Linking Life Insurance Benefits to the Investment Performance

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1 S E M I N A R A R B E I T Linking Life Insurance Benefis o he Invesmen Performance ausgeführ am Insiu für Analysis und Scienific Compuing TU Wien uner der Anleiung von Sefan Gerhold durch Marlene Peck Marikelnummer: Wien, am

2 Inhalsverzeichnis 1 Einleiung 1 2 Enwicklung der Lebensversicherungsproduke 1960-heue 2 3 Leisungsanpassung der allgemeine Fall spezielle Versicherungsproduke Leisung bei Ablauf Gewinnbeeilige Versicherung mi garanierer jährlicher Rendie Vergleich: Versicherungssrukuren Uni Linked Produke Definiion Uni Linked ohne Garanien Uni Linked mi finanziellen Garanien weiere Produke Hybride mi Profi Polizzen Index Linked Polizzen Universal Life Polizzen variable Leibrenen Lieraurverzeichnis 23 i

3 1 Einleiung Das Haupmerkmal der in dieser Arbei beracheen Lebensversicherungen is nich die Risikoabsicherung, sondern eine seuerlich begünsige Form der Kapialanlage. Die Leisung der Produke häng von der Rendie, dem Markzins, dem Börsenindex, oder anderen finanziellen Indexen ab. Das Ziel für den Versicherungsnehmer is es einen höheren Errag aus dem invesieren Kapial zu erzielen, als mi dem herkömmlichen Rechenzins möglich wäre. Außerdem is es für den Versicherer wünschenswer eine Übereinsimmung mi dem vorherrschenden Markzins über die Vermögensgegensände, die die Reserve befüllen zu finden. Da der Rechenzins für die gesame Laufzei des Verrages fesgesez wird, wird dieser in der Regel möglichs niedrig gewähl um das Risiko des Versicherers zu minimieren. Der Zusammenhang zwischen finanziellen Indexen und der realisieren Leisung kann am besen veranschaulich werden, wenn Produke als Haupziel nich das Versichern einer Sache haben, sondern das Anhäufen eines großen Kapials, welches in weierer Folge invesier wird. Beispiele dafür sind: Kapiallebensversicherungen, Todesfallversicherungen und Leibrenen. Den Zusammenhang des Gewinns mi der Anlageperformance kann man grob in drei Aren von Versicherungen unereilen: Polizzen mi Garaniezins (daruner fallen folgende Produke: gewinnbeeilige Versicherungen, mi Profi Versicherungen, und Universal Life Versicherungen) Polizzen ohne Garaniezins (daruner fallen folgende Produke: Uni Linked Versicherungen, und Universal Life Versicherungen) Versicherungen mi explizien finanziellen Gewährleisungen (daruner fallen folgende Produke: Uni Linked Versicherungen, Index Linked Versicherungen, Universal Life Versicherungen mi minimalen Garanien und variable Leibrenen) Die in dieser Arbei beschriebenen Produke sind durch fixiere Prämien und Leisungen charakerisier. Das soll nich bedeuen, dass es sich immer um denselben Wer an sich handel, sondern Schwankungen sind sehr wohl möglich, müssen jedoch bei Verragsabschluss vereinbar werden. 1

4 2 Enwicklung der Lebensversicherungsproduke 1960-heue Um die Besonderheien der Lebensversicherungsproduke und die Ar, wie deren Leisung im Zusammenhang mi der Anlageperformance seh, zu erkennen, is es wichig sich mi der Ensehung dieser Produke zu befassen. Wie schon erwähn, beschäfigen wir uns in dieser Arbei haupsächlich mi Produken, die sich durch eine große Reserve im Vergleich zum Wer der versicheren Sache an sich, charakerisieren. Das bedeue es geh weniger um die Risikoabsicherung, als um eine seuerlich begünsige Form der Geldanlage. Die Idee, dass Versicherungsnehmer und Versicherer mögliche Gewinne oder auch Verluse eilen, is im Versicherungsgeschäf nichs Neues. Schon im 19. Jahrhunder wurden in Großbriannien und Deuschland vor allem Indusrie- und Jahresabschlussgewinne zwischen Versicherer und Versicherungsnehmer aufgeeil. In der Spare der Lebensversicherung wurde in Öserreich in den 1960-er Jahren eine seuerliche Begünsigung eingeführ, was zu einem Durchbruch dieser Spare führe. Zu dieser Zei ensanden auch Urformen des Uni Linked Produkes, deren Errag nur von den Anlagefonds abhäng. Viele Neuheien gab es in den 1970-er Jahren angesichs der Tasache, dass es eine hohe Inflaionsrae gab und dadurch einen dramaischen Rückgang an Volumen der Bereiche mi großen Sparaneil. Dadurch, dass die Laufzeien der Lebensversicherungsproduke in den meisen Fällen sehr lange is, und der Versicherer somi sehr lange Verbindlichkeien nachgeh, is dieser einem hohen Inflaionsrisiko ausgesez. Also solange die Inflaionsrae niedrig is und die Zinsrae posiiv, is kein Risiko bemerkbar. Hingegen, wenn umgekehr die Inflaionsrae sehr hoch is, geh dami ein Werverlus des versicheren Berages einher und dami verlier das Versicherungsproduk schnell an Ineresse. Das is naürlich sehr schlech für die Versicherungsunernehmen. Somi haben die Versicherer versuch dem Problem engegenzuwirken, indem Gewinne mi der Inflaionsrae, oder der Rendie in Verbindung gesez wurden. Da der Versicherer aber auch keine Gewährleisung auf die Inflaionsrae geben kann, ensand die gewinnbeeilige Lebensversicherung. Diese haben in den 1980-er Jahren eine große Bedeuung in Europa erlangen. In der gleichen Zei wurden neue Produke wie Uni Linked Versicherungen mi und ohne finanzielle Absicherungen populär. Am US-Amerikanischen Mark wurde das Universal Life Produk erfolgreich eingeführ. Dieses Produk zeichne sich dadurch aus, dass dem Versicherungsnehmer eine Vielzahl an möglichen Veränderungen offen sehen. In den 1990-er Jahren haben sich die indexgebundenen Lebensversicherungen enwickel, die dadurch gekennzeichne sind, dass die Prämienzahlung als Einmalerlag erfolg und der Kapialerrag an den Akienmark gebunden is. Heuzuage sezen sich vermehr variable Leibrenen durch, denn diese Produke bieen Sparmöglichkeien während des Berufslebens und späer privae Pensionslösungen an. Ein 2

5 2 Enwicklung der Lebensversicherungsproduke 1960-heue weieres beliebes Produk is die sogenanne Hybrid-Lebensversicherung, die eine Mischung aus einer gewinnbeeiligen und einer Uni Linked Versicherung darsell. Dieses Produk biee also einerseis eingebaue finanzielle Garanien und ein eher niedriges Rendienprofil, jedoch ha man andererseis auch die Möglichkei ein größeres Risikoprofil zu wählen. 3

6 3 Leisungsanpassung Dieses Kapiel befass sich mi den Anforderungen, die erfüll sein müssen, wenn die Versicherungssumme, die ursprünglich im Verrag fesgeleg wurde, während der Laufzei veränder wird. Auf diese Ar und Weise kann man auch versehen, wie der Zusammenhang zwischen dem Gewinn und einem beliebigen Index hergesell werden kann. 3.1 der allgemeine Fall Wir führen nun folgende Noaion ein: Laufzei bisher Jahre zum Zeipunk muss die Reserve V verfügbar sein Nun kann die Balance zwischen künfigen Leisungen und Prämien hergesell werden: V = Ben (, m) P rem (, m) (3.1) Wobei zu beachen is, dass Ben (, m) nich die Leisung am Ende des Jahres ( 1, ) einschließ, hingegen der Wer P rem (, m) die fälligen Prämien zum Zeipunk für das nächse Jahr einschließ. Aus Gleichung (3.1) erhalen wir die Gleichgewichsbedinung: V + P rem (, m) = Ben (, m) (3.2) Wobei Ben (, m) die Bruoverpflichungen des Versicherers zum Zeipunk darsell. Gleichung (3.2) zeig, dass eine derarige Verbindlichkei durch das gegenwärige Vermögen finanzier wird, dessen Wer mi V bezeichne wird. V seh auch mi dem zukünfigen Kapial in Zusammenhang, welches von den zukünfigen Prämien gekauf wird, dessen Wer P rem (, m) laue. Nehmen wir an, dass die Versicherungssumme zum Zeipunk angepass wird, sodass der Wer der Leisung um die Rae j [B] erhöh wird. Die echnische Bemessungsgrundlage änder sich nich. Um das Äquivalenzprinzip zu erhalen, muss auch die linke Seie der Gleichung (3.2) um die Rae j [B] erhöh werden. (V + P rem (, m))(1 + j [B] ) = Ben (, m)(1 + j [B] ) (3.3) Gleichung (3.3) verlang nich, dass die Leisung und die zukünfigen Prämien um die Rae j [B] erhöh werden. Dies wäre ohnehin bei Prämienzahlung als Einmalerlag gar nich 4

7 3 Leisungsanpassung möglich. Gewährleise muss nur sein, dass der gesame Wer um die Rae j [B] Es können auch verschiedene Anpassungsraen für die Reserve j [V ] Prämien j [Π] gewähl werden, solange folgende Gleichung erfüll is. V (1 + j [V ] erhöh wird. und die zukünfigen ) + P rem (, m)(1 + j [Π] ) = Ben (, m)(1 + j [B] ) (3.4) Da auch Gleichung (3.2) erfüll sein muss, erforder Gleichung (3.4) V j [V ] + P rem (, m)j [Π] = Ben (, m)j [B] (3.5) Gleichung (3.5) forder, dass die Anpassungen der Reserve und der Prämien im versicherungsmahemaischen Gleichgewich mi der Leisungsanpassung sehen. Da in Gleichung (3.5) drei Unbekanne (j [V ], j [Π], j [B] ) aufreen, sind unendlich viele Lösungen möglich. Der Wer V j [V ] wird Reserve-Sprung, oder Reserve-Anpassung genann und wird vom Versicherer finanzier. Um Konrolle über die relevanen Kosen, die den Versicherer bereffen zu haben, wird zuers der Wer j [V ] lau Versicherungsbedingungen gewähl. Als nächses wird auch lau diesen Bedinungen die Rae j [Π] gewähl. Schlussendlich wird die Rae j [B] berechne, sodass Gleichung (3.5) erfüll is. Schauen wir uns das genauer an: j [B] = j[v ] V + j [Π] P rem (, m) Ben (, m) Nun kann man Ben (, m) lau Gleichung (3.2) einsezen und man erhäl: (3.6) j [B] = j[v ] V + j [Π] P rem (, m) V + P rem (, m) (3.7) Gleichung (3.7) zeig, dass die Anpassungsrae der Leisung j [B] ein gewicheer Durchschni der Anpassungsrae der Reserve j [V ] und der Prämien j [Π] is. Die Gewiche, also V und P rem (, m) verändern sich mi der Zei. Dadurch, dass wir haupsächlich Produke berachen, deren Haupziel das Anhäufen von Kapial is, lieg es auf der Hand, dass die Wichigkei der Prämien sink und die Abhängigkei der Reserve mi der Zei zunimm. Das bedeue wenn = 0 oder sehr nahe an Null, wird erware, dass j [B] näher an j [Π] lieg und umgekehr. Offensichlich gil für Prämien mi Einmalerlag, oder generell bei Auslauf der Versicherung j [B] = j [V ]. Berachen wir nun die Reserve. Zum Zeipunk, also nach der Leisungsanpassung, jedoch vor der Prämienzahlung kann die Reserve folgendermaßen dargesell werden: V = V (1 + j [V ] ) (3.8) Aus Gleichung (3.4) erhalen wir eine Darsellung, die miels versicherungsmahemaischen Äquivalenzprinzip folgendes ergib: V = Ben (, m)(1 + j [B] ) P rem (, m)(1 + j [Π] ) (3.9) 5

8 3 Leisungsanpassung Falls gil: Kann man V darsellen als: Ben (, m) = Ben (, m)(1 + j [B] ) (3.10) P rem (, m) = P rem (, m)(1 + j [Π] ) (3.11) V = Ben (, m) P rem (, m) (3.12) Das zeig uns, dass wie auch gewünsch, V eine voraussichliche Rücklage is, uner der Voraussezung, dass die Anpassung nich dadurch ausgelös wurde, dass die Reserve korrigier werden muss, um ausreichende Rücklagen sicherzusellen. Aufgrund der Noaion solle klar sein, dass die Anpassunge hier nur Leisungen, Neoprämien und die Neoreserve bereffen. 3.2 spezielle Versicherungsproduke die Kapiallebensversicherung: Laufzei: m Jahre; Leisung der Höhe: C; jährliche Prämien der Höhe: P ; jährliche Anpassungen sind möglich, falls s = m: Sezen wir nun P 0 = P und weiers gil: P = P 1 (1 + j [Π] ) (3.13) Die Todesleisung, die zum Zeipunk + 1 geleise wird, is durch C +1 gegeben, wobei gil: C 1 = C und: C +1 = C (1 + j [B] ) (3.14) Die Erlebensleisung, geschrieben als S zum Zeipunk. Genauer gil: S 0 = C und S = S 1 (1 + j [B] ) (3.15) Nun läss sich der Zusammenhang darsellen: S = C +1 für = 0, 1,..., m 1. Für die Reserve gil nun (vgl. Gleichung (3.1) und (3.12)) für = 0, 1,..., m 1: V = Ben (, m) P rem (, m) (3.16) Hingegen gil für = m : V = Ben (, m) P rem (, m) (3.17) V m = S m 1 (3.18) V m = S m (3.19) Wie schon im allgemeinen Fall gil auch hier (s.gl. (3.7)): die Leisungsanpassungsrae j [B] lieg zwischen j [V ] und j [Π], solange = 1, 2,..m 1 is. Zum Zeipunk =m gil: j m [B] = j m [V ], da keine Prämien mehr bezahl werden müssen. 6

9 3 Leisungsanpassung Ablebensversicherung Versicherungsbeginn zum Zeipunk: 0; Leisung der Höhe: C; jährliche Prämien der Höhe: P, die s Jahre gezahl werden; Gleichungen (3.13) und (3.14) beschreiben die angepassen Prämien und Leisungen, die auch für ein Ablebensproduk gelen. Für die Reserve gil für die Zeipunke = 1, 2,..., s 1 : Ab dem Zeipunk = s, s + 1,... gil: V = C A x+ P 1 ä x+:s (3.20) V = C +1 A x+ P ä x+:s (3.21) V = C A x+ (3.22) V = C +1 A x+ (3.23) Daraus folg, dass auch hier gil: die Leisungsanpassungsrae j [B] is ein Durchschni der Anpassungsrae der Reserve und der Prämien, solange Prämien zu zahlen sind. Hingegen ab dem Zeipunk = s, s + 1,... gil j [B] = j [V ], da die Polizze schon voll bezahl is. Leibrene sofor beginnend; Ursprünglich ausgesell zum Aler x Jahre mi jährlicher Leisung b. Die Leisungsanpassungsrae is wieder dargesell als j [B] zum Änderungszeipunk. Da die Prämien per Einmalerlag gezahl werden gil für jeden beliebigen Zeipunk: j [B] = j [V ] Die angepasse Leisung zum Zeipunk, mi b 0 = b wird dargesell als: b = b 1 (1 + j [V ] ) (3.24) Lau unserer Annahme uner Gleichung (3.7), dass die Leisung, die zum Zeipunk gezahl wird, zulez zum Zeipunk 1 geänder wird, gil für die Reserve: V = b 1 a x+ (3.25) V = b a x+ (3.26) Wir merken an, da die Leisung an eine laufende Polizze zum Zeipunk gezahl wird, is es begründe die Leisungsanpassung vor der Zahlung durchzuführen. 3.3 Leisung bei Ablauf Wie schon erwähn is das Ziel einer derariger Leisungsanpassung eine größere Rendie für den Versicherungsnehmer zu erzielen, als es mi dem Sandardzinssaz möglich wäre. Um den Gewinn zu maximieren, werden auch die Kosen der Versicherungsleisungsanpassung von dem Versicherungsunernehmen übernommen. Der nächse Abschni beschäfig 7

10 3 Leisungsanpassung sich dami, wie aus Sich des Versicherungsnehmers, der Gewinn einer Lebensversicherung überhaup bemessen werden kann. Es is vernünfig Versicherungen zu berachen, die durch einen großen Anreicherungsprozess charakerisier sind, wie Kapial-, oder Ablebensversicherungen. Das Ergebnis der Anreicherung is die Leisung bei Beendigung des Verrags (bei einer Kapiallebensversicherung) oder der Rückkaufswer (bei Kapial- und Ablebensversicherung). Um das Ausmaß dieser Arbei nich zu sprengen, beschränken wir uns auf die Leisung bei Ablauf der Kapiallebensversicherung. Wir erinnern uns nochmal, dass die eingezahlen Prämien nich dem zu invesierenden Kapial ensprechen. Invesier wird der Sparaneil der Prämien, wobei ofmals der Versicherungsnehmer keine weieren Informaionen bezüglich der Abgrenzung verschiedener Prämienaneile erhäl. Deswegen vergleichen Versicherungsnehmen of den Gewinn mi den anfallenden Ausgaben für versicherungsechnische Aufwendungen. Berachen wir nocheinmal eine Kapiallebensversicherung. Wir erinnern uns, dass die Veränderung der Rae j [Π] nich nur die Neoprämie beriff, sondern auch für versicherungsechnische Aufwendungen angepass wird. Den Teil der Prämie für versicherungsechnische Aufwendungen, die zum Zeipunk gezahl werden, berechne man wie folg: mi P [T ] 0 = P [T ]. P [T ] = P [T ] 1 (1 + i[t ] ) m (3.27) Wir definieren nun die Leisung bei Ablauf als die Prämien für versicherungsechnische Aufwendungen. Bei jährlicher Zinsrae i [T ] muss folgende Gleichung erfüll sein: S m = m 1 =0 P [T ] (1 + i [T ] ) m (3.28) Anzumerken is, dass i [T ] die inerne Rae der Rendie der Cash-flows darsell. Diese werden vom Versicherungsnehmer gezahl und bei Verragsablauf werden diese dem Versicherungsnehmer auch asächlich ausbezahl. Ansa der Prämien für versicherungsechnische Aufwendungen, wäre es auch ineressan andere Mengen zu berachen, die immer mi der Zahlung des Versicherungsnehmers zusammenhängen. Genauer gesag kann man den Teil der Prämien für versicherungsechnische Aufwendungen auch mi dem Sparaneil der Prämien, oder den Neoprämien ersezen. In einigen Ländern, wie in Öserreich gib es einen Seuernachlass für Personen, die eine Lebensversicherung abgeschlossen haben. Mi dem Seuernachlass könne man dann naürlich den Gewinn bei Ablauf der Versicherung berechnen. Klar is, dass die Höhe des Seuernachlasses von der Versicherungssumme abhäng, also je höher die Summe, deso größer der Nachlass. Von einem finanziellen Sandpunk kann man den Gewinn für den Versicherungsnehmer am besen vom Fakor i [S] ablesen. Also nur die Sparprämie leise einen wesenlichen Beirag für die Anhäufung der Rendie bei Ablauf der Versicherung. Die Risikoprämie und die Prämie für versicherungsechnische Aufwändungen werden verwende, um die anfallenden Kosen des Versicherers zu decken. 8

11 4 Gewinnbeeilige Versicherung Gewinnbeeilige Versicherungen sellen für den Versicherungsnehmer eine Garanie für die Rendie sicher. Das bedeue, dass das Invesmen des Versicherers nich sehr risikoreich gewähl wird. Anlagen enhalen meisens Akien und die Invesmen Fonds sind innerberieblich. Das bedeue, dass der Gewinn, der in einem Jahr erziel wird, nich nur die Markbedingungen widerspiegel, sondern auch die Invesiionsmöglichkeien des Versicherers. Bei gewinnbeeiligen Polizzen wird die Rae j [V ] als r dargesell und wird Neubewerungsrae genann. 4.1 mi garanierer jährlicher Rendie G ensprich dem erzielen Invesmens des Versicherers innerhalb eines Jahres ( 1, ) im beeiligen Geschäf, welches das Vermögen in der Reserve abdeck. Bei einer gewöhnlichen Gewinnbeeiligung wird die Summe der Rendie des Invesmens für die Reserve des Versicherungsnehmers im Jahr ( 1, ) dargesell als: max{i, η g } (4.1) Wobei i den echnischen Zins und η die Gewinnbeeiligungsquoe darsellen, die jährlich vom Versicherungsunernehmen besimm wird, jedoch nach oben und unen begrenz is. Üblicherweise wird die Gewinnbeeiligungsquoe in den ersen Jahren des Verrags auf Null gesez, da zu Beginn sehr hohe Kosen für das Versicherungsunernehmen anfallen, und sich das Verhälnis ers im Laufe der Zei durch die Prämien wieder einspiel. Um die Rae r zu berechnen erinnern wir uns, dass die jährliche Rendie des Invesmens des Versicherungsnehmers Definiion (4.1) erfüllen muss. Wir nehmen an, dass für die Versicherung laufend Prämien gezahl werden. Am Anfang des Jahres, also zum Zeipunk 1, nachdem Prämien gezahl werden, enhäl das Invesmen des Versicherungsnehmers die Reserve V 1 und die Sparprämie P [S] 1. Am Ende des Jahres, also zum Zeipunk, beräg der Wer des Invesmens einer laufenden Polizze V. Lau Definiion (4.1) muss gelen: V = (V 1 + P [S] 1 )(1 + max{i, η g g }) (4.2) Also kann die Reserve V nun dargesell werden: V = (V 1 + P [S] 1 )(1 + i ) (4.3) Wir bemerken, dass Gleichung (4.3) auch gil, falls die Prämien nich mehr gezahl werden, da die Sparprämie in diesem Fall immer noch definier is. 9

12 4 Gewinnbeeilige Versicherung Der Zusammenhang zwischen V und V kann wie in Formel (3.8) beschrieben werden, wobei nun gil: j [V ] = r und wenn man dann noch Formel (4.3) mi (3.8) ausch, erhäl man schlussendlich: V = (V 1 + P [S] 1 )(1 + i )(1 + r ) (4.4) Addier man nun Gleichung (4.2) und (4.4) erhäl man: Und daher gil: (1 + i )(1 + r ) = 1 + max{i, η g g } (4.5) r = max{ η gg i 1 + i, 0} (4.6) Der Grund, dass r nich kleiner Null werden kann, is das zumindes der echnische Zinssaz i garanier wird. Es seh fes, dass i [S] einen geeigneen Messwer für den Gewinn bei Ablauf für den Versicherungsnehmer darsell. Die Rae i [S] bleib gleich, solange die Ar und Weise wie die Rendie Jahr für Jahr verwende wird auch nich veränder wird. Schwankungen bezüglich der Prämienzahlungen dürfen vorkommen. Schauen wir uns das im Deail an: i [S] = i [ave,guar] Aufgrund Formel (3.28) kann man S m berechnen als: S m = m 1 =0 oder folgende Gleichung für = m lösen: P [S] (1 + i [S] ) m (4.7) (1 + i [ave,guar] ) = (1 + max{η s g s, i }) (4.8) Eine andere Möglichkei um die Revaluierungsrae r darzusellen is folgende: s=1 r = max{ η g i 1 + i, r min } (4.9) Wobei r min die minimale garaniere jährliche Anpassungsrae darsell. Ofmals wird diese als Garanierae bezeichne, wobei hier nich der Technische Zins i gemein is, der ebenfalls garanier is. Ofmals wird Formel (4.6) mi einem niedrigeren echnischen Zins i, der uner dem gewöhnlichen Zins lieg, z.b i = 0. In diesem Fall nimm r min einen Wer an, sodass die gewöhnliche garaniere Rae erreich wird. Die Rae i wird manchmal reduzier, dami verhinder wird, dass mi dem garanieren Zins im vorhinein kalkulier wird. Für eine Polizze, die vor Ablauf beende wird, is die Leisung ewas kleiner, als der im vorhinein fesgelege echnische Zins. 4.2 Vergleich: Versicherungssrukuren Wie wir schon fesgesell haben, verrechne der Versicherer keine Gebühren, wenn finanzielle Opionen wie in (4.6) oder (4.9) angewende werden. Die Preiskalkulaion für die 10

13 4 Gewinnbeeilige Versicherung Abdeckung der gewinnbeeiligen Lebensversicherung is die gleiche, wie die Abdeckung der Versicherung mi fixer Leisung. Berachen wir nun die Leisung, welche die Garanie beeinfluss. Aufgrund Formel (4.1) oder (4.8) wird garanier, dass j [B] 0, außerdem sind klarerweise die Erlebens- und Todesfallleisungen durch die Garanie beeinrächig. Die Reserve is auch beeinrächig, denn uner Formel (4.1) wird r 0 gesez und uner Formel (4.8) gil r r min. Wir erinnern uns, dass falls es einen Rückkaufswer gib, is dieser ein Teil der Reserve, also is auch dieser beeinrächig. Wir kommen zu diesen Überlegungen, aufgrund der Ar wie finanzielle Garanien in gewinnbeeiligen Produken eingebau sind. Genauer gesag, bedeue das, dass keine Gebühr verrechne wird. Kürzlich haben die Versicherer neue Aren eingeführ wie die Neuwerungsrae r berechne werden kann, um die Kosen der Garanie zu senken. Darauf haben die Versicherer das lock in auf die realisieren exra Gewinne geschwäch. Uner einem lock in verseh man, dass einmal zugeeile Gewinne nich mehr verloren gehen können. Im folgenden werden diese modernen Aren der gewinngebeeiligen Polizzen berache, mi der Annahme, dass j [Π] = 0, wie es heuzuage üblich is. Im Hinblick auf die gewinnbeeilige Polizze, schauen wir uns die Anhäufung der Sparprämie an. Also anders gesag, wir berachen die Anhäufung des Invesmens des Versicherungsnehmers. Einfachheishalber referenzieren wir zu einer Kapiallebenversicherung, dies kann jedoch auch mi einer Leibrene, oder Ablebensversicherung verglichen werden. Nur zum Vergleich, berachen wir zunächs eine gewöhnliche Polizze mi fixen Leisungen. Ein derariges Produk garanier die invesiere Leisung i. Der Verlauf des Invesmens des Verischerungsnehmer kann folgendermaßen dargesell werden: V = (V 1 + P [S] 1 )(1 + i ) (4.10) Weiers gil dann: V = 1 s=0 P [S] s (1 + i ) s (4.11) Der Anhäufungfakor, der auf die Sparprämie angewende wird, wird dargesell als: f [0] (s, ) = (1 + i ) s (4.12) Wir berachen nun eine gewinnbeeilige Polizze mi Neubewerungsrae r, die in Formel (4.6) dargesell wird. Um späer einen besseren Vergleich uner verschiedenen Fällen darzusellen, wird diese Rae im Folgenden als r [1] bezeichne. Die Enwicklung mi der Zei des Invesmens von dem Versicherungsnehmer kann bechrieben werden als: V = (V 1 + P [S] )(1 + i )(1 + max{ η g i 1 + i, 0}) = (V 1 + P [S] )(1 + max{η g, i }) (4.13) Nun können wir uns für das Jahr ( 1, ) den Anhäufungsfakor definieren: f [1] ( 1, ) = (1 + max{η g, i }) (4.14) 11

14 4 Gewinnbeeilige Versicherung Allgemeiner, für ein beliebiges Zeiinervall (s, ) gil: f [1] (s, ) = Aufgrund des lock in Effeks gil: h=s+1 (1 + max{η h g h, i }) (4.15) f [1] (s, ) f(s, ) (4.16) Nachdem die Enwicklung des Invesmens des Versicherungsnehmers berache wird und falls die Neubewerungsrae wie in Formel (4.9) definier is, wird der Anhäufungsfakor dargesell als: f [2] ( 1, ) = (1+i )(1+max{ η g i und verallgemeiner: f [2] (s, ) = 1 + i, r min }) = max{(1+i )(1+r min ), (1+η g )} (4.17) h=s+1 Aufgrund des lock in Effeks gil hier: max{(1 + i )(1 + r min ), (1 + η h g h )} (4.18) f [2] (s, ) f [0] (s, ) (4.19) Außedem gil für die Parameer i und r min aus Formel (4.18), die meisens derar gewähl werden, dass für beliebiges Zeiinervall (s, ) gil: f [2] (s, ) = f [1] (s, ) (4.20) be- Im folgenden wird für den Vergleich die Revaluierungsrae r aus Formel (4.9) als r [2] zeichne. Wir berachen nun die Revaluierungsrae r [3], die wie folg definier is: r [3] = { η g i 1 + i } (4.21) Abhängig von der Differenz: η g i, kann die Rae r [3] auch negaive Were annehmen und es is keine Garanie eingebau. Der Anhäufungsfakor, der auf r [3] basier, kann wie folg definier werden: f [3] (s, ) = (1 + η h g h ) (4.22) h=s+1 Aus Formel (4.22) folg, falls keine Garanie eingebau is: f [3] (s, ) f [0] (s, ) (4.23) 12

15 4 Gewinnbeeilige Versicherung Außerdem gil: f [3] (s, ) f [1] (s, ) (4.24) f [3] (s, ) f [2] (s, ) (4.25) Formel (4.22) is nich wirklich annehmbar, denn vermulich kaum ein Versicherungsnehmer eine gewinnbeeilige Versicherung ohne Garanie abschließ. Jedoch is der einzige Weg, um ein lock in auf zusäzliche Gewinne des Invesmens zu verhindern, zuzulassen, dass die Rae r, falls nowendig, negaiv wird. Falls r < 0 wird die Reserve verkleiner, um die posiiven Anpassungen von den Jahren davor auszugleichen. Falls die Rae r wirklich negaive Were annehmen darf, wie in Formel (4.21), dann könne auch j [B] negaiv werden. Folgend wären die Todesfall- und Erlebensleisung nich mehr garanier, doch das wäre für keinen Versicherungsnehmer akzepierbar. Falls man Formel (4.22) adapier, kann man eine explizie Garanie auf die Todesfallleisung zum Zeipunk einführen: 1 C = C 1 max{ s=1 (1 + j [B] s ), (1 + j [B,guar] ) 1 } (4.26) Wobei C 1 die anfängliche Todesfallleisung beschreib. Das Produk (1+j s [B] ) die Neubewerung, die im Inervall (1, 1) aufkomm, basierend auf die invesiere Leisung; j [B,guar] is eine minimale garaniere Neubewerungsrae auf die Ablebensleisung. Um einen lock in in vergangenen Neubewerungen zu vermeiden, wird die Rae j [B,guar] nur zum Zahlzeipunk der Ablebensleisung gewähr. Eine ähnliche Gewährleisung kann für eine Erlebensleisung eingeführ werden. Vorausgesez, dass der Gewinn bei Ablauf das Resula der Anhäufung der Sparprämien darsell, dies wird meisens in einem Anhäufungsfakor angegeben. Folgende Definiion kann adapier werden: f [4] (s, m) = max m h=s+1 (1 + η h g h ), (1 + i ) m s (4.27) wobei i die garaniere Rendie bei Ablauf darsell. Den Fakor f [4] (s, m) kann man für das Zeiinervall (s, m), s = 0, 1,..., m 1 anwenden. Falls man den Wer des Invesmen zu einem Zeipunk, mi < m beweren will, solle man den Anhäufungsfakor f [3] (s, ) berachen. Wobei gil: f [4] (s, m) (1 + i ) m s (4.28) Also wenn wir die Leisung bei Ablauf der Versicherung berachen, wird eine Sparprämie zu einer jährlichen Rae angehäuf, die im Schni nich niedriger als i is. In Formel (4.27) wird i als jährliches durschni Minimum der garanieren Rendie des Invesmens des Versicherungsnehmers dargesell. Außerdem werden in diesem Fall vergangene exra Gewinne nich in einem lock in eingebau. Offensichlich sind auch anderer Lösungen möglich: Versicherer haben Lösungen enwickel, die ein lock in zwar nich vermeiden, jedoch riff das lock in nich jedes Jahr ein. Genauer gesag wurde die Rae r [3] adapier, uner der Voraussezung, dass alle k Jahre die milere Rendie des Invesmens des Versicherungsnehmers 13

16 4 Gewinnbeeilige Versicherung zumindes i sein muss. In diesem Fall wird der Anhäufungfakor wie folg definier: { f [5] (s, ) = f [5] h=z+1 (1 + η hg h ) wenn z z + k, max{ k h=z+1 (1 + η hg h ), (1 + i ) k } wenn = z + k (4.29) Wobei z = 0, k, 2k,.. und s z. Lösung (4.29) implizier ein Teil lock in der zusäzlichen Gewinne des Invesmens. Die Periode k wird normalerweise auf 3 oder 5 Jahre gesez. Falls k = m, wird Formel (4.27) als Spezialfall angenommen, denn der Gewinn wird zu Ablauf garanier. Sei noch angemerk, dass uner Formel (4.29) zu den Polizzen Jahresagen, also zu den Zeipunken k, 2k,... die Reserve nich verkleiner werden kann. Daraus folg wiederum, dass der Rückkaufswer zu diesen Zeipunken als fixer Berag fesgeleg is. 14

17 5 Uni Linked Produke 5.1 Definiion Das Haupmerkmal einer Uni Linked (=fondsgebundenen) Lebensversicherung is, dass das Risiko vom Versicherungsnehmer geragen wird. Der unerliegende Versicherungsschuz is meisens eine Kapiallebensversicherung. Die Prämien werden in einem Uni Fonds oder Reference Fonds invesier, die der Versicherungsnehmer aus einem geferigen Korb des Versicherers aussuch. Meisens kann aus verschiedenen Risiko-reurn Profilen gewähl werden und der Versicherungsnehmer kann zwischen einer eher konservaiven oder dynamischen Anlage Kombinaionen wählen. Üblicherweise kann die Linie des Invesmens, die der Versicherungsnehmer ausgewähl ha, späer auch noch veränder werden. Ofmals wird eine sogenanne swiching Gebühr verrechne. Falls eine swiching opion zu Verragsbeginn fesgeleg wird, kann der Versicherungsnehmer diese zu besimmen Zeipunken ohne Gebühr anwenden. Leisung: Der Fonds, der mi Prämien angehäuf wird, wird Polizzen Fonds oder Polizzen Accoun genann. Der Gewinn is definier in Zusammenhang mi dem Polizzen Fonds zum Zeipunk der Zahlung, also genauer: Die Erlebensleisung bei Ablauf: der sogenanne Ablaufgewinn, ensprich dem gegenwärigen Wer des Polizzen Fonds bei Ablauf der Versicherung. Die Ablebensleisung is der momenane Wer des Polizzen Fonds zum Todeszeipunk; zu welchen eine Risikosumme hinzugefüg wird, sodass dieser posiiv oder zumindes nich negaiv is. Der Rückkaufswer is der momenane Wer des Polizzen Fonds zum Zeipunk des Rückkaufs, möglicherweise is eine kleine Rückkaufsgebühr angehäng. Dadurch, dass die Leisung vom gegenwärigen Wer des Polizzen Fonds abhäng, enseh ein Risiko für den Versicherungsnehmer, da ein derariger Wer vor der Zahlung unbekann is. Garanien können angeboen werden, die Risikosumme zum Beispiel, kann definier werden, so dass es eine eingebaue Todesfallgaranie gib. Jedoch komm es häufiger vor, dass eine Garanie genau definier wird. In solchen Fällen wird meisens eine Gebühr verrechne, um die relevanen Kosen zu decken. Der Name Uni Linked Verischerung komm daher, dass der Referenz Fonds in eine große Anzahl von Fonds aufgeeil wird. Leisungen können schwierig zu besimmen sein, da der gegenwärige Wer aus der Anzahl der Unis, die zu der Polizze gehören ermiel werden müsse. Dies bleib jedoch bis zum Zeipunk der Zahlung unbekann. Die Leisungen können dann auch in Accoun Fonds dargesell werden, die nich der gewöhnlichen 15

18 5 Uni Linked Produke Währung ensprechen - daher die Bezeichnung Uni Linked. Die Anzahl der Unis, die den Gewinn besimmen, is meisens ers bei Beginn des Jahres der Zahlung bekann. Accoun Unis sind solche, die in der Regel mi der Zei wachsen, wie: Gold, Fremdwährung, Immobilien, Sicherheien,.... Im Allgemeinen gib es eine Bedingung: der Versicherer muss in der Lage sein die Reference Unis zu kaufen oder zu replizieren, um seine Verbindlichkeien zu erfüllen ohne ein großes Risiko einzugehen. Accoun Unis, die Versicherer annehmen sind Fremdwährung und Invesmen Fonds. Heuzuage is die übliche Wahl eine Referenz von einem Invesmen Fonds zu wählen. So wei, wie die vorliegende Versicherungsar überhaup ein Thema is, wurde schon erwähn, dass es sich haupsächlich um Kapiallebensversicherungen handel. Jedoch können auch Ablebensversicherungen in einem Uni Linked Arrangemen vorkommen, in diesem Fall gib es zu Ablauf keine Leisung. Auch Leibrenen können über Uni Linked realisier werden, wobei die Auszahlungen dann Flukaionen des Fonds ausgesez sind und das wäre naürlich ein großes Risiko für den Versicherungsnehmer. Im Folgenden beschäfigen wir uns mi einer Kapiallebensversicherung 5.2 Uni Linked ohne Garanien Wir berachen nun eine fondsgebundene Kapiallebensversicherung ohne finanzielle Garanien. Zum Zeipunk, wird eine Prämie P [T ] bezahl inklusive der Kosenzuschläge. Die Prämienzahlung kann enweder konsan sein, oder schwanken, je nach verraglicher Vereinbarung. δ beschreib die Summe der Kosenzuschläge. Während der Laufzei zähl die Kollekion und generelle Adminisraion und Managemne Gebühren zu den Kosenzuschlägen. Die Neo Prämie P wird in den Referenz Fonds invesier: P = P [T ] δ (5.1) Sei w der gegenwärige Wer einer Uni dann gil: n gib die Anzahl der vom Versicherer gekaufen Unis mi der Neoprämie zum Zeipunk an: n = P w (5.2) Die Informaion über den Wer w erhäl der Versicherungsnehmer. Da der Versicherungsnehmer das volle Risiko alleine räg, erhäl er alle Informaionen bezüglich der Performance des Invesemen Fonds. Die Risikosumme enseh aus ähnlichen Kosen, die finanzier werden müssen. Im Allgemeinen wird die Neoprämie aufgeeil in die Sparprämie (n [S] Risikoprämie (n [R] ). n = n [S] ) und + n [R] (5.3) Falls n = 0, also keine Prämien mehr gezahl werden, folg das n [S] = n [R]. Das bedeue nichs Anderes als, dass die jährlichen Kosen einfach aus dem Polizzen-Accoun genommen werden. Also können bei einem fondsgebunden Arrangemen ziemlich leich Änderungen bezüglich der jährlichen Prämien vorgenommen werden. Außerdem muss nich 16

19 5 Uni Linked Produke jedes Jahr eine Prämie gezahl werden, solange der Polizzen-Accoun die jährlichen Kosen decken kann. Im Folgenden gil: Es sei P > 0 und n [S] > 0. N ensprich der Anzahl der Unis die der Polizze zum Zeipunk zugewiesen werden, also vor der Prämienzahlung. N = 1 s=0 n [S] s (5.4) Um die Aufeilung wie in (5.3) durchzuführen zu können und dann N berechnen zu können, muss die Höhe der Leisung, genauer die Risikosumme besimm werden. Der Polizzenfond zum Zeipunk wird definier: F = N w (5.5) Wobei F zum gegenwärigen Wer besimm wird, uner der Annahme, dass der Versicherungsnehmer das gesame Risiko alleine räg. Wie üblich werden Akiva gegenüber Verbindlichkeien gesell. Die Reserve zum Zeipunk, sell die Verbindlichkeien des Versicherers dar und is wie folg definier: Die Leisung bei Reife (zum Zeipunk m) is gegeben durch: V = F (5.6) S m = F m (5.7) Im Gegensaz zu fixen Leisungen und gewinnbeeiligen Polizzen, wird hier die Leisung bis zur Reife angehäuf. Also is F das Resula der Zahlungen, die bis dao erfolgen. Die Todesfallleisung, die zum Zeipunk gezahl wird, laue: C = F + K (5.8) Wobei K die Risikosumme bezeichne und so gewähl wird, dass K 0 gil. Wir merken an, dass falls K = 0, wird also kein Ablebensrisiko vom Versicherer übernommen, und die Uni Linked Polizze solle als eine reine finanzielle Anlage berache werden. Der Rückkaufswer zum Zeipunk wird dargesell als: R = φ()f (5.9) Wobei 1 φ() die Rückkaufsgebühr zum Zeipunk darsell. Nun kann die Anzahl der Unis, η [S], die dem Fonds zum Zeipunk zugeeil werden, berechne werden. η [S] = N +1 N (5.10) Wobei die Anzahl N +1 so bewere werden muss, dass die Akiva und Verbindlichkeien in einem akuriellen Gleichgewich für das Jahr (, + 1) sehen. 17

20 5 Uni Linked Produke Nun lieg die Definion der Sparprämie und der Risikoprämie auf der Hand. Es gil: P [R] P [S] = η [R] w (5.11) = η [S] w (5.12) Die Enwicklung der Risikoprämie häng von mehrern Fakoren ab: Serblichkeisrae (die wächs während der Versicherungslaufzei), die Höhe der Risikosumme (diese is Proporional zu dem Polizzenfonds) und der gegenwärige Wer eines Unis. Die Terme Risikoprämie und Sparprämie, wie sie hier verwende wurden, werden im Allgemeinen nich derar für eine Uni Linked Polizze verwende. Eine Uni Linked Polizze sell eigenlich eine angemessene Invesiions Möglichkei, gebunden an einen Schuz im Falle eines frühen Todes dar. Die Leisung, die mi dem Polizzen Fonds korrespondier, wird einfach als Ansparung oder Invesmen des Versicherungsnehmers gesehen. wird invesiere Prämie oder invesiere Menge genann. In diesem Fall is die Risikoprämie eine zusäzliche Leisung. wird wie mi einer Gebühr für zusäzliche Leisungen umgegangen. P [S] P [R] 5.3 Uni Linked mi finanziellen Garanien Wie schon erwähn, räg der Versicherungsnehmer bei einer fondsgebundenen Versicherung das gesame finanzielle Risiko alleine. Jedoch kann das Risiko auch eilweise auf den Versicherer überragen werden, indem man angemessene Garanien einbau. Diese Garanien können auf verschiedenen Leisungen, die durch die Versicherung bedeck sind, aufreen: Erlebensgaranie Todesfallleisung Garanie Rückkaufs Garanie bzgl. des Rückkaufwers Im Folgenden wird die Rückkaufsgaranie nich bearbeie, und für Erlebens und Todesfall wird angenommen, dass die gleiche Garanie zugewiesen wird. Die Garanie is definier, um den minimalen Gewinn feszulegen. Falls ungüsige finanizielle Trends einreen, und der Polizzen Fonds zum Zeipunk der Zahlung nich hoch genug is, wird das Minimum gezahl. Die Garanie kann durch verschiedene Ziele fesgeleg werden, der einfachse Fall is einen fixen Berag G feszulegen. Die Leisung zum Zeipunk + 1 is dann wie folg definier: B +1 = max{f +1, G} (5.13) Die Menge K + 1 sell die Risikosumme dar, die einem pay-off einer Pu Opion ensprich: K +1 = B +1 F +1 = max{g F +1, 0} (5.14) Alernaiv kann diese Garanie so gewähl werden, sodass B +1 F +1 einem pay-off einer gegebenen finanziellen Opion ensprich. 18

21 5 Uni Linked Produke Zum Beispiel uner der Leisung B +1 wird garanier, dass die kleinse Zahlung zum Zeipunk + 1, dem höchsen Wer des Polizzenfonds ensprich, der im vorherigen Polizzenjahresag erreich wurde. Die garaniere Höhe is somi wie folg definier: G = max{f s } s = 0, 1,,.. B +1 = max{f +1, max{f s }s = 0, 1,..., } (5.15) Die Risikosumme K +1 ensprich dem pay-off einer Rache Opion. K +1 = B +1 F +1 = max{max{f s }s = 0, 1,.. F +1, 0} (5.16) Schauen wir uns noch die Erlebensleisung uner folgender Garanie an: Mi S m = max{f m, G m 1 } (5.17) G m 1 = m 1 =0 P [S] (1 + i ) m (5.18) Bei gewinnbeeiligen Polizzen ensprich G der Garanie, die in den Anhäfungsfakor f [4] (s, m) eingebau is. 19

22 6 weiere Produke 6.1 Hybride Die Hybrid Produke vereinen die Voreile einer gewinnbeeiligen Versicherung (eingebaue finanzielle Garanien) mi denen einer fondsgebundenen Polizze (höhere Risikorendie). Wenn man diese Eigenschafen kombinier, kann man eine höhere Rendie erzielen als bei gewinnbeeiligen Versicherungen, und die Garanie einer minimalen Rendie is auch gegeben. Die vorliegende Ar der Versicherung is meisens eine Kapiallebensversicherung, die mi Einmalerlag gezahl wird, oder periodische aufreenden Einmalzahlungen. Einmalerlag: Π [T ] is die Einmalzahlung die zu Polizzen Erscheinung gezahl wird. Π is die Neo Einmalprämie die wie folg aufgeeil wird: Ein Teil der Prämien komm in einen abgeeilen Fonds, dadurch wird die gewinnbeeilige Komponene des Verrages aufrecherhalen: gewöhnlich gil hier: Garaniezins i ; Ziel is es einen Zins g zu erzielen mi g > i Der andere Teil wird in einem Uni Fonds invesier, um die Uni Linked Komponene aufrechzuerhalen: gewöhnlich: keine Garanie Bei den periodisch aufreende Einmalzahlungen gib es zwei Möglichkeien: Zu jeder Prämienzahlung, wähl der Versicherungsnehmer welche Aneile in den abgeeilen Fonds und welche in den Uni Fonds eingezahl werden. Die Aneile werden bei Verragsunerzeichnung fesgeleg und werden je nach Höhe der periodischen Einmalprämie eingezahl. 6.2 mi Profi Polizzen Ähnlich wie bei den gewinnbeeiligen Polizzen, gib es eine Garanie auf die Rendie des Invesmens, und zumindes Teil des realisieren exra Gewinns wird dem Versicherungsnehmer ausgezahl. Typischerweise gib es jährliche konsane Prämien. Der Haupunerschied zu gewinnbeeiligen Polizzen beseh darin, wie der Gewinn zugewiesen wird. Bei mi Profi Polizzen wird jährlich zu den Leisungen ein Bonus hinzugefüg, der nach einer besimmen Regel berechne wird. Heuzuage is es üblich, dass der Bonus so berechne wird, dass das Profi mi der Zei gegläe wird. Da kann es auch vorkommen, dass in manchen Jahren der Bonus höher, als der realisiere Gewinn des Invesmens des Versicherungsnehmers is. Man unerscheide drei Aren von Boni: kumulaiver Bonus: wird zur ausbezahlen Summe im Er-, oder Ablebensfall addier 20

23 6 weiere Produke Schlussbonus: wird gezahl, wenn der Versicherungsnehmer ein besimmes Aler erreich, oder sirb garanierer Bonus: wird bei Verragsabzeichnung fesgeleg 6.3 Index Linked Polizzen Index geknüpfe Polizzen sind meisens Kapiallebensverischerungen, die an einen besimmen Zeiraum gebunden sind. Die Höhe der Leisung is an die Performance eines Börsenmarkindex gebunden, dieser wird auch reference index genann. Eine Garanie wird zu Ablauf der Leisung bereigesell. Bei Fälligkei ha man die bes of Wahl. Diese is die häufigs gewähle Opion und man kann zwischen dem bes Wer der Zuwachsrae des reference index oder der garanieren Mindesrendie wählen. Der reference index basier auf einem großen Korb aus Akien, die exreme Flukakionen gläen. 6.4 Universal Life Polizzen Universal Life (UL) Polizzen sind ypische Produke des US-amerikanischen Markes, die als gewinnbeeilige oder fondsgebundene Versicherungen gewähl werden können. Deren Haupmerkmal beseh in einer großen Flexibiliä für den Versicherungsnehmer jährlich Enscheidungen zu reffen, bezüglich: der Höhe der Prämie eine Teil Ennahme durchzuführen die Ar des Invesmens, welche die Reserve deck Weiers, ähnlich zu einem Bankaccoun, erhäl der Versicherungsnehmer öfers eine Erklärung, bezüglich den Kosen, die ihm verrechne werden. Falls die Versicherung auf einer Uni Linked Basis aufgebau is, wird der momenane Wer der Anlagen in diesem Repor angehäng. Hingegen wenn das Produk eher nach einem gewinnbeeiligen Gechäf aufgebau is, wird der Vericherungsnehmer bezüglich den Anpassungen, die an der Reserve durchgeführ werden, informier. Die vorliegende Versicherungsform is eine Ablebensversicherung, deswegen kann kein Daum als Reife fesgeleg werden. Enweder wird der Verrag durch den Tod des Versicherungsnehmers gelös, oder durch volle Ennahme des Kapials. Die Universal Life Polizze is für den Versicherer ein komplizieres Produk. Denn die Flexibiliä, die die Zahlung der Prämien beriff, mach es schwierig zukünfige Gewinne für den Versicherer zu kalkulieren. Da man auch immer wieder Geldennahme durchführen kann, is es schwierig für den Versicherer selbs liquid zu bleiben und die Verbindlichkeien auf Dauer nachgehen zu können. Auf der anderen Seie kann das Prdouk sehr arakiv sein. Der Versicherer kann versuchen die Loyaliä der Kunden zu gewinnen und äußers ineressane Versicherungsproduke anbieen. 21

24 6 weiere Produke 6.5 variable Leibrenen Der Term variable Leibrene beschreib ein großes Feld von Lebensversicherungsproduken, deren Leisung gegen Invesiions- und Todesrisiko geschüz werden kann, indem eine oder mehrere Garanien eingesez werden. Ursprünglich wurden variable Leibrenen eingsez um ein Pensionseinkommen zu sichern, dass eine gewisse Flexibiliä darsell. Heuzuage besimmen Anhäufungsfakoren und Todesfallleisungen das Produk maßgeblich. Variable Annuiäen können eingesez werden, um dynamische Invesiionsmöglichkeien mi gewissen Garanien (wie Versicherung gegen frühen Todesfall) anzunehmen. Das Produk sell sich aus einer Uni Linked Komponene (invesier wird in einem vom Verischerunsnehmer ausgewählen Fonds) und dem gewinnbeeiligen Verrag (die Garanien) zusammen. 22

25 7 Lieraurverzeichnis [1] ANNAMARIA OLIVIERI, ERMANNO PITACCO: INTRODUCTION TO INSURAN- CE MATHEMATICS: Technical and Financial Feaures of Risk Tranfers; Chaper 7: Linking Life Insurance Benefis o he Invesmen Performance, Springer Inernaional Publishing, Swizerland,