Bewertung von Garantiefondsprodukten Kolloquium Versicherungs- und Finanzmathematik Leibniz- Universität Hannover Freitag 13.

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1 Bewerung von Garaniefondsproduken Kolloquium Versicherungs- und Finanzmahemaik Leibniz- Universiä Hannover Freiag 13. Januar 2012 Dr. Jürgen Bierbaum Akuaria und Versicherungsechnik ALTE LEIPZIGER Lebensversicherung a.g.

2 Ausgangssiuaion Fondsgebundenes Lebensversicherungsproduk mi Ablaufgaranie (Mindesleisung) Garaniegeber = Lebensversicherungsunernehmen (LVU) Absicherung der Garanie durch Garaniefondskonsrukion Kapialanlagegesellschaf (KAG) sprich Garanie gegenüber LVU aus Aussage zur HGB-Reservierung Is diese Mindesleisung derar [ ] abgesicher, so is es [ ] ausreichend, eine evenuelle posiive Differenz von der prospekiv berechneen Deckungsrücksellung der Mindesleisung und dem Zeiwer des Bezugsweres zusäzlich zu [ ] auszuweisen. Die gegenwärige Gesezeslage verlang nich, eine vollumfängliche, prospekive Deckungsrücksellung für die Mindesleisung gemäß 341 f HGB einzusellen. Is dieser Ansaz (im Sinne des HGB, akuariell, ) hinreichend vorsichig? Überprüfung dieser Frage durch eine Arbeisgruppe der Deuschen Akuarvereinigung Seie 2

3 Ein fikives Gegenbeispiel Mindesleisung = 100, zahlbar bei Ablauf in 20 Jahren Rechnungszins = 2,25% Prospekive Deckungsrücksellung der Mindesleisung MDR = 1, = 64,08 Garaniefonds: Invesiion in Akien und Absicherung der Garanie miels dynamischem Hedging innerhalb des Sondervermögens Annahme: Markwer der Akiva im Garaniefonds F = 75 Gemäß obigem Verfahren is keine zusäzliche Reserve zu sellen. Berache einen nich dynamisch hedgebaren Kapialmarkschock i.h.v. 20%: Fondsvermögen fäll auf F = 60. KAG weierhin verraglich verpfliche, die Garanieleisung gegenüber dem LVU zu erbringen. LVU muss (zunächs) Differenz (MDR F) + = 64,08 60,00 = 4,08 reservieren. Bei Zahlungsausfall der KAG erleide das LVU einen ensprechenden Verlus. Wie und in welchem Umfang solle diese Problemaik berücksichig werden? Seie 3

4 Erse Anworen HGB und Akuarverordnung verlangen die Berücksichigung von Opionen und Garanien. Berücksichigung des Adressenausfallrisikos durch Reservierung der zugehörigen Kosen von Opionen und Garanien mögliche Lösung Solvency II erforder Bewerung von Opionen und Garanien sowie Besimmung einer Risikomarge für nich-hedgebare Risiken als Teil der versicherungsechnischen Rücksellungen, berache Realisierung von Adressenausfallrisiken bei der Besimmung des Solvency Capial Requiremen. Konkree Ansäze zur Bewerung von Opionen und Garanien bzw. der Risikomarge bezogen auf das Krediausfallrisiko gesuch. Seie 4

5 Ein kanonischeransaz Wer der Opionen und Garanien ensprich hier den fikiven Kosen der Absicherung einer Zahlungsunfähigkei der KAG. Credi Defaul Swaps sind Sandardinsrumene zur Absicherung von Zahlungsausfallrisiken. Ansaz für den Wer der kredirisikobezogenen Opionen und Garanien: ( ) D E B ANSK s U d min[ τ, T ] 1 0 = Q 0,. 0 mi Q geeignees Bewerungsmaß 1/B 0, Diskonfakor für das Zeiinervall [0,] ANSK Aneil der Kunden, die bis zum Zeipunk noch im Besand sind s Credi Defaul Spread gemäß Preis geeigneer Credi Defaul Swaps U Unerdeckung zur Zei = (MDR F ) + τ (zufälliger) Zeipunk des Zahlungsausfalls der KAG Seie 5

6 Fallsudie (1/2) CPPI-Hybrid mi Laufzei 20 Jahre Monasbeirag 100 Rechnungszins 2,25% Kosensäzen α = 4%, β = 5%, Managemen Fee des Fonds = 150 bp p.a. Muliplikaor 5, ensprechend einem maximalen Verlus von 20% p.m. Sochasische Modelle für die Bewerung Zinsmodell 1 Vasicek mi κ = 20%, θ = 4,5%, σ V = 0,5% dr Z ( θ r ) d σ dw = κ + Zinsmodell 2 Cox-Ingersoll-Ross mi κ = 20%, θ = 4,5%, σ CIR = 2,5% dr Akienmodell Black-Scholes mi σ BS = 25%, W Z,W A 0 ds Z ( θ r ) d σ r dw = κ + = r S d + σ BS S V CIR dw A Seie 6

7 Fallsudie (2/2) Modelle für die Gesamverzinsung der klassischen Lebensversicherungskomponene Modell 1 5-jähriges Miel der 10-jährigen Zinsen und 5-jähriges Miel von Akienrendien; Akienquoe = 10% Modell 2 10-jähriges Miel der 10-jährigen Zinsen und 5-jähriges Miel von Akienrendien; Akienquoe = 10% Kosen der Absicherung des Adressenausfallrisikos über die Zei konsan, d.h. s = s (konservaive) Annahme einer Sornoquoe von 0% Absicherungssraegie: Umschichung gemäß CCPI-Ansaz erfolg einmal pro Mona Überprüfung und ggf. Ausgleich einer Unerdeckung mi gleicher Frequenz Führ zur Diskreisierung in ( ) D Bewerung von einmonaigen Pu-Opionen enlang zufälligem Pfad 1 + [ Bm ( ) Ω ] 1, m MDRm Fm m ( τ, M ) min( τ, M ) 1 1 s 1 B = 0, m s Um EQ B0, m 1 EQ 1 m m m= 1 m= 1 min 0 = EQ Seie 7

8 Exkurs: CPPI-Konzep (1/4) Grundkonzep: Aufeilung des Porfolios (PF) in sichere und riskane (R) Die Überprüfung der Asse Allocaion erfolg laufend in Abhängigkei von der Marksiuaion; dabei wird der Barwer der Mindesleisung (= Floor) mi dem Markwer des Porfolios verglichen. Ziel: Porfoliower nach maximalem Verlus Floor Ansaz zur Feslegung der Asse-Allocaion: R (1 - maxloss) + (PF - R) Floor PF - Floor R = : Muliplikaor * maxloss mi Muliplikaor = 1/maxloss, = PF - Floor Anmerkung: Beim CPPI-Hybrid gil Floor = MDR (prospekive Deckungsrücksellung) Seie 8

9 Exkurs: CPPI-Konzep (2/4) und Muliplikaor besimmen die Asse-Allocaion Muliplikaor is abhängig von Volailiä der zugrundeliegenden Kapialanlage bzw. dem Niveau der Absicherung durch "Crash Pus" is abhängig von Kapialmarksiuaion (Zinssrukur) und Reslaufzei Vermögen PF Floor x 3 (Muliplikaor) Riskane Sichere Invesmen Risikosiuaion Zielallokaion Seie 9

10 Exkurs: CPPI-Konzep (3/4) Umschichungsmechanismus Annahmen: berag = Garanie = 100, akueller Barwer der Garanien = 80, Muliplikaor = Ausgangssiuaion 106 Szenario: seigende Märke Riskane seig um 10% Siuaion nach Umschichung =20 x3 Riskane 3x20= =26 Riskane 60x110%= =26 x3 Riskane 3x26=78 Floor (=80) Sichere =40 Floor (=80) Sichere =40 Floor (=80) Sichere =28 Seie 10

11 Exkurs: CPPI-Konzep (4/4) Umschichung in fallenden und seigenden Märken Annahmen: berag = Garanie = 100, akueller Barwer der Garanien = 80, Muliplikaor = 3 Szenario 1: fallende Märke Riskane sink um 10% Ausgangssiuaion Szenario 2: seigende Märke Riskane seig um 10% =14 x3 Riskane 3x14= =20 x3 Riskane 3x20= =26 x3 Riskane 3x26=78 Floor (=80) Sichere 94-42=52 Floor (=80) Sichere =40 Floor (=80) Sichere =28 Allokaion nach Markrückgang Ausgangsallokaion Allokaion nach Markansieg Seie 11

12 Fallsudie: Ergebnisse (1/2) Theoreische Kosen der Absicherung des Krediausfallrisikos Modell 1: Beiragszahlunzinzins Rechnungs- Mark- Akien Crash-Pu Absicherungskosen Crash-Pus Szenario Laufzei vola implied vola Zinsmodell absolu in % BS Basisszenario 20 Jahre monal % 4.50% 25% Variane 1: 40% Vasicek % RZ 3,25% 20 Jahre monal % 4.50% 25% Variane 1: 40% Vasicek % Markzins 3% 20 Jahre monal % 3.00% 25% Variane 1: 40% Vasicek % impl vola 45% 20 Jahre monal % 4.50% 25% Variane 1: 45% Vasicek % Laufzei 15 J 15 Jahre monal % 4.50% 25% Variane 1: 40% Vasicek % Laufzei 30 J 30 Jahre monal % 4.50% 25% Variane 1: 40% Vasicek % EB Jahre EB % 4.50% 25% Variane 1: 40% Vasicek % Basisszenario 20 Jahre monal % 4.50% 25% Variane 2: 7,5% / 10% Vasicek % RZ 3,25% 20 Jahre monal % 4.50% 25% Variane 2: 7,5% / 10% Vasicek % Markzins 3% 20 Jahre monal % 3.00% 25% Variane 2: 7,5% / 10% Vasicek % "impl vola 45%" 20 Jahre monal % 4.50% 25% Variane 2: 10% / 10% Vasicek % Laufzei 15 J 15 Jahre monal % 4.50% 25% Variane 2: 7,5% / 10% Vasicek % Laufzei 30 J 30 Jahre monal % 4.50% 25% Variane 2: 7,5% / 10% Vasicek % EB Jahre EB % 4.50% 25% Variane 2: 7,5% / 10% Vasicek % Implizie Volailiä 1. implied vola is konsan gleich 40% 2. implied vola ensprich der implied vola a he money (a..m.) in Höhe von 25% zuzüglich eines addiiven Zuschlags von 7,5% je 10% ou-of-he-moneyness, d.h. implied vola = 25% + 0,75 (1 Ausübungspreis / Kurs) Seie 12

13 Fallsudie: Ergebnisse (2/2) Kosen der Absicherung der Garanie durch crash pus haben deuliche Auswirkung auf Ablaufrendie des Produks. Fikive Kosen der Absicherung des Zahlungsausfalls der KAG liegen deulich daruner (CDS-Spread s dürfe normalerweise wei uner 10% liegen). Tasächliche Absicherung des Zahlungsausfalls vermulich nur indirek möglich ( cross hedge ) und mi hohem Aufwand verbunden. Der maximale Schaden bei Zahlungsausfall kann rech hoch ausfallen, insbesondere weil Akiencrash und Zahlungsausfall hohe Abhängigkei aufweisen. Anmerkungen zur Modellierung Beide Modellierungsansäze (Vasicek mi 5-Jahresmiel vs. CIR mi 10-Jahresmiel) liefern bei der gewählen Kalibrierung nahezu idenische Ergebnisse. Die Abhängigkei der Ergebnisse von der Modellierung der implizien Volailiä der crash pus is deulich größer. Seie 13

14 Fazi und Diskussion Auswahl der KAG und Versändnis des Wersicherungskonzeps des Garaniefonds von großer Bedeuung für das LVU. Zu sellende Reserven für kredirisikobezogene Opionen und Garanien eher vernachlässigbar, Risikokapialbedarf allerdings maeriell. Offene Punke Bei der Gesambewerung von dynamischen Hybridproduken sind auch die Opionen und Garanien im klassischen Bausein zu berücksichigen. Liquidiäsaspeke spielen bei der Umschichung zwischen Fonds und klassischem Sicherungsvermögen ebenfalls eine Rolle. Bei der Modellierung der Unerdeckung gib es eine sarke Abhängigkei von den verraglichen Regelungen. Verfeinerung der (sochasischen) Modellierung Ergebnisse für andere Garaniefondskonsrukionen? Seie 14

15 Quellen Arbeisgruppe Bewerung von Garanien der Deuschen Akuarvereinigung: Bewerung von Fondsgebundenen Renenversicherungen mi Garaniefonds und Variable Annuiies, DAV-Hinweis vom Europäische Kommission: QIS 5 Technical Specificaions, Seie 15