Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 1

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1 00 Runde ufgabe Schreibe jede der Zahlen,, 3,, 5 auf je eine Karteikarte Lege diese Karten so in eine Reihe, dass die Summe der Zahlen auf zwei benachbarten Karten immer eine Quadratzahl ist Wie viele solcher nordnungen sind möglich? Lösung ie auftretenden Quadratzahlen sind, 9, 6 und 5 Man zerlegt sie in zwei verschiedene Summanden und schreibt alle diese Paare auf Kärtchen (wie bei ominosteinen) Eine Lösung der ufgabe ergibt sich, wenn eine Kette aus Kärtchen gemäß der nlegeregel für ominosteine (gleiche Zahlen stoßen aufeinander) gebildet werden kann ie auftretenden Paare sind: (/3), (/8), (/5), (/7), (/), (3/), (3/6), (3/3), (/5), (/), (5/), (5/), (6/3), (6/0), (7/), (7/9), (8/), (9/7), (0/6), (0/5), (/5), (/), (/), (/3), (3/3), (3/), (/), (/), (5/), (5/0) ie Zahlen 8 und 9 kommen jeweils nur einmal als erste (oder als zweite) Zahl in einem Paar vor Es ist deshalb sinnvoll, mit (8/) oder (9/7) zu beginnen, da dann kein nlegen nach links möglich ist Beim Start mit (9,7) ergibt sich zwangsläufig (9/7) (7/) (/) (/) (/5) (5/) (/) (/3) (3/3) a jede fettgedruckte Zahl nur einmal in der Schlussreihe vorkommen darf, werden nun alle weiteren Kärtchen mit diesen Zahlen entfernt Übrig bleiben: (/3), (/8), (/5), (3/), (3/6), (6/3), (6/0), (8/), (0/6), (0/5), (5/), (5/0) ie mögliche Fortsetzung mit (3/) und (/8) führt zum bbruch, es können nicht alle Zahlen verwendet werden Übrig bleiben die Zahlen 6, 0 und 5 ie mögliche Fortsetzung mit (3/) und (/5) ergibt zwangsläufig (3/3) (3/) (/5) (5/0) (0/6) und führt zum bbruch, es können nicht alle Zahlen verwendet werden In diesem Fall bleibt die Zahl 8 übrig lso bleibt als Fortsetzung nur (3/3) (3/6) (6/0) (0/5) (5/) (/8) amit erhalten wir die Zahlenreihe a sie auch rückwärts gelesen werden kann, ergeben sich zwei Lösungen der ufgabe er Beginn mit (8/) führt auf eine vergleichbare rgumentation Jedoch führt auch der Beginn mit anderen Karten zum Ziel LWM 00 Runde Seite von

2 ls Beispiel: Beginn mit (5/0) Nach rechts ist nun nur die Fortsetzung (0/6) und (6/3) möglich ies erzwingt nach links die Fortsetzung (/5) und (8/) Es entsteht: (8/) (/5) (5/0) (0/6) (6/3) Übrig bleiben: (/7), (/), (3/3), (/5), (/), (5/), (5/), (7/), (7/9), (9/7), (/5), (/), (/), (/3), (3/3), (3/), (/), (/) ie Fortsetzung ist nur noch rechts möglich: (6/3) (3/3) (3/) (/) (/5) Übrig bleiben: (/7), (/), (5/), (7/), (7/9), (9/7), (/5), (/), (/), (/) ie Fortsetzung ergibt: (/5) (5/) (/) (/) (/7) (7/9) Man erhält dieselbe Lösung wie oben Lösung Notiert man alle Zahlenpaare mit verschiedenen Summanden aus dem vorgegebenen Zahlbereich, die addiert eine Quadratzahl ergeben, so erhält man (bis auf Kommutativität): iese ufstellung zeigt, dass die Zahlen 8 und 9 jeweils nur in einem einzigen Paar vorkommen iese beiden Zahlen müssen am nfang und am Ende der Zahlenfolge sein Beginnen wir die Kette mit der Zahl 9, so folgt zwangsläufig 7, auf 7 folgt zwangsläufig die, auf folgt zwangsläufig die anach folgen zwangsläufig die Zahlen, 5,,, 3 und 3 uf die Zahl 3 kann nun die Zahl 6 oder die Zahl folgen as nachfolgende Schema zeigt den bisher dargestellten und den weiteren Verlauf us dieser arstellung wird deutlich, dass nur im ersten Fall alle 5 Zahlen in der Folge auftreten iese Kette kann auch in der umgekehrten Reihenfolge durchlaufen werden Es gibt also zwei Möglichkeiten LWM 00 Runde Seite von

3 ufgabe In der nebenstehenden Figur sind M und M' die Kreismittelpunkte ie beiden Winkel C und MM'B haben das gleiche Winkelmaß Bestimme M' C Lösung M B () Nach den Voraussetzungen ist das reieck MBM' gleichschenklig mit der Basis MB, denn es gilt MM' BM' Somit sind die Winkel BMM' und M'BM gleich weit Wegen der Winkelsumme in diesem reieck gilt: w(bmm') w(m'bm) 90 () ie Winkel M und BMM' sind Nebenwinkel, deshalb folgt mit den Ergebnissen aus (): w(m) 80 w(bmm') 90 + (3) as reieck BC ist rechtwinklig mit w(cb) 90, da C auf dem Thaleskreis über [B] liegt Wegen der Winkelsumme in diesem reieck folgt zusammen mit den Ergebnissen aus (): w(bc) 80 w(cb) w(m'bm) () as reieck M ist nach ufgabenstellung gleichschenklig mit der Basis Wegen der Winkelsumme in diesem reieck folgt mit den Ergebnissen aus (): w(m) w(m) ( 80 w(m) ) (5) us (3) und () folgt nun: w(m) w(bc) LWM 00 Runde Seite 3 von

4 lternativ lässt sich (3) auch durch eine rgumentation ohne Verwendung des Satzes von Thales ersetzen (3') ie reiecke MC und MBC sind nach Voraussetzung gleichschenklig mit den Basen C bzw BC Somit gilt w(mc) w(cm) bzw mit () w(mcb) w(cbm) w(m'bm) 90 amit folgt wegen der Winkelsumme im reieck BC: w(mc) + w(cm) + w(mcb) + w(cbm) 80, also w(mc) w(mc) w(bc) LWM 00 Runde Seite von

5 ufgabe 3 ie Grundfläche eines Prismas ist ein regelmäßiges n-eck ddiert man die nzahl der Flächen- und Raumdiagonalen, so erhält man das Hundertfache der nzahl der Kanten Bestimme n Lösung (additiv) In einem n-seitigen Prisma gilt für die Kantenzahl k: Grund- und eckflächen haben je n Kanten Es gibt n Verbindungslinien zwischen Grund- und eckfläche k 3n für die iagonalenzahl d: In einem regelmäßigen n-eck gehen von jeder Ecke genau n 3 iagonalen aus, denn zu je zwei Punkten, die nicht nebeneinander liegen, gehört genau eine iagonale a jede iagonale dabei doppelt gezählt wird, gibt es in einem konvexen n-eck also genau n ( n 3 ) iagonalen Von jedem Punkt der Grundfläche gehen genau n iagonalen zu Punkten der eckfläche aus Es gibt also genau n ( n ) iagonalen zwischen Grund- und eckfläche d n ( n 3) + n ( n ) n 3n+ n n n n Nach ufgabenstellung soll d 00k gelten Nach den beiden voraus gehenden bschnitten muss danach n n 00 3n gelten araus folgt: n 30n 0 ( ) n n 5 0 [ n 0 ] oder n 5 Lösung (subtraktiv) Ein Prisma mit einem regelmäßigen n-eck als Grundfläche hat n Ecken Verbindet man zwei Ecken, so erhält man eine Kante oder eine Flächen- oder Raumdiagonale Insgesamt kann jede der n Ecken mit jeder anderen Ecke verbunden werden, also mit n Ecken a jede Verbindungsstrecke zwei Punkte verbindet, gibt es n ( n ) Verbindungsstrecken a die nzahl der Kanten 3n beträgt (je n Kanten für Grund- und eckfläche sowie n Seitenkanten), gibt es n ( n ) 3n Flächen- oder Raumdiagonalen ie Bedingung, dass die nzahl der Flächen- oder Raumdiagonalen das Hundertfache der nzahl der Kanten ist, führt zur Gleichung: n ( n ) 3n 00 3n Lösung dieser Gleichung ergibt: n ( n ) 606n n 608n a n 0 ist, gilt: n 5 LWM 00 Runde Seite 5 von

6 ufgabe Zwei gleichschenklig-rechtwinklige reiecke unterschiedlicher Größe werden wie im Bild gezeigt aneinander gelegt ie Punkte P, Q, R und S sind die Mittelpunkte der Strecken C, C, E und E Weise nach, dass das Viereck PQRS ein Quadrat ist S E R Q Lösung Bei der Lösung wird angenommen, dass die Strecke B kürzer ist als die Strecke BE ie usgangsfigur wird um die Strecken CE und ergänzt ie Punkte P, Q, R und S sind nach ufgabenstellung die Mittelpunkte der Strecken C, C, E und E Im reieck CE ist QR Mittelparallele, also parallel zu CE und halb so lang wie CE Im reieck CE ist SP Mittelparallele, also parallel zu CE und halb so lang wie CE ie Strecken QR und SP sind somit gleich lang und parallel as Viereck QRSP ist also zumindest ein Parallelogramm Entsprechend zeigt man SR PQ ie reiecke B und EBC sind kongruent (sws), denn es gilt nach ufgabenstellung B EB, B BC und w(b) w(cbe) 90 us dieser Kongruenz folgt CE aher ist PQ QR RS SP ; das Viereck PQRS ist also eine Raute Betrachten wir nun die Winkel in der Figur Bezeichnet man die Weite des Winkels EC mit, so gilt w(ecb) 5 + und wegen der Winkelsumme im reieck BCE w(bec) 5 Wegen der Kongruenz der reiecke B und EBC gilt: w(b) w(ecb) 5 + us der Parallelität der Strecken und SR bzw CE und QR ergibt sich daraus: w(srq) w(srb) + w(brq) w(b) + w(bec) ie Raute PQRS ist deshalb sogar ein Quadrat P B C S 5 P B C E R 5 Q LWM 00 Runde Seite 6 von

7 Lösung Bei der Lösung der ufgabe wird verwendet: Im Koordinatensystem werden die Koordinaten des Mittelpunkts M einer Strecke B mit (x y ) und B (x B y B ) berechnet mittels x + x y + y M B B ie Länge der Strecke B wird durch nwendung des Satzes von Pythagoras berechnet mittels ( ) ( ) B x x + y y B B ie Figur wird so in ein Koordinatensystem übertragen, dass der Punkt im Ursprung und der Punkt B (und damit auch C) auf der x chse liegen ie Strecke B habe a, die Strecke BC habe b als Längenmaßzahl amit erhält man für die Koordinaten der Punkte: (0 0), B (a 0), C (a + b 0), (a b), E (a a) Für die Mittelpunkte erhält man: a b a a b b 0 P + 0, Q Q a+ b b, a a a b a b R + + R + a, S a a Für die Längen der Strecken PQ, PS, SR und QR ergibt sich: a+ b a b PQ a + b + b 0 +, a+ b b a PS a + a 0 +, a+ b a b SR a a + a +, a+ b b a QR a a + b + b + Es gilt somit: PQ PS SR QR as Viereck PQRS ist eine Raute Für die Länge der Strecke SQ ergibt sich: a b SQ a + b a + b a + Mit der Umkehrung des Satzes von Pythagoras folgt nun aus a b b a a b PQ + PS SQ Scheitel P ein rechter Winkel ist PQRS ist somit ein Quadrat y S a P B b C, dass der Innenwinkel der Raute PQRS mit dem E R Q x LWM 00 Runde Seite 7 von

8 ufgabe 5 In einem Quadrat mit der Seitenlänge a sind die Seitenmitten mit den gegenüberliegenden Eckpunkten verbunden adurch entsteht der gekennzeichnete Stern Wie groß ist sein Flächeninhalt in bhängigkeit von a? Lösung (Pythagoras / Ähnlichkeit) er Stern entsteht, indem man von einem Quadrat der Seitenlänge a acht reiecke wegschneidet us der Symmetrie der Figur zu den Mittelparallelen und den iagonalen des vorgegebenen Quadrates folgt, dass diese acht reiecke alle kongruent sind aher gilt für den Flächeninhalt des Sterns: S a 8 PG () a C, G CF und w(g) 90 w(cf) ist, ist nach sws das reieck G kongruent zum reieck FC aher gilt: w(g) w(fc) α Ferner folgt: w(p) w(g) w(fc) 90 α Wegen der Winkelsumme im reieck P folgt: w(p) 80 α (90 α) 90 amit ist auch w(gp) 90 (Nebenwinkel) ie beiden reiecke G und PG stimmen in den zwei Winkeln α und 90 überein und sind deshalb ähnlich α α P G C B F aher gilt: PG G G () G Nach dem Satz von Pythagoras ist a 5 G + G a + a Eingesetzt in () ergibt sich: 3 Mit () erhält man: S a 8 a a 0 5 a a PG G a a 5 a 0 5 LWM 00 Runde Seite 8 von

9 Lösung (Streifenschar) us dem Unterricht wird als bekannt vorausgesetzt: In einem reieck BC ist die Verbindungsstrecke der beiden Seitenmitten von C und BC parallel zur Seite B und halb so lang wie diese iese Verbindungsstrecken nennen wir Mittellinien des reiecks Für jeden Punkt P auf der Seite B gilt: ie Mittellinie halbiert die Strecke PC Mehrere parallele Geraden in gleichem bstand bilden eine sogenannte Streifenschar Jede Verbindungsstrecke von Punkten der äußeren Geraden wird durch die Streifenschar in gleich lange Teilstrecken geteilt Für den Flächeninhalt des reiecks PG gilt: ( ) C h a h, wobei a die Länge der Quadratseite und h der bstand des Punktes P von der Seite C ist ie Punkt E, F, G und H sind die Seitenmitten des gegebenen Quadrats In der folgenden Figur sind die Geraden (G) g und (EC) g parallel ie reiecke G, ECG, EG und EBC sind kongruent Bestimmung von h: g ist Mittellinie des reiecks G, g 3 ist Mittellinie des reiecks ECG, g 5 ist Mittellinie des reiecks EBC a g g ist, sind die fünf Geraden g, g, g 3, g und g 5 zueinander parallel ie Geraden g, g, g3 und g zerlegen die Strecken nach Konstruktion in vier gleich lange Teilstrecken Gleiches gilt für die Geraden g,g,g 3 undg5 bezüglich der Strecke B iese fünf Geraden bilden eine Streifenschar, welche die Strecke F in fünf gleich lange Teilstrecken teilt g g g g g 3 5 ie Geraden 5 sind die Parallelen zur Seite C durch die Teilungspunkte der Strecke F a diese Strecke in gleich lange Teilstrecken zerlegt ist, bilden auch die Geraden h, h, h 3, h und h eine Streifenschar, die ihrerseits die Strecke H in fünf gleich lange Teilstrecken Für die Höhe h des reiecks PG gilt somit: h a a 5 5 amit erhält man den Flächeninhalt des reiecks PG: ( ) ( ) a a a 5 0 us Symmetriegründen sind die acht reiecke, die den Stern zu einem Quadrat ergänzen, kongruent Für den Flächeninhalt S des Sterns gilt also: 8 a s a 5 3 H P G E C B F h5 h h 3 h h LWM 00 Runde Seite 9 von

10 ufgabe 6 0 Kugeln sind fortlaufend von bis 0 nummeriert Sie werden auf zwei Schalen und B verteilt ie Kugel mit der Nummer 0 liegt in Sie wird nun in Schale B gelegt adurch erhöht sich in beiden Schalen der Mittelwert der Kugelnummern um 0,5 Wie viele Kugeln sind anfangs in Schale gewesen? Lösung Zur Vereinfachung der Schreibweise wird die folgende Nummerierung gewählt: Es bezeichnet x 0 die Kugel mit der Nummer 0 ann liegen anfangs in Schale die n + Kugeln x 0, x,, x n Entsprechend sind die Kugeln in Schale B fortlaufend mit x n+, x n+,, x 00 bezeichnet ie urchschnittswerte m bzw m B aller Kugelnummern, die zu Beginn in bzw B liegen, lassen sich 0 + x+ + x damit wie folgt angeben: m n x bzw n x00 m + + B + n+ 00 n Es bezeichnen entsprechend M und M B die urchschnittswerte aller Kugelnummern, nachdem die Kugel mit der Nummer 0 von nach B gelegt worden ist x + + xn Es ist offenbar: M n und M B 0 + x + + x 0 n n+ 00 ie Mittelwerte M und M B genügen nun laut ngabe den Bedingungen () M m + 0,5 und () M B m B + 0,5 Mit den obigen arstellungen für m, m B, M und M B ergeben sich daraus die Gleichungen x + + x 0+ x + + x n n+ (I) n n + 0,5 und (II) 0 + xn+ + + x00 xn+ + + x00 + 0,5 0 n 00 n Nach geschickter Umstellung vereinfachen sich beide Gleichungen schrittweise zu x + x x + x 0 xn+ + + x00 xn+ + + x und (IIa) bzw n n+ n+ 00 n 0 n 0 n (Ia) n n (Ib) (Ic) x + + xn 6+ n n n n ( + ) ( + ) n + 6n x+ + xn und (IIc) x x x 59 + n n 00 und (IIb) ( 00 n )( 0 n ) ( 0 n ) n+ 00 bzw ( 59 + n)( 00 n) n n + + x 0 0 Nun ist x+ + xn + xn+ + + x 00 ( ) urch ddition der beiden letzten Gleichungen (Ic) und (IIc) ergibt sich die Gleichung n + 6n n n 5 + Nach Multiplikation beider Seiten mit und weiterer Vereinfachung erhalten wir schließlich 0 n +6n n n bzw 5 0n und damit n 7 Zu Beginn sind also 73 Kugeln in Schale gelegen LWM 00 Runde Seite 0 von

11 Lösung us der ngabe lässt sich folgendes entnehmen: SCHLE B VORHER: nzahl an Kugeln: a b wobei a + b 0 Summe der Kugelnummern: s s B wobei s + s B Mittelwert der Kugelnummern: m s mb a s B b NCHHER: nzahl an Kugeln: a - b + Summe der Kugelnummern: s - 0 s B + 0 Mittelwert der Kugelnummern: s 0 M a M B s B b BEINGUNG: () M m + 0,5 und () M B m B + 0,5 ies führt auf folgendes Gleichungssystem: (I) s 0 a s + 0,5 und (II) a 55 - s a s + 0,5 0- a urch Umformen erhält man: (Ia) a s 0a a s s + 0, 5a 0, 5a und (IIa) 59 0 s 59a + a s s 55a + a s + 575,5 50,75a + 0,5a bzw (Ib) s 39,75a + 0,5a und (IIb) s 3686,5 0,75a + 0, 5a Gleichsetzen von Gleichung (Ib) und (IIb) ergibt nach Vereinfachung: 50,5a 3686,5 a 73 nfangs waren also 73 Kugeln in Schale LWM 00 Runde Seite von