Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 1"

Transkript

1 1997 An jeder Kante eines Drahtwürfels wird ein Zettel mit einer der Zahlen +1 oder 1 angebracht. Danach werden für jede der acht Ecken die Zahlen an den drei Kanten multipliziert, die zu dieser Ecke gehören. Die acht Produkte werden addiert. Begründe: Die Summe der acht Produkte kann nur fünf Werte annehmen. In der Figur ist M der Mittelpunkt des Halbkreises und P der Mittelpunkt der Strecke MQ. Bestimme a. Q P α In einem Viereck, bei dem alle Winkel kleiner als 180 sind, werden die vier Seiten in je drei gleich lange Stücke geteilt. Die acht Teilungspunkte bilden ein Achteck. Welchen Anteil vom Flächeninhalt des Vierecks nimmt der Flächeninhalt des Achtecks ein? M Starte mit einer natürlichen Zahl, verdopple sie und addiere 1. Verdopple anschließend diese neue Zahl um addiere wieder 1. Setze dieses Verfahren fort. Wie viele Quadratzahlen kann eine solche Zahlenfolge enthalten? D C In einer Raute ABCD sind die Winkelvierteilenden der Innenwinkel eingezeichnet. Diese schneiden sich, wie in der Abbildung gezeigt, in den Punkten S, T, U und V. Von welcher Art ist das Viereck STUV? V U T Gegeben ist eine natürliche Zahl n > 0 und das Dreieck ABC mit A(0/0), B(2n/0) und C(n/n). x y Wie viele Punkte mit den Koordinaten / (x, y natürliche Zahlen) liegen innerhalb des Dreiecks n n ABC? A S B Aufgaben Seite 1 von 19

2 1997 Runde 2 Zwei Kreise und k mit gleichem Radius schneiden sich in den Punkten A und B. Der Kreis um A k1 2 k 1 durch B schneidet zum zweiten Mal in einem Punkt C. Zeige, dass die Gerade (BC) Tangente an den Kreis k 2 ist. Zwei natürliche Zahlen a und b (a, b > 0) haben die gleiche Anzahl von Stellen. Zeige: 10a b 2 < 101a b Vielecke können in spitzwinklige Dreiecke zerlegt werden. So ist beispielsweise bekannt, dass sich jedes spitzwinklige Dreieck in vier und jedes nichtspitzwinklige Dreieck in sieben spitzwinklige Dreiecke zerlegen lässt (Bild links und Mitte). Ein Quadrat lässt sich in neun spitzwinklige Dreiecke zerlegen (Abbildung rechts). eine Zerlegung des Quadrats in n spitzwinklige Drei- Begründe, dass es für alle natürlichen Zahlen n 8 ecke gibt. Beweise: Eine natürliche Zahl n ( 1) n > ist genau dann keine Primzahl, wenn es vier natürliche Zahlen a, b, c, d > 0 gibt, so dass n = a + b + c + d mit a b = c d gilt. Aufgaben Seite 2 von 19

3 1998 Helena möchte für Weihnachten Strohsterne aus gleich langen Strohhalmen basteln. Dazu will sie zunächst Elemente aus fünf gleich langen Strohhalmen wie in der Skizze anfertigen und diese um den Punkt M herum Seite an Seite aneinanderkleben. Begründe, dass Helena auf diese Weise einen Strohstern basteln kann. M In ein Quadrat mit 100 Feldern werden die Zahlen 1 bis 100 der Reihe nach von links nach rechts, zeilenweise von oben nach unten eingetragen. Danach wird bei 50 Zahlen ein Minuszeichen so davor gesetzt, dass in jeder Zeile und in jeder Spalte jeweils fünf positive und fünf negative Zahlen stehen. Diese 100 Zahlen werden addiert. Welches ist die kleinste Summe, die man bei diesem Verfahren erhalten kann? Die Eckpunkte eines Dreiecks liegen auf den Seiten eines Quadrats. Welches ist der größtmögliche Flächeninhalt, den ein solches Dreieck haben kann? Das Produkt aller Teiler einer natürlichen Zahl n > 1 ist n 3. Wie viele Primfaktoren kann n haben und wie oft kann jeder Primfaktor vorkommen? Bei welchen Dreiecken liegen die Mittelpunkte der drei Höhen auf einer Geraden? Beginnend mit einer natürlichen Zahl werden fortlaufend neue Zahlen dadurch gebildet, dass die Einerziffer abgetrennt und dann deren Vierfaches zur verbleibenden Zahl addiert wird. Beispiel: ( = ) 9 ( = ) 36 ( = )... Zeige: Wenn in einer solchen Zahlenfolge die Zahl 1001 vorkommt, dann gibt es in ihr keine Primzahl. Aufgaben Seite 3 von 19

4 1998 Runde 2 Beweise: Das Quadrat einer Primzahl lässt sich nicht als Summe der Quadrate von drei Primzahlen darstellen. Ein 60 -Winkel hat die Schenkel g und h. Wir betrachten alle gleichseitigen Dreiecke, bei denen ein Eckpunkt auf g und ein Eckpunkt auf h liegen. Welche Punkte können dritte Eckpunkte solcher gleichseitigen Dreiecke sein? Anfang Januar 1999 wurde eine geheimnisvolle Inschrift entdeckt, die offensichtlich von Außerirdischen bei einem Besuch auf der Erde hinterlassen wurde. Sie konnte entschlüsselt werden: "Wir landen am letzten Tag des Jahres n wieder auf der Erde. Die Zahl n ist das Produkt zweier natürlicher Zahlen. Das Produkt aus der Summe dieser beiden Zahlen und der Anzahl der Tage des Monats unserer Rückkehr ist um 3 größer als das Doppelte von n." Wann ist mit der Rückkehr der Außerirdischen zu rechnen? Von einem Fünfeck sind nur die fünf Seitenmittelpunkte gegeben. Konstruiere dieses Fünfeck und begründe die Konstruktion. Aufgaben Seite 4 von 19

5 1999 In einem regelmäßigen Sechseck werden wie abgebildet Diagonalen eingezeichnet. Dadurch entsteht ein kleines Sechseck. Welchen Anteil an der Gesamtfläche hat das kleine Sechseck? Mehrere Reihen aus roten, gelben bzw. blauen Spielsteinen sind in Form eines Dreiecks gelegt. Die nebenstehende Anordnung erfüllt die ersten drei der vier folgenden Bedingungen: 1. Oben liegt ein Spielstein; in der nächsten Reihe liegen zwei Steine, darunter drei usw. 2. Alle Spielsteine einer Reihe haben die gleiche Farbe. 3. In benachbarten Reihen sind die Farben verschieden. 4. Von jeder Farbe sind gleich viele Spielsteine vorhanden. Wie viele Reihen hat eine solche Anordnung mindestens, wenn sie alle vier Bedingungen erfüllt? Drei Kreise mit gleichem Radius und den Mittelpunkten M1, M 2 und M 3 schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt P. Außerdem schneiden sich jeweils zwei Kreise in den Punkten A, B und C. Begründe, weshalb die beiden Dreiecke M M 1 2M 3 und ABC kongruent sind. Gesucht sind mindestens vier aufeinander folgende ganze Zahlen, so dass die Summe der drei größten Zahlen gleich der Summe der restlichen Zahlen ist. Bestimme alle Möglichkeiten. Die beiden Strecken zerlegen das gleichseitige Dreieck so, dass die schraffierten Teile flächengleich sind. Wie groß ist der Schnittwinkel zwischen diesen beiden Strecken? Gibt es unter den Zahlen 19, 199, 1999, 19999,... unendlich viele, die keine Primzahlen sind? Aufgaben Seite 5 von 19

6 1999 Runde 2 Ein Würfel wird durch je einen Schnitt parallel zur Vorder-, Seiten und Deckfläche in acht Quader zerlegt. (siehe Skizze). Können sich die Rauminhalte dieser Quader wie 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 7 : 8 verhalten? Einem rechtwinkligen Dreieck wird auf zwei Arten ein Quadrat einbeschrieben. Beweise: Das Quadrat, bei dem zwei Seiten auf den Katheten liegen, hat immer einen größeren Flächeninhalt als das Quadrat, bei dem eine Seite auf der Hypotenuse liegt. Beginnend mit einer geraden Zahl a ( a 1 > 2) wird durch die Vorschrift a = a 1 von Zahlen definiert. Zeige, dass a n 1 durch mindestens n verschiedene Primzahlen teilbar ist. 2 n+ 1 n ( ) n eine Folge Gegeben sind zwei Primzahlen p und q mit p < q. Bestimme für x,y und x y alle Lösungspaare (x / y) der Gleichung 1 x =. y p q Aufgaben Seite 6 von 19

7 2000 In fünf Schalen liegen jeweils drei Kugeln. Anna und Bernd ziehen abwechselnd. Bei einem Zug müssen aus einer Schale eine, zwei oder drei Kugeln entnommen werden. Wer die letzte Kugel wegnimmt, gewinnt. Wenn Anna anfängt, gewinnt sie immer. Wie erklärst du das? Mit gleich großen schwarzen und weißen quadratischen Platten soll ein rechteckiges Muster gelegt werden. Die Platten am Rand sowie zusätzlich eine waagerechte und eine senkrechte Reihe sollen schwarz sein, alle übrigen Platten sind weiß (siehe Abbildung). Aus wie vielen Platten kann ein solches Muster bestehen, wenn gleich viele schwarze und weiße Platten verwendet werden sollen? Das Innere eines Vierecks ABCD wird durch die Diagonalen in vier Teildreiecke zerlegt. Die Umkreismittelpunkte dieser Teildreiecke bilden das Viereck STUV. Welche Eigenschaften muss das Viereck ABCD haben, damit das Viereck STUV ein Quadrat ist? Setzt man vor eine beliebige natürliche Zahl ihr Achtfaches, ergibt sich eine neue Zahl. So entsteht beispielsweise aus 12 die Zahl Gibt es unter den so gebildeten Zahlen unendlich viele Quadratzahlen? Aus den drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks mit dem Flächeninhalt A kann ein neues Dreieck konstruiert werden. Zeige, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks 3 A 4 ist. Bestimme alle natürlichen Zahlen k, m und n, welche die Gleichung 2 k + 2 m = n! erfüllen. Dabei bedeutet n! = (n 1) n. Aufgaben Seite 7 von 19

8 2000 Runde 2 Auf einer Tafel stehen 40 positive, ganze Zahlen in acht Zeilen und fünf Spalten angeordnet. Die Zahlen dürfen nur auf folgende zwei Arten abgeändert werden: (Z) Alle Zahlen einer Zeile werden verdoppelt. (S) Alle Zahlen einer Spalte werden um 1 vermindert. Kann man so erreichen, dass 40-mal die Zahl Null auf der Tafel steht? In einem Dreieck ABC wird durch den Mittelpunkt M der Seite AB die Senkrechte zur Winkelhalbierenden w γ gezeichnet. Sie schneidet die Gerade AC im Punkt X und die Gerade BC im Punkt Y. Beweise: AX = BY. Eine Azteken-Pyramide hat die Form eines Pyramidenstumpfes mit quadratischer Grund- und Deckfläche. Die Grundfläche besitzt eine Kantenlänge von 81 m, die Deckfläche eine Kantenlänge von 16 m. Die Seitenkanten sind 65 m lang. Eine Außentreppe für Touristen führt zur Deckfläche des Pyramidenstumpfs. Sie beginnt an einer Ecke der Grundfläche und überquert jede Seitenfläche genau einmal, bevor sie an einer Ecke der Deckfläche endet. Dabei ist ihre Steigung überall gleich. Welche Entfernungen haben die Punkte, an denen die Treppe die Kanten trifft, von den zugehörigen Eckpunkten der Grundfläche? Zeige: Eine Primzahl p ist genau dann die Differenz von zwei dritten Potenzen ganzer Zahlen, wenn p 1 p = 2 ist oder wenn als Summe n ( n ) geschrieben werden kann. 6 Aufgaben Seite 8 von 19

9 2001 Yannick besitzt gleichseitige Dreiecke, Quadrate sowie regelmäßige Sechs- und Achtecke, die alle dieselbe Seitenlänge haben. Er legt damit ohne Lücken und Überlappungen regelmäßige Muster. Dabei treffen Ecken immer auf Ecken und an jeder Ecke dürfen zwar verschiedenartige Vielecke zusammentreffen, aber sie müssen an allen Ecken in jeweils gleicher Reihenfolge angeordnet sein. Finde alle möglichen Muster und zeige, dass es keine weiteren gibt. Die Felder eines Schachbretts sind in beliebiger Reihenfolge mit den Zahlen 1 bis 64 belegt. Man darf zwei Felder auswählen und bildet die Summe und das Produkt ihrer Zahlen. Danach wird die Zahl des einen Feldes durch die Einerziffer dieser Summe und die Zahl des anderen Feldes durch die Einerziffer dieses Produktes ersetzt. Kann man durch mehrfache Anwendung dieses Verfahrens erreichen, dass das Schachbrett mit lauter gleichen Zahlen belegt ist? In einem Dreieck ABC werden die Winkelhalbierenden von α und β, sowie die Winkelhalbierenden der Außenwinkel von α und β gezeichnet. Von C aus werden die Lote auf diese vier Winkelhalbierenden gefällt. Zeige, dass die vier Lotfußpunkte auf einer Parallelen zu AB liegen. Eine natürliche Zahl soll aufteilbar heißen, wenn die Summe einiger Ziffern dieser Zahl gleich der Summe ihrer restlichen Ziffern ist. Beispielsweise sind die Zahlen und 2851 aufteilbar, weil = bzw = 8 gilt. Weise nach, dass es zwei, aber nicht drei aufeinanderfolgende Zahlen gibt, die aufteilbar sind. Auf dem Durchmesser AB eines Halbkreises wird ein beliebiger Punkt P (P A, P B) gewählt. Von P aus werden zwei Halbgeraden gezeichnet, so dass bei P drei Winkel der Weite 60 entstehen (siehe Skizze). Diese Halbgeraden schneiden den Halbkreis in den Punkten C und D. Wie lang ist die Strecke CD? D C A P B Drei natürliche Zahlen a, b und c mit a < b < c werden Jahrtausendtrio genannt, wenn die größte und die kleinste Zahl die Differenz 2001 haben und die Summe von je zwei der drei Zahlen eine Quadratzahl ist. Wie viele Jahrtausendtrios gibt es? Aufgaben Seite 9 von 19

10 2001 Runde 2 In einem Viereck ABCD sind die Seiten AB, BC und CD gleich lang. Die Seite DA hat die gleiche Länge wie die Diagonale DB. Diese Diagonale halbiert den Winkel ADC. Wie groß können die Innenwinkel eines solchen Vierecks sein? Zeige: Ist eine Zahl n die Summe zweier verschiedener positiver Quadratzahlen, so hat auch jede k Potenz k,k> 0 diese Eigenschaft. n ( ) Gegeben sind drei verschiedene Punkte M, P und Q, die nicht auf einer Geraden liegen. Es soll ein Quadrat mit dem Mittelpunkt M konstruiert werden, so dass P und Q auf zwei benachbarten Seiten des Quadrats oder deren Verlängerungen liegen. Wie viele verschiedene Quadrate gibt es in Abhängigkeit von der gegenseitigen Lage der Punkte M, P und Q? Für natürliche Zahlen werden die beiden folgenden Operationen definiert: (A) An die Zahl kann eine der Ziffern 0, 4 oder 8 angehängt werden. (B) Die Zahl kann halbiert werden, wenn sie gerade ist. Zeige, dass von 4 ausgehend jede positive natürliche Zahl durch eine endliche Anzahl dieser Operationen erreicht werden kann. Zum Beispiel kann die Zahl 51 erreicht werden durch: ( A) ( B) ( A) ( B) ( B) Aufgaben Seite 10 von 19

11 2002 Schreibe jede der Zahlen 1, 2, 3,, 15 auf je eine Karteikarte. Lege diese Karten so in eine Reihe, dass die Summe der Zahlen auf zwei benachbarten Karten immer eine Quadratzahl ist. Wie viele solcher Anordnungen sind möglich? M' In der nebenstehenden Figur sind M und M' die Kreismittelpunkte. Die beiden Winkel CAD und MM'B haben das gleiche Winkelmaß ϕ. D ϕ Bestimme ϕ. ϕ C Die Grundfläche eines Prismas ist ein regelmäßiges n-eck. Addiert man die Anzahl der Flächen- und Raumdiagonalen, so erhält man das Hundertfache der Anzahl der Kanten. Bestimme n. A M B E Zwei gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke unterschiedlicher Größe werden wie im Bild gezeigt aneinander gelegt. Die Punkte P, Q, R und S sind die Mittelpunkte der Strecken AC, CD, DE und EA. Weise nach, dass das Viereck PQRS ein Quadrat ist. R S D Q A P B C In einem Quadrat mit der Seitenlänge a sind die Seitenmitten mit den gegenüber liegenden Eckpunkten verbunden. Dadurch entsteht der gekennzeichnete Stern. Wie groß ist sein Flächeninhalt in Abhängigkeit von a? 101 Kugeln sind fortlaufend von 1 bis 101 nummeriert. Sie werden auf zwei Schalen A und B verteilt. Die Kugel mit der Nummer 40 liegt in A. Sie wird nun in Schale B gelegt. Dadurch erhöht sich in beiden Schalen der Mittelwert der Kugelnummern um 0,25. Wie viele Kugeln sind anfangs in Schale A gewesen? Aufgaben Seite 11 von 19

12 2002 Runde 2 Welche natürlichen Zahlen lassen sich nicht als Summe aufeinander folgender natürlicher Zahlen schreiben? In einer Ebene sind drei verschiedene Geraden, die nicht alle parallel sind, und eine Strecke der Länge s gegeben. Welche Kreise schneiden auf jeder der drei Geraden eine Strecke der Länge s aus? Eine Folge natürlicher Zahlen beginnt mit einer zweistelligen Zahl. Sie wird nach folgender Vorschrift fortgesetzt: Man subtrahiert eine einstellige natürliche Zahl ungleich 0 und setzt diese vor die Differenz, usw. Beispiel: 17 5 = 12, die nächste Zahl heißt 512; = 504, die dritte Zahl heißt 8504; usw. Für welche Startzahlen kann in einer solchen Folge eine neunstellige Zahl mit lauter verschiedenen Ziffern ungleich 0 vorkommen? In einem Dreieck ABC gilt für das Verhältnis der Seitenlängen a : b : c = 3 : 4 : 5. Zeige, dass der Punkt B, der Umkreismittelpunkt U und der Inkreismittelpunkt I ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Aufgaben Seite 12 von 19

13 2003 Florian schreibt unter die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dieselben Zahlen nochmals in irgend einer anderen Reihenfolge. Nun subtrahiert er jeweils die untenstehenden Zahlen von den darüber stehenden und multipliziert die neun entstandenen Differenzen miteinander. Florian behauptet, dass dieses Produkt immer gerade ist. Hat er recht? Die Geraden g und h sind parallel. Wie verändert sich γ, wenn α um ε vergrößert wird? Bestimme alle natürlichen Zahlen a, b, c mit a b c, für die gilt: = 1. a b c h g A α β B β C γ γ D α + ε < 180 Die Eckpunkte A und B eines Geodreiecks gleiten entlang zweier benachbarter Kanten eines rechteckigen Blatt Papiers (siehe Abbildung). Welche Bahn beschreibt dabei die Ecke C des Geodreiecks? A C In der Zeichenebene ist ein Kreis k mit einem Durchmesser AB vorgegeben. Ein beliebiger Punkt P wird in der Ebene so gewählt, dass er nicht auf k und nicht auf der Geraden (AB) liegt. Kann man nur mit einem Lineal das Lot von P auf (AB) konstruieren? B Für welche natürlichen Zahlen n ist n ein Teiler von n? Aufgaben Seite 13 von 19

14 2003 Runde 2 Die Seite AB eines Dreiecks ABC wird über B hinaus bis zum Punkt D so verlängert, dass AD n AB n n> 1. Die Gerade durch D und den Mittelpunkt M von BC schneidet AC = gilt ( ) im Punkt E. In welchem Verhältnis teilt E die Strecke AC? Auf einem Platz soll aus lauter gleichen Würfeln ein Denkmal gebaut werden. Es ist ein massiver quaderförmiger Block geplant, der auf seiner quadratischen Grundfläche steht. Die Anzahl der Würfel, die der Luft ausgesetzt sind, ist halb so groß wie die Anzahl aller Würfel. Aus wie vielen Würfeln kann das Denkmal bestehen? Von einem Viereck ABCD ist bekannt, dass es sowohl einen Inkreis als auch einen Umkreis besitzt. Wie kann man aus den drei Eckpunkten A, B und C eines solchen Vierecks das vollständige Viereck konstruieren? Das Produkt der ersten n Primzahlen geschrieben. Die auf p n p n folgende nächst größere Primzahl sei p n + 1. wird als Produkt von zwei natürlichen Zahlen a und b Zeige: Wenn a + b kleiner als 2 p n + 1 ist, so ist a + b eine Primzahl. Aufgaben Seite 14 von 19

15 2004 Die Billardkugeln mit den Nummern 1, 2, 3, 4, 5, 6 werden wie in der Abbildung zusammengelegt. Zunächst addiert man die Nummern von je drei sich berührenden Kugeln. Danach werden die entstandenen Summen addiert. Zeige, dass das Ergebnis für jede Kugelverteilung in dieser Form ungerade ist. Ein gleichseitiges Dreieck soll mit Trapezen lückenlos und ohne Überdeckung ausgelegt werden. Jedes Trapez hat die Seitenlängen 1 cm, 1 cm, 1 cm, 2 cm. Welche Seitenlängen sind für das Dreieck möglich? Gegeben ist ein spitzwinkliges Dreieck ABC. Konstruiere einen Punkt P im Inneren der Strecke AC und einen Punkt Q auf der Geraden (BC) so, dass gilt: AP = PQ = QC. Von einer n-stelligen Zahl wird die Einerziffer weggelassen. Von der entstandenen Zahl wird wiederum die Einerziffer weggelassen. Das Verfahren wird fortgeführt, bis eine einstellige Zahl erreicht ist. Dabei entstehen n-1 neue Zahlen. Das Neunfache ihrer Summe wird von der ursprünglichen Zahl subtrahiert. Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem entstehenden Differenzwert und der ursprünglichen Zahl? Lässt sich jede positive ganze Zahl in der Form (a² + b²) (c² + d²) darstellen, wobei a, b, c und d ebenfalls positive ganze Zahlen sind? In einem Dreieck ABC schneidet der Thaleskreis über der Strecke AB die Gerade (AC) in A und Q und die Gerade (BC) in B und P. Welche Bedingung müssen die Innenwinkel des Dreiecks ABC erfüllen, damit sein Flächeninhalt viermal so groß ist wie der Inhalt des Dreiecks QPC? Aufgaben Seite 15 von 19

16 2004 Runde 2 Die zwölf natürlichen Zahlen 1, 2,..., 11, n (n > 11) werden an die Kanten eines Oktaeders geschrieben. An jede Ecke schreibt man die Summe der vier Zahlen, die an den dort stehenden Kanten stehen. Für welche Werte von n kann man an allen Ecken denselben Summenwert erhalten? Auf der Seite AB eines Dreiecks ABC liegt ein von A und B verschiedener Punkt P. Zwei Geraden durch P zerlegen die Dreiecksfläche in drei Teile. Konstruiere die Geraden so, dass die drei Flächenstücke den gleichen Inhalt haben. Die drei gekennzeichneten Winkel sind jeweils 45 -Winkel. Bestimme den Anteil der markierten Fläche an der Kreisfläche. Welche Stammbrüche lassen sich auf genau eine Weise als arithmetisches Mittel von zwei verschiedenen Stammbrüchen darstellen? Bemerkung: Ein Stammbruch ist ein Bruch mit dem Zähler 1 und einer natürlichen Zahl als Nenner. Aufgaben Seite 16 von 19

17 2005 Ein Stück Papier wird in 7 oder 10 Stücke zerschnitten. Nun wird eines der vorhandenen Stücke wieder wahlweise in 7 oder 10 Stücke zerschnitten; dieser Vorgang wird mehrmals wiederholt. Kann man auf diese Weise 2006 Papierstücke erhalten? Wie kann man α berechnen, wenn γ gegeben ist? A B? Ein Quader mit quadratischer Grundfläche ist aus Würfeln der Kantenlänge 1 cm aufgebaut. Die Anzahl dieser Würfel ist so groß, wie die Anzahl der außen liegenden Würfelflächen. Welche Kantenlängen kann der Quader haben?? M Die Punkte P, Q, R, S sind die Seitenmittelpunkte eines Parallelogramms. S Q Bestimme den Anteil der markierten Fläche an der Gesamtfläche des Parallelogramms. Von vier verschiedenen Primzahlen, die alle größer als 5 sind, unterscheiden sich die größte und die kleinste um weniger als 10. Zeige, dass die Summe dieser vier Primzahlen durch 60 teilbar ist. P R Die Geraden a und b sind parallele Tangenten an einen Kreis mit Mittelpunkt M. Der Punkt A liegt auf der Tangente a, der Punkt B auf der Tangente b. Beweise: Die Gerade (AB) ist genau dann Tangente an den Kreis, wenn AM senkrecht zu BM ist. B M b A a Aufgaben Seite 17 von 19

18 2005 Runde 2 Eine natürliche Zahl besteht aus paarweise verschiedenen Ziffern, von denen keine Null ist. Streicht man in dieser Zahl eine beliebige Ziffer k, so ist die neu entstandene Zahl durch k teilbar. Bestimme die größte Zahl mit dieser Eigenschaft. In den Mittelpunkten der Seiten eines Dreiecks ABC werden die Lote auf die Seiten nach außen errichtet. Diese schneiden den Umkreis des Dreiecks ABC in den Punkten A *, B * und C *. Zeige, dass der Höhenschnittpunkt des Dreiecks A * B * C * zugleich der Inkreismittelpunkt des Dreiecks ABC ist. Nach folgendem Verfahren werden Zahlenketten gebildet: (V1) Die erste Zahl ist eine natürliche Zahl größer als 1. (V2) Ist eine Zahl gerade, so ist die nächste Zahl halb so groß. (V3) Ist eine Zahl ungerade und größer als 1, so ist die nächste Zahl um 1 kleiner. (V4) Die Kette endet mit dem Erreichen der Zahl 1. (Beispiele: 20 / 10 / 5 / 4 / 2 / 1 oder 19 / 18 / 9 / 8 / 4 / 2 / 1) Bestimme zu gegebenem n > 1 die größte und die kleinste Anfangszahl, die zu einer Kette mit n Gliedern führt. Auf einem Kreis liegen die Punkte A, B und C mit BAC < 90 Es gibt Kreispunkte P, für die der Thaleskreis über AP die von A ausgehenden Halbgeraden durch B bzw. C in A und in je einem weiteren Punkt schneidet. Diese Schnittpunkte werden mit S bzw. T bezeichnet. Für welchen dieser Kreispunkte P hat die Strecke ST maximale Länge? o. Aufgaben Seite 18 von 19

19 2006 Die Ziffern von 1 bis 5 sollen so in einer Reihe angeordnet werden, dass jedes Paar benachbarter Ziffern eine Zahl ergibt, die ein Produkt zweier einstelliger Zahlen ist. Bestimme alle möglichen Anordnungen. Zum Beispiel ist keine mögliche Anordnung. Es gilt zwar 32 = 4 8 und 25 = 5 5, aber 43 und 51 lassen sich nicht als Produkt von zwei einstelligen Zahlen schreiben. Heinz addiert die Größen der Innenwinkel eines ebenen Vielecks und erhält den Wert Er hat dabei einen Winkel übersehen. Wie groß kann dieser fehlende Winkel sein? ohne Rest tei- Für welche natürlichen Zahlen n gibt es genau zwei verschiedene Primzahlen, die len? 3 n n D Gegeben ist ein Kreis mit zwei gleich langen Sehnen AB und CD. P ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der Sehnenmittelpunkte. Die Sehne CD gleitet am Kreis, die Sehne AB bleibt fest. Welche Bahn beschreibt dabei P? C P Zocker-Detlef besucht ein Spielcasino. Er setzt bei jedem Spiel den gleichen Anteil des Geldes, das er im Moment hat. Gewinnt er, dann erhält er seinen Einsatz zurück und zusätzlich den gleichen Betrag noch einmal. Verliert er, so hat er seinen Einsatz verspielt. Als Zocker-Detlef wieder aus dem Spielcasino kommt, hat er gleich viele Spiele gewonnen wie verloren. Über die Reihenfolge von Gewinn und Verlust ist nichts bekannt. Hat er insgesamt Gewinn oder Verlust gemacht? A B Drei Kreisbögen bilden ein Dreibogeneck ABC, wenn sie auf Kreisen liegen, die sich in den Punkten A, B bzw. C berühren. Dabei sind nur Kreisbögen zugelassen, die in der Zeichenebene liegen und deren Mittelpunktswinkel kleiner als 180 sind. Gegeben sind nun die Eckpunkte A, B und C eines Dreiecks, das nicht rechtwinklig ist. Konstruiere das zugehörige Dreibogeneck ABC. C A B Aufgaben Seite 19 von 19

Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 1

Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 1 2006 Runde 1 Aufgabe 1 Die Ziffern von 1 bis 5 sollen so in einer Reihe angeordnet werden, dass jedes Paar benachbarter Ziffern eine Zahl ergibt, die ein Produkt zweier einstelliger Zahlen ist. Bestimme

Mehr

Landeswettbewerb Mathematik Bayern Lösungsbeispiele 1. Runde 2006

Landeswettbewerb Mathematik Bayern Lösungsbeispiele 1. Runde 2006 Landeswettbewerb Mathematik Bayern Lösungsbeispiele 1. Runde 2006 Aufgabe 1 Die Ziffern von 1 bis 5 sollen so in einer Reihe angeordnet werden, dass jedes Paar benachbarter Ziffern eine Zahl ergibt, die

Mehr

Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 1

Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 1 1987 Runde 1 In der Figur sind die drei herausgehobenen Punkte die Mittelpunkte der Kreisbögen. Bestimme durch geometrische Überlegungen die Größe des Winkels α, der von den beiden sich schneidenden Strecken

Mehr

Aufgaben des MSG-Zirkels 8b Schuljahr 2005/2006. Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev. Geometrie

Aufgaben des MSG-Zirkels 8b Schuljahr 2005/2006. Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev. Geometrie Aufgaben des MSG-Zirkels 8b Schuljahr 2005/2006 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin Geometrie Aufgabe G.1 Berechne die Innenwinkelsumme eines n-ecks. Aufgabe G.2 Zeige, dass

Mehr

Konstruktionen am Dreieck

Konstruktionen am Dreieck Winkelhalbierende Die Winkelhalbierende halbiert den jeweiligen Innenwinkel des Dreiecks. Sie agieren als Symmetrieachse. Dadurch ist jeder Punkt der Winkelhalbierenden gleich weit von den beiden Schenkeln

Mehr

Aufgaben Klassenstufe 5

Aufgaben Klassenstufe 5 Aufgaben Klassenstufe 5 Oma Streifstrumpf strickt für Peppi neue Socken. Peppi hat drei Lieblingsfarben und zwar rot, gelb und blau, die alle in den drei Streifen vorkommen sollen. a) Die Oma hat Wolle

Mehr

Tag der Mathematik 2007

Tag der Mathematik 2007 Tag der Mathematik 2007 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Speed-Wettbewerb Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden. Taschenrechner sind

Mehr

Sekundarschulabschluss für Erwachsene

Sekundarschulabschluss für Erwachsene SAE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie A 2011 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: Nichtprogrammierbarer Taschenrechner und Geometriewerkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60

Mehr

Übungen. Löse folgende Aufgaben mit GeoGebra

Übungen. Löse folgende Aufgaben mit GeoGebra Übungen Löse folgende Aufgaben mit GeoGebra A1 Die Fachbegriffe in den Kästchen sollen den untenstehenden Aussagen bezüglich eines Dreiecks ABC zugeordnet werden. Du darfst die Kärtchen mehrfach verwenden

Mehr

Beispiel einer Zerlegung in vier Schritten (Zerlegungszahl n = 51)

Beispiel einer Zerlegung in vier Schritten (Zerlegungszahl n = 51) Fachbereich Mathematik Tag der Mathematik 9. November 2013 Klassenstufen 9, 10 Beispiel einer Zerlegung in vier Schritten (Zerlegungszahl n = 51) Aufgabe 1 (6+4+4+3+3 Punkte). In dieser Aufgabe geht es

Mehr

Das Prisma ==================================================================

Das Prisma ================================================================== Das Prisma ================================================================== Wird ein Körper von n Rechtecken und zwei kongruenten und senkrecht übereinander liegenden n-ecken begrenzt, dann heißt der

Mehr

Figuren Lösungen. 1) Welche Art Dreieck hat die beschriebene Eigenschaft? Ordne die Eigenschaften den Dreiecken zu. Alle Winkel betragen 60.

Figuren Lösungen. 1) Welche Art Dreieck hat die beschriebene Eigenschaft? Ordne die Eigenschaften den Dreiecken zu. Alle Winkel betragen 60. 1) Welche Art Dreieck hat die beschriebene Eigenschaft? Ordne die Eigenschaften den Dreiecken zu. Alle Winkel betragen 60. Es gibt drei Symmetrieachsen. Gleichseitiges Dreieck Zwei Seiten stehen normal.

Mehr

Zum Einstieg. Mittelsenkrechte

Zum Einstieg. Mittelsenkrechte Zum Einstieg Mittelsenkrechte 1. Zeichne einen Kreis um A mit einem Radius r, der größer ist, als die Länge der halben Strecke AB. 2. Zeichne einen Kreis um B mit dem gleichen Radius. 3. Die Gerade durch

Mehr

Viereck und Kreis Gibt es da etwas Besonderes zu entdecken?

Viereck und Kreis Gibt es da etwas Besonderes zu entdecken? Bekanntlich besitzt ein Dreieck einen Umkreis, dessen Mittelpunkt man konstruieren kann. 1) Zeichne in dein Heft ein beliebiges Dreieck und konstruiere den Außenkreis des Dreieckes nur mit Zirkel und Lineal.

Mehr

Tag der Mathematik 2006

Tag der Mathematik 2006 Tag der Mathematik 2006 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mathematische Hürden Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden. Taschenrechner

Mehr

13. Landeswettbewerb Mathematik Bayern Lösungsbeispiele 1. Runde 2010/2011

13. Landeswettbewerb Mathematik Bayern Lösungsbeispiele 1. Runde 2010/2011 13. Landeswettbewerb Mathematik Bayern Lösungsbeispiele 1. Runde 20/2011 Aufgabe 1 Sonja hat neun Karten, auf denen die neun kleinsten zweistelligen Primzahlen stehen. Sie will diese Karten so in eine

Mehr

Figuren. Figuren. Kompetenztest. Name: Klasse: Datum:

Figuren. Figuren. Kompetenztest. Name: Klasse: Datum: Testen und Fördern Name: Klasse: Datum: 1) Welche Art Dreieck hat die beschriebene Eigenschaft? Ordne die Eigenschaften den Dreiecken zu. Alle Winkel betragen 60. Es gibt drei Symmetrieachsen. Gleichseitiges

Mehr

Aufgaben Geometrie Lager

Aufgaben Geometrie Lager Schweizer Mathematik-Olympiade Aufgaben Geometrie Lager Aktualisiert: 26. Juni 2014 Starter 1. Zwei Städte A und B liegen auf verschiedenen Seiten eines Flusses. An welcher Stelle muss eine Brücke rechtwinklig

Mehr

Themenbereich: Besondere Dreiecke Seite 1 von 6

Themenbereich: Besondere Dreiecke Seite 1 von 6 Themenbereich: Besondere Dreiecke Seite 1 von 6 Lernziele: - Kenntnis der Bezeichnungen für besondere Dreiecke - Kenntnis der Seiten- und Winkelbezeichnungen bei besonderen Dreiecken - Kenntnis der Eigenschaften

Mehr

Passerelle Mathematik Frühling 2005 bis Herbst 2006

Passerelle Mathematik Frühling 2005 bis Herbst 2006 Passerelle Mathematik Frühling 2005 bis Herbst 2006 www.mathenachhilfe.ch info@mathenachhilfe.ch 079 703 72 08 Inhaltsverzeichnis 1 Algebra 3 1.1 Termumformungen..................................... 3

Mehr

Sekundarschulabschluss für Erwachsene. Geometrie A b) Strecken Sie das Dreieck ABC (Streckfaktor: -1/ Streckzentrum Z) (3 Punkte)

Sekundarschulabschluss für Erwachsene. Geometrie A b) Strecken Sie das Dreieck ABC (Streckfaktor: -1/ Streckzentrum Z) (3 Punkte) SAE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie A 2013 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: Nichtprogrammierbarer Taschenrechner und Geometriewerkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60

Mehr

20. Essener Mathematikwettbewerb 2004/2005

20. Essener Mathematikwettbewerb 2004/2005 0 Essener Mathematikwettbewerb 004/005 als zweite Runde der 44 Deutschen Mathematikolympiade Klasse 5 1 Aufgabe Die Familien Berger, Frärich, Köhler, Mikuscheit, Richter und Schulte wohnen in einer Sackgasse

Mehr

B) Konstruktion des geometrischen Mittels und geometrisches Wurzelziehen :

B) Konstruktion des geometrischen Mittels und geometrisches Wurzelziehen : Seite I Einige interessante elementargeometrische Konstruktionen Ausgehend von einigen bekannten Sätzen aus der Elementargeometrie lassen sich einige hübsche Konstruktionen herleiten, die im folgenden

Mehr

Vierecke. 7.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 7. Drachenviereck: Viereck, bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist

Vierecke. 7.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 7. Drachenviereck: Viereck, bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist 7.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 7 Vierecke Trapez: Viereck, bei dem zwei Gegenseiten parallel sind gleichschenkliges Trapez: Trapez, bei dem die beiden Schenkel c gleich lang sind (b = d) d

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis. Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Einleitung 5 1 Zahlen 7 1.1 Zahlen und Zahlenmengen....................................... 7 1.2 Rechnen mit Zahlen und Termen....................................

Mehr

2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen

2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen 2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen Aufgabe 1 Zeichne das Dreieck AC mit A( 1 2), (5 0) und C(3 6) und konstruiere seinen Umkreis. Gib den Radius und den Mittelpunkt des Umkreises an. Aufgabe 2 Konstruiere

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN STUDIENKOLLEG MATHEMATIK

TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN STUDIENKOLLEG MATHEMATIK TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN STUDIENKOLLEG TEST IM FACH MATHEMATIK FÜR STUDIENBEWERBER MIT BERUFSQUALIFIKATION NAME : VORNAME : Bearbeitungszeit : 180 Minuten Hilfsmittel : Formelsammlung, Taschenrechner.

Mehr

Kapitel 5: Dreieckslehre. 5.1 Bedeutung der Dreiecke

Kapitel 5: Dreieckslehre. 5.1 Bedeutung der Dreiecke edeutung+winkelsumme 1 Kapitel 5: Dreieckslehre 5.1 edeutung der Dreiecke Durch Triangulation lassen sich Vielecke in Dreiecke zerlegen ( n Eck in n- Dreiecke) eweis von Sätzen mittels Sätzen über Dreiecke

Mehr

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze. 6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese

Mehr

1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: m (ausgesprochen: T von t und m)

1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: m (ausgesprochen: T von t und m) Grundwissen Mathematik 7. Klasse 1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: Ttm (, ) = ( t 5+ 6) 20+ m (ausgesprochen: T von t und m) Ein Term besteht aus

Mehr

Trigonometrische Berechnungen

Trigonometrische Berechnungen Trigonometrische Berechnungen Aufgabe 1 Berechnen Sie im rechtwinkligen Dreieck die fehlenden Seiten und Winkel: a) p = 4,93, β = 70,3 b) p = 28, q = 63 c) a = 12,5, p = 4,4 d) h = 9,1, q = 6,0 e) a =

Mehr

Variable und Terme A 7_01. Variable sind Platzhalter für Zahlen aus einer vorgegebenen Grundmenge G, z. B. x IN; y ; a Q

Variable und Terme A 7_01. Variable sind Platzhalter für Zahlen aus einer vorgegebenen Grundmenge G, z. B. x IN; y ; a Q Variable und Terme A 7_01 Variable sind Platzhalter für Zahlen aus einer vorgegebenen Grundmenge G, z B x IN; y ; a Q Jede sinnvolle Zusammenstellung aus Zahlen und Variablen mit Hilfe von Rechenzeichen

Mehr

Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel sind.

Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel sind. 1 Sätze über Winkel Geradenkreuzung: Zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden, nennt man eine Geradenkreuzung. α α Nebeneinander liegende Winkel heißen Nebenwinkel, sie β ergeben zusammen stets

Mehr

M Thaleskreis über AC. Damit ist das Dreieck ABC rechtwinklig; nach der ersten Eigenschaft sogar gleichschenklig recht-

M Thaleskreis über AC. Damit ist das Dreieck ABC rechtwinklig; nach der ersten Eigenschaft sogar gleichschenklig recht- 1987 Runde 1 Aufgabe 1 In der Figur sind die drei herausgehobenen Punkte die Mittelpunkte der Kreisbögen. Bestimme durch geometrische Überlegungen die Größe des Winkels α, der von den beiden sich schneidenden

Mehr

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze. 6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese

Mehr

Grundwissen JS 7: Geometrie 17. Juli (a) Wann heißt eine Figur achsensymmetrisch? Welche Bedeutung hat die Symmetrieachse anschaulich

Grundwissen JS 7: Geometrie 17. Juli (a) Wann heißt eine Figur achsensymmetrisch? Welche Bedeutung hat die Symmetrieachse anschaulich GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM EGNITZ math-technolog u sprachl Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 91257 EGNITZ FERNRUF 09241/48333 FAX 09241/2564 Grundwissen JS 7: Geometrie 17 Juli 2007 1(a) Wann heißt

Mehr

20.0 Gegeben sind die Skizzen von Parallelogrammen. Stelle die Formel für den Flächeninhalt auf. Benutze dabei nur die angegebenen Bezeichnungen.

20.0 Gegeben sind die Skizzen von Parallelogrammen. Stelle die Formel für den Flächeninhalt auf. Benutze dabei nur die angegebenen Bezeichnungen. Flächeninhalte von Vielecken Parallelogramm Übungen - 9 20.0 Gegeben sind die Skizzen von Parallelogrammen. Stelle die Formel für den Flächeninhalt auf. Benutze dabei nur die angegebenen Bezeichnungen.

Mehr

Repetition Begriffe Geometrie. 14. Juni 2012

Repetition Begriffe Geometrie. 14. Juni 2012 Repetition Begriffe Geometrie 14. Juni 2012 Planimetrie 1. Strahlensatz Planimetrie 1. Strahlensatz Werden zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte

Mehr

Analytische Geometrie. Dreiecke Vierecke GROSSE AUFGABENSAMMLUNG. Stand November F. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

Analytische Geometrie. Dreiecke Vierecke GROSSE AUFGABENSAMMLUNG. Stand November F. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Analytische Geometrie Dreiecke Vierecke GROSSE AUFGABENSAMMLUNG Wird erweitert Lösungen nur auf der Mathe CD Datei Nr. 0050 Stand November 005 F. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 0050 Dreiecke

Mehr

S T E R N E U N D P O L Y G O N E

S T E R N E U N D P O L Y G O N E Ornament Stern und Polygon (S. 1 von 11) / www.kunstbrowser.de S T E R N E U N D P O L Y G O N E Polygone und Sterne in regelmäßiger Form sind ein wichtiges Grundmotiv in der Ornamentik, da sie v ielf

Mehr

Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2002

Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2002 Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2002 Name, Vorname... Matr.Nr.... Semester-Anzahl im SS 2002:... Studiengang GH/R/S Tutor/in:... Aufg.1 Aufg,2 Aufg.3 Aufg.4 Aufg.5 Aufg.6 Aufg.7 Aufg.8 Gesamt

Mehr

Wie heißen die römischen Zahlzeichen für 1, 5, 10, 50, 100, 500 und 1000?

Wie heißen die römischen Zahlzeichen für 1, 5, 10, 50, 100, 500 und 1000? Wie heißen die Teile der Addition? Summand plus Summand = Summe Wie heißen die Teile der Subtraktion? Minuend minus Subtrahend = Differenz Wie heißen die Teile der Multiplikation? Multiplikand mal Multiplikator

Mehr

Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie 1

Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie 1 Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie. Bei einer geraden Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche von 00 cm beträgt die Seitenkante 3 cm. a) Welche Höhe hat die Pyramide? b) Wie groß

Mehr

FACHHOCHSCHULE ZÜRICH Musterprüfung Geometrie * Klasse ZS K2 18. März 2011

FACHHOCHSCHULE ZÜRICH Musterprüfung Geometrie * Klasse ZS K2 18. März 2011 1 FACHHOCHSCHULE ZÜRICH Musterprüfung Geometrie * Klasse ZS K2 18. März 2011 A Name:... 1. Teil: Winkelberechnungen Aufgabe W-1: In nebenstehendem Sehnenviereck sei = 80º und = 70º. Wie gross sind dann

Mehr

Kapitel 4: Dreieckslehre. 4.1 Bedeutung der Dreiecke

Kapitel 4: Dreieckslehre. 4.1 Bedeutung der Dreiecke Kapitel 4: Dreieckslehre 4.1 edeutung der Dreiecke Durch Triangulation lassen sich Vielecke in Dreiecke zerlegen ( n Eck in n- Dreiecke) eweis von Sätzen mittels Sätzen über Dreiecke (z.. Winkelsumme,

Mehr

Altersgruppe Klasse 5

Altersgruppe Klasse 5 Altersgruppe Klasse 5 In einem Vieleck nennt man die Verbindungsstrecken benachbarter Eckpunkte Seiten, die Verbindungsstrecken nicht benachbarter Eckpunkte Diagonalen. Bestimme die Anzahl der Diagonalen

Mehr

8.5.1 Real Geometrie Viereck, Dreieck

8.5.1 Real Geometrie Viereck, Dreieck 8.5.1 Real Geometrie Viereck, Dreieck P8: Mathematik 8 G2: komb.üchlein Zeitraum : 3 Wochen Inhalte Kernstoff Zusatzstoff Erledigt am Vierecke Typen: Quadrat, Rechteck, P8: 146 P8: 147 Rhombus, Parallelogramm,

Mehr

Klassenstufen 7, 8. Fachbereich Mathematik Tag der Mathematik 9. November 2013

Klassenstufen 7, 8. Fachbereich Mathematik Tag der Mathematik 9. November 2013 Fachbereich Mathematik Tag der Mathematik 9. November 2013 Klassenstufen 7, 8 12 Aufgabe 1 (5+++5+2 Punkte). Meister Hora hat eine kuriose Uhr: Bei dieser springt der Stundenzeiger nicht wie üblich jede

Mehr

Städtewettbewerb Frühjahr 2009

Städtewettbewerb Frühjahr 2009 Städtewettbewerb Frühjahr 2009 Lösungsvorschläge Hamburg 4. März 2009 [Version 1. April 2009] M Mittelstufe Aufgabe M.1 (3 P.). In ein konvexes 2009-Eck werden sämtliche Diagonalen eingezeichnet. (Diagonalen

Mehr

Raumgeometrie - schiefe Pyramide

Raumgeometrie - schiefe Pyramide 1.0 Die Raute ABCD mit den Diagonalen AC = e und BD = f ist die Grundfläche einer schiefen Pyramide ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Punkt D der Grundfläche. Es gilt: e = 14 cm; f = 10 cm;

Mehr

47. Österreichische Mathematik-Olympiade Gebietswettbewerb für Fortgeschrittene Lösungen

47. Österreichische Mathematik-Olympiade Gebietswettbewerb für Fortgeschrittene Lösungen 47. Österreichische Mathematik-Olympiade Gebietswettbewerb für Fortgeschrittene Lösungen 31. März 016 Aufgabe 1. Man bestimme alle positiven ganzen Zahlen k und n, die die Gleichung erfüllen. k 016 = 3

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/27 13:26:30 hk Exp $

Mathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/27 13:26:30 hk Exp $ $Id: dreieck.tex,v 1.17 2015/04/27 13:26:30 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck m Ende der letzten Sitzung hatten wir eingesehen das die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks = sich

Mehr

Beweise. 1. Betrachte folgenden Satz: Ein achsensymmetrisches Viereck mit einem 90 -Winkel ist ein Rechteck.

Beweise. 1. Betrachte folgenden Satz: Ein achsensymmetrisches Viereck mit einem 90 -Winkel ist ein Rechteck. Beweise 1. Betrachte folgenden Satz: Ein achsensymmetrisches Viereck mit einem 90 -Winkel ist ein Rechteck. (a) Gib Satz und Kehrsatz in der Wenn-dann-Form an! (b) Ist die Voraussetzung des Satzes notwendig,

Mehr

Bestimme ferner die Koordinaten des Bildpunktes von B bei der Spiegelung

Bestimme ferner die Koordinaten des Bildpunktes von B bei der Spiegelung Vektoren - Skalar- und Vektorprodukt ================================================================== 1. Gegeben sind die Punkte A 1 2 3 und B 3 4 1 bzgl. eines kartesischen Koordina- tensystems mit

Mehr

= = cm. = = 4.66 cm. = cm. Anschliessend: A = r 2 π = π = π =

= = cm. = = 4.66 cm. = cm. Anschliessend: A = r 2 π = π = π = Seiten 5 / 6 ufgaben Kreis 1 1 a) u Kreis r 15 30 cm ( 94.5 cm) Kreis r 15 5 cm ( 706.86 cm ) b) u Kreis r d 5.6 cm ( 17.59 cm) Kreis r.8 7.84 cm ( 4.63 cm ) c) u Kreis r 99 198 cm ( 6.04 cm) Kreis r 99

Mehr

1. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 1998/99

1. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 1998/99 . Landeswettbewerb Mathematik Bayern 998/99. Runde - Aufgaben und Lösungen Aufgabe Helena möchte für Weihnachten Strohsterne aus gleich langen Strohhalmen basteln. Dazu will sie zunächst Elemente aus fünf

Mehr

. Wo liegt das Zentrum S? d) E ist das Bild von I mit

. Wo liegt das Zentrum S? d) E ist das Bild von I mit Zentrische Streckung, Ähnlichkeit 1. Eine gegebene Strecke ist durch Konstruktion im Verhältnis 5 3 harmonisch zu teilen. 1 U und V teilen die Strecke mit der Länge 24 cm harmonisch im Verhältnis 5 3.

Mehr

Raumgeometrie - gerade Pyramide

Raumgeometrie - gerade Pyramide 1.0 Das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge 7 cm ist Grundfläche einer geraden Pyramide ABCDS mit der Höhe h = 8 cm. S ist die Pyramidenspitze. 1.1 Fertige ein Schrägbild der Pyramide ABCDS an. 1.2 Berechne

Mehr

Sekundarschulabschluss für Erwachsene

Sekundarschulabschluss für Erwachsene SE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie 2015 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: Nichtprogrammierbarer Taschenrechner und Geometriewerkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60 Für

Mehr

MATHEMATIK WETTBEWERB 1997/98 DES LANDES HESSEN

MATHEMATIK WETTBEWERB 1997/98 DES LANDES HESSEN MATHEMATIK WETTBEWERB 1997/98 DES LANDES HESSEN AUFGABEN DER GRUPPE A 1. Gib die jeweilige Lösungsmenge in aufzählender Form an: G = Z. a) (x + 7) 2 = 100 b) (x + 7) 2 > 18 c) (2x 4) 2 (2x + 4) 2 < 64

Mehr

Tag der Mathematik 2008

Tag der Mathematik 2008 Tag der Mathematik 008 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mathematische Hürden Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden. Taschenrechner

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/22 20:37:01 hk Exp hk $

Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/22 20:37:01 hk Exp hk $ $Id: dreieck.tex,v 1.7 013/04/ 0:37:01 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck In der letzten Sitzung hatten wir den sogenannten Inkreis eines Dreiecks eingeführt, dies ist der Kreis

Mehr

Grundwissen. Gymnasium Eckental Mathematisch-naturwissenschaftliches Gymnasium Neusprachliches Gymnasium. Jahrgangsstufe: 7(G8)

Grundwissen. Gymnasium Eckental Mathematisch-naturwissenschaftliches Gymnasium Neusprachliches Gymnasium. Jahrgangsstufe: 7(G8) Gymnasium Eckental Mathematisch-naturwissenschaftliches Gymnasium Neusprachliches Gymnasium Gymnasium Eckental Neunkirchener Straße 9042 Eckental Grundwissen Jahrgangsstufe: 7(G8) Vereinfachen von Summen

Mehr

Koordinatengeometrie. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x² 9.

Koordinatengeometrie. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x² 9. Koordinatengeometrie Aufgabe 1 Gegeben sind der Punkt P (-1; 9) sowie die Geraden g: 3x y + 6 = 0 und h: x + 4y 8 = 0. a) Die Geraden g und h schneiden einander im Punkt S. Berechnen Sie die exakten Koordinaten

Mehr

WER WIRD MATHESTAR? Raum und Form. Mathematisch argumentieren. Gruppenspiel oder Einzelarbeit. 45 Minuten

WER WIRD MATHESTAR? Raum und Form. Mathematisch argumentieren. Gruppenspiel oder Einzelarbeit. 45 Minuten WER WIRD MATHESTAR? Lehrplaneinheit Berufsrelevantes Rechnen - Leitidee Kompetenzen Sozialform, Methode Ziel, Erwartungshorizont Zeitlicher Umfang Didaktische Hinweise Raum und Form Mathematisch argumentieren

Mehr

Geometrie Winkel und Vierecke PRÜFUNG 02. Ohne Formelsammlung! Name: Klasse: Datum: Punkte: Note: Klassenschnitt/ Maximalnote : Ausgabe: 2.

Geometrie Winkel und Vierecke PRÜFUNG 02. Ohne Formelsammlung! Name: Klasse: Datum: Punkte: Note: Klassenschnitt/ Maximalnote : Ausgabe: 2. GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG Seite 1 Geometrie Winkel und Vierecke PRÜFUNG 02 Name: Klasse: Datum: : Note: Ausgabe: 2. Mai 2011 Klassenschnitt/ Maximalnote : Selbsteinschätzung: / (freiwillig) Für alle

Mehr

der beiden Summanden. Um welche beiden Summanden handelt es sich? Mache eine Probe!

der beiden Summanden. Um welche beiden Summanden handelt es sich? Mache eine Probe! ausschuss des Mathematik-Olympiaden ev 44 Mathematik-Olympiade 2 Stufe (Regionalrunde) Klasse 5 in logisch und grammatisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden Zur Lösungsgewinnung herangezogene Aussagen

Mehr

D C. Man unterscheidet in der Geometrie zwischen Körpern, Flächen, Linien und Punkten.

D C. Man unterscheidet in der Geometrie zwischen Körpern, Flächen, Linien und Punkten. V. Körper, Flächen und Punkte ================================================================= 5.1 Körper H G E F D C A B Man unterscheidet in der Geometrie zwischen Körpern, Flächen, Linien und Punkten.

Mehr

Aufgaben für die Klassenstufen 11/12

Aufgaben für die Klassenstufen 11/12 Aufgaben für die Klassenstufen 11/12 mit Lösungen Einzelwettbewerb Gruppenwettbewerb Speedwettbewerb Aufgaben OE1, OE2, OE3 Aufgaben OG1, OG2, OG3, OG4 Aufgaben OS1, OS2, OS3, OS4, OS5, OS6, OS7, OS8 Aufgabe

Mehr

32. Essener Mathematikwettbewerb 2016/2017

32. Essener Mathematikwettbewerb 2016/2017 Klasse 5 Alexandra hat vor sich viele Hölzchen von jeweils 5 cm Länge und viele Knetekugeln, die die Hölzchen an ihrem Ende zusammenhalten können. Sie möchte daraus Dreiecksgitter bauen. In den Abbildungen

Mehr

Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz 1

Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz 1 Hinweise: Alle Zwischen- und Endergebnisse auf 2 Stellen nach dem Komma runden. Die Zeichnungen sind nicht maßstäblich. Alle Maße sind in mm, falls nicht anders angegeben. 1. Bestimme das Maß x in nebenstehender

Mehr

Sekundarschulabschluss für Erwachsene. Geometrie A 2012

Sekundarschulabschluss für Erwachsene. Geometrie A 2012 SAE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie A 2012 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: Nichtprogrammierbarer Taschenrechner und Geometriewerkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60

Mehr

START MATHEMATIK-STAFFEL 2008 Du hast 60 Minuten Zeit um die 20 Aufgaben zu bearbeiten. Insgesamt kann man 500 Punkte erreichen.

START MATHEMATIK-STAFFEL 2008 Du hast 60 Minuten Zeit um die 20 Aufgaben zu bearbeiten. Insgesamt kann man 500 Punkte erreichen. START MATHEMATIK-STAFFEL 2008 Du hast 60 Minuten Zeit um die 20 Aufgaben zu bearbeiten. Insgesamt kann man 500 Punkte erreichen. Staffel-Aufgabe 1 (30 Punkte, Rest 470 Punkte) Ausradiert In die Kreise

Mehr

Sekundarschulabschluss für Erwachsene. Geometrie A 2014

Sekundarschulabschluss für Erwachsene. Geometrie A 2014 SE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie 2014 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: Nichtprogrammierbarer Taschenrechner und Geometriewerkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60 Für

Mehr

Montessori-Diplomkurs Inzlingen Geometrische Mappe Die metallenen Dreiecke

Montessori-Diplomkurs Inzlingen Geometrische Mappe Die metallenen Dreiecke Geometrische Mappe Die metallenen Dreiecke 1 Material 4 metallene Rahmen (14 cm X 14 cm) mit gleichseitigen Dreiecken (Seitenlänge 10 cm). Die Dreiecke sind wie folgt unterteilt Ganze Halbe Drittel Viertel

Mehr

Tag der Mathematik 2016

Tag der Mathematik 2016 Tag der Mathematik 016 Mathematischer Wettbewerb, Klassenstufe 9 10 30. April 016, 9.00 1.00 Uhr Aufgabe 1 Der Mittelwert von 016 (nicht unbedingt verschiedenen) natürlichen Zahlen zwischen 1 und 0 16

Mehr

Aufgabe S1 (4 Punkte) Wie lang ist die kürzeste Höhe in dem Dreieck mit den Seiten 5, 12 und 13? Das Dreieck ist rechtwinklig, da 13 2 =

Aufgabe S1 (4 Punkte) Wie lang ist die kürzeste Höhe in dem Dreieck mit den Seiten 5, 12 und 13? Das Dreieck ist rechtwinklig, da 13 2 = Aufgabe S1 (4 Punkte) Wie lang ist die kürzeste Höhe in dem Dreieck mit den Seiten 5, 12 und 13? Lösung Das Dreieck ist rechtwinklig, da 13 2 = 12 2 + 5 2 Also gilt für die gesuchte Höhe auf der Hypotenuse

Mehr

Die Kapitel 1 und 2.1 haben wir im Jahr 2012 behandelt. Im Zirkel am haben wir mit Kapitel 2.2 begonnen.

Die Kapitel 1 und 2.1 haben wir im Jahr 2012 behandelt. Im Zirkel am haben wir mit Kapitel 2.2 begonnen. Das vorliegende Skript beschäftigt sich mit dem Thema Elementargeometrie. Das Skript entsteht entlang einer Unterrichtsreihe in der Mathematischen Schülergesellschaft(MSG) im Schuljahr 2012/2013. Die vorliegende

Mehr

Vektorrechnung Aufgabe aus Abiturprüfung Bayern GK

Vektorrechnung Aufgabe aus Abiturprüfung Bayern GK Vektorrechnung Aufgabe aus Abiturprüfung Bayern GK 1. In einem kartesischen Koordinatensystem sind der Punkt C(4 4, die Ebene E 1 : x 1 x +x 3 + = und die Gerade g: x = ( + λ( 1 gegeben. a Zeigen Sie,

Mehr

Mathematik, 2. Sekundarschule (bisheriges Lehrmittel)

Mathematik, 2. Sekundarschule (bisheriges Lehrmittel) Zentrale Aufnahmeprüfung 2011 für die Kurzgymnasien und die Handelsmittelschulen des Kantons Zürich Mathematik, 2. Sekundarschule (bisheriges Lehrmittel) Von der Kandidatin oder vom Kandidaten auszufüllen:

Mehr

Aufgaben für die Klassenstufen 9/10

Aufgaben für die Klassenstufen 9/10 Aufgaben für die Klassenstufen 9/10 Einzelwettbewerb Gruppenwettbewerb Speedwettbewerb Aufgaben ME1, ME2, ME3 Aufgaben MG1, MG2, MG3, MG4 Aufgaben MS1, MS2, MS3, MS4, MS5, MS6, MS7, MS8 Aufgabe ME1: Aus

Mehr

Beispiellösungen zu Blatt 98

Beispiellösungen zu Blatt 98 µathematischer κorrespondenz- zirkel Mathematisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Aufgabe 1 Beispiellösungen zu Blatt 98 Finde vier paarweise verschiedene positive ganze Zahlen a, b, c, d

Mehr

Dreiecke Kurzfragen. 30. Juni 2012

Dreiecke Kurzfragen. 30. Juni 2012 Dreiecke Kurzfragen 30. Juni 2012 Dreiecke Kurzfrage 1 Wie werden die Ecken, Seiten und Winkel eines Dreiecks angeschrieben? Dreiecke Kurzfrage 1 Wie werden die Ecken, Seiten und Winkel eines Dreiecks

Mehr

Übungsaufgaben Repetitionen

Übungsaufgaben Repetitionen TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.6 Geometrie Satz des Pythagoras Übungsaufgaben Repetitionen Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut

Mehr

11. Landeswettbewerb Mathematik Bayern

11. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 11 Landeswettbewerb Mathematik Bayern Aufgaben und Lösungsbeispiele 1 Runde 008 Aufgabe 1 Das abgebildete Viereck soll durch einen einzigen geraden Schnitt so zerlegt werden, dass zwei Teile gleicher Form

Mehr

7 Ebene Figuren (angepasst an das Lehrmittel Mathematik 1)

7 Ebene Figuren (angepasst an das Lehrmittel Mathematik 1) Name: Geometrie-Dossier 7 Ebene Figuren (angepasst an das Lehrmittel Mathematik 1) Inhalt: Fläche und Umfang von Rechteck und Quadrat Dreiecke (Benennung, Konstruktion) Winkelberechnung im Dreieck und

Mehr

Aufgaben der 2. Runden

Aufgaben der 2. Runden Aufgaben der 2. Runden 1991-1999 23 2. Runde 1991 Begründe, daß alle Differenzen der Form 2 3-1 3 3 3-2 3 4 3-3 3 bei der Division durch 6 den Rest 1 lassen. Gegeben ist ein rechter Winkel mit dem Scheitel

Mehr

Aufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra

Aufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra Aufgabe 1 Aufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra Konstruieren Sie ein Quadrat ABCD mit der Seitenlänge AB = 6,4 cm. Aufgabe 2 Konstruieren Sie ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen AB = c = 6,4 cm,

Mehr

Grundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe

Grundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe ALGEBRA 1. Grundlagen Grundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe Menge der ganzen Zahlen Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... } Menge der rationalen Zahlen Q = { z z Z und n N } (Menge aller n positiven und

Mehr

MATHEMATIK ZUR VORBEREITUNG AUF DEN UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN REALSCHULREIFELEHRGANG ODER FACHSCHULREIFELEHRGANG DER BUNDESWEHRFACHSCHULE

MATHEMATIK ZUR VORBEREITUNG AUF DEN UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN REALSCHULREIFELEHRGANG ODER FACHSCHULREIFELEHRGANG DER BUNDESWEHRFACHSCHULE ZUR VORBEREITUNG AUF DEN UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN REALSCHULREIFELEHRGANG ODER FACHSCHULREIFELEHRGANG DER BUNDESWEHRFACHSCHULE MATHEMATIK Lehreinheit 11 Geometrie: Dreiecke und Vierecke II GEOMETRIE:

Mehr

Lösungen zum Thema Geometrie. Lösungen zur Aufg. 0: a) Gib an, um welche besondere Linie im Dreieck es sich jeweils handelt.

Lösungen zum Thema Geometrie. Lösungen zur Aufg. 0: a) Gib an, um welche besondere Linie im Dreieck es sich jeweils handelt. Lösungen zum Thema Geometrie Lösungen zur Aufg. 0: a) Gib an, um welche besondere Linie im Dreieck es sich jeweils handelt. Höhe h c Winkelhalbierende w α Mittelsenkrechte ms c Seitenhalbierende s c b)

Mehr

Serie 1 Klasse 9 RS. 3. 4% von ,5 h = min. 1 und Stelle die Formel nach der Größe in der Klammer um. V = A G h (h)

Serie 1 Klasse 9 RS. 3. 4% von ,5 h = min. 1 und Stelle die Formel nach der Größe in der Klammer um. V = A G h (h) Serie 1 Klasse 9 RS 1. 1 1 2. -15 (- + 5) 4. 4% von 600 4.,5 h = min 5. 5³ 6. Runde auf Tausender. 56608 7. Vergleiche (). 1 und 1 4 8. Stelle die Formel nach der Größe in der Klammer um. V = A

Mehr

Aufgabe 1 Erstelle mit Hilfe von GEOGEBRA ein dynamisches Geometrie-Programm, das die Mittelsenkrechte

Aufgabe 1 Erstelle mit Hilfe von GEOGEBRA ein dynamisches Geometrie-Programm, das die Mittelsenkrechte AB Mathematik Experimentieren mit GeoGebra Merke Alle folgenden Aufgaben sind mit dem Programm GEOGEBRA auszuführen! Eine ausführliche Einführung in die Bedienung des Programmes erfolgt im Unterricht.

Mehr

Aufgabe S 1 (4 Punkte)

Aufgabe S 1 (4 Punkte) Aufgabe S 1 (4 Punkte) In einem regelmäßigen Achteck wird das Dreieck ABC betrachtet, wobei C der Mittelpunkt der Seite ist, die der Seite AB gegenüberliegt Welchen Anteil am Flächeninhalt des Achtecks

Mehr

Raumgeometrie - schiefe Pyramide

Raumgeometrie - schiefe Pyramide 1.0 Das gleichseitige Dreieck ABC mit AB = 8 cm ist Grundfläche einer Pyramide ABCS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M der Seite [AC]. Die Höhe [MS] ist 6 cm lang. 1.1 Zeichne ein Schrägbild

Mehr

7.1 Algebra Rechnen mit rationalen Zahlen und Termen

7.1 Algebra Rechnen mit rationalen Zahlen und Termen Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite 1 Grundwissen 7. Klasse 7.1 Algebra 7.1.1 Rechnen mit rationalen Zahlen und Termen WH: Siehe dazu..3 Vorrangregeln und.. K-, A-, D-Gesetze sowie 6. Rechengesetze

Mehr

Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7

Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7 Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7 Wissen und Können 1. Terme Terme sind sinnvolle Rechenausdrücke mit Zahlen, Variablen und Rechenzeichen. Berechnung von Termwerten

Mehr

Herbst b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t und Ihren Schnittpunkte A mit der x-achse. t geht durch B(1/2) und hat die Steigung m=-6 :

Herbst b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t und Ihren Schnittpunkte A mit der x-achse. t geht durch B(1/2) und hat die Steigung m=-6 : Herbst 24 1. Gegeben ist eine Funktion f : mit den Parametern a und b. a) Bestimmen Sie a und b so, dass der Graph von f durch den Punkt B(1/2) verläuft und die Tangente t in B parallel ist zur Geraden

Mehr

Achsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1

Achsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1 M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke

Mehr

Achsensymmetrie. Grundkonstruktionen

Achsensymmetrie. Grundkonstruktionen M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke

Mehr