Musteraufgaben zum Mathematikwettbewerb der Einführungsphase 2013 am

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1 MW-E Mathematikwettbewerb der Einführungsphase 0. Februar 03 Musteraufgaben zum Mathematikwettbewerb der Einführungsphase 03 am Hinweis: Beim Mathematikwettbewerb MW-E der Eingangsstufe werden Aufgaben zur Auswahl angeboten, wobei von acht Aufgaben fünf gewertet werden. Wurden mehr als fünf Aufgaben bearbeitet, so werden die Aufgaben mit den höchsten Punktzahlen berücksichtigt. Der Lösungsweg muss jeweils klar erkennbar sein. Die folgenden acht Aufgaben sollen einen Eindruck vermitteln, welche Kenntnisse und Fähigkeiten beim Wettbewerb erforderlich sind. Zugelassene Hilfsmittel sind Taschenrechner, Formelsammlung und Zeichengeräte (Zirkel, Lineal und Geodreieck). Die Lösungen zu den Musteraufgaben gibt es ab. Februar 03 unter im Bereich Projekte MW-E.. Gegeben sind die drei Geraden g : y =x+, g : y =mx, g 3 : y = x+m. Für welche m gehen die Geraden durch einen Punkt? Welche Koordinaten haben die Schnittpunkte?. Gegeben ist die rekursiv definierte Folge S,S,S 3, mit S =, S = 3, S n =S n +S n, n =3, 4, 5, a) Berechnen Sie S n für n=3, 4,, 8. b) Berechnen Sie S n S n S n+ für n=, 3, 4, 5. Welche Gesetzmäßigkeit kann man vermuten? c) Berechnen Sie für n=,, 3 die Zahlen a:=s n S n+ b:=s n+ S n c:=s n+ +S n Welche Eigenschaft haben die Dreiecke mit den Seiten a,b,c? b c a 3. a) In einem gleichseitigen Dreieck schneiden sich Winkelhalbierende, Höhen, Seitenhalbierende und Mittellote in einem Punkt. Berechnen Sie den Inkreis- und den Umkreisradius des Dreiecks (Seitenlänge ). C b) In dem gleichseitigen Dreieck ABC (Seitenlänge ) sind P und Q die Mitten von AC und BC. Die Gerade PQ schneidet den Umkreis in R. Berechnen Sie die Länge von PR. A P Q R B Dieser Wettbewerb wird veranstaltet von: in Kooperation mit: unterstützt durch Seite /3

2 MW-E Mathematikwettbewerb der Einführungsphase 0. Februar Ein Landwirt hat 60m Maschendraht, um einen rechteckigen Hühnerhof einzuzäunen und dann den Hof in zwei gleich große Rechtecke zu unterteilen. Wie müssen Länge x und Breite y gewählt werden, damit die Fläche möglichst groß wird? x y 5. a) Gegeben ist ein Würfel mit einer Inkugel und einer Umkugel, d.h. die innere Kugel berührt die Seiten des Würfels und die äußere Kugel geht durch die Ecken des Würfels. Berechnen Sie die Oberfläche der Kugeln, wenn der Würfel die Kantenlänge hat. b) Ein Dodekaeder wird durch regelmäßige Fünfecke begrenzt. Ein Dodekaederstern entsteht dadurch, dass auf jeder Fläche eine fünfseitige Pyramide errichtet wird. Wie viele Kanten hat ein Dodekaederstern? c) Bei einem hohlen Oktaeder wird eine Ecke so abgeschnitten, dass ein quadratisches Loch entsteht. Der Schnitt geht durch die Mitten von vier benachbarten Kanten (siehe Abbildung). Wie groß ist die Fläche des restlichen Oktaeders? 6. a) Zeichnen Sie die Parabel y = x für x 4. b) Wie muss bei der Geraden y = x+b der Achsenabschnitt b gewählt werden, damit die Parabel die Gerade in zwei verschiedenen Punkten P und Q schneidet? c) Wo liegen die Mittelpunkte von PQ? Dieser Wettbewerb wird veranstaltet von: in Kooperation mit: unterstützt durch Seite /3

3 MW-E Mathematikwettbewerb der Einführungsphase 0. Februar a) Wie viele dreistellige Zahlen sind Palindrome, d.h. Zahlen, die von hinten gelesen die gleiche Zahl ergeben, z. B. sind 464 oder 333 Palindrome. b) Peter und Paul vereinbaren ein Glücksspiel mit vier Würfeln. Peter gewinnt, wenn mindestens eine erscheint. Welches ist die Gewinnwahrscheinlichkeit von Peter? c) Wie oft kann man in dem Buchstabenschema das Wort PYRAMIDE lesen? Ein mögliches Wort ist markiert. P Y Y R R R A A A A M M M M M I I I I I I D D D D D D D E E E E E E E E 8. a) In den ersten 5 Mathematikklausuren hat Sonja durchschnittlich Punkte erreicht. In den nächsten beiden Klausuren erhält sie 4 und 5 Punkte. Nach der 8. Klausur hat sie eine mittlere Punktzahl von 3. Wie viele Punkte erhielt sie in der 8. Klausur? b) Jeden Tag fährt Simon mit dem Fahrrad zur Arbeit und kommt abends zu Fuß nach Hause zurück oder er geht morgens zu Fuß hin und kommt mit dem Fahrrad zurück. In beiden Fällen braucht er hin und zurück 90 Minuten. Wenn er beide Strecken mit dem Fahrrad fährt, braucht er insgesamt 30 Minuten. Wie viel Zeit braucht Simon, wenn er beide Strecken zu Fuß geht? c) Bei einem Quadrat werden zwei gegenüberliegende Seiten um 0% gekürzt und die beiden anderen Seiten um 0% verlängert. Um wie viel Prozent verändert sich die Fläche? Dieser Wettbewerb wird veranstaltet von: in Kooperation mit: unterstützt durch Seite 3/3

4 MW-E Mathematikwettbewerb der Einführungsphase Musteraufgaben - Lösungen Lösungen zu den Musteraufgaben zum Mathematikwettbewerb der Einführungsphase 03 am Aus g und g folgt x(m )=. Aus g und g 3 folgt 3x=m. Also m (m )= und somit 0=m 3m 5 =(m+) 3 ( m ) 5. Für m = und m = 5 sind die Schnittpunkte ( 0) bzw. ( ).. a), 3, 4, 7,, 8, 9, 47 b) n S n S n S n Vermutung: S n S n S n+ =5 ( ) n c) n 3 a b c Es gilt a +b =c, d. h. die Dreiecke sind rechtwinklig. 3. a) Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden teilt diese im Verhältnis :. Inkreisradius: 3, Umkreisradius: 3 b) Aus ( x + ) = ( folgt x+ = 5 3 ) ( 3 und somit PR =x + = + 5 ). P. 3 x R Dieser Wettbewerb wird veranstaltet von: in Kooperation mit: unterstützt durch Seite /3

5 MW-E Mathematikwettbewerb der Einführungsphase Musteraufgaben - Lösungen 4. Mit der Drahtlänge x+3y =60 folgt für die Fläche A=x y=x 60 x =0x 3 3 x.. Lösung: A =0x 3 x =50 3 (x 5). Also ist A maximal für x= 5 und somit y = 0.. Lösung: Aus A ' =0 4 3 x =0 folgt x= 5 und y = 0. Wegen A '' = 4 3 <0 liegt ein Maximum vor. 5. a) Die Kantenlänge des Würfels ist der Durchmesser der Inkugel. Also ist die Oberfläche 4 π ( = π. ) Die Raumdiagonale des Würfels ist der Durchmesser der Umkugel. Also ist die Oberfläche 4 π ( = 3π. ) b) Der Dodekaeder hat 5 =30 Kanten. Durch die fünfseitigen Pyramiden kommen noch 5 = 60 Kanten dazu. Also hat der Dodekaederstern = 90 Kanten. c) Von der Oberfläche des Oktaeders werden 4 gleichseitige Dreiecke entfernt. Also ist die gesuchte Fläche a) y = x = (x + ) (x ) b) Aus x = x +b folgt (x ) = 3 b, also existieren nur zwei Lösungen, wenn b<3. = 7. c) Die x-koordinaten von P und Q sind x = ± b, also liegen die Mittelpunkte von PQ auf der Geraden x=. Dieser Wettbewerb wird veranstaltet von: in Kooperation mit: unterstützt durch Seite /3

6 MW-E Mathematikwettbewerb der Einführungsphase Musteraufgaben - Lösungen 7. a) Es gibt 9 0 = 90 Palindrome. b) P (Peter gewinnt) = P (mindestens eine ) = P (keine ) = ( 5 4 6) = %. c) Ersetzt man jeden Buchstaben durch die Anzahl der Worte, in denen er vorkommt, so kommt E in ( ) = 8 = 7 Worten vor, also kann man PYRAMIDE 8 mal lesen a) Sei p die Punktzahl in der 8. Klausur. Dann gilt: p = 3 und somit p = 5. 8 b) Seien a und b die Geschwindigkeiten von Simon mit dem Fahrrad bzw. zu Fuß. Sei s die Länge der Strecke zum Arbeitsplatz. Gesucht ist die Zeit s b. Es gilt s a + s b =90 und s a = 30. Hieraus folgt s b = 80 s a =50 (min). Also braucht Simon hin und zurück zu Fuß Stunden. c) Sei s die Seitenlänge des Quadrates. Dann gilt für die Fläche des Rechtecks s ( + 00) s ( 00) =s ( 00) bzw.,s 0,9s=0,99s. Also verringert sich die Fläche um %. Dieser Wettbewerb wird veranstaltet von: in Kooperation mit: unterstützt durch Seite 3/3