Ein allgemeines Modell zur Analyse und Bewertung von Guaranteed Minimum Benefits in Fondspolicen. Daniel Bauer, Alexander Kling, Jochen Ruß

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1 Ein allgemeines Modell zur Analyse und Bewerung von Guaraneed Minimum Benefis in Fondspolicen Daniel Bauer, Alexander Kling, Jochen Ruß Ulm, Insiu für Finanz- und Akuarwissenschafen Insiu für Finanz- und elefon 49 () Akuarwissenschafen Fax 49 () Helmholzsr Ulm Inerne

2 1 Bewerung von Guaraneed Minimum Benefis Insiu für Finanz- und Akuarwissenschafen Inhalsverzeichnis 1 Einleiung Moivaion Aufbau der Arbei Lieraurüberblick Verschiedene Aren von Guaraneed Minimum Benefis Variable Annuiies in den USA Guaraneed Minimum Deah Benefis Übliche Varianen für den odesfallschuz Gebühren für die Garanien Guaraneed Minimum Living Benefis Guaraneed Minimum Accumulaion Benefis (GMAB) Guaraneed Minimum Income Benefis (GMIB) Guaraneed Minimum Wihdrawal Benefis (GMWB) Ein allgemeines Modell zur Beschreibung und Bewerung von Guaraneed Minimum Benefis Modellierung des Finanzmarks Modellierung des Versicherungsverrags Modellierung des Verlaufs eines Versicherungsverrags Übergang von nach (1) Übergang von (1) - nach (1) Leisungen bei Wer eines Verrags Deerminisisches Kundenverhalen Probabilisisches Kundenverhalen Sochasisches Kundenverhalen Ein Beispiel Numerische Bewerung von Guaraneed Minimum Benefis Mone-Carlo Simulaion Ein mehrdimensionaler Diskreisierungsansaz Eine quasi-analyische Lösung Diskreisierung des Problems über einen Gieransaz Approximaive Berechnung des Inegrals Redukion der Dimensionaliä Ergebnisse Besimmung der fairen Garaniegebühr Ergebnisse für verschiedene Verräge...28

3 2 Bewerung von Guaraneed Minimum Benefis Insiu für Finanz- und Akuarwissenschafen Verräge mi GMDB-Opionen Verräge mi GMAB-Opionen Verräge mi GMIB-Opionen Verräge mi GMWB-Opionen Sensiiviäsanalysen bezüglich der Kapialmarkparameer Ausblick auf weierführende Analysen und Überragbarkei nach Deuschland 33 7 Lieraur 36

4 3 Bewerung von Guaraneed Minimum Benefis Insiu für Finanz- und Akuarwissenschafen 1 Einleiung 1.1 Moivaion Lebens- und Renenversicherungsproduke waren und sind ein wichiger Besandeil der Alersvorsorge in Deuschland. Für den langfrisigen Vermögensaufbau sind die Rendie/Risiko-Profile der Kapialanlage derariger Produke von enscheidender Bedeuung. In der Vergangenhei war die Produklandschaf in dieser Hinsich aus Kundensich sehr übersichlich: Einerseis gab es klassische Produke mi einem Garaniezins und einer im Zeiverlauf sehr sabilen Überschussbeeiligung. Andererseis gab es fondsgebundene Produke ohne Garanien und mi poenziell särkeren Werschwankungen dafür mi der Chance auf im langfrisigen Durchschni höhere Rendien. Die anhalende Niedrigzinsphase führe zu einer sarken Redukion der Überschüsse konvenioneller Produke, sodass diese an Arakiviä verloren haben. Andererseis ha die schleche Börsenenwicklung der Jahre 2 bis 23 die Risikobereischaf vieler Kunden nachhalig beeinfluss, was den Absaz von fondsgebundenen Produken erschwere. Daher konnen sich in jüngerer Vergangenhei neue Produke eablieren, die sich zwischen konvenionellen und fondsgebundenen Produken posiionieren: Zum einen wurden so genanne Hybridproduke eingeführ, bei denen die garaniere Leisung geringer is als bei rein konvenionellen Produken. In der Regel beräg sie gerade die Beiragssumme. Deswegen muss nur ein eil des Sparbeirags konvenionell angeleg werden. Der Res des Sparbeirags kann in Fonds invesier werden und an den Chancen der Kapialmärke parizipieren. Zum anderen enwickelen Banken und Invesmengesellschafen Garaniefonds, die im Rahmen von fondsgebundenen Produken angeboen werden können, wodurch nun auch reine Fondspolicen gewisse Garanien aufweisen. Verschiedene Enwicklungen deuen jedoch darauf hin, dass die in diesen Bereichen derzei angeboenen Produke an Arakiviä verlieren werden: Die geplane weiere Senkung des Rechnungszinses zum wird dazu führen, dass bei bisher üblichen Kosensrukuren die garaniere Ablaufleisung von konvenionellen Produken für manche Kombinaionen aus Einrisaler und Laufzei uner oder nur knapp über der Beiragssumme lieg. Hybridproduke sind in diesen Fällen nich mehr oder nur mi exrem geringer Fondsanlage möglich. Darüber hinaus sellen die weierhin auf hisorischen iefsand befindlichen Kapialmarkzinsen für Garaniefonds ein Problem dar. Insbesondere bei dynamisch abgesicheren Konzepen (z.b. miels CPPI 1 ) is dadurch das so genanne Monearisierungsrisiko, also das Risiko, dass ein Garaniefonds komple in Renenpapiere umschichen muss, exrem hoch. Vor dem Hinergrund des großen Erfolges von Produken, die Garanien mi Akieninvesmens verbinden, is jedoch davon auszugehen, dass Produkanbieer versuchen werden, neue Konzepe zu enwickeln, die in diesem Umfeld besehen können. Zum einen arbeien derzei mehrere Banken an saisch abgesicheren (opionsbasieren) Garaniefonds, die im Rahmen von fondsgebundenen 1 Vgl. z.b. Perold (1986).

5 4 Bewerung von Guaraneed Minimum Benefis Insiu für Finanz- und Akuarwissenschafen Versicherungen gegen laufende Beiräge angeboen werden können. Dami kann das Monearisierungsrisiko ausgeschale werden. Zum anderen werden Versicherer selbs nach Möglichkeien suchen, Garanien effiziener abzusichern. In den USA gib es bereis eine Vielzahl von fondsgebundenen Produken mi vom Versicherer (selbs oder mi exerner Hilfe) abgesicheren Garanien. Diese werden derzei sowohl in der akademischen Lieraur (vgl. Milevsky und Posner (21), Milevsky und Salisbury (24)) als auch uner Prakikern (vgl. JPMorgan (24), Müller (24), Lehman Brohers (25)) versärk diskuier. Auffällig is dabei, dass die angeboenen Garanien eilweise sehr komplex sind. Ferner wird immer wieder behaupe, dass diese Garanien zu einem unangemessenen Preis angeboen werden 2 oder nich angemessen abgesicher sind. So komm eine Sudie von Lehman Brohers (25) zu dem Schluss, dass bei einem Anbieer in einem wors case Szenario nur rund ein Driel der aus den Garanieopionen resulierenden Verpflichungen abgesicher sind. Die vorliegende Arbei befass sich mi derarigen Garanien in US-amerikanischen Fondspolicen. Diese Fondspolicen sind in der Regel aufgeschobene Renenversicherungen gegen Einmalbeirag mi Kapialwahlrech und werden als Variable Annuiies bezeichne. 3 Die Garanien werden als Guaraneed Minimum Benefis bezeichne. Je nach Ar der Garanie wird zwischen Guaraneed Minimum Deah Benefis (garaniere odesfallleisungen, GMDB) und Guaraneed Minimum Living Benefis (garaniere Erlebensfallleisungen oder garaniere Mindesennahmen während der Laufzei, GMLB) unerschieden. 1.2 Aufbau der Arbei In der vorliegenden Arbei sellen wir ein allgemeines Modell zur Bewerung aller derzei im Rahmen von Variable Annuiies in den USA angeboenen Garanien vor. Zunächs beschreiben wir in Abschni 2 die wichigsen Formen solcher Garanie- Opionen sowie ypische Ausgesalungsvarianen und nennen die Preise, zu denen diese angeboen werden. Wir enwickeln dann in Abschni 3 ein allgemeines Modell, in welchem diese Garanien konsisen bewere werden können. In Abschni 3.1 sellen wir zunächs unser Modell für den Finanzmark vor. In Abschni 3.2 beschreiben wir dann unseren Ansaz zu Modellierung von Versicherungsverrägen mi Guaraneed Minimum Benefis und führen insbesondere die benöigen Bezeichnungen ein. Abschni 3.3 erläuer die Enwicklung von Versicherungsverrägen im Zeiverlauf abhängig von der Enwicklung des zu Grunde liegenden Fonds und von evenuellen Akionen des Kunden. Abschni 3.4 is schließlich der Bewerung von Verrägen gewidme. Wir berachen hierbei aus didakischen Gründen zunächs den Wer eines Verrages uner der Annahme deerminisischen Kundenverhalens. Hieruner versehen wir den Fall, bei dem schon bei Verragsabschluss bekann is, ob und zu welchen Zeipunken der Kunde Ennahmen aus seinem Guhaben vornimm oder sornier. Danach berachen wir den Wer des Verrags uner probabilisischem Kundenverhalen, bei dem für die oben 2 Milevsky und Posner (21) sellen fes, dass die Gebühren, die für garaniere Mindesodesfallleisungen erhoben werden, zu hoch sind. Milevsky und Salisbury (24) analysieren eine Form von garanieren Mindesennahmen und bemerken, dass die ensprechenden Gebühren zu niedrig sind. 3 Man beache, dass der Begriff Variable Annuiies im Folgenden Renenversicherungen mi einer fondsgebundenen Ansparphase bezeichnen und nich wie in Deuschland üblich (vgl. Muschler und Ruß (21)) Renenversicherungen mi einer fondsgebundenen Auszahlphase.

6 5 Bewerung von Guaraneed Minimum Benefis Insiu für Finanz- und Akuarwissenschafen genannen Ereignisse Einriswahrscheinlichkeien bekann sind. Schließlich beweren wir die Verräge uner sochasischem Kundenverhalen. Hierbei lassen wir zu, dass der Kunde zu jedem Zeipunk abhängig von den dann vorhandenen Informaionen enscheide, ob er Ennahmen aus seinem Guhaben vornimm oder sornier. Dami läss sich insbesondere ein so genannes finanzraionales Kundenverhalen 4 modellieren. Wir veranschaulichen unseren Bewerungsansaz anhand eines einfachen Beispiels in Abschni 3.5. Auf Grund der Komplexiä der beracheen Garanien is die Lösung der in Abschni 3.4 hergeleieen Bewerungsformeln im Allgemeinen nur mi numerischen Verfahren möglich. Diese werden in Abschni 4 ausführlich erläuer. Neben einem Mone-Carlo Ansaz, der in vielen Spezialfällen effizien (d.h. mi geringer Rechenzei) genaue Ergebnisse liefer, sellen wir noch einen Diskreisierungsansaz vor, der in allen Fällen, insbesondere auch uner der Annahme finanzraionalen Kundenverhalens, angewende werden kann. Wir leien hierzu zunächs eine quasi-analyische Lösung für das Bewerungsproblem her und zeigen dann, wie das ensprechende Inegral mi numerischen Mehoden approximier werden kann. Hierzu verallgemeinern wir einen Ansaz aus anskanen und Lukkarinen (24). In Abschni 5 werden die Ergebnisse der Bewerung für eine Reihe üblicher Produkdesigns vorgesell und ausführlich erörer. Wir analysieren hier auch die Abhängigkei der Lösungen von verschiedenen Modellparameern. Abschni 6 schließ mi einer kurzen Zusammenfassung und einem Ausblick, der insbesondere auch auf Herausforderungen bei einer Umsezung derariger Produke in Deuschland eingeh. 1.3 Lieraurüberblick Die Idee, fondsgebundene Versicherungen mi gewissen Garanien auszusaen, wurde bereis sei den späen 6er Jahren des 2. Jahrhunders diskuier, vgl. urner (1969) und urner (1971). Bahnbrechende Arbeien von Brennan und Schwarz (1976, 1979a und 1979b) überrugen die Erkennnisse der damals noch jungen Opionspreisheorie auf derarige Produke. Insbesondere wurde gezeig, dass eine geschlossene Formel für den fairen Preis von Erlebensfallgaranien bei einfachen Einmalbeiragspolicen auf die Preisformel einer Call-Opion zurückgeführ werden kann. Eine Reihe von Arbeien bau hierauf auf. Exemplarisch seinen Bacinello und Oru (1993) genann, die verschiedene Aren endogender Garanien analysieren sowie Aase und Persson (1994), die auch den Fall laufender Beiragszahlung zulassen und eine Darsellung für eine angemessene Reserve derariger Konrake herleien, die als Verallgemeinerung der hieleschen Differenialgleichung aufgefass werden kann. In den folgenden Jahren erfolgen zahlreiche Analysen derariger Konrake in komplexeren Modellen für den Finanzmark. Ausgelös wurde diese Enwicklung von Bacinello und Oru (1994) sowie Nielsen und Sandmann (1995), welche die Auswirkungen sochasischer Zinsen berachen. Deuschlandspezifische Lieraur ensand ers Mie der 9er Jahre. Der Großeil der Lieraur bezog sich auf so genanne Akienindexgebundene Lebensversicherungen mi Mindesgaranie. Nachdem das Produk in Blohm (1996), Maar (1996) sowie Meisch und Solz (1996) eingeführ wurde, schlossen sich eine Reihe quaniaiver Analysen an, die insbesondere auch auf Besonderheien der deuschen Bilanzierungsvorschrifen eingingen und die ensprechenden Risiken quanifizieren. Eine umfassende Analyse 4 Zum Begriff des finanzraionalen Kundenverhalens vgl. z.b. Dillmann und Ruß (1999).

7 6 Bewerung von Guaraneed Minimum Benefis Insiu für Finanz- und Akuarwissenschafen zahlreicher Produkausgesalungsformen auch uner sochasischen Zinsen finde man in Ruß (1999). Dor finde sich auch eine umfangreiche Lieraurübersich. Parallel enwickele Kurz (1997) ein Modell zur Bewerung und Analyse von Fondsgebundenen Lebensversicherungen mi Mindesgaranie. Sie geh insbesondere auch auf Aspeke des Risikomanagemens ein. Die Lieraur zu den in dieser Arbei beracheen Guaraneed Minimum Benefis in Variable Annuiies is noch relaiv jung. Zwar gib es Variable Annuiies schon sei den frühen 7er Jahren (vgl. Sloane (197)). Die weiesgehend empirischen Arbeien aus dieser Zei befassen sich jedoch haupsächlich mi dem Vergleich verschiedener Produke bzw. mi dem Vergleich von Variable Annuiies und Invesmenfonds (siehe Renz Jr. (1972) bzw. Greene (1973)). Zwar gab es in diesen frühen Produken schon einige Wahlmöglichkeien und Garanien, wie zum Beispiel garaniere Verrenungsfakoren. Die hier beracheen garanieren odes- oder Erlebensfallleisungen kamen jedoch ers in den 9er Jahren auf. Eine finanzmahemaische Analyse und Bewerung dieser Produke erfolge daher ers in jüngerer Vergangenhei. Milevsky und Posner (21) beweren GMDB-Opionen, also den Wer von garanieren Leisungen im odesfall, für verschiedene Ausgesalungsformen. Sie präsenieren geschlossene Formeln für diese ianic Opion 5 im Falle eines exponeniellen Serbegesezes und liefern numerische Ergebnisse für das realisischere Gomperz- Makeham Serbegesez. Sie sellen fes, dass diese Garanie im Allgemeinen über ihrem risikoneuralen Wer angeboen wird. Milevsky und Salisbury (22) sellen ein Modell vor, in dem besimme odes- und Erlebensfallgaranien uner Einbeziehung von Sorno bewere werden. Sie bezeichnen diese Sornoopion als Real Opion o Lapse. 6 Im Falle eines exponeniellen Serbegesezes, bei konsanen Sornogebühren und ohne Berücksichigung von Ablaufgaranien finden die Auoren analyische Lösungen des Bewerungsproblems. Sie sellen fes, dass der Wer sowie die opimale Kundensraegie sark von der Höhe der Garanie und der Sornogebühr abhängen. Dieselben Auoren beweren in Milevsky und Salisbury (24) eine garaniere Ennahme-Opion (vgl. Abschni 2.3.3). Neben einem saischen Ansaz, in dem sie die Opion bei gegebenem Kundenverhalen beweren, sellen sie auch einen dynamischen Ansaz vor, in welchem sie die Opion uner finanzraionalem Kundenverhalen beweren. Sie zeigen, dass in ihrem Modell opimalerweise immer mindesens die garanieren Ennahmeberäge ennommen werden sollen und sellen fes, dass derarige Opionen im Allgemeinem uner ihrem risikoneuralen Wer angeboen werden. Obwohl es also Ansäze gib, die einzelnen in Variable Annuiies angeboenen Opionen zu beweren, exisier noch kein allgemeines Modell, um solche Verräge in allen möglichen Ausgesalungsformen konsisen zu beweren. Die vorliegende Arbei schließ diese Lücke: Unser Modell ermöglich es, alle angeboenen Garanien in ihren verschiedenen Ausgesalungsformen sowohl uner der Annahme eines deerminisischen als auch uner der Annahme eines finanzraionalen Kundenverhalens zu beweren. Insbesondere lassen sich opimale Sraegien, 5 Die Auoren bezeichnen diese Opion als ianic Opion, da die Auszahlungssrukur zwischen der von Europäischen und Amerikanischen Opionen lieg und die Auszahlung vom Ableben des Versicheren ausgelös wird. 6 Real Opion is hier als finanzielle Opion und nich als Realopion (vgl. Myers (1977)) zu versehen.

8 7 Bewerung von Guaraneed Minimum Benefis Insiu für Finanz- und Akuarwissenschafen risikoneurale Were und faire Garaniegebühren auch für Verräge besimmen, die gleichzeiig mehrere derarige Opionen beinhalen. 2 Verschiedene Aren von Guaraneed Minimum Benefis Im Folgenden beschreiben und kaegorisieren wir die wichigsen derzei am amerikanischen Mark angeboenen Garanien. Nach einer kurzen Darsellung des Grundproduks Variable Annuiy gehen wir auf verschiedene Formen von garanieren odesfallleisungen und von Erlebensfallgaranien ein. Wir beschreiben jeweils die ensprechende Garanie aus Kundensich und geben einen Überblick über ypische Preise dieser Garanien. 2.1 Variable Annuiies in den USA Variable Annuiies sind aufgeschobene, fondsgebundene Renenversicherungen, die in der Regel gegen Einmalbeirag angeboen werden. Wir berachen daher im Folgenden auch ausschließlich Einmalbeiragsproduke. Bei Verragsabschluss werden häufig opionale odesfall- oder Erlebensfallgaranien für die Ansparphase angeboen, die gegen zusäzliche laufende Gebühren erhällich sind. Die wichigsen Aren dieser Garanien werden in den Abschnien 2.2 und 2.3 deaillier erläuer. Bei allen Ausgesalungen wird der Einmalbeirag P des Kunden in ein Anlageporfolio (ein oder mehrere Invesmenfonds) invesier. Der Wer A des individuellen Porfolios wird im Folgenden mi Fondsguhaben oder Guhaben bezeichne. Der Kunde kann in der Regel das Risikoprofil seines Porfolios durch eine individuelle Fondsauswahl beeinflussen. Alle laufenden Kosen werden dem Fondsguhaben durch Verkauf von Fondsaneilen ennommen. Der Kunde ha insbesondere die Möglichkei, den Verrag zu sornieren, Geld zu ennehmen oder sein Guhaben nach einer Mindeslaufzei zu verrenen. Folgende Begriffe spielen bei Guaraneed Minimum Benefis eine wichige Rolle: Die Rache Benefi Base zu einem Zeipunk is der höchse Sand des Fondsguhabens an definieren Sichagen vor dem Zeipunk. In der Regel is es der höchse Sand des Guhabens an einem der vergangenen Policenjahresage. Bei dieser jährlichen Höchssandsberachung sprich man auch von einer Annual Rache Benefi Base. Wir berachen im Folgenden ausschließlich den Fall der jährlichen Höchssandsabsicherung. Darüber hinaus gib es noch die so genanne Roll-Up Benefi Base. Daruner versehen wir den fikiven Wer, den das Guhaben zum Zeipunk aufweisen würde, wenn die anfängliche Einmalprämie P eine konsane Verzinsung von i % p.a. erziel häe. Dieser Zins wird als Roll-Up Rae bezeichne. 2.2 Guaraneed Minimum Deah Benefis Während der Ansparphase wird bei Ableben der versicheren Person eine odesfallleisung bezahl. Bei Verrenung erlisch in der Regel der odesfallschuz. Die Ausgesalungen der angeboenen Mindesodesfallleisungen und insbesondere die Kalkulaion der zugehörigen Risikoprämien unerscheiden sich sark von ypischen deuschen Fondspolicen. In den ersen Jahren nach ihrer Einführung wurden Variable Annuiies in der Regel nur mi einer Basisvariane für den odesfallschuz angeboen.

9 8 Bewerung von Guaraneed Minimum Benefis Insiu für Finanz- und Akuarwissenschafen Mie der 9er Jahre begannen die Versicherer, weiere eilweise deulich komplexere Modelle anzubieen Übliche Varianen für den odesfallschuz Bei der Basisvariane Reurn of Premium Deah Benefi (Beiragsrückgewähr) wird im odesfall der Wer des Fondsguhabens, mindesens aber der eingezahle Bruobeirag bezahl. Der Preis für diese odesfallleisung is in der Regel bereis in die dem Kunden genannen Verwalungskosen mi eingerechne. Diese Opion is somi ohne zusäzliche, explizi ausgewiesene Kosen erhällich. Bei der Variane Annual Roll-Up Deah Benefi (garaniere Mindesverzinsung) ensprich die odesfallleisung gerade dem Maximum aus der Roll-Up Benefi Base (of mi einer Roll-Up Rae von 5% oder 6% berechne) und dem Fondsguhaben. Diese Variane wird in der Regel gegen vereinbare zusäzliche jährliche Kosen angeboen. Man beache, dass das Basismodell (Beiragsrückgewähr) ein Spezialfall dieses Modells für i = is. Eine weiere Opion is der Annual Rache Deah Benefi (jährliche Höchssandsabsicherung). Hier beräg die odesfallleisung das Maximum aus dem Wer des Fondsguhabens und der Annual Rache Benefi Base. Auch diese Variane wird in der Regel gegen vereinbare zusäzliche jährliche Kosen angeboen. Darüber hinaus gib es die Variane Greaer of Annual Rache or Annual Roll-Up Deah Benefi. Diese leise im odesfall das Maximum aus dem Wer des Fondsguhabens, der Annual Rache Benefi Base und der Roll-Up Benefi Base. Schließlich können die obigen Varianen bei manchen Anbieern noch mi einer weieren Zusazopion, dem so genannen Earnings Enhancemen Benefi kombinier werden. Bei Wahl dieser Opion wird die odesfallleisung weier erhöh. Diese Opion wird meisens aus seuerlichen Gründen angeboen 8 und wird im Folgenden nich weier analysier Gebühren für die Garanien Die Basisvariane (Reurn of Premium) wird in der Regel ohne zusäzliche Kosen angeboen. Die anderen Varianen werden gegen eine jährliche Gebühr angeboen. Die Höhe der Gebühr häng von der konkreen Ausgesalung der Variane ab und variier von Anbieer zu Anbieer. Üblicherweise beräg die Gebühr für die Variane Annual Rache Deah Benefi sowie für 6% Roll-Up Deah Benefi jährlich rund,25% des Fondsguhabens. Für eine odesfallleisung der Form Greaer of Annual Rache or Annual Roll-Up Deah Benefi werden bei i = 6% rund,6% p.a. an Gebühren erhoben. 9 Bemerkenswer is in diesem Zusammenhang, dass alle genannen Gebühren in Prozen des Fondsguhabens erhoben werden und diesem Guhaben ennommen werden. Dies bedeue insbesondere, dass bei fallenden Fondskursen das riskiere Kapial zwar seig, die erhobene Gebühr für den odesfallschuz jedoch fäll. Dies seh in sarkem Gegensaz zur Kalkulaion in Deuschland, bei der in der Regel jeden Mona das akuelle riskiere Kapial berechne wird. Durch Muliplikaion mi der Serbewahrscheinlichkei wird dann eine angemessene Risikoprämie besimm und dem 7 Vgl. Lehman Brohers (25). 8 Vgl. Cruz (25). 9 Vgl. JPMorgan (24).

10 9 Bewerung von Guaraneed Minimum Benefis Insiu für Finanz- und Akuarwissenschafen Fondsguhaben ennommen. Durch diese Kalkulaionsweise räg der Versicherer nahezu kein Kapialmarkrisiko. Risikodiversifikaion is also alleine durch das Gesez der großen Zahlen möglich. Die geschildere Kalkulaion von GMDB-Opionen bei amerikanischen Policen is hingegen nur sinnvoll, wenn die so kalkulieren Gebühren in ein ensprechendes Hedging-Porfolio invesier werden, das eine Absicherung gegen adverse Kapialmarkszenarien ermöglich. 2.3 Guaraneed Minimum Living Benefis Ers gegen Ende der 9er Jahre wurden zusäzlich zu den garanieren odesfallleisungen auch Produke mi garanieren Erlebensfallleisungen (Guaraneed Minimum Living Benefis - GMLB) eingeführ. 1 Häufig is in Verbindung mi GMLB- Opionen nur eine eingeschränke Fondsauswahl zulässig. Die Varianen Guaraneed Minimum Accumulaion Benefis (GMAB) und Guaraneed Minimum Income Benefis (GMIB) ensanden nahezu zeigleich. Beide Varianen bieen dem Kunden eine garaniere Ablaufleisung zu einem gewissen Zeipunk, bei GMIB greif die Garanie jedoch nur, wenn das ensprechende Kapial verrene wird. Im Jahre 22 wurden dann Guaraneed Minimum Wihdrawal Benefis (GMWB) eingeführ. Bei derarigen Produken werden dem Kunden gewisse garaniere Mindesennahmen aus seinem Guhaben zugesicher, die er auch dann noch vornehmen kann, wenn das Guhaben durch frühere Ennahmen und evenuell fallende Kurse bereis aufgebrauch is. Produke mi GMWB-Opionen sind sei ihrer Einführung exrem populär und haen bereis 24 einen Aneil von 69% am Neugeschäf von Variable Annuiies. 11 Jeder der 15 größen Anbieer von Variable Annuiies biee derzei (Sand 25) diese Opion an Guaraneed Minimum Accumulaion Benefis (GMAB) Guaraneed Minimum Accumulaion Benefis sellen die einfachse Form von Erlebensfallgaranien dar. Dem Kunden wird bei Erleben eines fesgelegen Zeipunks ein Mindes-Porfoliower G garanier. In der Regel is G gerade der bezahle A Bruobeirag, selen auch eine Roll-Up Benefi Base. Wähl der Kunde die GMAB- Opion, so wird seinem Fondsguhaben laufend eine Gebühr ennommen. Diese beräg je nach Ausgesalung und je nach Anbieer jährlich rund,25%-,75% des Fondsguhabens Guaraneed Minimum Income Benefis (GMIB) Bei GMIB-Produken ha der Kunde am Ende der Ansparphase neben den Sandardmöglichkeien Kapialwahl (Auszahlung des angesparen Fondsguhabens A ) und Verrenung (Verrenung des angesparen Fondsguhabens A zu dann güligen Kondiionen) noch eine drie Möglichkei: Die Verrenung des zum Zeipunk garanieren Kapials I G zu bereis bei Verragsabschluss garanieren Kondiionen. Dies ensprich also einer bereis bei Verragsabschluss garanieren Mindesrene. Die im Rahmen der GMIB-Opion ausgesprochene Garanie gil somi nur für den Fall, dass der Kunde am Ende der Ansparphase sein Guhaben verrene. Die Garanie is A 1 Vgl. Lehman Brohers (25). 11 Vgl. Lehman Brohers (25). 12 Vgl. Müller (25).

11 1 Bewerung von Guaraneed Minimum Benefis Insiu für Finanz- und Akuarwissenschafen zum Ende der Ansparphase werhalig (im Geld), falls die Verrenung des I Garaniekapials G zu den bei Verragsabschluss garanieren Kondiionen zu einer höheren Rene führ als die Verrenung des Fondsguhabens A zu bei akuellen Kondiionen. I Das Garaniekapial G is bei GMIB-Produken in der Regel eine Roll-Up Benefi Base (z.b. mi i = 5% oder 6%) oder eine Rache Benefi Base. Of kann der Kunde den Zeipunk im Rahmen einer flexiblen Ausübungsphase frei wählen, beispielsweise kann er einen beliebigen Zeipunk nach Ablauf einer Mindeswarezei und vor Erreichen des 8en Lebensjahrs wählen. Auffällig is, dass die derzei angeboenen Roll-Up Raes meis über dem risikolosen Zins liegen. Dies is dami zu erklären, dass die Opion nich ausgeüb werden kann, wenn der Versichere vor dem Ende der Ansparphase sirb oder sornier. In beiden Fällen werden aber Garaniekosen bis zum od bzw. zum Sorno erhoben. Darüber hinaus sind die bei Abschluss garanieren Verrenungsfakoren konservaiv, sodass die Opion uner Umsänden selbs dann nich im Geld is, wenn das Fondsguhaben A I geringer is als das Garaniekapial G. Ferner liegen der Kalkulaion of Annahmen über die Ausübungswahrscheinlichkei zu Grunde. Hier wird offensichlich of angenommen, dass ein gewisser Aneil der Versicheren sich nich finanzraional verhäl, also die Opion nich ausüb, obwohl sie im Geld is. 13 Die Gebühr für die GMIB-Opion beräg je nach Ausgesalung und je nach Anbieer jährlich rund,5%-,75% des Fondsguhabens Guaraneed Minimum Wihdrawal Benefis (GMWB) Bei Produken mi einer GMWB-Opion wird dem Kunden garanier, dass er nach und W nach einen bei Verragsabschluss = definieren garanieren Ennahmeberag G (in der Regel seinen Einmalbeirag) während der Laufzei des Produks dem Guhaben ennehmen kann, sofern er in jedem Jahr höchsens einen definieren Aneil x W dieses Berags ennimm, z.b. x W = 7%. 15 Die Ennahmen reduzieren jeweils das Fondsguhaben um den ennommenen Berag. Insbesondere bei fallenden Märken kann dies dazu führen, dass der Kunde selbs dann noch garaniere Ennahmen vornehmen kann, wenn sein Guhaben Null erreich ha. Fäll das Kundenkono durch die Ennahmen nich auf Null, so kann der Kunde bei Ablauf der Versicherung über das verbleibende Kapial in üblicher Weise verfügen (Kapialauszahlung oder Verrenung). Neuerdings werden GMWB-Opionen auch mi Möglichkeien zur Erhöhung der Garanie während der Laufzei angeboen. Bei diesen so genannen Sep-Up Varianen erhöh sich der Berag, der insgesam garanier ennommen werden kann, zu gewissen bei Verragsabschluss definieren Zeipunken. In der Regel wird der neue Garanieberag um einen gewissen Prozensaz erhöh, sofern bis dahin noch keine Ennahmen vorgenommen wurden. Diese Variane wird im Folgenden berache. Darüber hinaus 13 Vgl. Milevsky und Salisbury (24). Darüber hinaus ha ein Vorsand eines amerikanischen Versicherers, der derarige Garanien anbiee, im Rahmen einer Diskussion beim ersen World Risk and Insurance Economics Congress 25 in Sal Lake Ciy besäig, dass der Kalkulaion derarige Annahmen über das Ausübungsverhalen zu Grunde liegen. 14 Vgl. Müller (25). 15 Alernaiv gib es selen auch Produke, bei denen x W () (=1,2,,) sich abhängig vom Policenjahr änder. Wir beschränken uns im Folgenden auf Produke mi x W ()= x W, unabhängig vom Policenjahr.

12 11 Bewerung von Guaraneed Minimum Benefis Insiu für Finanz- und Akuarwissenschafen gib es Produke, bei denen das jeweils akuelle Guhaben als neuer Garanieberag verwende wird, sofern es den bisherigen Berag überseig. Ennimm der Kunde in einem Jahr mehr als x W % des garanieren Ennahmeberags, so werden die künfigen Garanien reduzier. Hierfür gib es verschiedene Modelle am Mark. Die wichigsen werden in Abschni 3 beschrieben. Die GMWB-Opion is aus finanzmahemaischer Sich sehr komplex, da der Kunde zu jedem Zeipunk enscheiden kann ob und ggf. wie viel er ennimm. Sie wird derzei gegen eine Gebühr von jährlich rund,4% bis,65% des Fondsguhabens angeboen. Milevsky und Salisbury (24) kommen zu dem Schluss, dass diese Gebühren deulich uner dem Wer der ensprechenden Opionen liegen. Sie folgern, dass die Versicherer dies enweder aus anderen Gebühren quersubvenionieren oder von nich finanzraional handelnden Kunden ausgehen. Milerweile gib es am US-amerikanischen Mark eine Vielzahl von Varianen und Ausgesalungen der hier beschriebenen Erlebensfall- und odesfallgaranien. Die obige Beschreibung der Produke dien der Kaegorisierung der wichigsen Grundformen. Einige am Mark angeboene Produke weichen in gewissen Deails leich von diesen Grundformen ab. 16 Unser Modell und der im Folgenden vorgeselle Bewerungsansaz gehen von obiger Kaegorisierung aus. Bei der Spezifikaion von Deails zur numerischen Bewerung orienieren wir uns an den Eigenschafen einiger am Mark angeboener Produke. Das Modell läss jedoch grundsäzlich die Bewerung aller Ausgesalungsformen zu. 3 Ein allgemeines Modell zur Beschreibung und Bewerung von Guaraneed Minimum Benefis 3.1 Modellierung des Finanzmarks Wir gehen von einem F-filrieren Wahrscheinlichkeisraum (Ω,F,Q) mi einem risikoneuralen Wahrscheinlichkeismaß aus. Uner diesem Maß kann der risikoneurale Wer zukünfiger Zahlungssröme als diskonierer Erwarungswer besimm werden. 17 Die Exisenz dieses Maßes implizier Arbiragefreihei des Markes. Als Numeraire verwenden wir ein Bankkono B. Wir gehen davon aus, dass der dem Versicherungsverrag zu Grunde liegende Fonds S einer geomerisch Brown schen Bewegung mi konsanen Koeffizienen folg: ds = rd σdz. Hier bezeichne Z einen an F angepassen Wiener-Prozess auf S (Ω,F,Q), r den risikolosen Zins und σ die Volailiä des Fondskurses. Mihilfe der Iô- Formel ergib sich somi 2 σ S 1 S exp r = z ; z ~ N (,1) 2 σ. (1) Wir sezen ferner S = 1 und B = 1 und erhalen B = e r. 16 Informaionen über akuell am Mark angeboene Produke und die für die Garanien erhobenen Gebühren sind beispielsweise uner erhällich. 17 Zu dieser risikoneuralen Bewerungsformel vgl. z.b. Kapiel 4.4 in Bingham und Kiesel (24).

13 12 Bewerung von Guaraneed Minimum Benefis Insiu für Finanz- und Akuarwissenschafen 3.2 Modellierung des Versicherungsverrags Mi dem im Folgenden vorgesellen Modell kann jeder Versicherungsverrag modellier werden, der keine, eine oder mehrere der vorgesellen GMDB-Varianen (Reurn of Premium, Annual Rache, Annual Roll-Up) und keine, eine oder mehrere Varianen der drei vorgesellen GMLB-Opionen (GMAB, GMIB, GMWB) besiz. In unseren numerischen Analysen berachen wir jedoch ausschließlich Konrake, die höchsens eine GMDB-Variane und höchsens eine GMLB-Opion beinhalen. Wir berachen einen Versicherungsverrag mi endlicher, ganzzahliger Laufzei, der bei = gegen einen Einmalbeirag P abgeschlossenen wird. 18 Den Wer des Fondsguhabens zum Zeipunk bezeichnen wir mi A. Wir gehen vereinfachend davon aus, dass der Verrag keine up-fron Kosen beinhale. Daher is A = P. Während der Laufzei des Verrags berachen wir ferner nur diejenigen Kosen, die für die Garanien relevan sind, nämlich die laufenden Kosen für die angeboenen Garanie-Opionen und eine Sornogebühr, falls Ennahmen vorgenommen werden, die nich im Rahmen einer GMWB-Opion garanier sind (eilkündigungen oder Sorno). Die laufenden Kosen ϕ für die Garanie-Opionen sind proporional zum Fondsguhaben, die Sornogebühr s is proporional zum ensprechenden ennommenen Berag. Zur Bewerung der Leisungen des Verrags definieren wir zunächs zwei fikive Konen: Mi W bezeichnen wir den Wer zum Zeipunk des so genannen Ennahmekonos. Auf diesem Kono werden gedanklich alle während der Verragslaufzei geäigen Ennahmen eingezahl und bis zum Zeipunk mi dem risikolosen Zins r verzins. Wir sezen W =. Analog bezeichne D den Wer zum Zeipunk eines fikiven Konos mi odesfallzahlungen. Auf diesem odesfallkono wird gedanklich die evenuell anfallende odesfallleisung eingezahl und ebenfalls bis risikolos verzins. Wir sezen D =. Zur Beschreibung der Enwicklung des Verrags und seiner Garanien im Zeiverlauf benöigen wir neben diesen beiden Konen noch die folgenden Prozesse: D Die garaniere odesfallleisung zum Zeipunk bezeichnen wir mi G, sodass die D odesfallleisung bei od zum Zeipunk gerade { A ; } max beräg. Wir sezen G D = A für Verräge mi einer der beschriebenen Formen von GMDB. Ansonsen is D D G =. Die Enwicklung des Prozesses G im Zeiverlauf häng von der konkreen Variane ab und wird in Abschni 3.3 erläuer. A Die garaniere Erlebensfallleisung bei der GMAB-Opion wird mi G bezeichne. Bei manchen Verragskonsellaionen is es möglich, dass sich die bei Verragsabschluss vereinbare garaniere Erlebensfallleisung abhängig von Kundenakionen (z.b. Ennahmen aus dem Fondsguhaben, also eilkündigungen) oder Kursenwicklungen (z.b. bei Höchssandsgaranien) während der Verragslaufzei G veränder. Daher definieren wir einen Prozess G, dessen Verlauf (wie in Abschni 3.3 deaillier beschrieben) von Kundenakionen und dem Kursverlauf abhäng und der bei Fälligkei gerade die garaniere Erlebensfallleisung G beräg. Wir sezen G A = A A A 18 Flexible Abrufopionen können in unserem Modell ebenfalls abgebilde und mi den vorgesellen numerischen Verfahren bewere werden. Wir verzichen hier jedoch darauf, um die Noaion nich unnöig zu komplizieren.

14 13 Bewerung von Guaraneed Minimum Benefis Insiu für Finanz- und Akuarwissenschafen für Verräge mi GMAB-Opion, ansonsen is G =. Bei Verrägen ohne GMAB- A Opion is durch G = und die in Abschni 3.3 beschriebene Enwicklung des A Prozesses sichergesell, dass G = gil. I Das garaniere Verrenungskapial bei im Falle einer GMIB-Opion nennen wir G. I I A Auch G kann sich im Zeiverlauf ändern, sodass wir einen Prozess G analog zu G definieren, insbesondere sezen wir wieder G I = A für Verräge mi GMIB-Opion, I ansonsen is G =. Die Enwicklung dieses Prozesses im Zeiverlauf wird ebenfalls in Abschni 3.3 erläuer. Schließlich benöigen wir noch zwei Prozesse zur Beschreibung von GMWB-Opionen: W G bezeichne die zum Zeipunk noch aussehenden garanieren Ennahmen der GMWB-Opion. Diese Größe gib also an, welcher Berag in Zukunf noch für garaniere Ennahmen zur Verfügung seh. Wir sezen G W = A für Verräge mi W GMWB. Ansonsen is G =. Den garanieren Ennahmeberag der GMWB-Opion E pro Jahr bezeichnen wir mi G. Diese Größe gib zum Ende jedes Jahres (also für ganzzahliges ) an, welcher Berag maximal ennommen werden darf, ohne die Opion zu verändern. Wir sezen G E = xw A wobei x W den Aneil des anfänglichen Guhabens bezeichne, der pro Jahr maximal ennommen werden kann. Die Enwicklung von G und G im Zeiverlauf wird in Abschni 3.3 erläuer. W E Auf Grund der Markov-Eigenschaf der zu Grunde liegenden Prozesse, is die zum Zeipunk vorhandene Informaion durch die so genannen Zusandsvariablen A, A I D W E W, D, G, G, G, G und G vollsändig charakerisier. Zur Vereinfachung der Noaion kürzen wir den so genannen Zusandsvekor zum Zeipunk im A I D W E y = A, W, D, G, G, G, G, G ab. Folgenden mi ( ) 3.3 Modellierung des Verlaufs eines Versicherungsverrags Während der Laufzei eines Verrags können folgende Ereignisse einreen: garaniere Ennahmen im Rahmen der GMWB-Opion, sonsige Ennahmen aus dem Guhaben (also eilkündigungen), Sorno oder od. Wir gehen vereinfachend davon aus, dass alle derarigen Ereignisse insbesondere auch od nur zum Ende eines Policenjahres erfolgen können. Wir unerscheiden daher für ganzzahliges = 1,2,..., bei allen Zusandsvariablen zwischen ( ) und ( ), was den ensprechenden Wer vor bzw. nach den beschriebenen Ereignissen symbolisier. Die Sarwere der Prozesse bei = wurden bereis in Abschni 3.2 fesgeleg. Wir beschreiben nun den Verlauf der Prozesse in zwei Schrien: Zunächs für =,1,2,..., 1 die Veränderung der Prozesse während eines Policenjahres, also den Übergang von nach (1) - und im Anschluss die Veränderung der Prozesse zu einem Jahresag der Police also den Übergang von (1) - nach (1). Hierbei gehen insbesondere die Enscheidungen des Kunden über Ennahmen und Sorno ein. Abschließend berachen wir die Ablaufleisungen des Verrags. A

15 14 Bewerung von Guaraneed Minimum Benefis Insiu für Finanz- und Akuarwissenschafen Übergang von nach (1) - Der Fondskurs S enwickel sich wie in Abschni 3.1 beschrieben. Für das Fondsguhaben ergib sich somi uner Berücksichigung der (seig erhobenen) Garaniekosen ϕ S 1 ϕ A 1 = A e. (2) S Darüber hinaus werden die Konen W und D unerjährig mi dem risikolosen Zins r r r verzins: W 1 = W e bzw. D 1 = D e. Die Prozesse zur Modellierung der Garanien D A G, G und G I enwickeln sich abhängig von der Ar der Garanie: Falls die jeweilige garaniere Leisung 19 der Einmalprämie ensprich oder falls die ensprechende Opion nich im Verrag D / A / I D / A / I beinhale is, gil G 1 = G. Falls die garaniere Leisung eine Roll-Up D / A / I D / A / I Benefi Base mi Roll-Up Rae i is, so gil G 1 = G ( 1 i ). Lieg hingegen eine Höchssandsgaranie vor (jährliche Rache Benefi Base), so gil D / A / I D / A / I G 1 = G, da die Anpassung an neue Höchssände ers nach evenuellen Ennahmen safinde, also beim Übergang von (1) - nach (1) (siehe Abschni 3.3.2). W E W / E W / E Die Prozesse G und G verändern sich unerjährig nich, d.h. G G Übergang von (1) - nach (1) 1 =. Zum Jahresag der Police (1) sind vier Fälle zu unerscheiden: a) Die versichere Person sirb im Jahr (,1] Da wir od nur zum Ende des Policenjahres zulassen, is dies gleichbedeuend mi od zum Zeipunk 1. In diesem Fall wird die odesfallleisung fällig und auf das fikive D odesfallkono eingezahl, wo sie sich bis verzins: D 1 = D 1 max{ G 1 ; A 1 }. Da nach od des Versicherungsnehmers keine weieren Leisungen mehr fällig werden, sezen wir in diesem Fall 1 = A / I / W / D / E A sowie G 1 =. Das Ennahmekono, auf dem evenuelle Ennahmen aus der Vergangenhei verbuch wurden, veränder sich nich: W 1 = W 1. Dieses Kono wird bis weier verzins. b) Die versichere Person sirb im Jahr (,1] nich und bei 1 wird keine Akion (Sorno, garaniere Ennahme, sonsige Ennahme) durchgeführ In diesem Fall verändern sich zum Jahresag der Police weder das Guhaben des Kunden noch die beiden Konen D und W. Daher gil A A, D D und 1 = W 1 1 = 1 1 = 1 W. Für diejenigen Garanien aus GMAB, GMIB und GMDB, für die keine A / I / D A / I / D Höchssandsgaranie vereinbar wurde, gil analog G 1 = G 1. Falls eine oder mehrere dieser Garanien jedoch als Höchssandsgaranie ausgesale sind, gil für A / I / D A / I / D G max G A. diese Were { } 1 = 1 ; 1 Falls eine GMWB-Opion mi Sep-Up Variane eingeschlossen is und 1 ein Sep-Up Zeipunk is, so erhöh sich der in Zukunf insgesam zu ennehmende Berag (und 19 Uner garaniere Leisung versehen wir die garaniere odesfallleisung bei einer GMDB-Opion, die garaniere Erlebensfallleisung bei einer GMAB-Opion bzw. das garanier zur Verrenung zur Verfügung sehende Kapial bei einer GMIB-Opion.

16 15 Bewerung von Guaraneed Minimum Benefis Insiu für Finanz- und Akuarwissenschafen somi auch der garaniere jährliche Ennahmeberag) um einen Fakor i W, sofern in 1 der Vergangenhei keine Ennahmen geäig wurden. Dami gil: W W E W G G Ι i und G 1 = x G 1. In allen anderen Fällen gil ( W ) 1 = 1 = { W } / E W / E 1 = 1. W G G W c) Die versichere Person sirb im Jahr (,1] nich und bei 1 wird lediglich eine im Rahmen der GMWB-Opion garaniere Ennahme durchgeführ Eine im Rahmen der GMWB-Opion garaniere Ennahme is eine Ennahme eines E W Berags E 1 min { G 1 ; G 1 }, da der Kunde einerseis höchsens den im E ensprechenden Jahr zulässigen maximalen Ennahmeberag G 1 und andererseis W nich mehr als die insgesam noch aussehenden garanieren Ennahmen G 1 ennehmen kann. Bei einer derarigen Ennahme reduzier sich das Guhaben um den Ennahmeberag. Da es sich um eine garaniere Ennahme handel, kann das Guhaben dadurch aber nich negaiv werden. Somi gil A 1 = max { ; A 1 E 1 }. Ferner reduzieren sich auch die insgesam in der Zukunf noch zulässigen Ennahmen um den ennommenen W W Berag: G 1 = G 1 E 1. Die erfolge Ennahme schreiben wir dem fikiven Ennahmekono gu: W 1 = W 1 E 1. Der maximal pro Jahr garanier zu ennehmende Berag sowie das odesfallkono bleiben dadurch unveränder, d.h. E E G 1 = G 1 und D 1 = D 1. Bei den üblicherweise angeboenen Produken werden bei jeder Ennahme die Erlebensfallgaranien (GMAB und GMIB) und zur Vermeidung adverser Selekion auch die garaniere odesfallleisung reduzier: Wir verwenden im Folgenden eine so genanne pro raa Anpassung. Hierbei gil für diejenigen Garanien, für die keine Höchssandsgaranie vereinbar wurde, A / I / D A = 1 A / I / D G 1 G 1. Falls eine oder A 1 mehrere dieser Garanien als Höchssandsgaranie ausgesale sind, so gil für diese A / I / D A Were = 1 A / I / D G 1 max A 1; G 1. 2 A 1 d) Die versichere Person sirb im Jahr (,1] nich und bei 1 wird eine Ennahme durchgeführ, die nich oder nich vollsändig im Rahmen der GMWB garanier is Man beache zunächs, dass dieser Fall folgende Spezialfälle beinhale: d1) Der Verrag besiz keine GMWB-Opion, der Kunde ennimm dennoch einen eil E 1 < A 1 seines Guhabens. d2) Der Verrag besiz eine GMWB-Opion, der Kunde ennimm jedoch einen Berag E W > E min G G. E 1 aus seinem Guhaben mi { } A 1 1 > 1; 1 2 Neben der pro raa Redukion gib es auch die Redukion nach der Dollar-Mehode, bei der die ensprechenden Prozesse gerade um den ennommenen Berag reduzier werden, also A / I / D A / I / D G 1 = max[ G 1 E 1, ]. Zur Modellierung und Bewerung von Produken, bei denen die Garaniewere nach der Dollar-Mehode oder einem anderen Mechanismus angepass werden, können die ensprechenden Formeln ensprechend angepass werden.

17 16 Bewerung von Guaraneed Minimum Benefis Insiu für Finanz- und Akuarwissenschafen d3) Der Kunde sornier den Verrag durch Ennahme von E 1 = A Wir zerlegen zunächs den Ennahmeberag in zwei Komponenen: E 1 E W mi min { G G } = E 1 E 1 E 1 = 1 ; 1. Hierbei is E 1 also gerade der durch die GMWB-Opion garaniere eil der Ennahme. Wenn der Verrag keine GMWB-Opion enhäl, is 1 naürlich ses E 1 =. Durch die Ennahme reduzier sich wie in Fall c) das Guhaben, sodass A 1 = A 1 E 1. Das fikive Ennahmekono erhöh sich um den ennommenen Berag. Allerdings fallen auf den Berag E 2 1 Sornogebühren an. Es gil also 1 2 ( s ) W 1 = W 1 E 1 E 1 1. Das odesfallkono bleib unveränder: D 1 = D 1. Auch in diesem Fall is zu berücksichigen, dass wie oben geschilder die künfigen Garanien durch die Ennahme veränder werden: Für diejenigen Garanien, für die keine Höchssandsgaranie vereinbar wurde, gil A / I / D A = 1 A / I / D G 1 G 1. Falls A 1 eine oder mehrere der Garanien als Höchssandsgaranien ausgesale sind, gil für A / I / D A diese Were = 1 A / I / D G 1 max A 1; G 1. A 1 E W Bei Verrägen mi GMWB-Opion ha eine Ennahme von { G G } E 1 > min 1 ; 1 auch eine Auswirkung auf zukünfig garaniere Ennahmen. Eine übliche Variane 22 sieh vor, dass sich die noch aussehenden garanieren Ennahmen gemäß W W W A 1 G 1 = min G 1 E 1; G 1 reduzieren. Dies ensprich also einer pro raa A 1 Redukion oder einer Redukion nach der Dollar-Mehode (vgl. Fußnoe 2), je nachdem, welche Redukion särker is. Für die künfigen pro Jahr garanieren E E A 1 Ennahmen gil in der Regel G 1 = G A Leisungen bei 1 Wenn weder eine GMAB-Opion noch eine GMIB-Opion vereinbar wurde, beräg die Leisung bei Erleben des Verragsablaufs gerade L = A. Lieg hingegen eine GMAB- Opion vor und erleb die versichere Person den Ablaufermin, so ergib sich die A A Ablaufleisung zu L = max { A ; G }. Bei Verrägen mi GMIB-Opion is die Siuaion ewas komplizierer. Der Versichere kann enweder sein Fondsguhaben A als Einmalzahlung ennehmen oder zu dann akuellen Kondiionen verrenen. In beiden Fällen is der Wer der Leisung gerade A. 21 E W Lieg eine GMWB-Opion vor und is { G G } A < W G 1 A 1 min 1; 1 sowie 1, so sell die Ennahme von E 1 = A 1 eine garaniere Ennahme dar und führ nich zum Sorno des Verrags. Dies is allerdings durch den Fall c) korrek abgedeck. 22 Vgl. Pioneer (25), Seie 36f. 23 W E E G 1 Vgl. Pioneer (25), Seie 36f. Alernaiv wird auch die Variane G 1 = G 1 angeboen. W G 1

18 17 Bewerung von Guaraneed Minimum Benefis Insiu für Finanz- und Akuarwissenschafen Alernaiv kann er das garaniere Verrenungskapial zu den bei Verragsabschluss garanieren Kondiionen verrenen. Bezeichne man mi ä ak und ä gar die Renenbarwere, die zu den bei akuellen bzw. zu den bei Verragsabschluss garanieren Renenkondiionen gehören, so is der Wer dieser Leisung gerade I ä ak G. Ein finanzraionaler Kunde würde die garaniere Rene genau dann ä gar wählen, wenn G I ä ä ak gar > A. Somi ergib sich für einen finanzraionalen Kunden I I ä ak L = max A ; G. ä gar Lieg sowohl eine GMAB als auch eine GMIB-Opion vor, so gil für einen A I L = max L ; L. finanzraionalen Kunden { } 3.4 Wer eines Verrags Im Folgenden gehen wir ses davon aus, dass Serblichkei unabhängig von der Enwicklung des Finanzmarkes is. Sei x das Einrisaler der versicheren Person und bezeichne p x die Wahrscheinlichkei eines x -jährigen, noch mindesens Jahre zu überleben, und q x die Wahrscheinlichkei eines ( x ) -jährigen, innerhalb des nächsen Jahres 24 zu serben. Die Wahrscheinlichkei, dass der od zum Zeipunk 1 einri, beräg somi p x q x. Das rechnerische Höchsaler, also das kleinse Aler, das mi Wahrscheinlichkei 1 nich überleb werden kann, bezeichnen wir wie üblich mi ω Deerminisisches Kundenverhalen In einem ersen Schri gehen wir davon aus, dass vom Kunden beeinflussbare Ereignisse (Ennahmen und Sorno) deerminisisch sind. Als deerminisische Sraegie bezeichnen wir einen Vekor ξ = ( ξ ;...; ξ ) ( ) _ IR Wir nennen auch Ennahmevekor, wobei ξ den Berag angib, der zum Ende des -en Jahres ennommen werden soll, sofern der Versichere noch leb und eine ensprechende Ennahme zulässig is. Wenn eine Ennahme von ξ nich zulässig is, so wird der größmögliche zulässige Berag < ξ ennommen. Insbesondere falls keine GMWB- E Opion im Verrag enhalen is, wird somi der Berag E { ; A } Sorno zum Zeipunk wird durch ξ = dargesell. Mi Ψ = Ψ... Ψ ( ) = _ ξ min ξ ennommen. IR 1 bezeichnen wir die Menge aller zulässigen deerminisischen Sraegien. Jede deerminisische Sraegie is insbesondere F - messbar. 24 d.h. in unserem Modell genau zum Ende des nächsen Jahres 25 Mi IR bezeichnen wir die Menge aller nich negaiven reellen Zahlen (also inklusive der Null), ferner is IR = IR { }.

19 18 Bewerung von Guaraneed Minimum Benefis Insiu für Finanz- und Akuarwissenschafen Wenn ein Versicherungsverrag und eine deerminisische Sraegie vorgegeben sind, so liegen uner der Annahme, dass der od im Jahr { },2,..., 1 x ω einri, die Were _ ;ξ L, _ ;ξ W und _ ;ξ D für jede Enwicklung des Fondskurses S eindeuig fes. Der Wer des Verrages bei = inklusive aller Opionen ergib sich somi zu. 1; 1; 1; ; ; ; ; ; ; _ 1 _ _ 1 1 _ = = = = ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ω D W L E p D W L E q p e D W L E q p e V Q x Q x x r x Q x x r (3) Probabilisisches Kundenverhalen Uner probabilisischem Kundenverhalen versehen wir den Fall, dass der Kunde gewisse vorgegebene Sraegien mi einer gewissen Wahrscheinlichkei ausüb. Wenn die deerminisischen Sraegien ( ) ( ) j j j IR = ) ( ) ( 1 ) ( _ ;...;ξ ξ ξ, n j,..., 1,2 = und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeien ) ( j p ξ gegeben sind ( = = n j j p 1 ) ( 1 ξ ), ergib sich der Wer des Verrags als = = ) ( _ 1 ) ( j n j j V p V ξ ξ. (4) Der Wer eines Verrages uner probabilisischem Kundenverhalen läss noch eine weiere Inerpreaion zu: Wenn ein Versicherungsunernehmen aus Erfahrungsweren Prognosen für die zukünfigen Häufigkeien von Sorni und Ennahmen im Besand abgeleie ha, und die ensprechenden relaiven Häufigkeien jedem Verrag als Wahrscheinlichkeien zuordne, so is die Summe der ensprechenden probabilisischen Verragswere gerade der Wer des Verragsbesands aus Sich des Versicherers uner der Annahme, dass die Prognose korrek is. Dieser Wer ensprich den Kosen für einen perfeken Hedge der ensprechenden Verpflichungen, wenn sich die Versicheren verhalen wie erware. Das Risiko, dass das asächliche künfige Kundenverhalen von den Prognosen abweich, is in diesem Fall jedoch nich abgesicher, vgl. Fußnoe Sochasisches Kundenverhalen Die Annahme von deerminisischem oder probabilisischem Kundenverhalen, geh davon aus, dass das Sorno- und Ennahmeverhalen der Kunden nich von der Enwicklung des Kapialmarks und somi des Verrags abhäng. Eine sochasische Kundensraegie is hingegen eine Sraegie, bei der der Kunde abhängig von der zum Zeipunk vorhandenen Informaion fesleg, ob und gegebenenfalls welchen Berag er ennimm bzw. ob er sornier.

20 19 Bewerung von Guaraneed Minimum Benefis Insiu für Finanz- und Akuarwissenschafen Eine zulässige sochasische Kundensraegie is ein F -messbarer Prozess (X), der X, y = Ε, abhängig vom Zusand des Sysems den Ennahmeberag fesleg: ( ) = 1,2,...,. Für jede sochasische Kundensraegie (X) liegen uner der Annahme, dass der od im Jahr { 1,2,..., ω x } einri, die Were L ( ;(X) ), W ( ;(X) ) und D ( ;(X) ) für jede Enwicklung des Prozesses S eindeuig fes. Der Wer eines Verrags ergib sich somi zu V ω x 1 x x 1 Q, = r ((X) ) = p q e E [ L (,(X) ) W (,(X) ) D ( (X) )]. (5) Sei Ξ die Menge aller zulässigen sochasischen Kundensraegien. Der Wer V eines Verrags uner der Annahme finanzraionalen Kundenverhalens bezüglich Sorno und Ennahmen is dann gegeben durch V = supv ((X) ). (6) (X) Ξ 3.5 Ein Beispiel Zur Veranschaulichung der Vorgehensweise bei der Bewerung eines Verrags berachen wir einen einfachen Verrag mi einer GMAB-Opion. Dem Kunden wird zu einem fesgelegen Zeipunk = 1 ein Mindes-Porfoliower in Höhe der gezahlen Prämie garanier, es gil also G A 1 = P. Dami is die Erlebensfallleisung des Kunden bei Überleben der 1-jährigen Versicherungsdauer gegeben durch A L = max{ G 1 ; A1 } = max{ P ; A1 }. Diese läss sich zerlegen in eine sichere Zahlung P und den Payoff einer Call-Opion auf das Underlying A mi Srike P, es gil also L = { P A } = P [ A P ] max ; 1 1. Wir gehen für dieses einfache Beispiel davon aus, dass der Kunde den Verrag während der Laufzei nich kündigen kann und keine Ennahmen vornehmen kann. Dami gil W 1 =. Ferner werden in diesem Beispiel keine odesfallgaranien gewähr, bei od im -en Jahr wird also lediglich das Fondsguhaben A ausbezahl. Der Wer des fikiven odesfallkonos bei Ablauf uner der Annahme, dass der od im ( 1 )r Jahr einri, is dami gegeben durch D1 = A e. Dann gil für den Wer V des Verrags ohne Sorno-Opion (für P = 1 ) V ξ = = = = 1 1 = = = 1,1 ;e p p p 1ϕ wobei ( S ) x x x q q q x 1 x 1 x 1 e E e 1r Q ϕ E [ 1 ] Q [ 1 A1 1 ] (1 ) r 1r [ A e ] p e E P [ A P ] 1r (1 ) r ϕ 1r [ e S e ] p e E [ ] 1 Q p x 1 x 1 x 1r 1ϕ 1ϕ ( e e C ( S ; e )), C den Black-Scholes-Preis bei = einer Call-Opion mi Laufzei 1ϕ 1 Jahre auf das Underlying S mi Srike e bezeichne. ;1 Q