Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 2

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Evagret Krause
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1 1994 Runde ufgabe 1 Zeige, da 1!! 3! ! mindeten 1 Teiler hat. Hinwei: Unter n! verteht man da Produkt der erten n natürlichen Zahlen. eipiel: 5! = = 10 Löung Die Summe S = 1!! 3! ! kann in die beiden Teilummen T 1 = 1!!... k! und T = (k l)! (k )! ! zerlegt werden. lle Teiler der erten Teilumme, die kleiner oder gleich k 1 ind, ind auch Teiler der zweiten Teilumme, da ie jeden der Summanden von T teilen. Findet man in der erten Teilumme mindeten ech Teiler, die alle auch Teiler von (k 1)! ind, o ind diee ech Zahlen auch Teiler der Geamtumme. Durch direkte erechnen erhalten wir: 1! = 1, 1!! = 3, 1!! 3! = 9 = 3, 1!! 3! 4! = 33 = 3 11, 1!! 3! 4! 5! = 153 = 3 17, 1!! 3! 4! 5! 6! = 873 = 3 97, 1!! 3! 4! 5! 6! 7! = 5913 = , 1!! 3! 4! 5! 6! 7! 8! = 4633 = , 1!! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! = = , 1!! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 10! = = Die Summe 1!! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 10! enthält die Teiler 1, 3, 9, 11, 33 und 99. Da 11! und jeder Summand n! mit n > 11 die Faktoren 9 und 11 enthält, kommen diee ech Teiler in jedem Summanden von T vor. S S S S S ußerdem ind die Zahlen S,,,, und ech weitere Teiler, die alle von 1, 3, 9, 11, 33 und verchieden ind. Die Zahl S beitzt alo mindeten 1 Teiler. LWM 1994 Runde Seite 1 von 6

2 ufgabe Ein Krei it ohne einen Mittelpunkt M vorgegeben. Der Punkt M oll mit Zirkel und Lineal kontruiert werden, wobei der Zirkel nur einmal verwendet werden darf. echreibe die Kontruktion und begründe ie. 1. Löung Wähle einen Punkt P außerhalb de gegebenen Kreie k 1 und zeichne einen Krei k um P o, da er k 1 in zwei Punkten Q und R chneidet, die keinen Durchmeer ergeben. V Q T Die Geraden (PQ) und (PR) chneiden den Krei k in den Punkten S bzw. T ein zweite Mal. Nach dem Satz von Thale gilt w(srq) = w(rqt) = 90. M P Die Geraden (TQ) und (SR) chneiden den Krei k, in den Punkten V bzw. U. Die Winkel SRQ und QRU bzw. RQT und VQR ind Nebenwinkel. U k 1 R k S Damit gilt w(qru) = w(vqr) = 90. Nach der Umkehrung de Thaleatze ind die Strecken RV und QU Durchmeer de Kreie k 1. Der Schnittpunkt M der beiden Strecken it der Mittelpunkt de Kreie k 1.. Löung Kontruktion und egründung Wähle zwei Punkte P und Q auf dem gegebenen Krei k 1 o, da PQ kein Kreidurchmeer it. Wähle einen dritten Punkt R auf dieem Krei o, da ein Krei k um R mit Radiu PQ weder durch P noch durch Q geht. Die Kreie k 1 und k chneiden ich in den Punkten S und T. etrachten wir nun da Viereck RSPQ. Wegen der übereintimmenden Länge von RS und PQ gibt e eine Gerade o, da durch die Spiegelung an dieer Geraden die Sehne RS auf die Sehne PQ abgebildet wird. Diee Gerade geht au Symmetriegründen durch den Mittelpunkt de gegebenen Kreie. ei dieer Spiegelung wird R auf Q und S auf P abgebildet und umgekehrt. Der Schnittpunkt der Geraden (RS) und (PQ) und der Schnittpunkt der Geraden (RP) und (SQ) ind Fixpunkte dieer bbildung und betimmen dadurch die Spiegelungache. nmerkung: Sind die gegenüberliegenden Seiten diee Viereck paarweie parallel, o handelt e ich wegen der chenymmetrie um ein Rechteck. Der Diagonalenchnittpunkt it dann der geuchte Kreimittelpunkt und die Kontruktion it bereit beendet. Entprechend gibt e eine weitere Gerade o, da bei Spiegelung an dieer Geraden die Sehnen RT und PQ aufeinander abgebildet werden. Diee Spiegelungache lät ich in gleicher Weie durch die Schnittpunkte C und D der Geraden (TR) mit (PQ) und (TP) mit (RQ) kontruieren. Die Geraden () und (CD) chneiden ich im Mittelpunkt de Kreie k 1. T R Q S P LWM 1994 Runde Seite von 6

3 ufgabe 3 Die Strecke F enthält im Innern die Punkte C und D und it Durchmeer eine Halbkreie, auf dem die Punkte und E liegen. Die Strecken, C, CD, DE und EF haben alle die gleiche Länge. etimme in bhängigkeit vom Radiu de Halbkreie. Löung Vorüberlegungen an einer Skizze Zeichnen wir zunächt einen Halbkrei über der Strecke F und jeweil Kreie um und F mit dem Radiu, o ind die Punkte und E al Schnittpunkte dieer Kreie mit dem Halbkrei eindeutig betimmt. Die Kreie um bzw. E mit dem Radiu chneiden die Gerade (F) in den Punkten und F und zuätzlich in den Punkten C und D. Diee Schnittpunkte ind ebenfall eindeutig betimmt. Die Dreiecke M und MFE ind kongruent, da ie paarweie in allen drei Seitenlängen übereintimmen. E r r Die Figur it achenymmetrich zur Mittelenkrechten der Strecke F. Damit it M auch der Mittelpunkt der Strecke CD. E Wenn nun zuätzlich die Strecke CD ebenfall die Länge E haben oll, o ind die beiden * * nebentehenden Lagen möglich. * * * C M D F D M C F C M D F Ergänzen wir die Zeichnung durch die Orthogonale zu F durch den Punkt (bzw. E), o halbiert der Höhenfußpunkt H die Strecke C, da im gleichchenkligen Dreieck C die Höhe auf C gleichzeitig die Mittelenkrechte it. * * * H C M D D H M C F r - r * Wegen der chenymmetrie der Figur gilt: CM = und H = HC = r bzw. CM = * und H = HC = 1 r 1 * 4 4 Um den Zuammenhang zwichen r und (bzw. *) herzuleiten, gibt e verchiedene Möglichkeiten. 1. Variante Da der Punkt auf dem Thalekrei über der Strecke F liegt, it da Dreieck F rechtwinklig. E gilt dehalb der Kathetenatz F H = r r = r r * = * r r= r r* = * 1 1 r r = 0 * r* r = 0. H C M F r - 4 LWM 1994 Runde Seite 3 von 6

4 Da uflöen dieer quadratichen Gleichungen nach bzw. * ergibt ( ) ( ) 1 1 = r 1 17 = r bzw. 1 1 * = r ( 1 17 ) * = r ( ). Die jeweil zweiten Löungen ergeben negative Werte für bzw. * und entfallen dehalb. Die beiden poitiven Löungen entprechen der bbildung auf der vorherigen Seite. ei den beiden folgenden Löungvarianten wird jeweil nur die erte eziehung zwichen r und hergeleitet. Die earbeitung wird abgebrochen, obald die 1 quadratiche Gleichung r r = 0 erreicht it. * H M C F r * 4 * *. Variante Die Dreiecke C und MC ind gleichchenklig und haben den Winkel C mit w(c) = α gemeinam. Da dieer Winkel in beiden Dreiecken ein aiwinkel it, timmen auch die übrigen Winkel überein. Die beiden Dreiecke ind dehalb ähnlich. Für die Seitenlängen gilt: M 1 = r r = r r = 0. C α α α C M r 3. Variante Die Dreiecke H und MH ind rechtwinklig. Durch zweimalige nwenden de Satze von Pythagora auf diee beiden Dreiecke entteht: 1 1 h = H,d.h. h = r, h = r HM,d.h. h = r r. 4 Durch Gleichetzen und umultiplizieren erhalten wir h H r M r r = r r r r r = LWM 1994 Runde Seite 4 von 6

5 ufgabe 4 E it 0= , 1= 1, = 1 3 4, 3= 1, 4= 1 3. Laen ich alle natürlichen Zahlen in der Form ± 1 ± ± 3 ±... ± m dartellen? 1. Löung u dem Vergleich der angegebenen Dartellungen für die Zahlen 0 und 4 im ufgabentext erhalten wir unmittelbar die eziehung = 4 bzw = 4, wa ich auch durch direkte erechnen betätigen lät. etrachten wir allgemein den Term erhalten wir ( ) ( ) ( ) k k 1 k k 3 = 4, ( ) ( ) ( ) k k 1 k k 3 k k 1 k k 3 = k k k 1 k 4k 4 k 6k 9= 4. Die bedeutet, da der Term k k 1 k k 3 Wert 4 beitzt. k k 1 k k 3 k 4 k 5 k 6 k 7 = 8, ) ( ) ( ) ( ) und löen die Klammern auf, o unabhängig vom Startwert k tet den Durch ddieren von aufeinander folgenden Termen dieer rt kann jede Vielfache von 4 erreicht werden. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) uw.. Jede natürliche Zahl n lät ich in der Form 4m, 4m 1, 4m oder 4m 3 dartellen. u einer Dartellung der Zahlen 0, 1, und 3 kann durch ddition von jeweil vier Summanden in der Form ( ) ( ) ( k k 1 k k 3 ± 1 ± ± 3 ±... ± m erzeugt werden. mit paendem Startwert k eine Dartellung von n in der Form It n 0 mod 4, o etzt man k = l und erhält It n 1 mod 4, o etzt man k = und erhält Entprechend 3 n = n = n = bzw. 3 n = für n mod 4 und k = 5 für n 3 mod 4 und k = 3. LWM 1994 Runde Seite 5 von 6

6 . Löung Die Differenz von zwei aufeinander folgenden Quadratzahlen k und ( k 1) it wegen ( ) k 1 k = k k 1 k = k 1 die Summe der beiden Zahlen k und k 1. Da jede Quadratzahl in der Summe nur einmal auftreten darf, wurden im folgenden Zahlenchema nur die Differenzen eingetragen, die keine gemeiname Quadratzahl enthalten. Dabei fällt auf, da die Differenz dieer Differenzen immer den Wert 4 hat Differenz Differenz In der allgemeinen Dartellung bedeutet die ( ) ( ) ( ) k 3 k k 1 k = 4, wa ich durch Vereinfachen mit Hilfe der erten binomichen Formel direkt betätigen lät. u der Dartellung einer Zahl n in der Form ( ) ( ) ( k k 1 k k 3) Dartellungen für die Zahlen 0, 1, und 3 vorgegeben. ± 1 ± ± 3 ±... ± (k 1) lät ich durch ddition von die Zahl n 4 dartellen. In der Formulierung der ufgabe ind bereit u dieen Vorgaben erhalten wir in den oben angegebenen Weie au 0 Dartellungen von 4, 8, 1, 16,..., 1 Dartellungen von 5, 9, 13, 17,..., Dartellungen von 6, 10, 14, 18,..., 3 Dartellungen von 7, 11, 15, 19,.... Damit laen ich alle natürlichen Zahlen in der geforderten Weie dartellen. LWM 1994 Runde Seite 6 von 6

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