Stochastik III. Skript zu einer Vorlesung an der Johannes-Gutenberg-Universität Mainz, Sommer Matthias Birkner. Vorläufige Version, 23.7.

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1 Sochasik III Skrip zu einer Vorlesung an der Johannes-Guenberg-Universiä Mainz, Sommer 215 Mahias Birkner Vorläufige Version, Kommenare, Korrekurvorschläge, Hinweise auf (Tipp-)fehler gerne per an senden

2 Inhalsverzeichnis 1 Brownsche Bewegung Grundlegendes Sarke Markov-Eigenschaf und Folgerungen Donskers Invarianzprinzip Sochasische Inegraion Zur Moivaion (Einige Eigenschafen) zeiseige(r) Maringale Sochasisches Inegral Semimaringale, ec Iō-Formel (und einige Anwendungen) Brownsche Bewegung und harmonische Funkionen Zur Black-(Meron-)Scholes-Formel Maßwechsel und Girsanov-Transformaion Sochasische Differenialgleichungen Maringalprobleme und schwache Lösungen von SDGln Markovprozesse und Maringalprobleme Dualiä

3 Kapiel 1 Brownsche Bewegung 1.1 Grundlegendes Definiion 1.1. Ein sochasischer Prozess (B ) mi Weren in R d heiß (d-dimensionale) Brownsche Bewegung, falls gil für n N, = < 1 < < n sind B 1 B, B 2 B 1,..., B n B n 1 unabhängig mi B i B i 1 N (, ( i i 1 )I d ) (1.1) und B is seig. Erinnerung Wir haben die Brownsche Bewegung (zumindes für d = 1) bereis in Sochasik II, WS 14/15 [S2] berache, vgl. [S2, Kap. 8]. Definiion 1.2. Seien X = (X), Y = (Y ) sochasische Prozesse mi demselbem Werebereich, die auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeisraum (Ω, A, P) definier sind. 1. Y heiß Modifikaion oder Version von X (und umgekehr), falls P(X = Y ) = 1 für alle gil. 2. X und Y heißen ununerscheidbar, falls es ein N A mi P(N) = gib, so dass für jedes gil {X Y } N. Bemerkung 1.3. Offenbar gil X und Y ununerscheidbar X und Y sind einander Modifikaionen, die Umkehrung gil i.a. nich (ändere z.b. einen seigen Pfad zu einer unif([, 1])- vereilen Zei willkürlich ab). Die Umkehrung gil, wenn wir (z.b.) a priori wissen, dass X und Y (f.s.) rechsseige Pfade besizen, denn dann gil X = und P( s Q+ {X s = Y s }) = 1. lim X s = lim Y s = Y auf {X s = Y s }. s, s Q s, s Q s Q + 2

4 Erinnerung f [, ) R d heiß Hölder-seig von der Ordnung γ (> ), falls es ein C < gib mi s, f(s) f() C s γ. f heiß lokal Hölder-seig, falls für jedes T > die Funkion f( T ) Hölder-seig is. Saz 1.4 (Kolmogorov-Chensov 1 ). X = (X ) R d -weriger Prozess, es gebe α, β > und für jedes T > ein C T < mi E[ X X s α ] C T s 1+β für s, [, T ]. 1. Dann gib es eine Modifikaion X von X, die lokal Hölder-seige Pfade besiz von jeder Ordnung γ (, β/α) 2. Für γ (, α/β), T >, ε > gib es ein K = K(ε, T, α, β, γ, C T ) < mi P( X X s K s γ für alle s, [, T ]) 1 ε. Beweis. Es genüg zu zeigen, dass X für jedes T > eine auf [, T ] (Hölder-)seige Modifikaion X (T ) besiz, denn dann sind X (T ) und X (T ) für T > T ununerscheidbar (vgl. Bem 1.3), N = { T X (T ) X (T ) } T,T N, T <T is Nullmenge und X = X (T ) für T N mi T > is auf N c wohldefinier (seze z.b. X = auf N). Sei im Folgenden d = 1 und T = 1 (zur Vereinfachung der Noaion). Mi Markov-Ungleichung gil P( X X s ε) ε α C 1 s 1+β, (1.2) insbes. X X s für s sochasisch (für jedes s [, )). Die zenrale Idee is, X zunächs auf dyadisch raionalen Zahlen zu konsruieren und dann seig forzusezen. Sei dazu zeige D n = {k/2 n k =, 1,..., 2 n }, D = D n, n N γ (, β/α), C = X X s sup < f.s. (1.3) s< 1 s γ s, D Sei ξ n = max X k=1,...,2 n k/2 n X (k 1)/2 n, 1 Andrey Nikolaevich Kolmogorov, ; Nikolai Nikolaevich Chensov,

5 P(ξ n 2 γn 2 n ) P( X k/2 n X (k 1)/2 n 2 γn ) (1.2) 2 n (2 γn ) α C 1 (2 n ) 1+β = C 1 2 (αγ β)n, k=1 also (denn αγ β < ) und P(ξ n 2 γn ) < n C = sup n N ξ n < f.s. 2 γn (mi Borel-Canelli is ξ n 2 γn für n N = N (ω)). Seien s, D, s < mi 2 m 1 < s 2 m (für ein geeign. m): l N, 1,..., l 1 D mi s = < 1 < < l 1 < l =, i i 1 = 2 n i mi n i > m und n > m #{1 i l n i = n} 2 (leich via dydische Enwicklung von s, zu beweisen) d.h. X X s l i=1 und (1.3) gil und insbesondere is X i X i 1 2 ξ n n>m 2C 2 γn = 2C n>m 1 2 γ 2 γ(m+1) 2C s γ 1 2 γ D X (f.s.) gleichmäßig seig. Seze X = lim X u, [, 1] u, u D (der Grenzwer exisier, denn sei (u n ) D mi u n, so is (X un ) Cauchy-Folge), es gil X X s sup C s< 1 s γ (verwende (1.3) und die Approximaionsdef.), für [, 1], s D, ε > is P( X X ε) P( X X s ε/2) + P( X s X ε/2), s, s D also P (X X ) =, d.h. 1. gil. 2. folg aus obigem Beweis, da C = C(ω) aus (1.3) f.s. endlich is. Bemerkung 1.5. Wir sehen aus dem Beweis, dass Saz 1.4 analog für jeden vollsändigen merischen Raum als Werebereich gil. 4

6 Korollar 1.6. Die Brownsche Bewegung B = (B ) (im Sinne von Def. 1.1) exisier, mi der Zusazannahme B = is die Vereilung eindeuig besimm ( Sandard-Brownsche Bewegung ). B ha f.s. lokal Hölder-seige Pfade der Ordnung γ für jedes γ < 1/2. Die Vereilung der Brownschen Bewegung is ein W maß auf C([, ), R d ), sie heiß auch das (d-dimensionale) Wiener 2 -Maß. Die Exisenz wissen wir eigenlich schon aus [S2, Saz 8.3 (im Skrip)], dor via Lévys explizie Konsrukion. Beweis. Berache zunächs d = 1. In [S2, Bsp (im Skrip)] haen wir (insbesondere) einen sochasischen Prozess (X ) (auf R [, ) ) konsruier, der (1.1) erfüll. Es is für n N E[ X X s 2n ] = E[( s Z) 2n ] = s n E[Z 2n ] mi Z N (, 1) und E[Z 2n ] = (2n)! 2 n n! = (2n 1) (2n 3) 3 1 <, Saz 1.4 mi α = 2n, β = n 1 liefer Modifikaion ( X ), die Hölder-seig zu jeder Ordnung γ < n 1 2n = n is. Sind B (1),..., B (d) u.a. Kopien der 1-dim. BB, so is eine d-dim BB. B = (B (1),..., B (d) ), Beobachung (B ) is Sandard-Brownsche Bewegung g.d.w. B zenrierer Gaußscher Prozess (d.h. (B 1,..., B k ) is mulivaria normalvereil für jede Wahl von 1 < < k, k N) mi seigen Pfaden und Cov[B s, B ] = s, s, (d-dim. Fall: die Kovarianzmarix is Cov[B i,s, B j, ] = δ ij s ) 2. (Skalierungsinvarianz) Für c is auch B = 1 c B c 2 Brownsche Bewegung 3. (Zeiumkehr) B Sandard-Brownsche Bewegung, so is ebenfalls Sandard-Brownsche Bewegung. B 1/, >, X =, = Beweis. 1. Sei zunächs (B ) eine (Sandard-) Brownsche Bewegung. Für s gil Cov[B s, B ] = Cov[B s, B s + (B B s )] = Var[B s ] + Cov[B s, B B s ] = s + = s = s. Die Umkehrung folg aus der Tasache, dass die endlich dimensionalen Vereilungen eines (zenrieren) Gaußschen Prozesses durch die Kovarianzen fesgeleg sind (vgl. z.b. [S2, Bsp. 4.5]) 2 Norber Wiener,

7 2. Es gil B =, B ha seige Pfade und für die Kovarianzen gil Cov[ B s, B ] = 1 c 2 Cov[B c 2 s, B c 2 ] = 1 c 2 (c2 s c 2 ) = s. 3. (X ) is Gaußscher Prozess, Cov[X s, X ] = scov[b 1/s, B 1/ ] = s( 1 s 1 ) = s für s, >, (1.4) Cov[X, X ] = =. (1.5) Offenbar is X seig für >. Zur Seigkei in = : (X (, 1] Q) d = (B (, 1] Q) und X und B haben beide seige Pfade in (, 1] (X ) (,1] d =(B ) (,1] P(X gleichmäßig seig auf (, 1]) = 1 lim X exisier f.s. Sei F = σ(b s, s ), (F ) die von B erzeuge Filraion, F + = > F. Saz 1.8 (Blumenhals -1-Gesez). F + is rivial, d.h. P(A) {, 1} für A F +. Beweis. Für n N seze Y n = (B 2 n + B 2 n) 2 n (mi Weren in C([, 2 n ], R)), Y 1, Y 2,... sind unabhängig (und sogar bis auf deerminisische Umskalierung idenisch vereil), also is T = σ(y m, m n) rival n N =F 2 n 1 (gem. Kolmogorovs -1-Gesez), demnach is auch F + = F = F2 n > n N rival. 6

8 Beispiel 1.9 (ein Bsp. für Anwendung von Saz 1.8). Es gil lim sup B = +, lim inf B = f.s. Insbesondere is B f.s. nich Hölder-seig der Ordnung 1/2 in = (und ebenso für jedes andere, fese > ), insbesondere is der Pfad nich differenzierbar. Mi Zeiumkehr (Beob. 1.7, 3.) folg auch und analog lim sup B B 1/ = lim sup d B = lim sup = lim sup zusammen mi Seigkei der Pfade also B =, für alle x R sup{ B = x} = f.s. (Rekurrenz der 1-dim BB). Beweis. Für s >, K N sei (offenbar A s,k A s,k für s s ), A s,k = { inf{ > B K } < s} A K = A s,k = { inf{ > B K } = } F +, s> also P(A K ) {, 1} gemäß Saz 1.8, wegen gil P(A K ) = lim P(A s,k ) lim inf P(B s/2 K s/2) = P(B 1 K) > s s B 1 = P(A K ) = P( A K ) = P( lim sup = + ). K N Für die analoge Aussage über den lim inf berache ( B ). Berich 1.1. Deailliere Auskunf über das Verhalen der Pfade der (eindimensionalen) Brownschen Bewegung geben das Gesez vom ierieren Logarihmus lim sup B 2 log log = 1 f.s., lim sup B 2 log log(1/) = 1 f.s. (beache: angesichs Beob. 1.7, 3. implizieren sich die beiden Formeln gegenseiig) und Lévys Seigkeismodul der Brownschen Bewegung: lim sup h sup [,1] B +h B 2h log 1 h = 1 f.s. 7

9 1.2 Sarke Markov-Eigenschaf und Folgerungen Definiion Eine Filraion (F ) heiß rechsseig, wenn F = u> F u für alle gil. Wir berachen die rechsseige Vervollsändigung der kanonischen Filraion: F = Fu u> (diese is rechsseig). Beache: nach Saz 1.8 gib es zu A F ein A F mi P(A A ) = Erinnerung ZV τ mi Weren in [, ] heiß Soppzei (bezgl. (F ) ), wenn gil {τ } F für jedes. F τ = {A σ(f u, u ) A {τ } F für jedes } is die (σ-algebra der) τ-vergangenhei. Bemerkung Sei (F ) rechsseig, dann is τ eine Soppzei g.d.w. {τ < } F für alle (denn {τ } = n {τ < + 1/n}). Weierhin gil für jede Folge τ n von Soppzeien mi τ n n τ : F τ = n F τn Bem.: im Allgemeinen is inf{ > X / [a, b]} keine (F )-Soppzei. Bemerkung Die Brownsche Bewegung is ein Maringal (bezüglich der kanonischen Filraion und auch bezüglich deren rechsseiger Vervollsändigung). Saz 1.14 (Opional sampling, zeikoninuierlicher Fall). (X ) Submaringal mi rechsseigen Pfaden, (F ) rechsseige Filraion, σ, τ Soppzeien. Wenn τ beschränk is oder wenn (X ) gleichgradig inegrierbar is, so gil X τ L 1 (P) und E[X τ F σ ] X σ τ f.s. Beweis. σ n = 2 n 2 n σ + 1, τ n = 2 n 2 n τ + 1 sind Soppzeien, die nur abzählbar viele Were annehmen, und σ n σ, τ n τ für n. Sei τ beschränk, τ T für ein feses T <. Dann is E[X τn F σm ] X σm τ n f.s. n, m N (opional sampling in diskreer Zei, z.b. [S2, Saz 1.35] oder [Kl, Saz 1.11 und Saz 1.21]), es gil m F σm = F σ (Rechsseigkei der Filraion), also mi m (und der Rechseigkei der Pfade von X) E[X τn F σ ] X σ τn f.s. (1.6) Rechseigkei der Pfade liefer X τn X τ f.s., noch zu zeigen is X τn X τ in L 1. 8

10 und Es is B k = E[X τk X τk+1 F τk+1 ] E[ k= (f.s.) B k ] = E[X τ ] inf k 1 E[X τ k ] <, demnach exisier A n = B k (f.s.) und M n = X τn A n erfüll E[M n F τn+1 ] = M n+1, d.h. k=n (M m ) m N is ein Rückwärsmaringal (beache F τn F τn+1 ). Gemäß Rückwärsmaringalkonvergenzsaz (z.b. [S2, Saz 2.14] oder [Kl, Saz 12.14]) exisier lim m M m in L 1, insbes. is {M n n N} gleichgradig inegrierbar. Wegen A n A mi E[A ] < is auch {A n n N} gleichgradig inegrierbar, {X τn n N} is gleichgradig inegrierbar, somi gil auch L 1 -Konvergenz und mi n in (1.6) folg E[X τ F σ ] = X σ f.s. Sei {X < } gleichgradig inegrierbar X L 1 (P) mi X X f.s. und in L 1 (P), denn dies gil längs jeder Folge k gemäß (Sub-)Maringalkonvergenzsaz (z.b. [S2, Saz 1.23] oder [Kl, Saz 11.14]), daher kann der Grenzwer nich von der Folge abhängen, und es is X τn E[X F τn ] f.s. n N. Weier gib es (wegen der gleichgradigen Inegrierbarkei) ein sreng monoon wachsendes, konvexes ϕ [, ) [, ) mi lim x ϕ(x)/x = und sup E[ϕ( X )] < (vgl. [S2, Erinnerung 1.26] oder [Kl, Saz 6.19]), mi Lemma von Faou und somi für jedes n E[ϕ( X )] lim inf E[ϕ( X )] < E[ϕ( X τn )] E[ϕ( E[X F τn ] )] E[E[ϕ( X ) F τn ]] = E[ϕ( X )] (< ). Demnach is {X τn n N} gleichgradig inegrierbar und die Argumenaion wie oben greif. (Beache insbesondere: Für m n is (X τn (k/2 m )) k N ein gleichgradig inegrierbares Submaringal in diskreer Zei.) Beispiel Sei B Sandard-Brownsche Bewegung, τ x = inf{ B = x} (mi Bsp. 1.9) is τ x < für alle x. Für a, b > gil b P(τ a < τ b ) = a + b. Beweis. (Wir verwenden dasselbe klassische Maringal-Argumen wie Fall der gewöhnlichen Irrfahr.) Sei τ = τ a τ b, sarend von B = ( a, b) is (B τ ) beschränkes, insbesondere gleichgradig inegrierbares Maringal, also E[B τ ] = lim E[B τ ] = E[B ] =, 9

11 andererseis is E[B τ ] = ap(τ a < τ b ) + bp(τ a > τ b ) = b (a + b)p(τ a < τ b ). Wir schreiben P x für die Vereilung von (B + x), wobei B Sandard-Brownsche Bewegung, E x für Erwarungswere uner P x. Saz Die Brownsche Bewegung (B ) mi Vereilungen (P x ) x R d Markov-Eigenschaf, d.h. besiz die sarke E x [F ((B +τ ) ) F τ ] = E Bτ [F (B)] (f.s.) für F (R d ) [, ) R beschr. und messbar, τ f.s. endliche Soppzei. (Die schwache Markov-Eigenschaf is klar, vgl. z.b. [S2, Bsp. 6.19].) Beweis. Es genüg, Funkionen F (B) = f(b 1,..., B k ) mi k N, 1 < 2 < < k und f R k R se., beschr. zu berachen (Erwarungswere solcher Funkionen legen die Ver. auf (R d ) [, ) fes). x E x [F (B)] is seig und beschränk (verw. explizie Form als Gaußsches Inegral). τ n = 2 n 2 n τ + 1 is Soppzei, τ n τ für n. Es is E x [F ((B τn+) ) F τn ] = E x [f(b τn+ 1,..., B τn+ k ) F τn ] = E Bτn [f(b 1,..., B k )] n E Bτ [F (B)] wobei wir für das zweie Gleichheiszeichen verwenden, dass Markov-Prozesse in diskreer Zei (wir verwenden hier 2 n N ) ses die sarke Markov-Eigenschaf besizen (vgl. [S2, Saz 6.26] oder [Kl, Saz 17.14]) und für die Konvergenzaussage die Pfadseigkei von B ausnuzen. Weier is E x [ E x [F ((B τn+) ) F τn ] E x [F ((B τ+ ) ) F τn ] ] E x [ F ((B τn+) ) F ((B τ+ ) ) ] n (Seigkei der Pfade von B), also E Bτ [F (B)] = lim n E x [F ((B τ+ ) ) F τn ] = E x [F ((B τ+ ) ) F τ ] wobei wir für das zweie Gleichheiszeichen verwenden, dass n F τn = F τ (Rechsseigkei der Filraion). 1

12 Bemerkung Absrak berache ennehmen wir dem Beweis von Saz 1.16: Wenn ein Markov-Prozess X rechsseige Pfade ha und die zugehörige Übergangshalbgruppe die Feller-Eigenschaf 3 besiz (d.h. sie bilde seige Funkionen in seige Funkionen ab), so besiz X auch die sarke Markov-Eigenschaf. Saz 1.18 (Spiegelungsprinzip). B eindimensionale Sandard-Brownsche Bewegung, für a >, T > gil P( sup T B a) = 2P(B T a). Beweis. Sei τ f.s. endliche Sopppzei, zeige B = B τ (B B τ ), is ebenfalls BB. (1.7) Sei B τ = (B τ ) = (B τ ) (gesoppe BB), B = B τ+ B τ is BB, u.a. von F τ (sarke Markov-Eigenschaf, Saz 1.16), also (τ, B τ, B ) d = (τ, B τ, B ). Wegen B = B τ + B ( τ) +, B = B τ B ( τ) + folg (1.7). also Sei M = sup s B s, τ = inf{ > B = a}. Nach obigem is P(M T a, B T < a) = P(M T a, B T > a) = P(B T > a), P(M T a) = P(M T a, B T < a) + P(M T a, B T > a) + P(M T a, B T = a) = 2P(B T > a). = Saz 1.19 (Lévys Arcussinus-Gesez). B eindimensionale Sandard-Brownsche Bewegung, T >, ζ T = sup{ T B = }. P(ζ T ) = 2 π arcsin ( /T ), T Beache: ζ T ha Diche 1 πt 1/ (/T )(1 /T ), d.h. Bea( 1 2, 1 2 ) umskalier auf [, T ] (denn d dx arcsin(x) = 1/ 1 x 2 ), insbesondere is ζ T symmerisch um T /2 vereil. Beweis. Sei o.e. T = 1 (verwende Skalierungseigenschaf der BB). P(ζ 1 ) = P(B s für s (, 1]) = R P(B s für s (, 1] B = a) P(B da) = R P a (B s für s (, 1 ]) P(B da) 3 Eine Halbgruppe (P ) von posiiven Konrakionsoperaoren auf einem lokalkompaken Raum E heiß eine Fellersche Halbgruppe (benann nach William Feller, ), vgl. z.b. [Kl, Kap. 21.4, insbes. Def ] oder [Ka, Ch. 19] (die Def. is auf S. 369), wenn P (C (E)) C (E) wobei C (E) = {seige Funkionen auf E, die im Unendlichen verschwinden} und lim P f(x) = f(x) für jedes x E, f C (E) gil [dies implizier P f f für im Sinne der Sup-Norm für jedes f C (E), d.h. sarke Seigkei der Halbgruppe, z.b. [Ka, Thm. 19.6]. 11

13 und P a (B s für s (, 1 ]) = P ( inf s 1 B s > a ) = P ( sup B s < a ) = 1 2P (B 1 > a ) = P ( B 1 a ) s 1 gemäß Spiegelungsprinzip (Saz 1.18). Demnach (mi B einer u.a. Kopie der BB und X, Y u.a., N (, 1)) P(ζ 1 ) = P( B 1 B ) = P( 1 Y X ) = P(Y 2 (X 2 + Y 2 )) = 1 2π dx dy e (x2 +y 2 )/2 1 {y 2 (x 2 +y 2 )} = 1 2π 2π dr e r2 /2 dϕ 1 {sin 2 (ϕ) } = 2 π arcsin ( ) wobei wir in der drien Zeile in Polarkoordinaen inegrieren (beache y 2 /(x 2 + y 2 ) = sin 2 (ϕ)). 1.3 Donskers Invarianzprinzip Seien X 1, X 2,... u.i.v. reelle ZVn mi E[X 1 ] =, Var[X 1 ] = 1, S = k=1 X k + ( )X +1,. (S ) is eine ZV mi Weren in den seigen Pfaden. Das Haupergebnis dieses Abschnis is folgender Saz, sozusagen ein großer Bruder des ZGWS. Wir berachen als Werebereich C([, 1]) = {f [, 1] R seig} mi Merik d(f, g) = f g ; dies is ein polnischer Raum (für Separabiliä verwende z.b. Polynome mi raionalen Koeffizienen). Saz 1.2 (Donskers Invarianzprinzip). Es gil mi (B ) Sandard-Brownbewegung ( S n w ) n [,1] (B ) [,1] n Wir führen den Beweis durch Einbeung, dazu benöigen wir folgendes Lemma. Lemma 1.21 (Skorokhod 4 -Einbeung). X reelle ZV mi E[X] =, Var[X] = σ 2 <, dann gib es eine Soppzei τ mi L (B τ ) = L (X) und E[τ] = σ 2. Die Forderung E[τ] = σ 2 (< ) is enscheidend, sons könne man das Problem ziemlich rivial lösen via τ = inf{ B = X} mi X unabhängig von B. 4 Anaoly Volodomyrovych Skorokhod,

14 Beweis. Für L (X) = b a+b δ a + a a+b δ b mi a, b > (also E[X] =, E[X 2 ] = ab liefer τ = inf{ B = a oder B = b} das Gewünsche (Übungsaufgabe, vgl. auch Bsp. 1.15). Der allgemeine Fall durch Mischung : Sei µ M 1 (R) mi R x µ(dx) =, R x 2 µ(dx) = σ 2 <, dann gib es θ M 1 ((, ] [, )) mi µ = (,] [, ) ( v v u δ u + u v u δ v) θ(d(u, v)). (1.8) Sei m = (, ) v µ(dv) = (,) u µ(du), θ(d(u, v)) = 1 m (v u)µ(du)µ(dv) + µ({})δ (,)(du, dv), v, u leise das Gewünsche: (,) (, ) θ(d(u, v)) = 1 m (,) µ(du) (, ) µ(dv) (v u) = 1 m µ(du)(m uµ((, ))) = 1 (mµ((, )) + mµ((, ))) = µ(r {}), (,) m d.h. µ is ein W maß und ( v (,] [, ) v u δ u + u v u δ v) θ(d(u, v)) = µ({})δ + 1 m µ(du) µ(dv) (vδ u uδ v ) (,) (, ) = µ({})δ + µ(du) δ u + (,) µ(dv) δ v = µ. (, ) Sei (U, V ) θ, u.a. von (B ), dann leise das Gewünsche. τ = inf{ B = U oder B = V } Beweis von Saz 1.2. Sei (B ) Sandard-BB, konsruiere miels Skorokhod-Einbeung (Lemma 1.21) und der sarken Markov-Eigenschaf (Saz 1.16) Folge von Soppzeien = τ < τ 1 < τ 2 < so dass mi X n = B τn B τn 1 gil ( X n ) n N d =(X n ) n N und (τ n τ n 1 ) n N is u.i.v. mi E[τ 1 τ ] = 1. Sei S = X k + ( ) X +1,, k=1 13

15 also ( S ) = d (S ). Zeige Es gil 1 sup S r B r sochasisch. (1.9) n r n n τ n n n E[τ 1] = 1 (mi dem sarken Gesez der großen Zahlen), also auch τ r r f.s. 1 f.s. für r und δ n = sup τ r r r n erfüll δ n n n f.s. Sei w(b,, h) = sup B v B u u<v, v u h (wir wissen: w(b,, h) C,γ h γ f.s. für (jedes) γ < 1/2 nach Saz 1.4 und Kor. 1.6). Für n N, ε, h > is P( 1 sup S r B r > ε) P(w(B, n + nh, nh) > ε n) n r n = P (w(b, 1 + h, h) > ε) h (Skalierungseigensch. der BB) + P(δ n > nh) n d.h. mi n, dann h folg (1.9). 1 Analog gil sup S r +1 B r sochasisch, somi n r n n 1 n = sup Sr B r r n n n sochasisch. Sei ϕ C([, 1]) R seig und beschränk. Für ε, δ > sei F ε,δ = {f C([, 1]) g C([, 1]) mi f g < δ gil ϕ(f) ϕ(g) < ε}, es is F ε,δ C([, 1]) für δ. Somi E[ϕ((S n /n 1/2 ) [,1] )] E[ϕ((B ) [,1] )] = E[ϕ(( S n /n 1/2 ) [,1] )] E[ϕ((B n /n 1/2 ) [,1] )] mi n, dann δ, ε folg E[ ϕ(( S n /n 1/2 ) [,1] ϕ((b n /n 1/2 ) [,1] ] ε + 2 ϕ (P(B / F ε,δ ) + P( n δ)), lim sup E[ϕ((S n /n 1/2 ) [,1] )] E[ϕ((B ) [,1] )] =. n 14

16 Beispiel Für f C([, 1]) sei ϕ(f) = ψ(f(1)) mi einem ψ R R seig und beschränk, so is E[ϕ(B)] = E[ψ(B 1 )] = lim n E[ϕ((S n /n 1/2 ) [,1] )] = lim n E[ψ(S n /n 1/2 )], d.h. Saz 1.2 implizier den ZGWS. Analog gil eine mulivariae Form, d.h. für ψ R k R seig und beschränk, 1 < < k is lim E[ψ(S n 1 n /n 1/2, S 2 n /n 1/2,..., S k n /n 1/2 )] = E[ψ(B 1, B 2,..., B k )]. 2. Für f C([, 1]) sei ϕ(f) = ψ( max 1 f()) mi einem ψ R R seig und beschränk, so folg mi Saz 1.2 max r n S r n d n max 1 B, mi Saz 1.18 (beache: die Ver. von max 1 B ha keine Aome) also S r lim P( max > x) = 2P(B 1 > x) für x [, ). (1.1) n r n n Vgl. auch die explizie Abschäzung für feses n, z.b. [S2, Saz 6.27, Spiegelungsprinzip in diskreer Zei] : P( max m n S m x) 2P(S n x) P(S n = x) (mi Gleichhei, wenn Inkremene nur Were aus { 1,, 1} annehmen); man beache, dass für (1.1) keine Annahmen an die Vereilung von S 1 über die ersen zwei Momene hinaus benöig werden. 15

17 Kapiel 2 Sochasische Inegraion 2.1 Zur Moivaion Inegraion bezüglich nich-glaer Pfade Welchen Sinn können wir f s dg s geben? 1. Falls g C 1 : f s dg s = f sg s ds (als Sieljes-Inegral). Seien f, g [, ) R, f sei seig. 2. Falls g nich-fallend (und, sagen wir, rechsseig): Fasse g als Vereilungsfunkion eines Maßes µ g auf R + auf, µ g ((, ]) = g() g(), so is f s dg s = (,] f s µ g (ds) (als Lebesgue-Sieljes-Inegral, vgl. z.b. [S1, Kap. 1.7] oder [Kl, Def. 1.57]). 3. Falls g = g 1 g 2 mi g 1, g 2 nich-fallend, so is f s dg s = f s dg 1,s f s dg 2,s. Eine solche sog. Jordan-Zerlegung von g exisier g.d.w. V (g) = sup k N ( g ha endliche Variaion ). sup k = < 1 < < k = i=1 g i g i 1 < Siehe z.b. [Ka, Prob. 2.18], vgl. auch Bem. 2.7 unen. Die Pfade der Brownschen Bewegung (B ) haben mi W kei 1 unendliche Variaion für jedes >, denn die quadraische Variaion is > : V (B) sup n 1 sup{ B v B u u < v < u + 2 n } (vgl. auch Übungsaufgabe 1.3) daher kann man X s db s =?? nich in obigem Sinne realisierungsweise definieren. 2 n B k/2 n B (k 1)/2 n 2 = k=1 16

18 Vorschau Im diskreen Fall haen wir gesehen (uner geeign. Bedingungen, vgl. [S2, Lemma 1.1]): (M n ) n N Maringal, (C n ) previsibel, so is (C M) n = n j=1 C j (M j M j 1 ) ein Maringal. Wir werden (in Analogie dazu) sehen: k=1 X k 1 n (B k n B k 1 n ) X s( ) db s für n (in geeigneem Sinne, für eine noch zu klärende Klasse von Inegranden X). Wir haen im Sochasik-Prakikum (vgl. z.b. WS 213/214, Sizung vom ) durch diskree Approximaion zufällige Pfade X = (X ) berache, die lokal ungefähr wie eine Brownsche Bewegung aussehen, d.h. E[X +h X X = x] = hµ(x) + o(h), Var[X +h X X = x] = hσ 2 (x) + o(h). für geeignee Funionen µ und σ 2. Obiges sog. Iō-Inegral wird uns gesaen, solche Prozesse X als Lösungen von X = X + µ(x s ) ds + in einem mahemaisch präzisen Sinn zu konsruieren. σ(x s ) db s 2.2 (Einige Eigenschafen) zeiseige(r) Maringale Definiion 2.1. Sei X = (X ) sochasischer Prozess (mi Weren in (E, B(E))) auf filrierem W raum (Ω, A, (F ), P). X heiß adapier, wenn für jedes gil: X is F -messbar. X progressiv messbar, wenn für jedes gil: Ω [, ] (ω, s) X s (ω) is F B([, ])-B(E)-messbar. sowie Offensichlich gil X progressiv messbar X adapier X adapier mi (rechs)seigen Pfaden X progressiv messbar. Progressive Messbarkei is wichig für das Zusammenspiel mi Soppzeien (der zu einer Soppzei τ ausgeweree Prozess X τ is an die ensprechende Vergangenhei F τ adapier, vgl. z.b. [RY, Prop. I.(4.8)] oder [Ka, Lemma 7.5]); weier erlaub progressive Messbarkei von X insbesondere Analysis-Operaionen wie f(x s) ds (dafür würde es allerdings auch schon ausreichen, dass Ω [, ) (ω, s) X s (ω) A B(R + )-B(E)-messbar is). Definiion 2.2. Ein filrierer W raum (Ω, A, (F ), P) genüg den üblichen Bedingungen (hypohèses habiuelles), wenn gil 1. F enhäl alle P-Nullmengen (d.h. N A, P(A) = N F ) und 2. (F ) is rechsseig (d.h. F = F + = ε> F +ε für jedes ). 17

19 Bemerkung 1.) erzwing, dass ein von einem adapieren Prozess (P-)ununerscheidbarer Prozess ebenfalls adapier is. 2.) erzwing z.b., dass die Zei des ersen Einris in eine offene Menge eine Soppzei is. Wir werden im Folgenden zumeis sillschweigend annehmen, dass der zugrundeliegende W raum die üblichen Bedingungen erfüll, es sei denn, dass wir explizi abweichende Voraussezungen formulieren. Beispiel 2.3. Sei Ω = C([, )) (= {f [, ) R f seig}), F = σ(ω(s) s ), A = σ(f, ), W x, x R das (1-dim) Wienermaß bei Sar in x. (d.h. die Ver. der BB sarend in x, aufgefass als W maß auf Ω, siehe Def 1.1 und Kor. 1.6). Seze F = {A A B F mi W (A B) = },. Es gil 1. F + F für 2. (F ) is rechsseig 3. (Ω, A, (F ), W ) erfüll die üblichen Bedingungen. Beweis. 1. Zeige Für A A gib es ein beschr., F -messbares Y mi E [1 A F + ] = Y W -f.s. (2.1) (Bem.: (2.1) kann als eine Verallgemeinerung von Blumenhals -1-Gesez, Saz 1.8 angesehen werden.) Für A = {X D,..., X k D k, X +s1 D k+1,..., X +sl D k+l } (2.2) mi k, l N, = < 1 < < k =, < s 1 < < s l, D 1,..., D k+l B(R) is E [1 A F + ] = lim n E [1 A F +1/n ] = 1 {X D,...,X k D k }W X (X s1 D k+1,..., X sl D k+l ), (2.3) W -f.s. was F -m.b. is, d.h. (2.1) gil für solche A. Hierbei haben wir für das erse Gleichheiszeichen den Konvergenzsaz für Rückwärsmaringale (z.b. [S2, Saz 2.14]) und für das zweie Gleichheiszeichen die (schwache) Markov-Eigenschaf und die Seigkei der Pfade ausgenuz. Da As der Form (2.2) einen -sabiler Erzeuger von A bilden, gil (2.1). Für A F + is demmach 1 A = E [1 A F + ] = Y W -f.s. mi Y F -m.b., insbes. {Y = 1} F und W (A {Y = 1}) =, d.h. A F, somi gil Sei A F + = ε> F +ε, insbes. zu n N gib es B n F +1/n mi 1 A = 1 Bn W -f.s., es is B = lim sup n B n (= n m n B m ) F + F nach 1., also d.h. 2. gil. gib es ein C F mi 1 A = 1 C W -f.s. und A F nach Def., 3. Sei W (N) =, also auch W (N ) = mi F und somi N F nach Def., Rechsseigkei von (F ) wurde in 2. gezeig. 18

20 Proposiion 2.4 (Doob-Ungleichungen, zeiseiger Fall). Sei (X ) ein Maringal oder ein nich-negaives Submaringal, X habe rechsseige Pfade. Dann gil für 1. λp( sup u X u λ) E[ X ] für λ, 2. E[ sup u X u p ] ( p p 1 )p E[ X p ] für p (1, ). Beweis. 1. und 2. gelen im zeidiskreen Fall (vgl. z.b. [S2, Saz 1.45] oder [Kl, Saz 11.2]). Sei λ < λ. Es is λp( sup u X u > λ) = λ lim n P( max m 2 n X m/2 n > λ) E[ X ] (2.4) wobei wir für das Gleichheiszeichen die (Rechs-)Seigkei der Pfade von X ausgenuz haben. Mi λ λ folg Analog is E[ sup u X u p ] = lim n E[ max m 2 n X m/2 n p ] ( p p 1 )p E[ X p ], (2.5) wobei wir für das Gleichheiszeichen wiederum die (Rechs-)Seigkei der Pfade von X und den Saz von der monoonen Konvergenz verwende haben. Definiion 2.5. Ein Maringal M = (M ) heiß quadrainegrierbar, wenn E[M 2 ] < für alle. M c 2 bezeichne die Menge der quadrainegrierbaren Maringale mi seigen Pfaden (bezüglich einem vorgegebenen filrieren W raum). Definiion 2.6. Für einen zufälligen oder deerminisischen) reellwerigen Pfad (X ) heiß V (X) = sup n n N,= < 1 < < n= i=1 X i X i 1 die Toalvariaion (von X zur Zei ). X ha endliche Variaion, wenn V (X) < für alle. Bemerkung V (X) is nich-fallend. 2. Falls X nich-fallend, so is V (X) = X X <. 3. Haben X und Y endliche Variaion, so auch X + Y, X Y. 4. X ha endliche Variaion es gib Y, Z nich-fallend mi X = Y Z. Beweis. 1., 2., 3. und 4. sind klar. Zu 4. : Für i 1 < i is X i X i 1 = 2(X i X i 1 ) + (X i X i 1 ), also gil für jede Zerlegung n i=1 n X i X i 1 = 2 (X i X i 1 ) + X X. Bilde Supremum über alle Zerlegungen von [, ]: i=1 V (X) = 2V (X) + X X 19

21 mi V (X) = sup n n N,= < 1 < < n= i=1 (X i X i 1 ), also X = X + V (X) 2V (X) und X + V (X), 2V (X) sind nich-fallend. Saz 2.8. Sei M seiges Maringal mi V (M) < f.s. für jedes >. Dann is M fas sicher konsan. Beweis. Wir nehmen o.e. an M =, sons berache M = M M. τ n = inf{ M n} inf{ V (M) n} is Soppzei und es gil τ n n f.s. M (n) = (M τn ) is dann ein beschränkes Maringal mi (uniform in ) beschränker Toalvariaion. Sei also o.e. M beschränk mi (gleichmäßig) beschränker Toalvariaion. 2 l E[M 2 ] = E[( M k/2 l M (k 1)/2 l) 2 ] = k=1 2 l E[(M k/2 l M (k 1)/2 l)(m k /2 M l (k 1)/2 l)] k,k =1 2 l = E[ (M k/2 l M (k 1)/2 l) 2 ] k=1 E[ max M k/2 M l (k 1)/2 l M k/2 l M (k 1)/2 l k 2 l mi l (Seigk.) 2 l k=1 V (M) V (M)< ] l wobei wir im drien Gleichheiszeichen die L 2 -Orhogonaliä der Maringalinkremene und in der lezen Zeile den Saz von der dominieren Konvergenz verwende haben. Somi E[M 2 ] =, P( Q+ {M = }) = 1, Seigkei der Pfade liefer M f.s. Saz 2.9. Für X M c 2 sei X = X M c = 2 n ( X 2 n L 2 (P) 1). (M c 2, ) is ein vollsändiger merischer Raum (wenn man ununerscheidbare Prozesse idenifizier). n=1 1. (X 2 ) is Submaringal, insbesondere is (E[X 2 ]) 1/2 nich- Beobachung 2.1. fallend. 2. X, Y M c 2 mi X Y = P( Q+ {X = Y }) = 1 P(X = Y für alle ) = 1 (Seigkei der Pfade), d.h. X und Y sind ununerscheidbar (im Sinne von Def. 1.2). Beweis von Saz 2.9. is (Pseudo-)Merik auf M c 2 (denn die L2 -Norm erfüll die Dreiecksungleichung) Sei {X (n), n N} M c 2 Cauchy-Folge, d.h. lim m,n X (n) X (m) =. 2

22 Insbesondere is für jedes {X (n), n N} L 2 (P) Cauchy-Folge in L 2 (P) X L 2 (P) mi X (n) L2 X. Zeige: (X ) is Maringal. Für A A, is lim n E[1 A X (n) X ] P(A) 1/2 ( lim n E[(X (n) X ) 2 ]) 1/2 = mi Cauchy-Schwarz-Ungleichung, also gil für s <, A F s E[1 A (X X s )] = E[1 A (X (n) X s (n) )] + E[1 A (X s (n) X s )] E[1 A (X (n) X )] =. = (X (n) is Maringal) mi n mi n Zeige: (X ) ha (f.s.) seige Pfade. Sei T >. Zunächs sellen wir sicher, dass X eine Version mi rechsseigen Pfaden besiz (um die Doob-Ungleichung anwenden zu können): seze für [, T ] Q X = E[X T F ] und dann für allgemeines [, T ] X = lim s, s Q X s, dies is eine rechsseige Version von X, da die Filraion rechsseig is. Nun is P( sup X (n) X ε) 1 E[ sup X (n) T ε2 X 2 ] 4 T ε 2 X(n) T X T 2 L 2 n mi Doob-Ungleichung (Prop. 2.4), demnach gib es eine Teilfolge n k mi k=1 P( sup X (n k) X 1 T k ) <. Borel-Canelli liefer X (n k) k X gleichmäßig in T f.s., d.h. (X ) [,T ] ha seige Pfade f.s. (und da dies für bel. T > gil, folg die Beh.) Bemerkung Der Beweis von Saz 2.9 zeig insbesondere: X, X (n) M c 2 mi X(n) X M c 2, so gil T >, ε > P( sup X (n) X ε), T n d.h. die Pfade konvergieren lokal gleichmäßig in Wahrscheinlichkei. Vorbemerkung zur quadraischen Variaion (Übung, vgl. Aufgabe 1.2). Für die BB is B 2 ein Maringal Sei (X ) ein allgemeineres seiges Maringal, was müssen wir von dem Submaringal (X 2 ) abziehen, dami es ein Maringal wird? Im zeidiskreen Fall haen wir gesehen (vgl. [S2, Lemma 1.4]): (X n ) n N L 2 - Maringal, A n = n k=1 E[(X k X k 1 ) 2 F k 1 ] (= n k=1 (E[X 2 k F k 1] X 2 k 1 )) (A = ), (A n ) ha nich-fallende Pfade, is previsibel (A n 1 is F n 1 -m.b.) und (X 2 n A n ) is Maringal. Gesuch: ein Analogon im zeikoninuierlichen Fall 21

23 Saz Sei (M ) M c 2 (und der zugrundeliegende W raum erfülle die üblichen Bedingungen, Def. 2.2). Dann gib es einen adapieren Prozess (A ) mi seigen, nichfallenden Pfaden und A =, so dass gil 1. E[A ] < für alle und 2. (M 2 A ) is ein Maringal. (A ) is eindeuig bis auf Ununerscheidbarkei (d.h. falls (A ) ebenfalls obige Eigenschafen besiz, so is P(A = A für alle ) = 1). Zur Vorbereiung des Beweises von Saz 2.12 benöigen wir: Definiion Ein linksseiger sochasischer Prozess (H ) der Form H = ξ k 1 (τk,τ k+1 ](),, k 1 wo τ 1 < τ 2 < eine (endliche oder abzählbare) Folge von Soppzeien ohne Häufungspunk im Endlichen is (d.h. τ k f.s., wenn es unendlich viele sind) und ξ k eine beschränke, F τk -messbare reelle ZV für k N, heiß ein elemenarer Inegrand (auch: ein einfacher previsibler Prozess). Für (H ) dieser Form und einen (beliebigen) reellwerigen Prozess (X ) definieren wir H s dx s = ξ k (X τk+1 X τk ),, k 1 das elemenare sochasische Inegral (von H bezüglich X). Man beache: in der Summe sind f.s. nur endlich viele Summanden. Man schreib auch (H X) = H dx = H s dx s. Bemerkung 2.14 (Lineariä des elemenaren Inegrals). (H ), (J ) elemenare Inegranden, a, b R, so is auch (ah + bj ) ein elemenarer Inegrand und es gil (ah + bj) dx = a H dx + b J dx. Zum Beweis gehe zu einer gemeinsamen Verfeinerung der jeweils zugrundeliegenden Soppfolgen über. Lemma (H ) elemenarer Inegrand mi sup H c f.s. für ein c R +, (X ) M c 2 mi X =. Dann gil E[( H dx)2 ] c 2 E[X 2 ] und ( H dx) Mc 2. (2.6) Beweis. H dx is seig (n. Konsr.) 22

24 Sei s <, k N: E[ξ k (X τk+1 X τk ) F s τk ] = ξ k (E[X τk+1 F s τk ] E[X τk F s τk ]) (ξ k is F s τk -m.b.) = ξ k (X τk+1 (s τ k ) X τk (s τ k )) (Opional sampling, Saz 1.14) = ξ k ( 1 {s<τk }(X τk X τk ) + 1 {s τk }(X s τk+1 X s τk ) ) = ξ k (X s τk+1 X s τk ), = =(X s τk+1 X s τk ) was F s -m.b. is, somi E[ξ k (X τk+1 X τk ) F s ] = E[E[ F s τk ] F s ] = ξ k (X s τk+1 X s τk ) (2.7) Ber. zunächs den Fall H = m k=1 ξ k 1 (τk,τ k+1 ]() für ein m N, d.h. H besiz nur endlich viele Sprungsellen. Für s < is E[ H dx F s] = und m k=1 E[( H dx)2 ] = E[ξ k (X τk+1 X τk ) F s ] (2.7) = m k=1 E[ξ 2 k (X τ k+1 X τk ) 2 ] m k=1 ξ k (X s τk+1 X s τk ) = s H dx f.s. + 2 E[ξ k (X τk+1 X τk )ξ l (X τl+1 X τl )] 1 k<l m =E[E[ F τl ]]=E[ξ k (X τk+1 X τk )ξ l E[X τl+1 X τl F τl ]]= = c 2 m E[(X τk+1 X τk ) 2 ] = c 2 E[(X τm+1 X ) 2 ] c 2 E[X 2 ], k=1 d.h. (2.6) gil in diesem Fall (und die Schranke häng nich von m ab). Im allg. Fall is und H dx = lim m H(m) dx, H = lim H (m) m mi H (m) = m k=1 ξ k 1 (τk,τ k+1 ]() E[( H dx)2 ] lim inf E[( m H(m) dx) 2 ] c 2 E[X 2 ], (2.8) wobei wir für das erse Ungleichungszeichen das Lemma von Faou verwende haben. Demnach is für jedes T > die Familie von Maringalen ( H(m) dx) T, m N gleichmäßig L 2 -beschränk, insbesondere gleichgradig inegrierbar und somi is ihr Limes ebenfalls ein Maringal. 23

25 Beweis von Saz Sei o.e. M = (sons gehe zu M 2 = M M über, M M 2 = 2M M + M 2 is ebenfalls Maringal). Definiere Soppzeien τ (n) 1 =, τ (n) (n) k+1 = inf { > τ k M M (n) τ = 2 n }, k k, n N (beache: {τ (n) k, k N} {τ (n+1) k, k N} und für jedes n gil τ (n) k seige Pfade ha). Seze k f.s., da M dann is M 2 M 2 = = k 1 H (n) A (n) I (n) = k 1 = k 1 = M τ (n) k (M τ (n) k+1 {2(M (n) τ M (n) k τ k+1 1 (n) (τ,τ (n) ](), k k+1 M (n) τ ) 2, k H (n) dm = k 1 M (n) τ (M (n) k τ k+1 M 2 ) + (M 2 τ (n) τ (n) k k+1 M (n) τ ), k 2M (n) τ M (n) k τ k+1 + M 2 )} τ (n) k Nach Konsr. is sup H (n) Lemma 2.15 [und Bem. 2.14]) E[(I (n) M 2 n, also sup H (n) I (m) ) 2 ] (2 n + 2 m ) 2 E[M 2 ], d.h. {I (n), n N} is Cauchy-Folge in M c 2. Mi Saz 2.9 folg: = 2I (n) + A (n). (2.9) H (m) 2 n + 2 m (nach I = (I ) M c 2 mi I (n) I M c 2 n. Wähle (gemäß Bem. 2.11) eine Teilfolge n j mi P( sup I (n j) I 1 j j ) 1 j, 2 dann gil (mi Borel-Canelli) für jedes T > sup I (n j) I T j f.s., demnach auch A (n j) = M 2 2I (n j) A f.s. und (A ) ha seige Pfade, j da A (n j) nich-fallend is, gil dies auch für A, ebenso A = A (n j) = n. Konsr. 24

26 Schließlich is (M 2 A ) = (2I ) M c 2. Zur Eindeuigkei: Sei (A ) ein weierer Prozess mi den geforderen Eigenschafen, dann is Y = A A = (M 2 A ) (M 2 A ), ein seiges Maringal mi Pfaden von endlicher Variaion (nach Bem. 2.7, 4.), nach Saz 2.8 also Y f.s. Definiion Für M M c 2 heiß der Prozess (A ) aus Saz 2.12 die quadraische Variaion von M, er wird (meis) als M geschrieben (d.h. (M 2 M ) is ein Maringal). Man nenn M auch den Klammerprozess (engl.: bracke process) von M. Für M, N M c 2 definieren wir M, N = 1 4 ( M + N M N ),, die quadraische Kovariaion von M und N. Korollar Seien M, N M c 2. M, N = N, M is der (bis auf Ununerscheidbarkei) eindeuige adapiere Prozess mi seigen Pfaden von (lokal) endlicher Variaion mi 1. M, N =, 2. M N M N M, N, is ein seiges Maringal. Beweis. 1. Zu 2. beache M N = 1 4 ((M + N ) 2 (M N ) 2 ), Eindeuigkei wie im Beweis von Saz 2.12: Sei (Z ) ein weierer Prozess mi den geforderen Eigenschafen, dann is M, N Z = (M N Z ) (M N M, N ) ein seiges Maringal mi (lokal) endlicher Variaion M, N Z nach Saz Sochasisches Inegral Lemma H = k 1 ξ k 1 (τk,τ k+1 ]() elemenarer Inegrand mi sup H c [, ) f.s., M M c 2, dann is H M = ( H dm) Mc 2 und E[( H dm)2 ] = E[ H2 s d M s ], (2.1) (wobei H2 s d M s realisierungsweise als Lebesgue-Sieljes-Inegral definier is). Beweis. H M M c 2 haen wir bereis in Lemma 2.15 bewiesen. 25

27 Zu (2.1): Ber. zunächs H = m k=1 ξ k 1 (τk,τ k+1 ]() für ein m N, d.h. H besiz nur endlich viele Sprungsellen. Wie im Bew. von Lemma 2.15 is E[( H dm)2 ] = m E[ξk 2(M τ k+1 M τk ) 2 ] k=1 m = E[1 {>τk }ξk 2(M τ k+1 M τk ) 2 ] = ( ) = k=1 m k=1 m E[1 {>τk }ξk 2 E[M τ 2 k+1 2M τk+1 M τk + Mτ 2 k F τk ] ] =E[M τ 2 F τk ] M 2 k+1 τ k E[1 {>τk }ξk 2E[ M τ k+1 M τk F τk ]] k=1 m = E[ k=1 ξ 2 k ( M τ k+1 M τk )] = E[ H2 s d M s ], wobei wir in ( ) Saz 2.12 / Def verwende haben. Der Beweis funkionier genauso, wenn wir annehmen, dass es für jedes T > ein deerminisisches m = m(t ) gib mi τ m T was z.b. erfüll is, wenn wir a priori wissen, dass τ k+1 τ k δ für alle k N und ein feses δ > gil (und eine Durchsich der Beweise von Lemma 2.21 und Korollar 2.22) zeig, dass die Klasse der elemenaren Inegranden mi dieser (Zusaz-)eigenschaf für unsere Zwecke genüge). Für den allgemeinen Fall approximieren wir (wie im Beweis von Lemma 2.15) H = lim m H (m) mi H (m) = m k=1 ξ k 1 (τk,τ k+1 ](). Es gil E[ H2 s d M s ] = lim m E[ (H(m) s ) 2 d M s ] mi monooner (oder auch mi dominierer) Konvergenz. Weier is sup H(m) dm sup u H(m) dm = sup m N u,m N und analog sup H(m) dm sup m N sup H(m) dm 2 ( sup m N u u u m u,m N k=1 = sup u k=1 H dm, somi 2 H dm + sup u H dm) u ξ k (M u τk+1 M u τk ) ξ k (M u τk+1 M u τk ) = sup u H dm u 4 sup H dm 2, u nach Lemma 2.15 is ( H dm) Mc 2, nach Doobs L2 -Ungleichung (Prop. 2.4, 2.) (und nochmals Lemma 2.15 gil somi E[ sup u H dm 2 ] 4E[ H dm 2 ] 4c 2 E[M 2 ] <, u 26

28 demnach gil mi dominierer Konvergenz: E[( H dm)2 ] = lim m E[( H(m) dm) 2 ]. Definiion Für progressiv messbares (Y ), T >, M M c 2 sei Y 2 L(M;T ) =E[ T Y 2 u d M u ], L(M) ={Y progressiv messbar Y 2 L(M;T ) < für alle T > }. Bem. Sei µ M auf Ω [, ) definier durch µ M (A) = E[ 1 A (ω, ) d M ], so is Y 2 die L(M;T ) L2 -Norm von (Y (ω)) T bezüglich µ M. Beobachung 2.2. Y progressiv messbar und beschränk Y L(M), insbesondere liegen beschränke elemenare Inegranden in L(M) für jedes M M c 2. Beweis. (Offensichlich) Idee: Wir verwenden Lemma 2.21 und L 2 -Isomerie, um das (elemenare) sochasische Inegral (vgl. Def. 2.13) von den elemenaren Inegranden auf L(M) forzusezen. Lemma Sei (A ) adapierer Prozess mi seigen, nich-fallenden Pfaden, A = und E[A ] < für alle. Zu jedem progressiv messbaren Prozess Y mi E[ T Y u 2 da u ] < für alle T > gib es eine Folge H (n), n N von beschränken elemenaren Inegranden mi lim E[ T n H(n) s Y s 2 da s ] =. (2.11) sup T > Beweis. 1) Sei Y beschränk mi seigen Pfaden, T >. Seze H (n) = k= Y k/2 n1 (k/2 n,(k+1)/2 n ]() (dies is ein beschr. elemenarer Inegrand), es gil E[ T H (n) s Y s 2 da s ] n (2.12) (dominiere Konvergenz, denn H s (n) Y s n für jedes s und H s (n) Y s 2 Y ). 2) Sei Y beschränk (aber nich now. seig; wir verwenden ggfs. eine geeign. Gläung von Y und approximieren dann diese). Sei zunächs T > fes, wir nehmen o.e. an A is srik wachsend und bijekiv mi A A s s (2.13) (sons gehe über zu à = A + ) und Y =, Y = für > T. 27

29 Sei τ u = inf{ A > u}, u die Inverse von (A ), es is f() da = f(τ u ) du für f R + R + m.b. (2.14) (denn für f = 1 (a,b] is die linke S. = A b A a, die reche S. = λ({u a < τ u b}) = A b A a, dann approximiere allg. nich-neg. messbares f miels Linearkombinaionen solcher Sufenfunkionen, ec.) Für m N sei G (m) = m τ A 1/m (dies is eine gegläee Version von Y ), es is Y s da s, G (m) m Y (A A τa 1/m ) = m Y (A (A 1 m )) = Y, d.h. G (m) is beschränk, G (m) Zeige: G (m) is adapier: is seig. ( Y s da s ) is adapier. Für s is G (m) τ s τ A 1/m = inf{u A u > A 1 m } is F -m.b., = m (2.14) τ s τ Aτs =s = m 1/m Y u da u = m 1(τ s 1/m < u τ s )Y u da u 1(τ s 1/m < τ u τ s )Y τu du = m Y τu du (s 1/m) + demnach gil (realisierungsweise) G (m) τ s Y τs in L 2 (R +, λ) für m und somi (G (m) s Y s ) 2 da s = (G (m) τ s Y τs ) 2 ds m, E[ T (G(m) s Y s ) 2 da s ] E[ (G(m) s Y s ) 2 da s ] m (verwende dominiere Konvergenz). Nach 1) gib es beschr. elemenare Inegranden H (m,l), l N mi E[ T (H(m,l) s G (m) s ) 2 da s ], l wähle l m, so dass lim m E[ T (H(m,lm) s G s (m) ) 2 da s ] =, so leise die Folge von elemenaren Inegranden H (m) = H (m,lm), m N: lim sup E[ T (H(m) s Y s ) 2 da s ] m lim m 2E[ T (H(m) s G s (m) ) 2 da s ] + lim m 2E[ T (G(m) s Y s ) 2 da s ] = 28 s

30 (d.h. die Formel (2.12) gil für dieses Y und diesen Zeihorizon T ). 3) Zeige: Lemma 2.21 gil für beschr., progr. m.b. Y. Nach 2) gib es zu n N einen beschränken, elemenaren Inegranden H (n) mi E[ n (H(n) s Y s ) 2 da s ] 1 n, die Folge H (n), n N leise das Gewünsche: (2.11) gil. 4) Sei Y unbeschränk, seze Y (n) = Y 1 { Y n}, es gil E[ n (n) (Y s Y s ) 2 da s ] = E[ n Y s 2 1 { Ys n} da s ] n (dominiere Konvergenz). Approximiere Y (n) mi H (n) wie in 3), so dass dann gil auch E[ n (Y s H s (n) ) 2 da s ] 2E[ n E[ n (n) (Y s H s (n) ) 2 da s ] 1 n, (n) (Y s Y s ) 2 da s ] + 2E[ n (n) (Y s H s (n) ) 2 da s ] n (d.h. die Exisenz einer approximierenden Folge von beschränken elemenaren Inegranden, die (2.11) erfüllen, gil allgemein). Korollar Für M M c 2 definier eine Merik auf L(M), bezüglich der dich lieg. Y L(M) = 2 T ( Y L(M;T ) 1) T N L = {H H beschr. elemenarer Inegrand} Beweis. Verwende Lemma 2.21 mi A = M. Beobachung (L, L(M) ) H H M (M c 2, M c 2 ) is eine Isomerie (mi (L, L(M) ) aus Kor. 2.22, H M aus Def. 2.13, (M c 2, M c 2 ) aus Saz 2.9), insbesondere gil (H (n) ) n L Cauchy-Folge (H (n) M) n M c 2 Cauchy-Folge. nach Lem- Beweis. Für jedes T > is E[( T H dm)2 ] = E[ T H2 s d M s ] = H 2 L(M;T ) ma

31 Saz Sei M M c 2. Für X L(M) gib es einen (bis auf Ununerscheidbarkei eindeuigen) Prozess X M M c 2 mi der Eigenschaf {H (n), n N} L mi H (n) X L(M) n H (n) M X M M c 2 n. X M heiß das sochasische Inegral von X bezüglich M, man schreib auch (X M) = X dm = X s dm s. Beweis. Kor zeig, dass es mindesens eine X approximierende Folge von elemenaren Inegranden H (n) gib, die demnach eine Cauchy-Folge in L(M) is. Wegen Beob und Vollsändigkei von M c 2 konvergier H(n) M in M c 2 (und wir nennen ihren Grenzwer X M). Zur Wohldefinierhei: Sei H (n) L, n N eine weiere Folge mi H (n) X L(M), so gil H (n) H (n) L(M), also auch H (n) M H (n) M M c 2 = (H (n) H (n) ) M M c 2. Proposiion 2.25 (Eigenschafen des sochasischen Inegrals). Für M M c 2, X, Y L(M) gil 1. X dm = 2. Für a, b R is ax s + by s dm s = a 3. Mi s X dm = X dm s X s dm s + b X dm gil für s Y s dm s, E[( s X dm)2 F s ] = E[ s X2 u d M u F s ] P-f.s. 4. X dm = X2 u d M u 5. E[( X dm)2 ] = E[ X2 u d M u ] Beweis. 1., 2. (Enspr. gil für Approximanen H L, Übung) 3. Sei H (n) L mi H (n) X L(M), dann gil insbes. jedes. Sei s <, A F s E[1 A ( s X dm)2 ] = lim n E[1 A ( s H(n) dm) 2 ] denn H (n) X L(M) n. Vor. ( ) = lim n E[1 A s (H(n) u H(n) dm L2 (P) n ) 2 d M u ] = E[1 A s X2 u d M u ] X dm für 3

32 4. Sei s < : d.h. E[( X dm)2 X2 u d M u F s ] = E[( s X dm)2 s X2 u d M u F s ] = nach 3. + ( s X dm)2 s X2 u d M u, 2 ( X dm)2 X2 u d M u ) s X dm E[ s X dm F s] =, is Maringal X dm is Maringal (und die weieren in Saz 2.12 / Def geforderen Eigenschafen (adapier, seige, nich-fallend Pfade, Sar in ) sind offensichlich erfüll). 5. (Z.B. nehme Erwarungswer in 3.) Wie die folgende Proposiion zeig, is pfadweises Denken is wenigsens enlang Soppzeien erlaub: Proposiion M M c 2, X L(M), T ((F ) -)Soppzei, dann gil f.s. T X dm = (X M) T = ((X1 [,T ] ) M) = X s 1 [,T ] (s) dm s für alle. (Das erse und das drie Gleichheiszeichen sind (nur) noaionelle Ideniäen, das zweie Gleichheiszeichen is die eigenliche Aussage.) Beobachung Für N M c 2 mi N =, gil N = f.s. P(N s = fur alle s ) = 1. Beweis. Für s is auch N s = f.s. ( N ha nich-fallende Pfade), also E[Ns 2 ] = E[N 2] + E[ N s] =, d.h. P( {N s = }) = 1, Beh. folg mi Pfadseigkei. s, s Q + Beweis von Prop Seze X = X 1 [,T ] (), es is X L(M) und (X M) T ( X M) = ((X X) M) T (( X M) ( X M) T ) (2.15) (Lineariä des soch. Inegrals, Prop. 2.25, 2.) Für bel. (beschränke) Soppzeien S T, Y L(M) gil E[((Y M) T (Y M) S ) 2 F S ] = E[ T S Y 2 u d M u F S ] (2.16) ((Y M) 2 Y 2 u d M u is ein Maringal gem. Prop. 2.25, 4, wende darauf den Saz vom opionalen Soppen an). Für (feses) s is E[(((X X) M) T ((X X) M) s T ) 2 F s T ] (2.16) = E[ 31 T s T (X u X u ) 2 d M u F s T ] =, = da u T

33 d.h. ((X X) M) T M c 2 mi quadra. Var. Weier is P(((X X) M) T = für alle ) = 1 (mi Beob. 2.27). E[(( X M) ( X M) T ) 2 ] = E[ T X 2 u d M u ] = (denn X u = für u > T ) wobei wir für das erse Gleichheiszeichen (2.16) mi Ersezungen S T, T verwende haben, also (zusammen mi Seigkei der Pfade) P(( X M) ( X M) T = für alle ) = 1. Insgesam: Beide Terme auf der rechen Seie von (2.15) sind bis auf Ununerscheidbarkei. Korollar M M c 2, X, Y L(M), T Soppzei mi X1 [,T ] = Y 1 (,T ] (d.h. X und Y simmen auf [, T ] überein), dann gil f.s. Beweis. F.s. gil X dm = Y dm für alle T. T X dm ( ) = X1 [,T ] dm = X1 [,T ] dm ( ) = wobei wir für ( ) jeweils Prop verwende haben. Seien M, N M c 2, wir schreiben M, N = V ( M, N ) = sup k N sup = < 1 < < k = i=1 für die Toalvariaion von M, N (als Prozess in ). k T Y dm für alle, M, N i M, N i 1 (2.17) Saz 2.29 (Kunia-Waanabe-Ungleichung 1 ). Seien M, N M c 2, X L(M), Y L(N), dann gil f.s. Beweis. F.s. gil X s Y s d M, N s ( X 2 s d M s ) 1/2 ( Y 2 s d N s ) 1/2 für alle., λ Q M + λn = M + 2λ M, N + λ 2 N, insbes. gil f.s. (mi Noaion s = s ) s, λ Q M s + 2λ M, N s + λ 2 N s (2.18) 1 Hiroshi Kunia and Shinzo Waanabe, On square inegrable maringales, Nagoya Mah. J. 3, , (1967) 32

34 und somi auch f.s. s M, N s ( M s) 1/2 ( N s) 1/2 1 2 M s N s (2.19) (für die erse Ungl. verwende (2.18) und die Beob., dass ax 2 +bx+c die Lösungen b 2a ± 2a 1 D mi D = b 2 4ac ( Diskriminane ) besiz, wenn a > so muss D sein, dami inf x Q {ax 2 +bx+c} gil; für die zweie Ungl. verwende 2ab a 2 + b 2. Demnach gib es Ω Ω mi P(Ω ) = 1 so dass für ω Ω gil 1 A (s) d M, N s A (s) d M s A (s) d N s = ν(a) für alle A B(R), d.h. als Maße auf R + aufgefass sind d M, N (und offensichlich auch d M, d N ) absolu seig bezgl. dν. Nach Saz von Radon-Nikodým ([Kl, Kor. 7.34], [S1, Saz 2.22]) gib es (für ω Ω ) Dichen fu M, fu N, fu M,N, u so dass s M s = fu M s ν(du), N s = fu N s ν(du), M, N s = s f M,N u ν(du). Wegen (2.18) gil für ν-f.a. s λ R f M s + 2λf M,N s + λ 2 f N s (2.2) (zunächs für λ Q, da die linke S. als Funkion von λ seig is, gil die Aussage auch für alle λ R). Wähle λ s (= λ s (ω)) = γ Y s X s 1 1 {Xs } (mi γ R), also gil f.s. (mulipliziere (2.2) mi X 2 s ) X 2 s f M s + 2γ X s Y s f M,N s + γ 2 Y 2 s f N s für ν-f.a. s und alle γ R (2.21) (zunächs wieder für alle γ Q, dann Seigkeisargumen) und (2.21) bleib richig, wenn man fs M,N durch fs M,N ersez ((2.21) gil für γ und für γ). Inegriere (2.21) mi ν über (, ]: P-f.s. gil : γ R X 2 s d M s + 2γ ein Diskriminanenargumen wie oben liefer Beh. X s Y s d M, N s + γ 2 Y 2 s d N s, Saz 2.3 (Maringalcharakerisierung des soch. Inegrals (im L 2 -Fall)). Sei M M c 2, X L(M). Das sochasische Inegral X M is das (bis auf Ununerscheidbarkei) eindeuige Maringal Φ = (Φ ) M c 2 mi Φ = und für jedes N M c 2. Φ, N = X u d M, N u für alle f.s. 33

35 Beweis. Für H, K L, M, N M c 2 gil f.s. H M, K N = (Übung: Dazu genüg es nach Kor zu zeigen, dass E[( f.s. für s gil.) s H dm)( s K dn) F s ] = E[ H s K s d M, N s,. (2.22) s H u K u d M, N u F s ] Seien X, M, N wie in den Vor., zeige: Φ = X dm erfüll die Behaupung. Wähle L X (n), n N mi X (n) X L(M) n (gemäß Kor. 2.22). Fixiere T >, wähle Teilfolge X (k) = X (n k) mi T (k) X u X u 2 d M u k f.s. (wegen E[ T X(n) u X u 2 d M u ] n is dies mi Borel-Canelli möglich). Für M, N M c 2 gil ( M, N ) 2 ( M, N ) 2 M N (verwende Saz 2.29 mi X = Y 1), also für T X (k) dm X dm, N 2 X (k) X dm N Mi (2.22) für H = X (k), Y = 1: X (k) dm, N = = = ( X s (k) d M, N s X (k) u X s d M, N s + X u ) 2 d M u N k f.s. (2.23) ( X (k) s X s ) d M, N s für T Die linke Seie konvergier n. obigem für k f.s. gegen X dm, N, wegen ( X (k) s X s ) d M, N s ( X (k) s ( X (k) s X s d M, N s X s ) 2 d M s ) 1/2 ( N ) 1/2 k (verwende Saz 2.29 für die zweie Ungleichung) konvergier die reche S. gegen X s d M, N s. Da T > beliebig gewähl werden kann, folg die Beh. Zur Eindeuigkei: Habe Φ M c 2 ebenfalls die geforderen Eigenschafen, dann is Φ X dm, N für jedes N M c 2, insbesondere mi N = Φ z X dm is mi Beob Φ f.s. X dm f.s. Φ 34 X dm f.s.

36 Korollar Seien M, M M c 2, X L(M), X L( M). Es gil 1. X dm, X d M = X s Xs d M, M s für alle f.s. 2. Sei T eine Soppzei mi X T = X T, M T = M T für alle f.s., so gil f.s. T X dm = T X d M,. Bem. Aussage 2. versärk Kor dor wurde nur der Inegrand geänder, nich auch das M. Beweis. 1. Mi Saz 2.3 is X dm, X dm, M = X d M = X s d M, M s, X s d M, X dm s = X s Xs d M, M s. 2. Für N M c 2 is M M, N T f.s. (für eine Sopppzei τ is ses M τ = M τ, denn M τ 2 M τ is ein Maringal [verwende opional sopping]). = = X dm T X dm, N T Kor X d M, N T = X r d M M, N r =. X d M, N T = Insbes. gil für N = T X dm T gem. Beob Semimaringale, ec. X dm T X d M, N T X r d M, N r T X r d M, N r X d M : (N ) M c 2 mi N N (f.s.) Vorbemerkung Die bisher enwickele, auf L 2 -Argumene fußende Inegraionsheorie enhäl noch läsige Inegrierbarkeisvoraussezungen für die zulässigen Inegranden und Inegraoren. Berache folgendes Bsp.: M = B Sandard-BB, (somi M = ), Y = e αb2 1 [,1] () mi einem α R. Es is E[ Y s d M s ] = E[e 2αB2 s ] ds = e 2αx2 1 e x2 /(2s) = +, α( 1) > 1 4 dx ds =, R 2πs <, α( 1) < 1 4. =(2πs) 1/2 exp((2α 1/(2s))x 2 ) Insbesondere: eb2 s /5 db s is ein (von der bisher beracheen Theorie erfasser) wohldefinierer sochasischer Prozess, aber eb2 s /3 db s =?? exisier (bisher) nich. 35

37 Wir beheben diese(s) Problem(e) durch Lokalisierung miels geeigneer Soppfolgen. Im Folgenden erfülle der zugrundeliegende W raum ses die üblichen Bedingungen, vgl. Def Definiion Ein seiger adapierer Prozess (M ) heiß ein (seiges) lokales Maringal, wenn es eine Folge von Soppzeien T 1 T 2 mi T n f.s. gib, so dass (M Tn ) M c 2 für jedes n N. Die Folge (T n) n N heiß (eine) lokalisierende Sopp(zeien)folge (auch: eine reduzierende Sopppfolge). Wir schreiben = {M M seiges lokales Maringal}. M c loc Bemerkung Sei M M c loc mi lokalisierender Soppfolge (T n) und M =. Wir können ses annehmen, dass T n und M Tn = (M Tn ) beschränk sind. Beweis. Tn = T n n is ebenfalls lokalisierende Soppfolge. S m = inf{ M m} is Soppzei, es gil S m (Seigkei der Pfade) und M Sm m. Zeige: (M Sm ) is Maringal. Sei s, A F s E[M Sm 1 A ] = lim n E[M Sm T n 1 A ] = lim n E[M s Sm T n 1 A ] = E[M s Sm 1 A ], wobei wir für das erse und das drie Gleichheiszeichen dominiere Konvergenz und für das zweie Gleichheiszeichen opional sampling (für (M Tn ) M c 2 ) verwende haben. Bemerkung M c 2 Mc loc (und generell M seiges Maringal mi M = M M c loc ). Im Allgemeinen brauch ein lokales Maringal allerdings kein Maringal zu sein. Lemma 2.35 ( lokale Version von Saz 2.8). Sei M M c loc mi f.s. endlicher Toalvariaion auf [, ] für alle > und M =. Dann gil M f.s. Beweis. Sei (T n ) n lokalisierende Soppfolge. (M Tn ) is seiges Maringal mi endlicher Toalvariaion M Tn nach Saz 2.8. Wegen T n f.s. gil also M f.s. Saz und Definiion 2.36 ( lokale Version von Saz 2.12 / Def / Kor. 2.17). Zu M M c loc gib es einen (bis auf Ununerscheidbarkei) eindeuigen adapieren Prozess M = ( M ) mi seigen, nich-fallenden Pfaden, M = und (M 2 M 2 M ) M c loc. M heiß die quadraische Variaion von M. Für jede Soppzei T, M T = (M T ) gil M T = M T (= M T ). Für M, N M c loc is M, N = 1 4 M + N 1 4 M N (die quadraische Kovariaion von M und N) der (bis auf Ununerscheidbarkei) eindeuige adapiere Prozess mi seigen Pfaden von (lokal) endlicher Toalvariaion mi M, N und (M N M N M, N ) M c loc. 36