Stochastische Analysis

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1 Sochasische Analysis Maringale und sochasisches Inegral Franz Hofbauer

2 Einleiung Sei (Ω, A, P ) ein Maßraum mi P (Ω) = 1. Die messbaren Mengen, das sind die Mengen in der σ-algebra A, werden als Ereignisse und das Maß P (A) einer Menge A A als Wahrscheinlichkei des Ereignisses A inerpreier. Wir versehen R mi der Borel-σ-Algebra B. Eine Zufallsvariable X is dann eine messbare Abbildung von Ω nach R. Wir bringen die Zei ins Spiel. Zuers sei die Zei diskre, dargesell durch die diskree Menge N = {0, 1, 2,... }. Für n N sei F n eine Teil-σ-Algebra von A, sodass F 0 F 1 F 2... gil. Man inerpreier F n als die Menge der Ereignisse, von denen man zum Zeipunk n weiß, ob sie eingereen sind oder nich. Die σ-algebra F n sell die zum Zeipunk n vorliegende Informaion dar. Man bezeichne so eine Folge (F n ) n 0 als Filraion oder Informaionsverlauf. Ein sochasischer Prozess mi diskreer Zei is eine Folge (X n ) n 0 von Zufallsvariablen, sodass X n messbar bezüglich der σ-algebra F n is, das heiß {ω Ω : X n (ω) B} F n für alle B B gil. Man nenn X n (ω) den Zusand des Prozesses zum Zeipunk n. Da dieser Zusand nich von zukünfigen Ereignissen abhängen kann, nimm man die Messbarkei von X n bezüglich F n an. Koninuierliche Zei wird durch R + = [0, ) dargesell, manchmal auch durch ein Zeiinervall [0, T ]. Für 0 sei F eine Teil-σ-Algebra von A, sodass F F s für < s gil. Man inerpreier F wieder als die zum Zeipunk vorliegende Informaion. Ein sochasischer Prozess mi koninuierlicher Zei is eine Familie (X ) 0 von Zufallsvariablen, sodass X messbar bezüglich der σ-algebra F is. Man nenn X (ω) den Zusand des Prozesses zum Zeipunk und die Abbildung X (ω) einen Pfad des Prozesses. Eine zenrale Rolle werden spezielle sochasische Prozesse spielen, die sogenannen Maringale. Um sie definieren zu können, muss man zuers den bedingen Erwarungswer einführen. Das geschieh im ersen Teil, in dem auch verschiedene Konvergenzbegriffe für Folgen von Zufallsvariablen unersuch werden. Im zweien Teil werden Maringale mi diskreer Zei behandel. Insbesondere wird auf das Zusammenspiel zwischen Maringalen und Sopzeien eingegangen. Ein Modell aus der Versicherungsmahemaik und ein finanzmahemaisches Modell mi diskreer Zei, das nach Cox Ross Rubinsein benann is, werden vorgesell. Im drien Teil wird die Brownsche Bewegung eingeführ und eine dazupassende Filraion konsruier. Maringale mi koninuierlicher Zei werden behandel und ähnliche Säze wie für Maringale mi diskreer Zei bewiesen. Schließlich wird die Black Scholes Formel aus der Finanzmahemaik hergeleie, indem man in Analogie zu dem im zweien Teil behandelen zeidiskreen Modell vorgeh. Der viere Teil is der sochasischen Inegraion bezüglich der Brownschen Bewegung gewidme. Das Ioinegral wird definier und seine wichigsen Eigenschafen, insbesondere die Ioformel, bewiesen. Man erhäl Mehoden, um Maringale zu finden. Schließlich werden noch Verallgemeinerungen des Ioinegrals beschrieben. Im fünfen Teil geh es um Differenialgleichungen. Sochasische Differenialgleichungen werden kurz behandel. Dann komm noch einmal die Finanzmahemaik zum Zug. Eine parielle Differenialgleichung für den fairen Opionspreis wird hergeleie, deren Lösung wieder die schon früher gefundene Black Scholes Formel is. Außerdem wird ein allgemeineres finanzmahemaisches Modell beschrieben. Schließlich werden Formeln für die Lösung von Randwerproblemen gewisser parieller Differenialgleichungen bewiesen, die die Brownsche Bewegung verwenden, und daraus Resulae über die Brownsche Bewegung abgeleie.

3 I. Zufallsvariable Mehoden aus der Maßheorie werden verwende, um einige Begriffe aus der Wahrscheinlichkeisheorie, nämlich die bedinge Erwarung einer Zufallsvariable und Konvergenzbegriffe für Folgen von Zufallsvariablen, einzuführen und deren Eigenschafen zu unersuchen. 1. Bedinge Erwarung Wir arbeien auf einem Wahrscheinlichkeisraum (Ω, A, P ). Seien A und B Ereignisse, wobei P (B) > 0 gelen soll. Man definier P (A B) = P (A B) P (B) als bedinge Wahrscheinlichkei des Ereignisses A gegeben B. Wir dehnen diese Definiion auf Zufallsvariable aus. Wie üblich sei L 1 die Menge der Zufallsvariablen X, für die X dp < gil. Für X L 1 is E(X) = X dp der Erwarungswer der Zufallsvariablen X. Die bedinge Erwarung von X gegeben B definieren wir dann durch E (X B) = 1 P (B) 1B X dp. Es gil P (A B) = E (1 A B). Die bedinge Erwarung is der Mielwer von X, jedoch nich über ganz Ω, sondern nur über die Menge B gebilde. Sei Z = {B 1, B 2,..., B n } eine Zerlegung von Ω in messbare Teilmengen B j mi P (B j ) > 0. Die bedinge Erwarung von X bezüglich der Zerlegung Z is die Zufallsvariable E (X Z) definier durch E (X Z) = n j=1 1 B j E (X B j ). Die bedinge Erwarung is die Zufallsvariable, die man erhäl, wenn man über die Mengen in der Zerlegung miel. Schließlich definieren wir die bedinge Erwarung einer Zufallsvariable bezüglich einer σ-algebra. Definiion: Sei X L 1 eine Zufallsvariable und F A eine σ-algebra. Die Zufallsvariable U heiß bedinge Erwarung von X gegeben F, wenn gil (a) U is messbar bezüglich F (b) 1 A X dp = 1 A U dp für alle A F Man bezeichne eine bedinge Erwarung von X gegeben F mi E (X F). Is Z = {B 1,..., B n } eine Zerlegung von Ω, dann is F = { j I B j : I {1, 2,..., n}} eine σ-algebra. Man prüf leich nach, dass die oben definiere Zufallsvariable E (X Z) die Definiion erfüll. Somi is E (X Z) eine bedinge Erwarung E (X F). Man kann E (X F) als Vorhersage der Zufallsvariable X inerpreieren, wobei man die σ-algebra F als vorliegende Informaion auffass. Gib man eine Definiion wie die obige, dann sell sich die Frage nach der Exisenz und der Eindeuigkei des definieren Begriffs. Saz 1.1: Is X L 1 und F A eine σ-algebra, dann exisier eine bedinge Erwarung E (X F), die in L 1 lieg, und sie is fas sicher eindeuig besimm. Beweis: Sei zuers X 0. Sei Q(A) = 1 A X dp für alle A A. Dann is Q das Maß mi Diche X bezüglich P. Sei P das Maß P eingeschränk auf die σ-algebra F und Q das Maß Q eingeschränk auf F. Is N F eine Menge mi P (N) = 0, dann gil auch P (N) = 0 und Q(N) = Q(N) = 1 N X dp = 0. Somi is Q absolu seig bezüglich P. Aus dem Saz von Radon-Nikodym folg die Exisenz einer Zufallsvariablen U 0, die messbar bezüglich F is, sodass Q(A) = 1 A U d P für alle A F gil. Da P die Einschränkung von P auf die σ-algebra F is, gil f dp = f d P für alle Funkionen f 0, die messbar bezüglich F sind. Es gil auch Q(A) = Q(A) = 1 A X dp für alle A F. Daher haben wir 1 A X dp = 1 A U dp für alle A F gezeig und U is eine bedinge Erwarung von X gegeben F.

4 2 Zufallsvariable Is X L 1, dann zerlegen wir X in den Posiiveil X + und den Negaiveil X. Diese beiden Zufallsvariablen sind nichnegaiv, in L 1 und es gil X = X + X. Wie oben gezeig, exisieren Zufallsvariable U 1 0 und U 2 0, die messbar bezüglich F sind, sodass 1A X + dp = 1 A U 1 dp und 1 A X dp = 1 A U 2 dp für alle A F gil. Sez man A = Ω, so folg U 1 dp = X + dp < und U 2 dp = X dp <, das heiß U 1 L 1 und U 2 L 1. Sei U = U 1 U 2. Dann is U messbar bezüglich F und in L 1. Es gil 1A X dp = 1 A U dp für alle A F. Dami is eine bedinge Erwarung von X gegeben F gefunden, die in L 1 lieg. Es bleib die Eindeuigkei. Wir beweisen gleich mehr. Seien X und Y in L 1, sodass X Y fas sicher gil, und seien U L 1 und V L 1 bedinge Erwarungen von X und Y gegeben F. Sei N k = {ω : U(ω) V (ω) 1 k } für k 1. Dann is N k in F, da U und V messbar bezüglich F sind. Es folg 1 Nk U dp = 1 Nk X dp 1 Nk Y dp = 1 Nk V dp. Daraus und aus der Definiion von N k erhalen wir 1 k 1Nk dp 1 Nk (U V )dp 0. Dami is P (N k ) = 0 gezeig. Sei N = {ω : U(ω) V (ω) > 0}. Dann is N = k=1 N k, sodass auch P (N) = 0 gil. Wir haben also U V fas sicher gezeig. Sind jez U und V bedinge Erwarungen von X und Y und gil X = Y fas sicher, dann gil sowohl U V als auch V U fas sicher, das heiß U = V fas sicher. Insbesondere is gezeig, dass die bedinge Erwarung fas sicher eindeuig besimm is. Vereinbarung: Gleichungen oder Ungleichungen mi bedingen Erwarungen gelen immer nur fas sicher, da bedinge Erwarungen ja nur fas sicher eindeuig besimm sind. Of gil das auch für andere Zufallsvariable, die keine bedingen Erwarungen sind. Wir vereinbaren daher, dass Gleichungen und Ungleichungen zwischen Zufallsvariablen immer nur fas sicher gelen, auch wenn das nich dabeiseh (Manchmal wird es jedoch zur Verdeulichung dazugeschrieben). Gil eine Aussage für alle ω Ω, dann wird das immer explizi dazugeschrieben. Saz 1.2: Seien X und Y in L 1 und F A eine σ-algebra. (a) Es gil E(E (X F)) = E(X). (b) Is X messbar bezüglich F, dann gil E (X F) = X. (c) Es gil E (ax + by F) = ae (X F) + be (Y F) für a, b R. (d) Is X = Y fas sicher, dann auch E (X F) = E (Y F) fas sicher. (e) Is X Y fas sicher, dann auch E (X F) E (Y F) fas sicher. Beweis: Man erhäl (a), indem man in der Definiion der bedingen Erwarung E (X F) die Menge A gleich Ω sez, was wegen Ω F möglich is. Wenn X messbar bezüglich F is, dann erfüll X die Definiion der bedingen Erwarung rivialerweise, also gil (b). Sei Z = ax + by und U = ae (X F) + be (Y F). Dann is U messbar bezüglich F. Für A F folg 1A U dp = a 1 A E (X F)dP + b 1 A E (Y F)dP = a 1 A X dp + b 1 A Y dp = 1 A Z dp. Dami is gezeig, dass U eine bedinge Erwarung von Z gegeben F is. Da diese fas sicher eindeuig besimm is, is E (Z F) = U und dami (c) gezeig. Im lezen Teil des Beweises von Saz 1.1 wurden (d) und (e) bereis mibewiesen. Es folgen weiere Eigenschafen der bedingen Erwarung. Für den nächsen Saz verwenden wir einen Hilfssaz aus der Maßheorie. Hilfssaz: Sei F A eine σ-algebra. Weiers seien Y L 1 und Z L 1 Zufallsvariable. Wenn nun Y 1 C dp = Z1 C dp für alle C F gil, dann gil auch Y X dp = ZX dp für alle Zufallsvariablen X, die messbar bezüglich F sind, wenn enweder Y, Z und X nichnegaiv sind oder Y X und ZX in L 1 liegen.

5 Zufallsvariable 3 Saz 1.3: Seien X und Y in L 1, sei F A eine σ-algebra und Y messbar bezüglich F. Wenn XY in L 1 lieg, dann gil E (XY F) = Y E (X F). Beweis: Sei U = E (X + F) und V = E (X F). Dann sind U und V nichnegaiv und in L 1 und es gil 1 A U dp = 1 A X + dp und 1 A V dp = 1 A X dp für alle A F. Aus dem Hifssaz erhalen wir dann Y U dp = Y X + dp und Y V dp = Y X dp. Nach Voraussezung gil Y X + dp Y X dp < und Y X dp Y X dp <, sodass Y U und Y V in L 1 liegen. Sei W = E (X F). Dann gil W = U V wegen Saz 1.2 (c), sodass auch Y W in L 1 is. Is A F, dann is 1 A Y messbar bezüglich F und 1 A Y W und 1 A Y X sind in L 1. Da 1 C W dp = 1 C X dp für alle C F gil, folg 1 A Y W dp = 1 A Y X dp aus dem Hilfssaz. Da Y W messbar bezüglich F is, is dami E (XY F) = Y W gezeig. Saz 1.4 (Jensensche Ungleichung) Sei X L 1 und F A eine σ-algebra. Sei ψ : R R eine konvexe Funkion mi ψ(x) L 1. Dann gil ψ(e (X F)) E (ψ(x) F). Beweis: Aus Saz 1.2 (b) folg E (1 F) = 1 und dami E (ax + b F) = ae (X F) + b für alle a, b R wegen Saz 1.2 (c). Is ψ linear, dann sind wir schon ferig. Für nichlineares ψ sei M ψ = {l : l(x) = ax + b ψ(x) für alle x R und a, b Q}. Es gil dann ψ(x) = sup l Mψ l(x) für alle x R. Is l M ψ, dann is l(x) L 1, da sowohl X als auch die konsane Funkion 1 in L 1 liegen, und es gil ψ(x) l(x). Da ψ(x) L 1 vorausgesez wird, folg aus Saz 1.2 (e), dass E (ψ(x) F) E (l(x) F) fas sicher gil, das heiß außerhalb einer Nullmenge K l. Oben wurde gezeig, dass E (l(x) F) = l(e (X F)) fas sicher gil, das heiß außerhalb einer Nullmenge N l. Sei N = l M ψ (K l N l ). Da M ψ abzählbar is, is auch N eine Nullmenge. Außerhalb von N gil E (ψ(x) F) l(e (X F)) für alle l M ψ, das heiß E (ψ(x) F) sup l Mψ l(e (X F)). Da ψ(x) = sup l Mψ l(x) für alle x R gil, haben wir somi E (ψ(x) F) ψ(e (X F)) außerhalb einer Nullmenge, das heiß fas sicher gezeig. Mehr is nich zu beweisen. Saz 1.5: Sei 1 p < q. Für eine Zufallsvariable X gil N p (X) N q (X). Es folg L q L p. Beweis: Aus der Hölderungleichung erhalen wir X p dp N q/p ( X p )N q/(q p) (1). Wegen N q/(q p) (1) = 1 und N q/p ( X p ) = ( X q dp ) p/q folg daraus N p (X) N q (X) durch Ziehen der p-en Wurzel. Is X L q, dann is N q (X) <, somi auch N p (X) < und X is auch in L p. Das beweis L q L p, die zweie Aussage des Sazes. Saz 1.6: Sei X L p mi p 1 und F A eine σ-algebra. Dann is E (X F) ebenfalls in L p und es gil N p (E (X F)) N p (X). Beweis: Sei ψ(x) = x p. Dann is ψ : R R konvex und ψ(x) = X p is in L 1 nach Voraussezung. Wegen Saz 1.5 is X auch in L 1. Aus Saz 1.4 folg E (X F) p E ( X p F). Bilde man den Erwarungswer, dann erhäl man E( E (X F) p ) E( X p ) wegen Saz 1.2 (a). Zieh man noch die p-e Wurzel, so ha man N p (E (X F)) N p (X). Da N p (X) < nach Voraussezung gil, gil auch N p (E (X F)) < und daher E (X F) L p. Saz 1.7: Sei X eine Zufallsvariable in L 1 und F 1 und F 2 seien σ-algebren mi F 1 F 2 A. Dann gil E (E (X F 2 ) F 1 ) = E (X F 1 ). Beweis: Sei Y = E (X F 2 ) L 1 und Z = E (Y F 1 ) L 1. Is A F 1 dann is auch A F 2 und es folg 1 A Z dp = 1 A Y dp = 1 A X dp. Da Z auch messbar bezüglich F 1 is, is Z = E (X F 1 ) gezeig. Das is aber bereis die gesuche Gleichung. Die Unabhängigkei von σ-algebren und Zufallsvariablen soll hier nur kurz behandel werden. Es werden die Definiionen angegeben, einige Säze werden jedoch nur ziier.

6 4 Zufallsvariable Definiion: Die Zufallsvariablen X 1, X 2,..., X n heißen unabhängig, wenn P ({ω : X 1 (ω) 1,..., X n (ω) n }) = P ({ω : X 1 (ω) 1 })... P ({ω : X n (ω) n }) für alle 1, 2,..., n R gil. Saz 1.8: Seien X 1, X 2,..., X n unabhängige Zufallsvariable. Sei 1 m < n. Seien ψ : R m R und ϱ : R n m R messbare Funkionen mi ψ(x 1, X 2,..., X m ) L 1 und ϱ(x m+1, X m+2,..., X n ) L 1. Dann gil ψ(x 1, X 2,..., X m )ϱ(x m+1, X m+2,..., X n ) L 1 und E(ψ(X 1, X 2,..., X m )ϱ(x m+1,..., X n )) = E(ψ(X 1, X 2,..., X m ))E(ϱ(X m+1,..., X n )). Für 1 j n sei φ j : R R messbar mi φ j (X j ) L 1. Dann gil φ 1 (X 1 )... φ n (X n ) L 1 und E(φ 1 (X 1 )φ 2 (X 2 )... φ n (X n )) = E(φ 1 (X 1 ))E(φ 2 (X 2 ))... E(φ n (X n )). Bemerkung: Führ man komplexwerige Zufallsvariablen Z = Z 1 + iz 2 ein, wobei Z 1 und Z 2 reellwerige Zufallsvariable sind, und definier E(Z) = E(Z 1 ) + ie(z 2 ), wobei man sag, dass Z im L 1 lieg, wenn Z 1 L 1 und Z 2 L 1 gil, dann is obiger Saz auch für Funkionen ψ : R m C, ϱ : R n m C und φ j : R C erfüll. Den Beweis erhäl man durch Zerlegen in Real- und Imaginäreil. Unabhängigkei läß sich auch für σ-algebren definieren. Definiion: Seien C und D Teil-σ-Algebren von A. Man nenn diese σ-algebren unabhängig, wenn P (C D) = P (C)P (D) für alle C C und alle D D gil. Bemerkung: Mi Mehoden aus der Maßheorie zeig man folgende Säze: (a) Seien G und H durchschnisabgeschlossene Erzeuger der σ-algebren C und D. Wenn P (U V ) = P (U)P (V ) für alle U G und alle V H gil, dann sind die σ-algebren C und D unabhängig. (b) Seien C und D unabhängige Teil-σ-Algebren von A. Seien X und Y Zufallsvariable in L 1, sodass X messbar bezüglich C und Y messbar bezüglich D is. Dann is XY ebenfalls in L 1 und es gil XY dp = X dp Y dp. (c) Seien Ω und Ω Mengen und D eine σ-algebra auf Ω. Sei T : Ω Ω eine Abbildung und C = {T 1 (D) : D D}. Dann is C eine σ-algebra auf Ω. Is E ein durchschnisabgeschlossener Erzeuger der σ-algebra D und H = {T 1 (E) : E E}, dann is H ein durchschnisabgeschlossener Erzeuger der σ-algebra C. Definiion: Sei F A eine σ-algebra. Eine Zufallsvariable X heiß unabhängig von F, wenn P (C X 1 (B)) = P (C)P (X 1 (B)) für alle C F und alle B B gil, wobei B die Borel-σ-Algebra is. Beim Nachprüfen dieser Definiion kann man sich auf geeignee Erzeuger der σ-algebren F und B beschränken. Saz 1.9: Sei G ein durchschnisabgeschlossener Erzeuger der σ-algebra F und X eine Zufallsvariable. Wenn P (C X 1 (, ]) = P (C)P (X 1 (, ]) für alle C G und alle R gil, dann is X von F unabhängig. Beweis: Sei C = {X 1 (B) : B B} und H = {X 1 (, ] : R}. Wegen (c) in obiger Bemerkung is C eine σ-algebra, und da die Menge {(, ] : R} ein durchschnisabgeschlossener Erzeuger der Borel-σ-Algebra B is, is H ein durchschnisabgeschlossener Erzeuger von C. Nach Voraussezung gil P (C D) = P (C)P (D) für alle C G und alle D H. Wegen (a) in obiger Bemerkung folg, dass die σ-algebren F und C unabhängig sind, das heiß es gil P (C D) = P (C)P (D) für alle C F und alle D C. Wegen der Definiion von C is dami gezeig, dass X von F unabhängig is.

7 Zufallsvariable 5 Saz 1.10: Sei F A eine σ-algebra und X eine Zufallsvariable, die von F unabhängig is. Sei ψ : R R eine messbare Funkion mi ψ(x) L 1. Weiers sei Y in L 1 und messbar bezüglich F. Dann gil E(Y ψ(x)) = E(Y )E(ψ(X)) und E (ψ(x) F) = E(ψ(X)). Beweis: Sei C = {X 1 (B) : B B}. Aus der Definiion der Unabhängigkei der Zufallsvariable X von der σ-algebra F folg, dass C und F unabhängige σ-algebren sind. Da ψ(x) eine Zufallsvariable is, die messbar bezüglich C is, folg E(Y ψ(x)) = E(Y )E(ψ(X)) aus obiger Bemerkung. Is C F, dann kann man in dieser Gleichung Y = 1 C sezen. Für alle C F gil daher 1 C ψ(x)dp = 1 C E(ψ(X))dP. Das beweis E (ψ(x) F) = E(ψ(X)). 2. Konvergenz Es gib verschiedene Konvergenzbegriffe für Folgen (X n ) n 0 von Zufallsvariablen, von denen folgende eine wesenliche Rolle spielen werden. Definiion: Man sag, die Folge (X n ) n 0 konvergier gegen die Zufallsvariable X (a) in der N p -Halbnorm (wobei p 1 is), wenn lim n N p (X n X) = 0 gil (b) fas sicher, wenn P ({ω : lim n X n (ω) = X(ω)}) = 1 gil (c) in Wahrscheinlichkei, wenn lim n P ({ω : X n (ω) X(ω) ε}) = 0 für alle ε > 0 gil N Bei Konvergenz in der N p -Halbnorm schreiben wir X p n X, bei Konvergenz fas sicher f.s. schreiben wir X n X, und bei Konvergenz in Wahrscheinlichkei schreiben wir X P n X. Bemerkung: Sei (X n ) n 0 eine Folge von Zufallsvariablen, die für einen der obigen Konvergenzbegriffe gegen X konvergier. Es gele Y n = X n fas sicher für alle n 0 und Y = X fas sicher. Dann konvergier die Folge (Y n ) n 0 für diesen Konvergenzbegriff gegen Y. Wegen N p (Y n Y ) = N p (X n X) und P ({ω : Y n (ω) Y (ω) ε}) = P ({ω : X n (ω) X(ω) ε}) gil das für N p -Konvergenz und Konvergenz in Wahrscheinlichkei. Für die fas sichere Konvergenz folg das, indem man zur Nullmenge, auf der Konvergenz nich gil, die abzählbar vielen Nullmengen {ω : X n (ω) Y n (ω)} für n 0 und {ω : X(ω) Y (ω)} hinzufüg, was eine Nullmenge N ergib, sodass lim n Y n (ω) = Y (ω) für alle ω / N gil. Wir unersuchen diese Konvergenzbegriffe, insbesondere wie sie zueinander in Beziehung sehen. Wir werden Teilmengen von Ω und deren Wahrscheinlichkei of abgekürz hinschreiben, zum Beispiel {X } sa {ω : X(ω) } und P (X ) sa P ({ω : X(ω) }). Saz 1.11 (Markovungleichung) Sei X eine Zufallsvariable und g : [0, ) [0, ) monoon wachsend mi g(x) > 0 für x > 0. Dann gil P ( X ε) 1 g(ε) g( X )dp für alle ε > 0. Beweis: Sei Y = g( X ) und δ = g(ε) > 0. Als monoone Funkion is g messbar, sodass auch Y messbar, also eine Zufallsvariable is. Wegen g 0 gil auch Y 0. Wir erhalen dann Y dp Y 1 {Y δ} dp δ1 {Y δ} dp = δp (Y δ). Sezen wir für Y und δ ein, so erhalen wir P (g( X ) g(ε)) 1 g(ε) g( X )dp. Da g : [0, ) [0, ) monoon wachsend is, folg { X ε} {g( X ) g(ε)}, also P ( X ε) P (g( X ) g(ε)) g( X )dp. 1 g(ε) N Saz 1.12: Sei p 1. Wenn X p n X gil, dann auch P Xn X. Beweis: Wir wenden Saz 1.11 mi g(x) = x p auf die Zufallsvariable X n X an. Für alle ε > 0 erhalen wir P ( X n X ε) 1 ε p Xn X p dp = 1 ε N p p (X n X) p. Nach Voraussezung gil lim n N p (X n X) = 0. Somi gil auch lim n P ( X n X ε) = 0 für alle ε > 0 und X P n X is gezeig. Nun kommen wir zu den Eigenschafen der fas sicheren Konvergenz.

8 6 Zufallsvariable Saz 1.13: Sei ψ : R R messbar und U ψ die Menge der Unseigkeissellen von ψ. Wenn f.s. X n X gil und P (X U ψ ) = 0 is, dann gil auch ψ(x n ) f.s. ψ(x). Beweis: Sei L die Menge der ω, für die X n (ω) nich gegen X(ω) konvergier, und M die Menge {ω : X(ω) U ψ }. Sei N = L M. Da L und M Nullmengen sind, is auch N eine Nullmenge. Für ω / N gil lim n X n (ω) = X(ω) und ψ is im Punk X(ω) seig, sodass auch lim n ψ(x n (ω)) = ψ(x(ω)) gil. Dami is der Saz bewiesen. f.s. Saz 1.14: Wenn X n X gil, dann auch X P n X. Beweis: Sei g : [0, ) [0, ) eine seige, sreng monoon wachsende, durch 1 beschränke Funkion mi g(0) = 0. Sei ε > 0. Dann folg P ( X n X ε) 1 g(ε) g( Xn X )dp aus f.s. Saz Nach Voraussezung gil X n X und daher auch g( X n X ) f.s. 0 für n. Weiers gil g( X n X ) 1 für alle n 1. Da die konsane Funkion 1 Inegral 1 ha, folg lim n g( Xn X )dp = 0 aus dem Saz über dominiere Konvergenz. Wir haben daher auch lim n P ( X n X ε) = 0 und X P n X is gezeig. Schließlich kommen wir zur Konvergenz in Wahrscheinlichkei, die wir auch am häufigsen verwenden werden. Dieser Konvergenzbegriff läss sich nich mi Hilfe einer Norm beschreiben. Wir versuchen jedoch, eine Norm nachzuahmen. Definiion: Für eine Zufallsvariable X definieren wir K(X) = E( X 1) = X 1dP, wobei wir a b für min(a, b) schreiben. Aus dieser Definiion folg K(X) = K( X) = K( X ). Weiere Eigenschafen werden im folgenden Saz bewiesen, insbesondere die Dreiecksungleichung. Saz 1.15: Seien X und Y Zufallsvariable. Dann gil (a) K(X) = 0 X = 0 fas sicher (b) K(αX) max( α, 1)K(X) für alle α R (c) K(X + Y ) K(X) + K(Y ) (d) (ε 1)P ( X ε) K(X) ε + P ( X ε) für alle ε > 0 Beweis: Wegen X 1 0 is X 1dP = 0 äquivalen zu X 1 = 0 fas sicher und das is wieder äquivalen zu X = 0 fas sicher. Dami is (a) gezeig. Man überleg sich leich, dass αx 1 max( α, 1)( X 1) gil. Inegrier man diese Ungleichung bezüglich P, so folg (b). Ebenso überleg man sich, dass X + Y 1 ( X + Y ) 1 X 1 + Y 1 gil. Durch Inegrieren folg E( X + Y 1) E( X 1 + Y 1) = E( X 1) + E( Y 1). Das is (c). Die erse Ungleichung aus (d) folg aus Saz 1.11 mi g(x) = x 1. Weiers gil X 1 ε + 1 { X >ε}. Inegrier man diese Ungleichung bezüglich P, dann erhäl man die zweie Ungleichung aus (d). Bemerkung: Aus der Dreiecksungleichung folg: Für Zufallsvariable X 1, X 2,..., X n gil K(X 1 + X X n ) K(X 1 ) + K(X X n ) K(X 1 ) + K(X 2 ) + + K(X n ). Sind U und V Zufallsvariablen, dann folg K(U) K(V ) K(U V ) und K(V ) K(U) K(V U) = K(U V ), was gleichbedeuend is mi K(U) K(V ) K(U V ). Saz 1.16: Sei (X n ) n 0 eine Folge von Zufallsvariablen. Es gil X P n X für n genau dann, wenn lim n K(X n X) = 0 gil. Beweis: Wegen Saz 1.15 (d) gil P ( X n X ε) K(X n X) ε 1. Aus lim n K(X n X) = 0 folg daher lim n P ( X n X ε) = 0 für jedes ε > 0, das heiß X P n X.

9 P Zufallsvariable 7 Es gele X n X. Sei ε > 0 beliebig. Dann exisier ein n 0 mi P ( X n X ε 2 ) < ε 2 für alle n n 0. Wegen Saz 1.15 (d) folg dann K(X n X) ε 2 + P ( X n X ε 2 ) < ε für alle n n 0. Das beweis, dass lim n K(X n X) = 0 gil. Saz 1.17: Seien (X n ) n 0 und (Y n ) n 0 Folgen von Zufallsvariablen, sodass X n = Y n fas sicher für n 0 gil. Konvergier dann die Folge (X n ) n 0 gegen X bezüglich einem der drei Konvergenzbegriffe und ebenso die Folge (Y n ) n 0 gegen Y bezüglich einem (möglicherweise anderen) Konvergenzbegriff, dann gil X = Y fas sicher. P Beweis: Aus der Voraussezung folg X n X und Y n Y wegen Saz 1.12 und Saz Aus Saz 1.16 folg dann lim n K(X n X) = 0 und lim n K(Y n Y ) = 0. Wegen Saz 1.15 (c) haben wir K(X Y ) K(X X n ) + K(X n Y n ) + K(Y n Y ) für n 0. Nach Voraussezung gil X n Y n = 0 fas sicher für alle n, also K(X n Y n ) = 0 nach Saz 1.15 (a). Wegen lim n K(X n X) = 0 und lim n K(Y n Y ) = 0 erhalen wir K(X Y ) = 0. Aus Saz 1.15 (a) folg jez X Y = 0 fas sicher, das heiß X = Y fas sicher. Saz 1.18: Seien X n und Y n für n 0 und X und Y Zufallsvariable. Sei φ : R 2 R seig. Wenn X P n X und Y P n Y gil, dann gil auch φ(x n, Y n ) P φ(x, Y ), insbesondere cx P n cx für c R, X n + Y P n X + Y, X n Y P n XY und XY P n XY. Beweis: Sei ε > 0. Sei B m die Menge aller (x, y) R 2 für die ein (u, v) R 2 exisier mi u x < 1 m und v y < 1 m, aber φ(u, v) φ(x, y) ε. Aus dieser Definiion folg P ( φ(x n, Y n ) φ(x, Y ) ε) P ( X n X 1 m ) + P ( Y n Y 1 m ) + P ((X, Y ) B m) da (X, Y ) B m is, wenn φ(x n, Y n ) φ(x, Y ) ε, X n X < 1 m und Y n Y < 1 m gelen. Wegen der Seigkei von φ gil B m für m, sodass lim m P ((X, Y ) B m ) = 0 folg. Gib man δ > 0 vor, so finde man ein m mi P ((X, Y ) B m ) < δ 2 und dann ein n 0 mi P ( X n X 1 m ) < δ 4 und P ( Y n Y 1 m ) < δ 4 für alle n n 0. Für n n 0 gil also auch P ( φ(x n, Y n ) φ(x, Y ) ε) < δ. Dami is lim n P ( φ(x n, Y n ) φ(x, Y ) ε) = 0 gezeig. Das is die erse Aussage. Die anderen Aussagen folgen, indem man φ(x, y) = cx, φ(x, y) = x + y und φ(x, y) = xy sez. Die leze Aussage folg aus der vorlezen, da die Folge, für die X n = X für alle n gil, rivialerweise gegen X konvergier. Schließlich behandeln wir noch Cauchyfolgen. Definiion: Eine Folge (X n ) n 0 von Zufallsvariablen nennen wir Cauchyfolge für die Konvergenz in Wahrscheinlichkei, wenn für alle ε > 0 ein m 0 exisier mi K(X n X m ) < ε für alle n, m m 0. Saz 1.19: Sei (X n ) n 0 eine Cauchyfolge für die Konvergenz in Wahrscheinlichkei. Dann f.s. exisier eine Zufallsvariable X und eine Teilfolge (X nk ) k 0 mi X nk X für k und P X für n. X n Beweis: Wir wählen die Teilfolge. Sei n 0 = 0. Is n k 1 gewähl, dann sei n k > n k 1 so, dass K(X n X m ) < 1 für alle n, m n 4 k k gil. Das is nach Voraussezung möglich. Sei M k = {ω : X nk+1 (ω) X nk (ω) 1 } für k 1 und N = 2 k j=1 k=j M k. Für k 1 gil dann P (M k ) 2 k K(X nk+1 X nk ) < 1 wegen Saz 1.15 (d) und wegen n 2 k k+1 > n k. Es folg P (N) P ( k=j M k) k=j P (M k) < k=j 1 = 1 2 k 2. Das gil für alle j, sodass wir j 1 P (N) = 0 erhalen. Es gil N c = j=1 k=j {ω : X n (ω) X k+1 n k (ω) < 1 }. Für ω N c exisier ein j 1, sodass 2 k X nk+1 (ω) X nk (ω) < 1 für alle k j gil. Für ε > 0 sei k 2 k 0 j mi 2 k0+1 < ε gewähl. Dann gil X nm (ω) X nl (ω) < m 1 k=l X nk+1 (ω) X nk (ω) < m 1 1 k=l < 1 2 k k=k 0 < ε 2 k P

10 8 Zufallsvariable für m > l k 0. Das bedeue, dass (X nk (ω)) k 0 eine Cauchyfolge in R is. Es exisier ein X(ω) R mi lim k X nk (ω) = X(ω). Dami is X(ω) für ω N c definier. Wir sezen X(ω) = 0 für ω N. Wegen X = lim k 1 N cx nk is X messbar, also eine Zufallsvariable, f.s. und es gil X nk X für k, da N ja eine Nullmenge is. Aus Saz 1.14 folg X P nk X für k und daraus wieder lim k K(X nk X) = 0 mi Hilfe von Saz Sei ε > 0 vorgegeben. Nach Voraussezung exisier ein m 0, sodass K(X n X m ) < ε 2 für alle n, m m 0 gil. Wir wählen ein n k m 0 so, dass K(X nk X) < ε 2 gil. Aus Saz 1.15 (c) folg K(X n X) K(X n X nk ) + K(X nk X) < ε 2 + ε 2 = ε für alle n m 0. Dami is lim n K(X n X) = 0 bewiesen. Mi Hilfe von Saz 1.16 erhalen wir P X für n. X n Saz 1.20: Wenn X P n X für n gil, dann ha die Folge (X n ) n 0 eine Teilfolge f.s. (X nk ) k 0 mi X nk X für k. Beweis: Nach Voraussezung und Saz 1.16 gil lim n K(X n X) = 0. Sei ε > 0 vorgegeben. Es exisier ein m 0, sodass K(X n X) < ε 2 für n m 0 gil. Aus Saz 1.15 (c) folg K(X n X m ) K(X n X) + K(X m X) < ε für alle n, m m 0. Somi is (X n ) n 0 eine Cauchyfolge für die Konvergenz in Wahrscheinlichkei. Nach Saz 1.19 exisier eine f.s. Teilfolge (X nk ) k 0 und eine Zufallsvariable Y mi X nk Y für k und X P n Y für n. Da auch X P n X für n gil, folg X = Y fas sicher aus Saz 1.17 und dami f.s. X für k aus einer früheren Bemerkung. X nk Wir haben gezeig, dass aus der fas sicheren Konvergenz die Konvergenz in Wahrscheinlichkei folg. Umgekehr ha eine Folge, die in Wahrscheinlichkei konvergier, eine Teilfolge, die fas sicher gegen denselben Grenzwer konvergier. Weiers folg aus der N p - Konvergenz die Konvergenz in Wahrscheinlichkei. Was noch fehl, is der Übergang von der fas sicheren Konvergenz zur N p -Konvergenz. Das is aber nur uner zusäzlichen Voraussezungen möglich. Wir werden die folgenden Resulae jedoch nur ein einziges Mal brauchen. Definiion: Eine Menge K von Zufallsvariablen wird gleichgradig inegrierbar genann, wenn ϱ() = sup Z K Z 1{ Z >} dp für gegen 0 konvergier. Saz 1.21: Sei (X n ) n 0 eine Folge von Zufallsvariablen, sodass K = {X n : n 0} gleichgradig inegrierbar is. Wenn dann X n X gil, dann gil auch X f.s. N 1 n X für n. Beweis: Für obiges ϱ gil ϱ() = sup Z K Z ψ (Z)dP, wobei ψ (x) = 1 (, ) ( x ) gesez wird. Sei ε > 0. Da K gleichgradig inegrierbar is und P ( X = s) > 0 für höchsens abzählbar viele s R gelen kann, finden wir ein > 0 mi 2ϱ() < ε und P ( X = ) = 0. Wegen Saz 1.13 gil dann ψ (X n ) f.s. ψ (X) für n. Die Definiion von ϱ und das Lemma von Faou ergeben ϱ() lim inf n Xn ψ (X n )dp X ψ (X)dP. Dami folg X dp = X ψ (X)dP + X (1 ψ (X))dP ϱ() + (1 ψ (X))dP ϱ() + <. Wir haben somi X L 1 gezeig. Nun gil X n X A n + B n + C n mi A n = X n X (1 ψ (X n )), mi B n = X ψ (X n ) f.s. und mi C n = X n ψ (X n ). Wegen A n 0 erhalen wir lim n An dp = 0 mi Hilfe des Sazes über dominiere Konvergenz, da A n X n (1 ψ (X n )) + X + X L 1 gil. f.s. Wegen B n X ψ (X) und B n X L 1 folg lim n Bn dp = X ψ (X)dP ϱ() ebenfalls aus dem Saz über dominiere Konvergenz. Schließlich gil C n dp ϱ() für alle n nach Voraussezung. Dami is lim sup n Xn X dp 2ϱ() < ε bewiesen. Da ε > 0 N beliebig war, erhalen wir lim n N 1 (X n X) = 0 und dami X 1 n X.

11 Zufallsvariable 9 Folgender Saz gib eine Möglichkei, gleichgradige Inegrierbarkei nachzuweisen. Saz 1.22: Sei K eine Menge von Zufallsvariablen. Exisier nun eine messbare Funkion φ : R + R + φ(x), für die lim x x = und sup Z K φ( Z )dp = c < gil, dann is K gleichgradig inegrierbar. Beweis: Sei ψ(x) = φ(x) x und σ() = inf x> ψ(x). Nach Voraussezung gil lim σ() =. Für Z K gil Z 1 { Z >} dp = φ( Z ) ψ( Z ) 1 φ( Z )1 { Z >} dp { Z >} dp inf{ψ(x):x>} c σ(). Daraus folg lim sup Z K Z 1{ Z >} dp = 0 und die gleichgradige Inegrierbarkei der Menge K is gezeig. Saz 1.23: Sei X L 1. Dann exisier eine konvexe, sreng monoon wachsende Funkion φ : R + R + mi lim x φ(x) x = und φ( X )dp <. Beweis: Sei f(x, ) = 1, wenn x > is, und = 0, wenn x is. Aus dem Saz von Fubini folg dann P ( X > )d = 0 0 f( X, )dp d = f( X, )ddp = X dp <. 0 Wir geben zuers die Ableiung a von φ an. Sei 0 = 0. Is j 1 schon gewähl, dann können wir j > j 1 finden, sodass j P ( X > )d 1 2 gil. Sei a = j j=1 j1 [ j 1, j ). Wir haben dann a()p ( X > )d = j 0 j=1 j 1 jp ( X > )d j=1 j 1 2 <. j 1 Sei φ jez durch φ(x) = x 0 a(y)dy = f(x, y)a(y)dy definier. Wegen a > 0 is φ sreng 0 monoon wachsend. Da a selbs schon monoon wachsend is, is φ konvex. Weiers erhalen φ(x) wir lim x x =, da auch lim x a(x) = gil. Schließlich berechnen wir noch φ( X )dp = f( X, y)a(y)dy dp = 0 0 f( X, y)a(y)dp dy = a(y)p ( X > y)dy. 0 Das is <, wie oben gezeig wurde. Saz 1.24: Sei X L 1 und K = {E (X F) : F A eine σ-algebra}. Dann is K gleichgradig inegrierbar. Beweis: Wegen Saz 1.23 exisier eine konvexe, monoon wachsende Funkion φ : R + R + φ(x) mi lim x x = und φ( X )dp <, da X L 1 vorausgesez wird. Die Funkion ψ, die durch ψ(x) = φ( x ) definier wird, is dann konvex. Das sieh man so: Sei 0 < α < 1. Aus αx + (1 α)y α x + (1 α) y folg φ( αx + (1 α)y ) φ(α x + (1 α) y ) wegen der Monoonie von φ. Weiers gil φ(α x + (1 α) y ) αφ( x ) + (1 α)φ( y ) wegen der Konvexiä von φ. Wir haben φ( αx + (1 α)y ) αφ( x ) + (1 α)φ( y ) gezeig, das heiß ψ(αx + (1 α)y) αψ(x) + (1 α)ψ(y), womi die Konvexiä von ψ bewiesen is. Wegen ψ(x) L 1 erhalen wir aus Saz 1.4, dass ψ(e (X F)) E (ψ(x) F) für alle σ-algebren F A gil. Mi Hilfe von Saz 1.2 (a) ergib sich E(ψ(E (X F))) E(ψ(X)), das heiß E(φ( E (X F) )) E(φ( X )). Dami is sup Z K E(φ( Z )) E(φ( X )) < gezeig. Wegen Saz 1.22 is K gleichgradig inegrierbar.

12 II. Diskree Zei Ein sochasischer Prozess mi diskreer Zei auf einem Wahrscheinlichkeisraum (Ω, A, P ) mi einer Filraion (F n ) n 0 is eine Folge (X n ) n 0 von Zufallsvariablen, sodass X n messbar bezüglich F n is für alle n 0. Wir definieren Maringale und Submaringale, unersuchen deren Eigenschafen und geben einige Anwendungen. 1. Maringale Wir beginnen mi der Definiion eines Maringals. Definiion: Ein sochasischer Prozess (X n ) n 0 heiß Maringal bezüglich der Filraion (F n ) n 0, wenn X n L 1 und E (X n+1 F n ) = X n für alle n 0 gil. Bemerkung: Ein Maringal is ein risikoneuraler Prozess. Wir fassen die Filraion als Informaionsverlauf auf, das heiß F n enhäl die Ereignisse, über deren Einreen man zum Zeipunk n Bescheid weiß. Die Vorhersage E (X n+1 F n ) des Zusands zum Zeipunk n + 1 auf Grund der zum Zeipunk n vorliegenden Informaion is gleich dem Zusand X n zum Zeipunk n. Das bedeue, Aussich auf Zuwachs und Verlusrisiko halen sich die Waage. Der folgende Saz bilde die Grundlage für Beispiele. Die Zufallsvariablen U 1, U 2, U 3,... heißen unabhängig, wenn die Zufallsvariablen U 1, U 2,..., U n unabhängig sind für alle n 1. Saz 2.1: Sei µ ein Wahrscheinlichkeismaß auf der Borel-σ-Algebra B in R. Dann exisier ein Wahrscheinlichkeisraum (Ω, A, P ), darauf eine Filraion (F n ) n 0 und eine Folge (U n ) n 1 von unabhängigen Zufallsvariablen, sodass für alle n 1 gil (a) U n ha die Vereilung µ, das heiß P (U n B) = µ(b) für alle B B (b) U n is messbar bezüglich F n und unabhängig von F n 1 Beweis: Durch die Konsrukion eines abzählbar unendlichen Produks von Maßräumen erhäl man einen Wahrscheinlichkeisraum (Ω, A, P ) und darauf eine Folge (U n ) n 1 von Zufallsvariablen, die unabhängig sind und alle die Vereilung µ haben. Es bleib nur noch, die Filraion mi den gewünschen Eigenschafen zu finden. Für n 1 sei G n = {U1 1 (B 1) Un 1 (B n ) : B 1,..., B n B}. Wir sezen dann F 0 = {, Ω} und F n = σ(g n ) für n 1. Wegen G n G n+1 für n 1 gil auch F n F n+1 für n 0. Somi is (F n ) n 0 eine Filraion. Für n 1 und B B gil Un 1 (B) G n F n, sodass U n messbar bezüglich F n is. Um zu zeigen, dass U n von F n 1 unabhängig is, sei R und C G n 1. Es exisieren Mengen B 1, B 2,..., B n 1 B, sodass C = U1 1 (B 1) U2 1 (B 2) Un 1 1 (B n 1) gil. Weiers sei φ j = 1 Bj für 1 j n 1 und φ n = 1 (,]. Aus Saz 1.8 erhalen wir dann E(φ 1 (U 1 )... φ n 1 (U n 1 )φ n (U n )) = E(φ 1 (U 1 )... φ n 1 (U n 1 ))E(φ n (U n )), da die Funkionen φ j beschränk sind. Dami is P (C Un 1 ((, ])) = P (C)P (Un 1 ((, ])) gezeig. Da G n 1 ein durchschnisabgeschlossener Erzeuger der σ-algebra F n 1 is, ergib sich aus Saz 1.9, dass U n von F n 1 unabhängig is. Für n = 1 is das rivial wegen F 0 = {, Ω}. Wir geben Beispiele für Maringale. Dabei seien der Wahrscheinlichkeisraum (Ω, A, P ), die Filraion (F n ) n 0, die Folge (U n ) n 1 von Zufallsvariablen und das Maß µ wie in Saz 2.1. Beispiel: Für das Wahrscheinlichkeismaß µ gele x dµ(x) < und xdµ(x) = 0. Es folg E( U n ) = x dµ(x) <, das heiß U n L 1, und E(U n ) = xdµ(x) = 0 für n 1.

13 Diskree Zei 11 Sei S 0 = 0 und S n = U U n für n 1. Für n 0 is S n in L 1, messbar bezüglich F n, und es gil E (S n+1 F n ) = E (S n + U n+1 F n ) = E (S n F n ) + E (U n+1 F n ) wegen Saz 1.2 (c) = S n + E(U n+1 ) wegen Saz 1.2 (b) und Saz 1.10 = S n Dami is gezeig, dass (S n ) n 0 ein Maringal bezüglich der Filraion (F n ) n 0 is. Beispiel: Seien µ und S n für n 0 wie im lezen Beispiel und es sei x 2 dµ(x) = v <. Es folg E(U n ) = 0 und E(U 2 n) = v für n 1, und daraus E( U m U n ) E(U 2 m)e(u 2 n) <. Sei V n = S 2 n nv für n 0. Für n 0 is V n in L 1, messbar bezüglich F n, und es gil E (V n+1 F n ) = E (S 2 n + 2S n U n+1 + U 2 n+1 (n + 1)v F n ) = E (S 2 n (n + 1)v F n ) + 2E (S n U n+1 F n ) + E (U 2 n+1 F n ) wegen Saz 1.2 (c) = S 2 n (n + 1)v + 2S n E (U n+1 F n ) + E (U 2 n+1 F n ) wegen Saz 1.2 (b) und Saz 1.3 = S 2 n (n + 1)v + 2S n E(U n+1 ) + E(U 2 n+1) wegen Saz 1.10 = S 2 n (n + 1)v + v = V n Dami is gezeig, dass (V n ) n 0 ein Maringal bezüglich der Filraion (F n ) n 0 is. Beispiel: Sei r R und µ ein Wahrscheinlichkeismaß auf R mi e rx dµ(x) = m(r) <. Dann gil E(e ru n ) = m(r) für alle n 1. Sei S n wie im ersen Beispiel und M n = m(r) n e rs n für n 0. Dann is M n messbar bezüglich F n und wegen Saz 1.8 auch in L 1. Für n 0 gil E (M n+1 F n ) = E (m(r) (n+1) e rs n e ru n+1 F n ) = m(r) (n+1) e rs n E (e ru n+1 F n ) wegen Saz 1.3 = m(r) (n+1) e rs n E(e ru n+1 ) wegen Saz 1.10 = m(r) (n+1) e rs n m(r) = M n Dami is gezeig, dass (M n ) n 0 ein Maringal bezüglich der Filraion (F n ) n 0 is. Wir definieren Sopzeien bezüglich einer Filraion (F n ) n 0 auf (Ω, A, P ) und unersuchen das Zusammenspiel von Sopzeien und Maringalen. Definiion: Eine Zufallsvariable τ : Ω {0, 1, 2,... } { } wird Sopzei genann, wenn {ω : τ(ω) k} F k für alle k 0 erfüll is. Beispiel: Sind τ 1 und τ 2 Sopzeien, dann is σ = τ 1 τ 2 ebenfalls eine Sopzei. Es gil ja {ω : σ(ω) k} = {ω : τ 1 (ω) k} {ω : τ 2 (ω) k} F k für alle k. Insbesondere is τ n eine Sopzei, wenn τ eine Sopzei und n N eine Konsane is. Beispiel: Sei (X n ) n 0 ein sochasischer Prozess und B B. Die Einriszei in die Menge B is τ(ω) = min{n : X n (ω) B}, wobei wir τ(ω) = sezen, wenn {n : X n (ω) B} leer is. Da {ω : τ(ω) k} = k n=0 {ω : X n(ω) B} F k für alle k 0 gil, is τ eine Sopzei. Bemerkung: Is τ eine Sopzei mi P (τ < ) = 1 und (X n ) n 0 ein sochasischer Prozess, dann können wir diesen Prozess zum Zeipunk τ soppen. Wir definieren dazu die Zufallsvariable Y = X τ, das heiß Y (ω) = X τ(ω) (ω). Diese Zufallsvariable is für fas alle ω definier und gib den Zusand des Prozesses zum Zeipunk τ an. Man kann auch Y = n=0 X n1 {τ=n} schreiben.

14 12 Diskree Zei Saz 2.2: Sei (X n ) n 0 ein Maringal bezüglich der Filraion (F n ) n 0. Sei (R n ) n 1 eine Folge von beschränken Zufallsvariablen, sodass R n messbar is bezüglich F n 1 für alle n 1. Weiers sei Y 0 L 1 messbar bezüglich F 0 und Y n = Y 0 + n j=1 R j(x j X j 1 ) für n 1. Dann is (Y n ) n 0 ebenfalls ein Maringal bezüglich der Filraion (F n ) n 0. Beweis: Für jedes j exisier eine Konsane c j mi R j c j nach Voraussezung. Es folg E( Y n ) E( Y 0 ) + n j=1 c j(e( X j ) + E( X j 1 )) <, sodass Y n für alle n in L 1 lieg. Weiers is Y n messbar bezüglich F n. Für n 0 gil E (Y n+1 F n ) = E (Y n + R n+1 (X n+1 X n ) F n ) = E (Y n F n ) + E (R n+1 X n+1 F n ) E (R n+1 X n F n ) wegen Saz 1.2 (c) = Y n + R n+1 E (X n+1 F n ) R n+1 X n wegen Saz 1.2 (b) und Saz 1.3 = Y n + R n+1 X n R n+1 X n = Y n da (X n ) n 0 ein Maringal is Dami is gezeig, dass (Y n ) n 0 ein Maringal bezüglich der Filraion (F n ) n 0 is. Saz 2.3: Zur Filraion (F n ) n 0 sei (X n ) n 0 ein Maringal und τ eine Sopzei. Dann is (X n τ ) n 0 ebenfalls ein Maringal bezüglich der Filraion (F n ) n 0. Beweis: Sei R k = 1 {τ k} = 1 1 {τ k 1} für k 1. Dann gil R k 1 und R k is messbar bezüglich F k 1 wegen {τ k 1} F k 1. Sei Y n = X 0 + n j=1 R j(x j X j 1 ) für n 1 und Y 0 = X 0. Wegen Saz 2.2 is (Y n ) n 0 ein Maringal bezüglich der Filraion (F n ) n 0. Sezen wir σ = n τ, dann erhalen wir Y n = X 0 (1 R 1 ) + X 1 (R 1 R 2 ) + + X n 1 (R n 1 R n ) + X n R n = X 0 1 {τ=0} + X 1 1 {τ=1} + + X n 1 1 {τ=n 1} + X n 1 {τ n} = X 0 1 {σ=0} + X 1 1 {σ=1} + + X n 1 1 {σ=n 1} + X n 1 {σ=n} = X σ = X n τ Dami is gezeig, dass (X n τ ) n 0 ein Maringal bezüglich der Filraion (F n ) n 0 is. Zum Rechnen von Beispielen wird häufig folgendes Resula verwende. Saz 2.4: Sei (X n ) n 0 ein Maringal. Dann gil E(X n ) = E(X 0 ) für alle n 0. Weiers sei τ eine Sopzei mi P (τ < ) = 1. Wenn eine nichnegaive Zufallsvariable Y L 1 exisier mi X τ n Y für alle n 0 dann gil E(X τ ) = E(X 0 ). Beweis: Mi Hilfe von Saz 1.2 (a) erhalen wir E(X n ) = E(E (X n+1 F n )) = E(X n+1 ). Es gil also E(X n ) = E(X 0 ) für alle n 0. Sei Z n = X n τ für n 0. Nach Saz 2.3 is (Z n ) n 0 ein Maringal. Wir haben soeben gezeig, dass E(Z n ) = E(Z 0 ) für alle n 0 gil. Wegen P (τ < ) = 1 folg lim n Z n = X τ fas sicher. Da Z n Y für alle n 0 mi Y L 1 vorausgesez wird, erhalen wir E(X τ ) = lim n E(Z n ) = E(X 0 ) aus dem Saz über dominiere Konvergenz. Dami lassen sich jez Beispiele rechnen. Wir gehen mi dem Berag a ins Spielkasino. Bei jedem Spiel gewinnen wir 1 mi Wahrscheinlichkei p und verlieren wir 1 mi Wahrscheinlichkei 1 p. Der Gewinn beim n-en Spiel is eine Zufallsvariable U n die nur die Were 1 und 1 annimm. Die Zufallsvariablen U n sind unabhängig und haben alle die Vereilung µ = pδ 1 + (1 p)δ 1. Der Gesamgewinn nach dem n-en Spiel is S n = U U n. Wir spielen so lange, bis wir alles verloren oder den Berag b dazugewonnen haben, das heiß bis der sochasische Prozess (S n ) n 0 die Menge { a, b} erreich. Man beache, dass S n+1 enweder um 1 größer oder um 1 kleiner als S n is. Daraus folg, dass der mi S 0 = 0 sarende

15 Diskree Zei 13 sochasische Prozess (S n ) n 0 sich vor Erreichen der Menge { a, b} nur zwischen den Weren a und b aufhalen kann. Sei τ(ω) = min{n : S n (ω) { a, b}}. Wir wissen bereis, dass τ eine Sopzei is. Wir zeigen P (τ < ) = 1. Sei r = a + b und A j = {ω : U rj+1 (ω) = = U r(j+1) (ω) = 1}. Wenn A j einri, dann is τ r(j+1) (enweder is S rj a, dann is τ sogar rj, oder S r(j+1) is b, woraus τ r(j+1) folg). Daraus ergib sich {τ > rm} A c 0 A c 1 A c m 1 für m 1. Es folg dann P (τ > rm) P (A c 0)P (A c 1)... P (A c m 1) = (1 p r ) m wegen der Unabhängigkei der Ereignisse A j. Wir erhalen nich nur P (τ = ) = lim m P (τ > rm) = 0, sondern auch E(τ) = k=1 P (τ k) rp (τ 1) + r m=1 P (τ > rm) <. Sei jez p = 1 2. Dann gil xdµ(x) = 0. Aus einem früheren Beispiel folg, dass (S n ) n 0 ein Maringal is. Da der Gesamgewinn S n vor dem Erreichen der Menge { a, b} zwischen diesen beiden Weren liegen muss, haben wir S n τ max(a, b) für alle n 0. Aus Saz 2.4 folg nun E(S τ ) = E(S 0 ) = 0. Da aber S τ nur die Were a und b annimm, erhalen wir P (S τ = a) + P (S τ = b) = 1 und ap (S τ = a) + bp (S τ = b) = E(S τ ) = 0. Daraus folg b a a+b P (S τ = a) = a+b und P (S b τ = b) =. Insbesondere is die Wahrscheinlichkei, dass wir alles verlieren, bevor wir den Berag b dazugewinnen. Auch die durchschniliche Anzahl der Spiele können wir berechnen. Man überprüf leich, dass v = x 2 dµ(x) = 1 gil. Nach einem früheren Beispiel is durch V n = Sn n 2 für n 0 ein Maringal gegeben. Wegen V n τ max(a 2, b 2 )+τ für alle n 0 und E(τ) < erhalen wir E(V τ ) = E(V 0 ) = 0 wieder aus Saz 2.4. Da P (S τ = a) = a+b und P (S τ = b) = a+b schon bekann sind, erhalen wir E(Sτ 2 ) = a 2 P (S τ = a) + b 2 P (S τ = b) = a 2 b a+b + b2 a a+b = ab. Wegen 0 = E(V τ ) = E(Sτ 2 ) E(τ) folg jez E(τ) = ab. Schließlich behandeln wir auch noch den Fall p p Dazu sezen wir u = p und r = log u. Dann folg m(r) = e rx dµ(x) = pe r +(1 p)e r = 1. Nach dem drien der obigen Maringalbeispiele is durch M n = e rs n = u S n für n 0 ein Maringal gegeben. Da wieder M n τ max(u a, u b ) für alle n 0 gil, erhalen wir E(M τ ) = E(M 0 ) = 1 aus Saz 2.4. Nun gil P (S τ = a) + P (S τ = b) = 1 und u a P (S τ = a) + u b P (S τ = b) = E(u S τ ) = 1. a+b b Wir erhalen P (S τ = a) = ua+b u a u a+b 1 und P (S τ = b) = ua 1 als Lösung dieser Gleichungen. u a+b 1 Die durchschniliche Anzahl der Spiele kann man mi Hilfe des Maringals S n cn berechnen, wobei c = xdµ(x) = 2p 1. Es gil c 0 wegen p 1 2. a 2. Submaringale Submaringale erhäl man, wenn man die Gleichung in der Maringaldefiniion durch eine Ungleichung ersez. Definiion: Ein sochasischer Prozess (X n ) n 0 heiß Submaringal bezüglich der Filraion (F n ) n 0, wenn X n L 1 und E (X n+1 F n ) X n für alle n 0 gil. Bemerkung: Manchmal sind Maringale oder Submaringale nur auf einer endlichen Zeimenge {0, 1, 2,..., N} definier. Dann wird die Definiion nur für die endliche Folge (X n ) 0 n N von Zufallsvariablen verlang. Der folgende Saz zeig, wie man Submaringale erhäl. Saz 2.5: Sei (X n ) n 0 ein Submaringal und φ : R R + eine konvexe monoon wachsende Funkion. Sei Y n = φ(x n ) für n 0. Is Y N L 1, dann is (Y n ) 0 n N ein Submaringal. Is Y n L 1 für alle n, dann is (Y n ) n 0 ein Submaringal. Is (X n ) n 0 sogar ein Maringal, dann muss φ nich monoon wachsend sein.

16 14 Diskree Zei Beweis: Wir führen den Beweis mi Indukion. Da (X n ) n 0 ein Submaringal und φ monoon wachsend is, gil φ(x n ) φ(e (X n+1 F n )) für alle n 0. Is (X n ) n 0 ein Maringal, dann gil Gleichei, auch wenn φ nich monoon wachsend is. Wegen Saz 1.4 erhalen wir Y n+1 L 1 Y n = φ(x n ) φ(e (X n+1 F n )) E (φ(x n+1 ) F n ) = E (Y n+1 F n ) Is Y n+1 L 1, dann gil auch E(E (Y n+1 F n )) = E(Y n+1 ) <. Wegen Y n 0 folg dann Y n+1 L 1 Y n L 1 Is nun Y N L 1, dann gil auch Y n L 1 für 0 n N und es folg Y n E (Y n+1 F n ) für 0 n N 1. Somi is gezeig, dass (Y n ) 0 n N ein Submaringal is. Gil Y n L 1 für alle n 0, dann folg Y n E (Y n+1 F n ) für alle n 0 und (Y n ) n 0 is ein Submaringal. Wir beweisen einige weiere Säze, die wir späer brauchen werden. Saz 2.6: Sei (X n ) n 0 ein Submaringal. Dann exisier ein Maringal (Y n ) n 0 und eine Folge (W n ) n 0 von Zufallsvariablen in L 1 mi 0 = W 0 W 1 W 2..., sodass W n messbar bezüglich F n 1 is für n 1 und X n = Y n + W n für n 0 gil. Beweis: Wir geben die gesuchen Prozesse an. Für n 0 sei Y n = X 0 + n 1 k=0 (X k+1 E (X k+1 F k )) und W n = n 1 k=0 (E (X k+1 F k ) X k ) wobei leere Summen gleich 0 sind, also Y 0 = X 0 und W 0 = 0. Nun gil X k L 1 für alle k, sodass auch E (X k+1 F k ) L 1 für alle k gil. Es folg Y n L 1 und W n L 1 für alle n 0. Da E (X k+1 F k ) X k 0 für alle k 0 gil, erhalen wir W n+1 W n für n 0. Weiers sind E (X k+1 F k ) und X k messbar bezüglich F k, sodass W n messbar bezüglich F n 1 und Y n messbar bezüglich F n is. Da Y n+1 = Y n + X n+1 E (X n+1 F n ) gil und E (X n+1 F n ) messbar bezüglich F n is, erhalen wir E (Y n+1 F n ) = Y n mi Hilfe von Saz 1.2 (b), sodass (Y n ) n 0 ein Maringal is. Man prüf leich nach, dass X n = Y n + W n für n 0 gil. Saz 2.7: Sei (X n ) n 0 ein Submaringal und σ und τ beschränke Sopzeien. Wenn σ τ gil, dann auch E(X σ ) E(X τ ). Beweis: Seien (Y n ) n 0 und (W n ) n 0 wie in Saz 2.6. Wegen σ τ folg 0 W σ W τ und daher auch E(W σ ) E(W τ ). Wegen Saz 2.3 is (Y n σ ) n 0 ein Maringal, da (Y n ) n 0 eines is. Aus Saz 2.4 folg E(Y n σ ) = E(Y 0 ) für n 0. Wähl man n größer als eine obere Schranke von σ, dann erhäl man E(Y σ ) = E(Y 0 ). Analog folg E(Y τ ) = E(Y 0 ). Somi is auch E(X σ ) = E(Y σ ) + E(W σ ) E(Y τ ) + E(W τ ) = E(X τ ) gezeig. Saz 2.8: Sei (X n ) n 0 ein Submaringal. Für 0 m < n gil dann E (X n F m ) X m. Is (X n ) n 0 ein Maringal, dann gil Gleichhei. Beweis: Wir führen den Beweis mi Indukion. Für n = m + 1 is die gesuche Ungleichung gerade die Definiion eines Submaringals. Is n m + 1 und E (X n F m ) X m schon gezeig, dann folg wegen E (X n+1 F n ) X n mi Hilfe von Saz 1.7 und Saz 1.2 (e), dass auch E (X n+1 F m ) = E (E (X n+1 F n ) F m ) E (X n F m ) gil. Dami und aus der Indukionsvoraussezung folg dann E (X n+1 F m ) X m und der Indukionsbeweis is ferig. Is (X n ) n 0 ein Maringal, dann kann man genauso vorgehen, wobei jedoch überall Gleichheiszeichen sehen. Für den nächsen Saz führen wir eine Bezeichnung ein. Is (X n ) n 0 ein sochasischer Prozess, dann sei X n(ω) = max 0 m n X m (ω). Saz 2.9: Sei (X n ) n 0 ein nichnegaives Submaringal (das heiß X n 0 für alle n 0). Sei λ > 0. Dann gil λp (X n λ) E(X n 1 {X n λ}) E(X n ).

17 Diskree Zei 15 Beweis: Für m n und für eine Menge A F m erhalen wir mi Hilfe von Saz 2.8 und Saz 1.3, dass E(1 A X m ) E(1 A E (X n F m )) = E(E (1 A X n F m )) = E(1 A X n ) gil. Sei τ(ω) = min{n : X n (ω) λ}. Dann folg {τ n} = {Xn λ} = n k=0 {X k λ} F n für alle n 0. Insbesondere is τ eine Sopzei. Sez man in obige Ungleichung die Menge A = {τ = m} = {τ m} \ {τ m 1} F m ein, so folg E(1 {τ=m} X m ) E(1 {τ=m} X n ) für m n. Wenn τ(ω) < is, dann gil X τ(ω) (ω) λ nach Definiion von τ. Dami folg λ1 {τ n} X τ 1 {τ n} = n m=0 X m1 {τ=m}. Nimm man Erwarungswere, so erhäl man λp (τ n) n m=0 E(X m1 {τ=m} ). Sez man diese Ergebnisse zusammen, so ergib sich λp (Xn λ) = λp (τ n) n m=0 E(X m1 {τ=m} ) n m=0 E(X n1 {τ=m} ) = E(X n 1 {τ n} ) = E(X n 1 {X n λ}) Das is die erse der beiden zu zeigenden Ungleichungen. Da X n nichnegaiv is, is die zweie Ungleichung jedoch rivial. Hilfssaz: Seien X und Y nichnegaive Zufallsvariable, sodass λp (X λ) E(Y 1 {X λ} ) für alle λ > 0 gil. Dann gil auch N p (X) p p 1 N p(y ) für p > 1. Beweis: Es gil x p = p x 0 yp 1 dy = p y p {x y} dy für p > 0. In folgender Rechnung verwenden wir diese Gleichung im ersen und fünfen Schri und die vorausgeseze Ungleichung im drien. Wir können Inegrale verauschen, da alle Inegranden 0 sind. E(X p ) = p y p 1 E(1 0 {X y} )dy = p y p 1 P (X y)dy 0 p y p 2 E(Y 1 0 {X y} )dy = pe(y y p {X y} dy) = pe(y 1 p 1 Xp 1 ) = p p 1 E(Y Xp 1 ) Durch Anwenden der Hölderungleichung erhalen wir N p (X) p = E(X p ) p p 1 E(Y Xp 1 ) p p 1 N p(y )N p/(p 1) (X p 1 ) = Division durch N p (X) p 1 ergib die gewünsche Ungleichung. p p 1 N p(y )N p (X) p 1 Saz 2.10 (Doobsche L p Ungleichung) Sei (X n ) n 0 ein nichnegaives Submaringal und sei p > 1. Für alle n 0 gil dann N p (Xn) p p 1 N p(x n ). Beweis: Aus Saz 2.9 folg, dass die im Hilfssaz gemachen Voraussezungen für X = X n und Y = X n erfüll sind. Die gesuche Ungleichung folg daher aus dem Hilfssaz. 3. Versicherungsmahemaik Bei einer Versicherung reffen Schadensmeldungen zu zufälligen Zeipunken Z 1, Z 2,... ein. Seien Y 1 = Z 1 Z 0, Y 2 = Z 2 Z 1,... die Zeien zwischen den Schadensmeldungen, wobei wir Z 0 = 0 sezen. Wir nehmen an, dass die Zufallsvariablen Y 1, Y 2,... unabhängig sind und alle die gleiche Vereilung haben. Mi R 1, R 2,... bezeichnen wir die Schadenshöhen. Wir nehmen an, dass diese Zufallsvariablen ebenfalls unabhängig sind und alle die gleiche Vereilung haben. Außerdem seien die Zufallsvariablen R 1, R 2,... von Y 1, Y 2,... unabhängig. Seien b > 0 die Prämienzahlungen an die Versicherung pro Zeieinhei. Der Verlus der Versicherung im Zeiinervall (Z k 1, Z k ] is dann U k = R k by k für k 1. Dieser Verlus kann auch negaiv sein, was einen Gewinn bedeue. Die Zufallsvariablen U 1, U 2,... sind unabhängig und haben alle dieselbe Vereilung µ. Wir nehmen an, dass xdµ(x) < 0 gil (durchschnilicher Verlus < 0). Es sei aber µ((0, )) > 0 (ein Verlus is möglich). Sei a > 0 das Sarkapial der Versicherung. Die Tiefsände des Konosandes der Versicherung sind dann a U 1, a U 1 U 2, a U 1 U 2 U 3,... und reen zu den Zeipunken Z 1, Z 2, Z 3,... auf.

18 16 Diskree Zei Sei S n = U 1 + U U n für n 1 und S 0 = 0. Sei Ψ(a) = P (a S n < 0 für ein n) die Wahrscheinlichkei, dass die Versicherung irgendwann zahlungsunfähig is. Wir wollen Ψ(a) abschäzen. Sei m(r) = e rx dµ(x) für r 0. Dann gil m(0) = 1 und m (0) = xdµ(x) < 0. Wegen µ((0, )) > 0 gil auch lim r m(r) =. Wir nehmen an, dass ein ϱ > 0 exisier mi m(ϱ) = 1. (Dami so ein ϱ asächlich exisier, muss man noch annehmen, dass es ein r > 0 gib mi 1 m(r) <. Das is nur möglich, wenn µ([, )) für mi exponenieller Geschwindigkei gegen 0 geh.) Sei (F n ) n 0 die im Beweis von Saz 2.1 konsruiere Filraion zur Folge (U n ) n 1 von unabhängigen Zufallsvariablen. Sei M n = e ϱs n für n 0. Wir wissen bereis, dass (M n ) n 0 ein Maringal is. Sei τ(ω) = min{n : S n (ω) > a}. Das is eine Sopzei. Da τ(ω) < genau dann gil, wenn S n (ω) > a für ein n 0 gil, erhalen wir Ψ(a) = P (τ < ). Wegen Saz 2.3 is (M n τ ) n 0 ein Maringal. Aus Saz 2.4 folg E(M n τ ) = E(M 0 ) = 1. Nach Definiion von τ gil S τ > a und daher M τ > e ϱa, wenn τ < is. Dami erhalen wir E(M n τ ) M n τ 1 {τ n} dp = M τ 1 {τ n} dp e ϱa 1 {τ n} dp = e ϱa P (τ n) Somi is P (τ n) e ϱa E(M n τ ) = e ϱa für alle n 0 gezeig. Nun bilden die Ereignisse {ω : τ(ω) n} eine aufseigende Folge, die gegen das Ereignis {ω : τ(ω) < } geh. Es folg lim n P (τ n) = P (τ < ). Somi is Ψ(a) = P (τ < ) e ϱa gezeig. (Wenn µ([, )) für nich mi exponenieller Geschwindigkei gegen 0 geh, dann kann es sein, dass auch Ψ(a) für a langsamer als exponeniell gegen 0 geh.) 4. Finanzmahemaik Es wird eine diskree Version des Black Scholes Modells, das sogenanne Binomialmodell von Cox Ross Rubinsein zur Besimmung des fairen Opionspreises behandel. Die Zei wird als Zeiinervall von 0 bis N mi diskreen Zeipunken 0, 1, 2,..., N aufgefass. Eine fesverzinse Anlageform heiß Bond. Wir nehmen an, dass man den Bond genauso wie eine Akie in Sücken kaufen kann. Sei b n der Wer eines Sücks des Bonds zum Zeipunk n und γ der Zinssaz. Dann gil b n+1 = b n (1 + γ) = b n e ϱ für n 0, wobei ϱ = log(1 + γ) > 0 is. Daraus folg b n = b 0 e nϱ für n 1. Eine Akie is eine Anlageform mi zufälligen Kursschwankungen. Sei A n der Akienkurs, der Wer von einem Sück der Akie, zum Zeipunk n. Die zufälligen Kursschwankungen beschreiben wir durch ein einfaches Münzenwerfen. Seien U 1, U 2,... unabhängige Zufallsvariable, sodass P (U j = 1) = p und P (U j = 1) = 1 p für alle j gil. Gib µ die durchschniliche Kursseigerung der Akie an und beschreib σ > 0 die Größe der Schwankungen, dann gil A n+1 = A n e µ e σu n+1 für n 0. Sez man S n = U 1 + U U n, dann folg A n = A 0 e nµ+σs n für n 1. Wir nehmen an, dass µ σ < ϱ < µ + σ gil, das heiß dass die Kursänderung der Akie sowohl über als auch uner der des Bonds liegen kann. Ansonsen würde ja enweder nur der Bond oder nur die Akie gekauf werden. Eine Opion is das Rech, ein Sück der Akie zum Zeipunk N um den Preis K zu kaufen. Eine Bank verkauf dieses Opionsrech zum Zeipunk 0 an einen Kunden um den Preis w. Is der Kurs A N der Akie zum Zeipunk N größer als K, dann wird der Kunde die Akie kaufen und den Gewinn A N K erzielen. Ansonsen wird er nich kaufen und ha weder Gewinn noch Verlus. Definier man x + = max(x, 0), dann is der Gewinn in beiden Fällen gleich (A N K) +. Das is auch der Verlus, den die Bank zum Zeipunk N ha. Um diesen auszugleichen, leg sie den Berag w, den sie zum Zeipunk 0 erhäl, in die Akie oder den Bond an und versuch bis zum Zeipunk N den Berag (A N K) + zu erwirschafen, wobei zu jedem Zeipunk gekauf und verkauf werden kann. Eine Anlagesraegie leg man durch die Sückzahl α n der Akie und die Sückzahl β n