Inhalte. Prisma & Regenbogen. Beugung Fresnel-Huygens sches Prinzip Beugung an der Kante Fresnelsche Zonen Platte Poisson Fleck

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1 Inhalte Prisma & Regenbogen Beugung Fresnel-Huygens sches Prinzip Beugung an der Kante Fresnelsche Zonen Platte Poisson Fleck Fresnel-Kirchhoff Theorie der Beugung Fresnel-Kirchhoff-Integral Fraunhofer (Fernfeld) Näherung Babinetsches Prinzip E3-V Dez 18

2 Grenzen der geometrischen Optik Präparation eines Strahls mittels Blende Strahlenoptik -> geometrischer Schattenwurf Experiment zeigt: Es gibt keinen idealen Lichtstrahl!!!

3 Das Huygens'sche Prinzip (C. Huygens 1690) Huygens'sche Prinzip: jeder Punkt einer primären Wellenfront ist Quelle von sekundären Elementarwellen Einhüllende dieser Elementarwellen bildet die neue Wellenfront Was geschieht in Randbereichen? Huygens'sche Prinzip gibt keine Aussage Fresnel - Huygens'sche Prinzip: Einhüllende der Elementarwellen ersetzt: durch Rechenvorschrift Das Lichtfeld an einem Punkt P wird gebildet durch Summation nach Amplitude und Phase über alle von den Elementarwellen Exakter Term für Einfluß des "Ablenkwinkels" später von Kirchhoff eingeführt Da genaue Form dieses Winkelfaktors für viele praktische Probleme unwichtig, gibt die Fresnel'sche Beschreibung eine Vielzahl von Beugungsphänomenen korrekt wieder Dies führte Anfang des 19. Jahrhunderts dazu, dass die Wellennatur des Lichtes allgemein akzeptiert wurde. 2

4 Die Fresnel'sche Beugung Beugungsergebnisse abhängig von Details der experimentellen Beobachtung: Am einfachsten Fraunhoferbeugung Unendlich große Abstände zwischen Lichtquelle (punktförmig), Beugungsobjekt und Beobachtungsebene mathematisch behandelt über Fouriertransformation Fresnelsche Beugung: Endliche Abstände zwischen Beugungsobjekt und Beobachtungsebene Komplexe mathematische Behandlung, oft nicht geschlossen lösbar Wichtige Aspekte mit der qualitativen Darstellung mit Hilfe der Fresnel'schen Zonen beschreibbar:

5 Betrachtung der Anteile konstruktiver und destruktiver Interferenz. Beispiel: Beugung bei senkrechter Beleuchtung einer absorbierenden Halbebene Stark unterschiedliche Wege der einzelnen Elementarwellen bis zum Beobachtungspunkt! Phasen müssen berücksichtigt werden! Vorgehen: Beleuchtung mit ebenen Wellen: Lichtquelle liege im Unendlichen Eindimensionales Problem, nur die x-koordinate berücksichtigt; Beobachtungspunkt P bei R = (0, 0, R) Auftrennen des Beugungsobjektes, der Beugungsebene in Zonen, die jeweils positiv bzw. negativ zu U P beitragen

6 . Zunächst: Beiträge ohne Kante Phasenfaktor bestimmende Größe r wird r = x2 + R2 Für x = 0 ist der Abstand r zum Beobachtungspunkt am kleinsten, r = R r wächst langsam mit x Falls r kleiner ist als R + λ/2: konstruktiver (nicht gegenphasig) Beitrag zum Feld, das vom Ort x = 0 emittiert wurde (roter Bereich) Für R + λ/2 < r < R + λ ist der Betrag negativ, Bereich muss vom Signal abgezogen werden (schwarzer Bereich). Für R + λ< x < R + 3λ/2 Beitrag wieder positiv (rot) usw. (Für korrekte Rechnung müsste nicht nur addiert bzw. subtrahiert werden, sondern die Beiträge amplitudenrichtig (Betrag und Phase) summiert werden! (siehe unten) Definition: Fresnelsche Zone Z i : 5

7 . Bereich der Blendenöffnung mit festem Vorzeichen Niedrige Fresnel-Zonenhaben haben relativ große Breiten - Für große x Werte werden die einzelnen Zonen jedoch immer schmäler und ähnlicher: benachbarte Zonen heben sich hier auf Gebeugtes Feld (Intensität I 0 U2 P0 ) am Beobachtungspunkt P praktisch vollständig durch Fresnelzonen mit niedriger Nummer i bestimmt Mit Blende: Abschirmende Blende (Halbebene) beginnend von großen x 0 Werten her über die Blendenebene geschoben: Für große x 0 Werte praktisch keine Änderungen der Intensität am Beobachtungspunkt. Wenn zunehmend Fresnelzonen niedriger Ordnung abgedeckt werden Zu- bzw. Abnahmen der Intensität Oszillation der Intensität x o = 0: genau die Hälfte aller Beiträge zum gebeugten Feld abgedeckt: Intensität I 0 /4 (WARUM??) Weiteres Verschieben der Blende: kontinuierliches Verschwinden der Intensität (bei korrekter Rechnung) 6

8 Intensität. Beugungsbild einer Kante Kantenlage [mm]

9 Poissonscher Fleck Fresnel Beugung an Kreisblenden (Geometrie: HeNe-Laser 632,8 nm, Blendendurchmesser 4-1 mm, Beobachtung 1m hinter Blende) Poissonscher Fleck: Hinter einer Kreisscheibe findet man (unabhängig von Scheibendurchmesser und Abstand) einen hellen Fleck im Zentrum des Schattens Geschichte ist kurios: Poisson ( ) wollte 1818 (Wettbewerbsbeitrag von Fresnel bei der Französischen Akademie der Wissenschaften) die Vorhersage dieses für ihn sinnlosen Phänomens zur Widerlegung der Wellentheorie des Lichtes (Fresnel) verwenden. Fleck aber sofort demonstriert von Arago (ursprünglich bereits 1723 von Maraldi beobachtet) 8

10 Fresnelsche Zonenplatten Bei einem kreissymmetrischen Problem sind die Zonen Kreisscheibe und Ringe mit unterschiedlichem Radius und abnehmender Breite. Frage: Was beobachten Sie wenn Sie jeweils gerade oder ungerade Fresnel-Zonen ausblenden (schwärzen) und dieses Objekt (Fresnelsche Zonenplatte) mit parallelem Licht beleuchten? Das Licht wird fokussiert und defokussiert! Wie ändern Sie die Brennweite dieser Linse? (Anwendung: Röntgenlinsen) Beachten Sie: Eine Zonenlinse ist keine Fresnellinse! 9

11 Die Fresnel-Kirchhoffsche Beugungstheorie Vereinfachende Annahmen: Anstelle des vektoriellen Feldes nur ein skalares "Licht"-Feld U Ungestörte Ausbreitung von der Quelle zum beugenden Objekt An der Blendenöffnung Feld durch die ungestörten Werte von U beschrieben Erst hinter der Blende wird Einfluß des Objektes (Blende) berücksichtigt. Rückwirkung des gebeugten Lichtes auf die Feldverteilung vor dem Objekt und in der Blendenöffnung Ω vernachlässigt Motivation: Beugungserscheinungen sind in der Regel sehr lichtschwach; deshalb deren Rückwirkung auf die Quelle zu vernachlässigen 12

12 Die Fresnel-Kirchhoffsche Beugungstheorie. Kirchhoff'sche Theorie berechnet aus der vorgegebenen Feldverteilung in der Ble (Huygenssche Elementarwellen verwendet) λ

13 Die Fresnel-Kirchhoffsche Beugungstheorie. Kirchhoff'sche Theorie berechnet aus der vorgegebenen Feldverteilung in der Ble Eigenschaften des Feld am Punkt P (Integration über offenen Teil der Blende) durch drei wesentliche Faktoren bestimmt: 1. das einfallende Feld U 0 (ξ,η) an der Blendenöffnung, 2. die Kugelwelle, die sich vom Ort (ξ, η) her ausbreitet, 3. die Blendenöffnung Ω(ξ, η) (Form, Transmission). Fresnel-Kirchhoffsche Integral