a und b: t(x, y) = { 1 falls x a/, y b/ 0 sonst (5.3.8) Die Welle im Punkt P = (X, Y, z) ist gegeben durch: E(X, Y, z) = Q exp(ık) a/ b/ E 0 e ı kx x dx e ı ky y dy. (5.3.9) a/ b/ Mit folgt α = kax und β = kby (5.3.10) E(α, β) = Q exp(ık) ( ) ( ) sin(α) sin(β) E 0 ab. (5.3.11) α β Für die Intensität gilt somit: I(α, β) = I 0 ( sin(α) α I 0 ist die Intensität im Punkt P 0 = (0, 0, z). ) ( ) sin(β). (5.3.1) β Im Folgenden diskutieren wir die Intensitätsverteilung entlang der α-ichtung mit β = 0: Das zentrale Beugungsmaximum wird für α = 0 angenommen. Nebenmaxima treten für α = (m 1) π, m = 1,, 3,... auf. Mit X/ = sin(θ) folgt für den Winkel θ max,m, unter dem das m-te Nebenmaximum beobachtet werden kann: sin(θ max,m ) = (m 1) λ a. (5.3.13) Die Intensität im ersten Nebenmaximum (m=1) beträgt ungefähr 5% der Intensität des zentralen Beugungsmaximums. 5-6

7 5.3 Fraunhofersche Näherung β (rad) I ( α, ) I ( α,0 ) α (rad) α (rad) Abbildung 5.5: Beugung an einer quadratischen Blende. Links: I(α, β). echts: I(α, 0). Die Intensität nimmt für α = mπ, m = 1,, 3,... den Wert null an. Nullstellen sind somit für sin(θ 0,m ) = m λ a (5.3.14) zu beobachten. Das zentrale Beugungsmaximum hat damit eine Breite θ = λ/a. Ist eine der Dimensionen der Blende (z.b. b) viel größer als die Wellenlänge, so haben wir es effektiv mit einem eindimensionalen Problem zu tun, einem Spalt. Das zentrale Beugungsmaximum ist dann in β-ichtung viel schmaler als in α-ichtung Beugung am Einzelspalt Experiment: Beugung am Einzelspalt. Wir wollen nun für einen Spalt der Breite a die durch Beugung resultierende Intensitätsverteilung anhand eines einfachen Modells herleiten. Wir nehmen hierzu an, dass sich im Spalt N regelmäßig angeordnete Oszillatoren mit Abstand a befinden, die von einer ebenen Welle zu erzwungenen Schwingungen angeregt werden. Die Gesamtamplitude der in ichtung θ gestreuten Welle ergibt sich durch die Überlagerung der gestreuten Wellen der einzelnen Oszillatoren: N E = A 0 e ı(ϕj ωt). (5.3.15) j=1 5-7

8 a a s s Abbildung 5.6: Abstrahlung von N regelmäßig angeordnete Oszillatoren. Hierbei ist A 0 die Amplitude und ϕ j die Phase der vom j-ten Osillator gestreuten Welle. Aus dem Wegunterschied s = a sin(θ) zwischen benachbarten Wellen resultiert die Phasendifferenz ϕ = π λ s = π λ a sin(θ). (5.3.16) Wir setzen die Phase der ersten Welle ϕ 0 = 0 und erhalten E = A 0 N e ı(ϕ j ωt) j=1 = A 0 e ıωt N e ı(j 1) ϕ j=1 = A 0 e ıωt eın ϕ 1 e ı ϕ 1 = A 0 e ıωt e ı N 1 ϕ eı N ϕ e ı N ϕ e ı ϕ/ e ı ϕ/ = A 0 e ıωt e ı N 1 ϕ sin ( N ϕ). (5.3.17) sin ( ϕ/) 5-8

9 5.3 Fraunhofersche Näherung Die Intensität der Welle ergibt sich zu ( sin Nπ a I(θ) = E λ = I sin(θ)) 0 sin (. (5.3.18) π a λ sin(θ)) Wir ersetzen nun die diskreten Oszillatoren durch eine kontinuierliche Verteilung von Oszillatoren entlang der Strecke a. Die zugehörige Amplitude ist proportional zur Länge a: A = A 0 a/a. (5.3.19) Mit α = π(a/λ) sin(θ) folgt: ( ) a sin (α) I(θ) = I 0 a sin (α/n). (5.3.0) Wir betrachten nun N. Mit sin (α/n) α /N erhalten wir gerade wieder das zuvor hergeleitete Ergebnis: I(θ) = I 0 sin (α) α. (5.3.1) Im ahmen des Oszillator-Modells können die Winkel, unter denen Nullstellen der Intensität beobachtet werden, einfach und anschaulich bestimmt werden. Wir wollen dies für den Fall m = 1 diskutieren. Für sin(θ) = λ/a ist der Wegunterschied zwischen der ersten und letzten Teilwelle gerade λ. Wir teilen den Spalt nun in Gedanken in zwei Hälften. Wir finden zu jedem Oszillator in der ersten Hälfte einen Oszillator in der zweiten Hälfte, so dass der Wegunterschied gerade λ/ ist. Die Oszillatoren löschen sich damit paarweise aus und die Gesamtintensität verschwindet aufgrund der destruktiven Interferenz Beugung am Doppelspalt Experiment: Beugung am Doppelspalt. Wir wollen nun den Youngschen Doppelspaltversuch für zwei Spalte mit endlichen Breiten a und Abstand d analysieren. In diesem Fall gilt 4 : 1 für d/ a/ < x < d/ + a/ t(x) = 1 für d/ a/ < x < d/ + a/ (5.3.) 0 sonst 4 Wir beschränken uns auf den eindimensionalen Fall langer Spalte. 5-9

10 θ a/ λ=1 a/ λ= a/ λ=5 a/ λ= θ (rad) a Abbildung 5.7: Intensitätsverteilung bei der Beugung an einem einzelnen Spalt für verschiedene Spaltbreiten. Im Fernfeld gilt für die Welle 5 : E(X) = E 0 t(x)e ı kx x dx = E 0 = E 0 = E 0 e ı dkx d/+a/ e ı kx x dx + E 0 d/ a/ kx e ı x d/+a/ ı kx d/ a/ ) a = ae 0 cos sin ( kx a kx a ( dkx + E 0 ) sin ( kx d/+a/ dkx ı + E 0 e kx a e ı kx x dx d/ a/ kx e ı x d/+a/ ı kx d/ a/ ) a ) a sin ( kx a kx a (5.3.3) 5 Die ganzen konstanten Vorfaktoren werden in E 0 zusammengefasst. 5-10

11 5.3 Fraunhofersche Näherung Doppelspalt Einzelspalt a d I( θ ) θ(rad) Abbildung 5.8: Intensitätsverteilung bei der Beugung an einem Doppelpalt (a/λ =, d/λ = 10). Für die Intensität erhalten wir den folgenden Ausdruck: I(X) = 4a E 0 sin ( kx kx a a ) ( ) dkx cos. (5.3.4) Die Intensitätsverteilung des Doppelspaltes ist gegeben durch die Intensitätsverteilung eines einzelnen Spalts moduliert mit dem Interferenzmuster des Doppelspaltes für punktförmige Öffnungen Beugung an Gittern Senkrechter Lichteinfall Experiment: Beugung am Gitter. Ein Beugungsgitter besteht aus einer regelmäßigen Anordnung von N parallelen Spalten. Analog zum Doppelspalt wird die Intensitätsverteilung hinter dem Gitter wird durch zwei Faktoren bestimmt: 5-11

12 Beugung an den einzelnen Spalten mit Spaltbreite b. Interferenzmuster von N punktförmigen Oszillatoren mit Periode d. Für senkrechten Lichteinfall ist die die Intensität: sin [π(a/λ) sin(θ)] sin [ Nπ d λ I(θ) = I sin(θ)] 0 [π(a/λ) sin(θ)] sin [. (5.3.5) π d }{{} λ sin(θ)] }{{} Spaltfaktor Gitterfaktor Hierbei ist I 0 die Intensität für die Vorwärtsrichtung (θ = 0) hinter einem einzelnen Spalt Gitter Einzelspalt N a d Ordnung 60 I( θ ) Ordnung 3. Ordnung θ(rad) Abbildung 5.9: Intensitätsverteilung bei der Beugung an einem Bitter (a/λ =, d/λ = 4, N = 10). Aufgrund des Gitterfaktors weist I(θ) für die ichtungen ein Maximum auf, für die der Weglängenunterschied s zwischen äquivalenten Teilstrahlen aus zwei benachbarten Spalten gerade ein Vielfaches m der Wellenlänge ist: s = d sin(θ max,m ) = mλ. (5.3.6) Die entsprechenden Maxima heißen Beugungsmaxima m-ter Ordnung. Die Intensität in den verschiedenen Ordnungen wird durch den Spaltfaktor bestimmt. Dies ist anschaulich verständlich, da nur durch die Beugung an den Einzelspalten Licht in ichtungen θ 0 gelangt. 5-1

13 5.3 Fraunhofersche Näherung Für die 0.-Ordnung finden wir: I(0) = N I 0. (5.3.7) Einzelne Ordnungen können unterdrückt werden, wenn sie mit einer Nullstelle des Spaltfaktors zusammenfallen. Zum Beispiel fehlt in Abbildung 5.9 aus diesem Grund die.- Ordnung. Zwischen je zwei Hauptmaxima treten (N ) Nebenmaxima auf, für die der Zähler des Gitterfaktors den Wert eins annimmt, der Nenner aber keine Nullstelle besitzt. Für die zugehörigen Winkel gilt: sin(θ p ) = p + 1 N λ, p = 1,,... N. (5.3.8) d Mit wachsendem N verlieren die Nebenmaxima rasch an Bedeutung. Schräger Lichteinfall Experiment: Beugung am Gitter, Hg Lampe. Experiment: Beugung an einer CD. Bisher haben wir angenommen, dass die einzelnen Spalte alle phasengleich beleuchtet werden. Diese Situation ergibt sich bei der Beleuchtung mit einer senkrecht einfallenden ebenen Welle. Wir wollen nun für ein eflexionsgitter mit Periode d den Fall untersuchen, dass eine ebene Welle unter dem Winkel θ i gegen die Gitternormale eingestrahlt wird. Gitter- Normale Furchen- Normale s i so d Abbildung 5.10: eflexionsgitter bei schrägem Lichteinfall. 5-13

14 Das Licht wird an den Furchen unter einem Winkel θ o gegen die Gitternormale reflektiert 6. Teilwellen von verschiedenen Furchen interferieren konstruktiv, wenn der Weglängenunterschied s = s i + s 0 = d sin(θ i ) + d sin(θ o ) (5.3.9) ein vielfaches m der Wellenlänge λ ist. Aus dieser Bedingung erhalten wir die Gittergleichung d [sin(θ i ) + sin(θ o )] = mλ. (5.3.30) In Abbildung 5.10 liegen der Einfallswinkel und der eflexionswinkel auf der selben Seite der Gitternormalen. Ist dies nicht der Fall, weisen wir θ o einen negativen Wert zu. Wir erhalten mit dieser Konvention dann wiederum die Gittergleichung (Beweis: Übung) Beugung an einer kreisförmigen Blende Experiment: Beugung an einer kreisförmigen Blende. In der Praxis spielt die Beugung an kreisförmigen Blenden eine wichtige olle. Für eine Blende mit adius a gilt: t(x, y) = { 1 falls x + y a 0 sonst (5.3.31) Durch räumliche Fouriertransformation erhalten wir: ( ) J1 (u) I(u) = I 0. (5.3.3) u Hierbei ist J 1 (x) die Besselfunktion erster Ordnung und u = ka sin(θ). Die Beugung an einer kreisförmigen Blende führt zu einer rotationssymmetrischen Intensitätsverteilung mit einem zentralen Maximum (Beugungsscheibchen oder Airy- Scheibchen), das von ingen mit rasch abnehmender Intensität umgeben ist. I(u) weist für u = 1.π eine erste Nullstelle auf. Für den zugehörigen Winkel θ 0,1 gilt: sin(θ 0,1 ) = 0.61 λ a. (5.3.33) 6 Ein- und Ausfallswinkel des eflexionsgesetzes beziehen sich auf die Furchennormale. 5-14

15 5.4 Auflösungsvermögen eines Mikroskops a I( θ ) θ(rad) Abbildung 5.11: Beugung an einer kreisförmigen Blende (a/λ = 1.5). 5.4 Auflösungsvermögen eines Mikroskops Das räumliche Auflösungsvermögen von optischen Instrumenten wird durch Beugung limitiert. Wir wollen diese Begrenzung exemplarisch für das Mikroskop diskutieren. Ein Punkt P 1 in der Objektebene wird durch das Mikroskobjektiv mit Durchmesser D und Brennweite f in die Zwischenbildebene abgebildet. Aufgrund von Beugung an der Fassung des Objektivs ist das Bild von P 1 ein Beugungsscheibchen, dessen Durchmesser nach Gleichung (5.3.33) durch d Beug =.44λ b D (5.4.1) gegeben ist. Wir gehen im folgenden davon aus, dass verschiedene Punkte in der Objektebene als unabhängige Lichtquelle wirken, deren Beugungsbilder sich in der Zwischenbildebene inkohärent überlagern. Zwei benachbarte Punkte P 1 und P erzeugen in einem Punkt der Zwischenbildebene also die Intensitätsverteilung I(x) = I 1 (x) + I (x). (5.4.) Hierbei sind I 1 und I die Intensitätsverteilungen aufgrund von P 1 bzw. P. 5-15

16 Zwischenbildebene Mikroskopobjektiv Objektebene x P1 P D d Beug d g f b Abbildung 5.1: Auflösungsvermögen eines Mikroskops. Nach dem ayleigh-kriterium sind die benachbarten Punkte noch räumlich getrennt beobachtbar, wenn der Abstand d der Maxima der Beugungsscheibchen in der Zwischenbildebene mindestens so groß wie der halbe Durchmesser 1 d Beug eines Beugungsscheibchen ist. Mit Hilfe der Abbildungsgleichung finden wir für den zugehörigen minimalen Objektabstand x min = 1 d g Beug b. (5.4.3) Für ein Mikroskopobjektiv ist im Allgemeinen b f, so dass g f gilt. Damit folgt x min = 1, λ f D. (5.4.4) Das Mikroskopobjektiv sammelt Licht aus dem vollen Öffnungswinkel α auf. Mit g f erhalten wir: sin(α) = D f. (5.4.5) 5-16

17 5.5 Fresnel-Beugung d=0.75 d Beug d=0.5 d Beug d=0.5 d Beug d Beug Abbildung 5.13: Berechnete Intensitätsverteilungen in der Zwischenbildebene für zwei Punktquelle in verschiedenen Abständen. Im mittleren Bild entspricht der Abstand dem ayleigh-kriterium. Durch das Einbringen eines Immersionsöls mit Brechungsindex n im zwischen Objekt und Mikroskopobjektiv kann die räumliche Auflösung verbessert werden: λ 0 x min = 1, n im sin(α). (5.4.6) Die numerische Apertur NA = n im sin(α) (5.4.7) ist eine wichtige Kenngröße des Mikroskopobjektivs. Einsetzen in die obige Gleichung liefert: x min = 0, 61 λ 0 NA. (5.4.8) Beispiel: n im = 1.5; sin(α) = 0.8 (d.h. α 106 ) NA = 1. x min 0.5λ Fresnel-Beugung Mit Hilfe der Fraunhoferschen Näherung haben wir bisher Beugungseffekte ausschließlich im Fernfeld untersucht. Wir wollen nun im ahmen der Fresnel-Beugung unser Augenmerk auf das Nahfeld richten. 5-17

18 Ausgangspunkt der Untersuchungen ist wieder Gleichung (5..1): Hierbei ist E(X, Y, z) = Σ E 0 (x, y) Q exp (ıkr) r dx dy. r = [ (X x) + (Y y) + z ] 1 = [ 1 + (X x) + (Y y) ] 1 (5.5.1) Wir führen nun die folgende Näherung ein [ r 1 + (X x) + (Y y) ] = + (X x) + (Y y). (5.5.) Weiterhin nehmen wir an, dass Q konstant ist. Einsetzen liefert: E(X, Y, z) Q exp(ık) ( ) E 0 (x, y) e ı k(x x) k(y y) + dx dy. (5.5.3) Σ Diese Gleichung kann im Allgemeinen nur noch numerisch gelöst werden. Abbildung 5.14 zeigt die berechnete Intensitätsverteilung für verschiedene Abstände z hinter einem 1 mm breiten Spalt, der mit Licht der Wellenlänge λ = 600 nm beleuchtet wird. 5.6 Fresnelsche Zonen Im Folgenden wollen wir das Huygenssche Prinzip auf eine Kugelwelle anwenden. Wir betrachten hierzu eine punktförmige Lichtquelle L. Für Punkte auf der Kugeloberfläche Σ mit Abstand von der Lichtquelle gilt: E() = E 0 eı(k ωt). (5.6.1) Nach dem Huygensschen Prinzip sind alle Punkte dieser Kugelfläche Quellen kugelförmiger Sekundärwellen. Wir wollen nun die Feldstärke in einem Beobachtungspunkt P mit Abstand + r 0 von L bestimmen. Hierzu konstruieren wir eine eihe von konzentrischen Kugeloberflächen 5-18

19 5.6 Fresnelsche Zonen z=0.01 m z=0.1 m z=1 m z= m 3.5 I(X) X(m) x 10 3 Abbildung 5.14: Berechnete Intensitätsverteilung hinter einem 1 mm breiten Spalt, der mit Licht der Wellenlänge λ = 600 nm beleuchtet wird. Σ m um den Beobachtungspunkt P mit adien r m = r 0 + mλ/, m = 1,, 3. Die Kugeloberflächen Σ m schneiden die Kugeloberfläche Σ in Kreisen, die die Grenzen der sogenannten Fresnelzonen auf der Kugeloberfläche Σ definieren. Wir ermitteln zunächst den Beitrag der Sekundärwellen aus der m-ten Fresnelzone zur Feldstärke in P. Die Punkte S der m-ten Fresnelzone, die den Abtstand r zum Betrachtungspunkt P besitzen, befinden sich auf einem Kreis um die Verbindungslinie LP mit adius ρ = sin(ϕ). Die Feldstärke der zugehörigen Sekundärwellen aus dem Flächenelement ds in P ist de = Q E r eı[k(+r) ωt] ds (5.6.) mit E = E 0 / und dem langsam veränderlichen Neigungsfaktor Q. Der Kosinussatz liefert für das Dreieck LSP: r = + ( + r 0 ) ( + r 0 ) cos(ϕ). (5.6.3) Durch Differentation nach ϕ erhalten wir: r dr = ( + r 0 ) sin(ϕ) dϕ. (5.6.4) 5-19

20 L S k r r 0 P K m m-te Fresnelzone K m+1 Abbildung 5.15: Konstruktion der Fresnelzonen. Somit gilt: ds = πρ dϕ = π + r 0 r dr. (5.6.5) Die m-te Fresnelzone liefert damit den Beitrag: r m π E m = QE e ı[k(+r) ωt] dr + r 0 r m 1 [ ] rm λqe = ı( + r 0 ) eı[k(+r) ωt] r m 1 = ( 1) m+1 ıλqe + r 0 e ı[k(+r 0) ωt]. (5.6.6) Die Beiträge benachbarter Fresnelzonen weisen entgegengesetzte Vorzeichen auf. Dies ist leicht verständlich, da wir zu jedem Punkt K m der m-ten Fresnelzone einen Punkt K m+1 der (m + 1)-ten Fresnelzone finden, so dass sich die jeweiligen Abstände zu P gerade um λ/ unterscheiden. Somit erhalten wir: N E(P) = E m = E 1 E + E 3 E 4 + (5.6.7) m=1 5-0

21 5.6 Fresnelsche Zonen Da Q eine langsam veränderliche Funktion ist, gilt: E m 1 ( E m 1 + E m+1 ). (5.6.8) Durch Umordnen erhalten wir: E(P) = 1 ( 1 E 1 + E 1 E + 1 ) ( 1 E 3 + E 3 E ) E E N 1 E E N. (5.6.9) Da in ückwärtsrichtung keine Sekundärwellen abgestrahlt werden (Q (cos(θ) 1)), liefert die N-te Fresnelzone keinen Beitrag und wir finden schließlich: E(P) 1 E 1. (5.6.10) Betrachten wir direkt die primäre Kugelwelle am Punkt P, so finden wir für deren Feldstärke: E(P) = E 0 + r 0 e ı[k(+r 0) ωt]. (5.6.11) Aus dem Vergleich der letzten beiden Gleichungen folgt: Q(0 ) = ı λ. (5.6.1) Wir wollen nun den adius ρ m der m-ten Fresnelzone berechnen. Für r 0 λ gilt: ρ m r r0 = (r 0 + mλ/) r0 mr 0 λ (5.6.13) Beispiel: r 0 = 10 cm, λ = 500 nm ρ 1 = 0. mm. Wir stellen nun zwischen L und P im Abstand r 0 von P einen Schirm mit kreisförmiger Blende, deren Durchmesser gerade ρ 1 beträgt. Dadurch trägt nur die erste Fresnelzone zur Feldstärke in P bei: E(P) = E 1. (5.6.14) 5-1

22 Die Feldstärke mit geeigneter Blende ist also doppelt so groß wie ohne Schirm! Die Feldstärke kann noch weiter erhöht werden, in dem wir durch einen geeigneten Schirm alle geraden (oder alle ungeraden) Fresnelzonen ausblenden. Experiment: Fresnel Zonenplatte. 5-