Das Vasicek Modell. Ein Short Rate Modell zur Beschreibung von Rentenmärkten

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1 Das Vasicek Modell Ein Shor Rae Modell zur Beschreibung von Renenmärken Daniel Schlomann 2. Juli 21

2 Inhalsverzeichnis 1 Der Renenmark 3 2 Einführung Shor Rae Modelle Grundlagen Wahrscheinlichkeisheoreischer Rahmen Das Geldmarkkono Die risikoneurale Bewerungsformel Was is ein Ornsein Uhlenbeck Prozess? Das Vasicek-Modell Die Shor Rae Die Bewerungsgleichung für Nullkupon Anleihen Bewerung eines Calls auf eine NKA Kriik am Vasicek Modell Zusammenfassung und Ausblick 22 Einleiung In diesem Vorrag wollen wir einige Berachungen am Renenmark vornehmen. Wir werden eines der grundlegenden Modelle zur Beschreibung von Renenmärken kennen lernen. Dazu werden wir wichige Definiionen und Annahmen reffen, um schließlich das Vasicek Modell berachen zu können. Dieses sochasische Zinsmodell wurde 1977 von Oldrich Vasicek veröffenlich und is eines der ersen Shor Rae Modelle. Wir werden sehen, dass man mi diesem Modell gu umgehen kann, das heiß es lassen sich geschlossene Formeln für die Shor Rae selbs und auch für die Bewerung angeben. Gleichzeiig werden wir aber auch Schwächen des Modells aufdecken.

3 1 Der Renenmark Der Renenmark is neben dem Akienmark Teil des organisieren Kapialmarks. Es werden fesverzinsliche Werpapiere gehandel, die ein Forderungsrech beinhalen. Im Vergleich zum Akienmark erwirb der Käufer also nich einen Aneil am Unernehmen, sondern gewähr dem Emienen einen Kredi. Die Verzinsung und die Laufzei sind bei der Ausgabe schon fesgeleg. Wichig für die folgenden Berachungen sind die Nullkupon Anleihen Zero Coupon Bonds. Es handel sich um Anleihen ohne laufende Kuponzahlungen. Dies bedeue, dass sie keine laufende Verzinsung haben und sich die Auszahlung auf den fesen Geldberag normier ewa 1,- e zu einem zukünfigen Zeipunk T beschränk. Der Gewinn sell sich somi für den Anleger lediglich als Differenz von Anfangswer der Nullkupon-Anleihe und Auszahlung am Ende dar. Am Mark gib es nich nur einen einheilichen Zinssaz, sondern Zinssäze in Abhängigkei z.b. von der Boniä des Schuldners, also der Krediwürdigkei und vor allem von der Laufzei. Deshalb berache man so genanne Zinssrukuren. Wird der Zinssaz in Abhängigkei von der Boniä des Schuldners berache, so kann man eine Boniäseinsufung des Schuldners durchführen. Gib man N Boniäsklassen vor mi 1 = ausgezeichnee Boniä z.b. Klasse AAA... N 1 = schleche Boniä z.b. Klasse CCC und N = Defaul-Klasse, dann is der Zinssaz umso höher, je schlecher die Raingeinsufung des Schuldners is. Berache man den Zinssaz in Abhängigkei von der Anlagedauer, so erhäl man üblicherweise eine seigende normale Zinssrukurkurve. Dies bedeue, dass ein Anleger für eine kürzere Anlagezei einen niedrigeren Zinssaz bekomm, als für eine längere Anlagezei. Hierzu berachen wir das folgende Beispiel: 1.1 Beispiel: Im Folgenden is die Zinssrukurkurve in Abhängigkei von der Anlagedauer vom 14. Juni 21 mi dem Programm R dargesell. Die Daen sammen von der Deuschen Bundesbank und sind Zinssäze für hypoheische Null-Kupon-Anleihen ohne Krediausfallrisiko. 3

4 Laufzei in Jahren Zinssaz in % p.a Tabelle 1: Zinssäze 14. Juni 21 Der zugehörige R-Code laue: 1 Z i n s s a z < c. 2,. 4 5,. 8, , , 1. 9, 2. 2, , , L a u f z e i < c 1 : 1 3 plo L a u f z e i, Zinssaz, ype=" l ", col=" red " Am 14. Juni 21 lag eine normale Zinssrukurkurve vor, da die Kurve sreng monoon wachsend is. Dies bedeue, dass der Zinssaz umso größer is, je länger die Anlage läuf. An dieser Selle sei allerdings bemerk, dass auch inverse Zinskurven zu verzeichnen sind. Anfang der 9er Jahre lag z.b. eine inverse Zinssrukurkurve vor. Es gab für kurzfrisige Anlagen höhere Zinssäze, als für längerfrisige. Schließlich gib es auch noch flache Zinskurven, bei denen der Zinssaz in Bezug zur Laufzei annähernd konsan is. 4

5 Ziel: Unser Ziel is es Zinsderivae beweren zu können. Zinsderivae sind Derivae am Renenmark, deren Underlying ein Zins is. Dazu wollen wir mi dem No Arbirage Prinzip beim Handel mi Finanzgüern gib es keinen risikolosen Profi ein Deriva durch Rückführung auf Nullkupon Anleihen beweren. Hierzu müssen wir die Zinssrukur beschreiben. Dies is jedoch aufwändiger, als bei einer Akienbewerung, da es wie zuvor beschrieben nich nur einen Zinssaz gib, sondern viele Zinssäze, die zeigleich simulier werden müssen. Des Weieren wird der Zinssaz selbs nich gehandel, sondern nur Derivae, die den Zins als Grundlage haben. Hierzu gib es nun mehrere Ansazpunke: Die Shor Rae Modelle Modellierung eines Zeipunkes der Zinssrukur. Die Shor Rae is der Zinssaz auf einem infiniesimal kleinen Zeiinervall. Sie wird mi Hilfe von sochasischen Differenialgleichungen modellier. Ein Ansaz samm von Oldrich Vasicek, den wir im Folgenden näher kennen lernen werden. Die Forward Rae Modelle Bei diesem Ansaz wird mi den so genannen Forward Raes Terminzinssäzen die gesame Zinssrukur modellier. Dies is also eine Verallgemeinerung der Shor Rae Modelle, da die Forward Raes zukünfige Shor Raes darsellen. Allerdings sind auch hier die Forward Raes nich am Mark zu beobachende Größen. Die Mark Modelle Verwende man Mark Modelle, so leg man Zinssäze wie z.b. den LIBOR London Inerbank Offered Rae zu Grunde, die am Mark beobachbar sind. Der LIBOR Zinssaz wird äglich in London um 11h Orszei von 12 Banken der Briish Bankers Associaion fesgeleg und sell einen Inerbankenzins dar, zu dem Banken Geld aufnehmen bzw. selbs anbieen. Die Bewerungsgleichungen, die man in den Mark Modellen erhäl, sind ähnlich gu zu handhaben wie z.b. die Black Scholes Formel. Deswegen sind die Mark Modelle in der Praxis wei verbreie. 5

6 2 Einführung Shor Rae Modelle Im zweien Teil werden wir nun zu Beginn einige grundlegende Definiionen und Zusammenhänge ausführen, die wir im Folgenden für das Versändnis des Vasicek Modells benöigen. 2.1 Grundlagen Zunächs werden wir feslegen in welchem wahrscheinlichkeisheoreischen Rahmen wir uns bei der Berachung von Shor Rae Modellen bewegen. Wir werden anschließend das Renenmarkmodell und die Shor Rae allgemein definieren. Außerdem werden wir das Geldmarkkono, die risikoneurale Bewerungsformel und Ornsein Uhlenbeck Prozesse einführen Wahrscheinlichkeisheoreischer Rahmen 2.1 Definiion: W Raum, Filraion Es sei Ω, F, P der zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeisraum und F eine Filraion, so dass W eine Brownsche Bewegung bzgl. F is. Die Filraion erfülle zudem die usual condiions, d.h. i F is rechsseiig seig, also F = F + = ɛ> F +ɛ ii F enhäl alle P Nullmengen und alle Teilmengen von P Nullmengen F sell hier wie üblich den Informaionsverlauf dar, so dass F den Informaionssand zum Zeipunk beschreib. Nun wollen wir uns aber beschränken auf einen endlichen Zeihorizon. Dazu fixieren wir ein T mi T <. Außerdem sei im Folgenden T T mi T >. Nun können wir das Renenmarkmodell mi einem endlichen Zeihorizon T definieren. 2.2 Definiion: Renenmarkmodell Das Renenmarkmodell mi endlichem Zeihorizon T is gegeben durch: 6

7 T [,, welches der leze Fälligkeiszeipunk im Modell is F T Filraion, welche die usual condiions erfülle p, T [,T mi T [, T als adapiere reellwerige sochasische Prozesse, welche die Preisenwicklungen der NKAs mi Fälligkei in T beschreiben. Um nun die Shor Rae definieren zu können, sellen wir einige Überlegungen an: Im Black Scholes Modell haben wir eine fese Zinsrae r vorausgesez. Dor wäre die Preisenwicklung der NKAs mi Fälligkei in T gegeben durch p, T = e rt. Da wir aber an den zufälligen Schwankungen der Zinsen ineressier sind, wollen wir diese in Abhängigkei von der Zei darsellen. Gegeben seien Zeipunke, T 1, T 2 mi T 1 < T 2 T. Es sei ρ die in fesgelege Zinsrae. Man berache nun die folgenden 2 Zahlungssröme: Zeipunk Zeipunk T 1 Zeipunk T 2 1 lege Berag 1 von T 1 bis T 2 fes Zahlungssrom 1 e ρt2 T1 2 Shor Selling T 1 Bond Kaufe p,t1 p,t 2 p, T 2 Bonds Zahlungssrom 1 p, T 1 p,t1 p,t 2 p, T 2 = 1 p,t 1 p,t 2 Nach dem No Arbirage Prinzip müssen die Zahlungen in T 2 übereinsimmen: e ρt 2 T 1 = p, T 1 p, T 2 ρt 2 T 1 = logp, T 1 logp, T 2 logarihmieren umformen, da T 2 T 1 > ρ = logp, T 1 logp, T 2 T 2 T 1 Wir schreiben hier nun den Zinssaz ρ in Abhängigkei von, T 1, T 2 : ρ, T 1, T 2 = logp, T 2 logp, T 1 T 2 T 1 7

8 Diese Darsellung gib uns im Zeipunk die sogenanne Forward Rendie für das Zeiinervall [T 1, T 2. Die Rendie eines T 1 Bonds NKA mi Fälligkei in T 1 in is dann wegen logp, = log1 = gegeben durch: ρ, T 1 := ρ,, T 1 = logp, T 1 T 1 Wenn wir nun annehmen, dass der Preisprozess p, T differenzierbar is nach T, so können wir auch die zukünfige augenblickliche und die augenblickliche Zinsrae definieren, indem wir das jeweilige Zeiinervall beliebig klein werden lassen: Die Forward Rae sell einen augenblicklichen in der Zukunf zum Zeipunk T 1 liegenden Zinssaz dar, welcher definier is durch: f, T 1 := lim ρ, T 1, T 2 = logp, T 1 T 2 T 1 T 1 Ähnlich zu der Forward Rae erhalen wir nun die Shor Rae als Zinssaz auf einem infiniesimal kleinen Zeiinervall. Anschaulich wird hier die Nullkupon Anleihe im nächsen Momen fällig: r := f, = lim T1 ρ, T 1 Nun haben wir die Forward Rae und die Shor Rae definier, von denen viele Zinssrukurmodelle ausgehen. Das Vasicek Modell is ein Shor Rae Modell und ha wie oben bereis erwähn die Shor Rae als Grundlage zur Berachung von Veränderungen der Zinssrukurkurve im Zeiverlauf. Die Shor Rae is ein sochasischer Prozess, da sie über die Preisenwicklung der NKA definier wird. Wir wollen noch einige Forderungen an die Shor Rae sellen. Genauer fordern wir, dass r T seige Pfade ha und zusäzlich der Markov Eigenschaf genüg. Diese Eigenschafen benöigen wir, um sicher zu gehen, dass die Shor Rae keine Sprünge aufweis und nich von der vergangenen Enwicklung abhäng, also der zukünfige Shor Rae Wer nur von dem Heuigen abhäng. 8

9 2.1.2 Das Geldmarkkono In diesem Abschni wollen wir das Geldmarkkono, bezeichne mi β, einführen. Es soll den Preisprozess der risikolosen Anlage auf Basis der Shor Rae r darsellen. Weier soll es möglich sein zu jedem beliebigen Zeipunk Geld zum Zins r anzulegen oder abzuheben. Es bezeichne β den Berag in uner seiger Verzinsung mi der Shor Rae bei Anlage von 1 im Zeipunk. Das Geldmarkkono ha die Darsellung: β = exp rsds Da r aufgrund der Markov Eigenschaf adapier is, is auch β ein an F T adapierer sochasischer Prozess. Im Folgenden wird uns β als sochasischer Diskonfakor dienen. Die obige Darsellung von β erhalen wir als Lösung der folgenden sochasischen Differenialgleichung mi Anfangsbedingung β = 1: dβ = rβd Da wir uns in einem zeiseigen Modell befinden, wird die Änderung von β in der Zei in Form einer Differenialgleichung angegeben. Mi sochasischen Differenialgleichungen möche man in einer Gleichung die Beziehung des akuellen Weres des sochasischen Prozesses zum zukünfigen Verlauf darsellen. Den zukünfigen Verlauf kann man sich als Ableiung vorsellen. Schreien wir in der Zei voran, so wird β mi der zugehörigen Shor Rae r verzins Die risikoneurale Bewerungsformel Bevor wir nun zur allgemeinen risikoneuralen Bewerungsformel für Nullkupon Anleihen kommen, wollen wir zunächs noch die Annahme reffen, dass es zu unserem realen Maß P ein äquivalenes Maringalmaß P gib, das heiß wir wollen eine Arbiragemöglichkei ausschließen. Hierbei definieren wir: 9

10 2.3 Definiion: Äquivalenes Maringalmaß Ein Wahrscheinlichkeismaß P auf Ω, F T heiß äquivalenes Maringalmaß falls i P P auf F T ii p,t β is ein P Maringal T also mi der Eigenschaf, dass P äquivalen is und der abdiskoniere Preis einer Nullkupon Anleihe für jede Fälligkei T ein Maringal is uner P. Wir folgen nun einem üblichen Ansaz, der als Maringale Modelling bezeichne wird. Hierbei sezen wir die Exisenz eines risikoneuralen Wahrscheinlichkeismaßes voraus und modellieren nich bzgl. des real vorliegenden Wahrscheinlichkeismaßes P, sondern bzgl. unseres risikoneuralen Wahrscheinlichkeismaßes P. Wie wir auch schon bei der Bewerung von Akienopionen in der Vorlesung Finanzmahemaik gesehen haben, is eine Modellierung der Basisinsrumene erforderlich. Im Black Scholes Modell konne man in der Akie und im Bankkono handeln. Wir konnen so Opionen durch ein geeignees Porfolio besehend aus Akie und risikoloser Anlage bzw. Kredi im Bankkono mi Zinssaz r duplizieren. Um aber nun eine Opion auf NKAs beweren zu können müssen wir die NKAs hedgen. Für eine duplizierende Handelssraegie einer NKA gib es aber kein anderes zu Grunde liegendes Finanzgu. Wir müssen folglich NKAs mi verschiedenen Fälligkeien gegenseiig hedgen. Wir wollen also die NKAs besser versehen und zunächs eine allgemeine risikoneurale Bewerungsformel für NKAs kennen lernen. Es sei an dieser Selle schon vorweggenommen, dass wir diese Formel im Vasicek Modell als geschlossene Fromel angeben können. 2.4 Saz: Die risikoneurale Bewerungsformel Sei Ω, F, P Wahrscheinlichkeisraum und P ein äquivalenes Maringalmaß. Für den Preis einer Nullkupon Anleihe mi Fälligkei in T gil: p, T = IE [exp rsds F 1

11 Beweis: Nach der Annahme oben gil, dass p,t β ein P Maringal is. T Da weier pt, T = 1 gil, folg für T : p, T β = IE [ pt, T βt [ 1 F = IE βt F = IE [exp Da das Geldmarkkono β adapier is an F T p, T = IE [exp rsds und somi die Behaupung. folg: [ rsds F = IE exp rsds F rsds F Was is ein Ornsein Uhlenbeck Prozess? Ähnlich zur Übung der Vorlesung Finanzmahemaik II können wir den Ornsein Uhlenbeck Prozess hier ewas allgemeiner als Lösung der Differenialgleichung dx = αµ X d + σdw mi der Anfangsbedingung X = x besimmen. Die Lösung laue: X = e α x + µ1 e α + σe α e αs dw s X wird als Ornsein Uhlenbeck Prozess mi Anfangswer x, mean reversion level µ, mean reversion rae α und Diffusion σ Zufalls Einfluss durch die Brownsche Bewegung bezeichne. Hinweis: Wäre die Diffusion, so wäre die zufällige Sörung der Anziehung an µ ausgeschale und der Prozess würde exponeniell gegen das mean reversion level konvergieren. Nun haben wir alle Vorbereiungen geroffen, um im nächsen Abschni das Vasicek Modell berachen zu können. 11

12 2.2 Das Vasicek-Modell Kommen wir nun also zu dem Shor Rae Modell von Oldrich Vasicek, das im Jahr 1977 im Journal of Financial Economics veröffenlich wurde. Es handel sich um ein so genannes Ein Fakor Modell. Das heiß, dass dem Modell in der Differenialgleichung, die die Shor Rae beschreib ein eindimensionaler Wiener Prozess zu Grunde lieg. Das Besondere an dem Modell, dass Vasicek veröffenliche war, dass er die Shor Rae in Form eines Ornsein Uhlenbeck Prozesses modelliere und die Shor Rae somi die Mean Reversion Eigenschaf hae. Dies bedeue, dass die Shor Rae von dem Mean Reversion Level immer wieder angezogen wird. In diesem Kapiel wollen wir also nun zunächs die Darsellung der Shor Rae genauer unersuchen und auch eine explizie Darsellung, sowie die Vereilung der Shor Rae angeben. Außerdem wollen wir eine Bewerungsgleichung für Nullkupon Anleihen angeben. Dami wollen wir dann schließlich eine Callopion auf eine Nullkupon Anleihe beweren Die Shor Rae Der Shor Rae Prozess im Vasicek Modell is Lösung der Differenialgleichung: dr = θ rd + σdw 12

13 mi Anfangsbedingung r = r wobei W ein Wiener Prozess bzgl. des äquivalenen Maringalmaßes P is. Das Modell für die Shor Rae wird also sofor uner T dem risikoneuralen Wahrscheinlichkeismaß P spezifizier Maringale Modelling. Dieses erhäl man aus dem Markpreis des Risikos, der eine Verbindung zwischen W und W hersell. Hierauf wollen wir an dieser Selle aber nich näher eingehen. Für die drei Parameer gil, θ, σ >. Hierbei seh für die Mean Reversion Rae, θ für das Mean Reversion Level und σ für die Diffusion. Befinde sich der Shor Rae Prozess zu einem Zeipunk über dem langfrisigen Miel θ, so is der Driferm negaiv Anziehung von oben gegen das Mean Reversion Level. Befinde er sich daruner, so is der Driferm ensprechend posiiv. Das beeinfluss die Geschwindigkei der Rückkehr zum Mean Reversion Level. Schließlich gib das σ den Zufalls-Einfluss durch den Wiener Prozess an. 2.5 Saz: Darsellung der Shor Rae Für die Shor Rae in gil: r = e r + 1 e θ + σ Beweis: e s dw s Der Beweis der Aussage is klar, denn r is die Lösung der oben genannen sochasischen Differenialgleichung und diese ha als Lösung den Ornsein Uhlenbeck Prozess. vergl. Abschni Nun können wir uns fragen, welche Vereilung die Shor Rae ha. Denn wenn wir die Vereilung kennen, dann können wir mi der Bewerungsformel Derivae beweren. 2.6 Saz: Vereilung der Shor Rae Die Shor Rae r is normalvereil bezüglich des risikoneuralen Wahrscheinlichkeismaßes P, genauer gil: 1 e r N e r + 1 e θ, σ

14 Beweis: Der Saz 2.6 liefer uns die Darsellung der Shor Rae als r = e r + 1 e θ+σ e s dw s, wobei W T ein Wiener Prozess bzgl. des risikoneuralen Wahrscheinlichkeismaßes P is. Mi dieser Darsellung wissen wir aber sogleich, dass r normalvereil is, da der leze Summand σe s dw s ein Iô-Inegral über eine deerminisische Funkion is mi σe s 2 ds < für alle, vgl. Übg. Bla 8 Finanzmahemaik II. Wir müssen nun noch den Erwarungswer und die Varianz von r besimmen, um die Behaupung zu zeigen: IE [ [ r = IE e r + 1 e θ + σ e s dw s [ [ = IE [e r + IE 1 e θ + σ IE e s dw s } {{ } = da Maringal = e r + 1 e θ Var [ [ r = Var e r + 1 e θ + σ e s dw s [ = Var [e r + Var [1 e θ +σ 2 Var }{{} = [ = σ 2 IE } {{ } = [ 2 = σ 2 IE e s dw s = σ 2 = σ 2 [ e 2s 2 2 = σ 2 1 e [ 2 e s dw s IE e s dw s e s 2 ds gil aufgrund der Iô-Isomerie, denn IE [ fsdw s } {{ } = da Maringal 2 = fs2 ds e s dw s 14

15 Die oben ausgeführe Normalvereilungs Eigenschaf der Shor Rae bedeue, dass r mi posiiver Wahrscheinlichkei auch negaive Were annehmen kann. Dies is ein Kriikpunk am Modell von Vasicek, worauf wir späer erneu eingehen werden. Mi Hilfe der Fourier Transformieren und dem Seigkeissaz von Lévy kann man einsehen, dass die Vereilung der Shor Rae für gegen eine N Vereilung θ, σ2 2 konvergier. An dieser Selle sieh man auch noch mal deulich, dass θ für das langfrisige Miel der Shor Rae seh. Der Erwarungswer und die Varianz der Shor Rae sind beschränk, da anschaulich gesehen auch in beliebig großem die Shor Rae in Folge der Mean Reversion Eigenschaf zu θ zurückgezogen wird und die Varianz so nich beliebig groß werden kann. Nun wollen wir die Bewerungsgleichung für Nullkupon Anleihen mi Fälligkei in T angeben: Die Bewerungsgleichung für Nullkupon Anleihen 2.7 Saz: Bewerungsgleichung für NKAs Sei r die Shor Rae, die dem Prozess definier durch die sochasische Differenialgleichung dr = θ rd + σdw folg. Weier sei T T. Der Preis einer Nullkupon Anleihe mi Fälligkei in T is dann im Zeipunk gegeben durch: 1 e T p, T = exp r 1 e T 1 e T 2 σ 2 Beweis: T θ σ2 2 2 Wir haben bereis die risikoneurale Bewerungsgleichung und die Darsellung der Shor 4 Rae kennen gelern: p, T = IE [exp rsds F 15

16 rs = e s r + 1 e s θ + σ s e s u dw u Die Shor Rae is hier ausgehend vom Zeipunk geschrieben als Zins in s vorher ausgehend vom Zeipunk Wir wollen zunächs eine Darsellung für das Inegral rsds besimmen: rsds = = = = r e s r + 1 e s θ + σ e s rds + e s rds + θ [ e s T + θ 1 e T = r + θ s 1 e s θds + σ [ 1 e s ds + σ s + e s T e s u dw u ds + σ 1 e T T s e s u dw u ds e s u dsdw u [ u T e s u + σ u dw u 1 e T u dw u gil mi Fubini für sochasische Inegrale. Für das Lebesque Inegral is bekann: b y a a fx, ydxdy = b b a x fx, ydydx. Dies kann verallgemeiner werden für sochasische Inegrale, so dass gil. Ähnlich wie bei der Argumenaion zur Normalvereilung der Shor Rae, können wir auch hier einsehen, dass rsds normalvereil is, da der leze Summand wiederum ein Iô Inegral über eine deerminisische Funkion is mi σ und 1 e T u σ sowie dw u = 1 e T u σ dw u 1 e T u σ dw u 2 ds < für alle, 2 ds < für alle T, vgl. Übg. Bla 8 Finanzmahemaik II. 1 e T u σ 1 e T u Da wir nun wissen, dass rsds normalvereil is, können wir folgenden Zusammenhang für eine normalvereile ZV X verwenden: IE [ expx = exp IE [ X + 12 Var[ X 16

17 Wir besimmen also im Folgenden IE [ rsds F und Var [ rsds F : IE [ rsds F [ = IE 1 e T r 1 e T = r + θ 1 e T = r + θ T 1 e T + θ T + σ [ 1 e T T + σ IE 1 e T 1 e T u dw u F 1 e T u dw u F } {{ } = da Maringal Var [ rsds F [ = Var 1 e T r + σ [ = Var 1 e T u dw u F 1 e T F r }{{} = + σ 2 Var [ [ = σ2 2 IE = σ2 2 = σ2 2 = σ2 2 = σ2 2 [ 1 e T + θ T 1 e T u dw u F + Var [θ 1 e T T F }{{} = 1 e T u dw u 2 F IE [ 1 e T u 2 du 1 2e T u + e 2T u du 2e T u T e 2T u s e T 1 e 2T T e T u dw u F } {{ } = da Maringal 17

18 gil aufgrund der Iô-Isomerie und der Unabhängigkei des Inegrals von F. Wir sezen nun unsere Ergebnisse ein und erhalen: p, T = IE [exp rsds F = exp IE [ rsds F Var [ rsds F 1 e T 1 e T = exp r + θ T + 1 σ 2 2 2e T 1 e 2T 2 2 T e T = exp r T 1 e T 1 e T = exp r T 1 e T θ σ2 2 2 θ σ2 2 2 Somi folg schließlich die Behaupung. + σ e T + 1 e 2T e T 2 σ Bewerung eines Calls auf eine NKA Schließlich wollen wir nun noch eine Formel angeben, mi der wir eine Call Opion auf eine Nullkupon Anleihe beweren können. Über die Dynamik der Preisenwicklung einer NKA mi Fälligkei in T werden wir sehen, dass wir die Bewerung auf ein Black Scholes Modell mi deerminisischen, zeiabhängigen Konsanen zurückführen können. Dies ermöglich uns eine einfache Bewerung. 18

19 2.8 Saz: Dynamik der Preisenwicklung einer NKA mi Fälligkei in T Sei T T mi T >. Für die Dynamik einer NKA mi Fälligkei in T gil: dp, T = p, T rd + σ, T dw Hierbei is W ein Wiener Prozess bzgl. P, r is im Vasicek Modell bekann, σ, T wird im Folgenden mi Hilfe der Iô Formel besimm. Beweis: Unseren Berachungen lieg eine Wiener Filraion zu Grunde. Außerdem wissen wir, dass p,t β ein P Maringal is. Im Folgenden sei p, T := p,t T β. Mi dem Maringaldarsellungssaz wissen wir nun weier, dass ein ϕ exisier mi: p, T = p, T + ϕsdw s Schreiben wir dies in Differenialschreibweise erhalen wir durch Erweierung: dp, T = ϕdw = p ϕ, T p dw = p, T σ, T dw, T }{{} :=σ,t Nun benuzen wir die parielle Inegraion, sowie die Darsellungen dβ = rβd und dp, T = p, T σ, T dw : dp, T = dβp, T = βdp, T + p, T dβ + d [β, p }{{} =,da β Pfade v. beschr. Var. = βp, T σ, T dw + p, T rβd = p, T σ, T dw + p, T rd = p, T rd + σ, T dw 19

20 Um jez σ, T genauer besimmen zu können, fassen wir p, T als Funkion von r und der Zeidifferenz T auf. Wir schreiben im Folgenden p, T = f T r, mi f T C R 2,1 [, T,,. Nun wenden wir die Iô Formel auf f T an. In Differnialschreibweise erhalen wir: df T r, = f T r, = f T r, f T r, d + f T r, dr + 1 r 2 d + f T r, r = + f T r, r = f T r, rd + σ, T dw 2 f T r, r 2 d[r θ r d + σdw θ r σ2 2 f T r, r 2 2 f T r, r 2 σ 2 d d + σ f T r, dw r mi r = σ, T = 1 f T r, 1 1+ f T r, r 1 σ f T r, f T r, r f T r, + f T r, θ + 1 r 2 σ2 2 f T r, r 2 Die vorliegende Dynamik der Preisenwicklung einer NKA mi Fälligkei in T dp, T = p, T rd + σ, T dw is also völlig analog zum Black Scholes Modell mi deerminisischen zeiabhängigen Konsanen zu sehen: ds = S µ d + σ dw Da wir wissen, wie wir in einem Black Scholes Modell beweren können, is es nun auch hier im Vasicek Modell einfach eine Bewerung zum Beispiel eines Calls auf eine Nullkupon Anleihe durchzuführen und eine ensprechende Formel anzugeben. 2

21 2.9 Saz: Call auf eine NKA Sei T 1 < T 2 T. Die folgende Formel gib im Zeipunk den Preis eines Calls Ausübungszeipunk T 1 auf eine NKA Fälligkei T 2 zum Srike Preis K an: C, T 1, T 2, K = p, T 2 Φd 1 Kp, T 1 Φd 2 wobei: d 1 = 1ˆσ p, log T2 + ˆσ Kp, T 1 2 d 2 = d 1 ˆσ ˆσ = σ 1 e T 2 T 1 1 e 2T 1 2 Φ = Vereilungsfunkion der Sandardnormalvereilung Inerpreaion der Formel: An dieser Selle erkenn man ebenfalls die Analogie zur bekannen Black Scholes Formel. Hier die Erinnerung an die Formel im Black Scholes Modell: P C = A Φh 1 A, T Ke rt Φh 2 A, T Im Black Scholes Modell kan man in der Akie und im Bankkono handeln. Die Invesiion in die NKA mi Fälligkei T 1 seh nun für die Rolle des risikolosen Bankkonos. Die Akie wiederum wird durch die NKA mi Fälligkei T 2 ersez Kriik am Vasicek Modell Oldrich Vasicek ha es mi seinem Modell ermöglich, dass die Varianz wegen der Mean Reversion Eigenschaf nich mehr beliebig groß wird, sondern beschränk bleib. Dies is ein Voreil, da in der Praxis der Zins in der Zukunf auch nich beliebig sark von einem gegebenen Wer abweichen wird. Außerdem kann man mi Hilfe seines Modells geschlossene Formeln für Preise von Nullkupon Anleihen angeben. 21

22 Ein Nacheil des Vasicek Modells wurde bereis erwähn. Die Normalvereilungseigenschaf der Shor Rae führ dazu, dass diese mi posiiver Wahrscheinlichkei auch negaive Were annehmen kann. Dies is ungünsig, da man in der Praxis implizi einen posiiven Zins voraussez. Ein weierer wesenlicher Nacheil von dem Modell beseh in der Tasache, dass man es nich an gegebene Markdaen kalibrieren kann, da nur drei Parameer, θ, σ > zur Verfügung sehen, um unendlich viele Bedingungen zu erfüllen. Insgesam sieh man also, dass das Vasicek Modell nich praxisauglich is. Im Ausblick werden wir sehen, dass man die Schwächen des Vasicek Modells beseiigen kann. 3 Zusammenfassung und Ausblick Wir haben nun das einfachse Shor Rae Modell zur Beschreibung von Renenmärken kennen gelern. Wir wissen nun, wie man im Vasicek Modell die Shor Rae in einer geschlossenen Formel angeben kann, wie sie vereil is und wie man in dem Modell Formeln für die Bewerung von Nullkupon Anleihen angib. Am Ende sind wir auch auf die Schwächen des Modells näher eingegangen. Es beseh die Möglichkei, diese Schwächen auszuschalen, indem man zum Beispiel in einem nächsen Schri zu dem so genannen Exended Vasicek Modell übergeh. Darin berache man die Parameer in Abhängigkei von der Zei, so dass eine Kalibrierung an gegebene Markdaen ermöglich wird. Man kann dieses Modell zwar ebenfalls mahemaisch gu handhaben, allerdings is auch hier die Shor Rae noch normalvereil, so dass der Zins noch immer mi posiiver Wahrscheinlichkei negaiv werden kann. Im CIR Modell Cox, Ingersol und Ross folg die Shor Rae einem Square Roo Prozess, also einem Wurzelprozess. In diesem Modell is es nun aber im Allgemeinen nich mehr möglich eine geschlossene Form für die Shor Rae anzugeben. Es is wesenlich schwieriger mi dem CIR Modell umzugehen. Jedoch is bekann, dass r einer nich zenralen χ 2 Vereilung folg und somi der Zins nich mehr negaiv werden kann. 22