Berechnung von Schockspektren

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1 Einführung Die für die Eingabe in andere Simulaionspakee is eine häufige Aufgabensellung. Z.B. geh es darum, wie sich elekronische Geräe uner Schockeinwirkung verhalen. Seine Ursprung ha die Schockspekrenanalyse in der Bewerung der Erdbebensicherhei von Gebäuden. Ziel dieses Beispieldokumenes is zu zeigen, wie in Mahcad Anregungen in Differenzialgleichungen verwende werden können, die nur als Daei vorliegen. Anwendungen, in denen Schockspekren in der Simulaion verwende werden, sell Herr Dr. Roland Jakel in seinem Vorrag " und prakische Anwendung der dynamischen Soßanalyse in Creo Elemens / Pro Mechanica" [] vor. Das Sysem Es werden Ein-Massen-Schwinger berache, die über die Parameer m (Masse) und Seifigkei der Feder k beschrieben werden. Das Sysem wird durch die Schwinungsdifferenzialgleichung d d m x () c x () d d Zum Zeipunk werden homogene Anfangsdaen gewähl x x kx = R () In R() seck die Anregung des Sysems. Je nach Wahl wird dadurch eine Krafanregung R () = F () Fußpunkanregung R () = ku () Fußpunkbeschleunigung R () = ma () beschrieben. Wir berachen hier Fußpunkbeschleunigungen, die aus gemessenen Daen aufbereie werden. Die Anregung Die Anregungsdaen liegen in einer Daei vor: "SchockInpu.xls" "schock.x" daei "schock.x" "schock3.x" "schock4.x" anregungsdaenein READFILE daei forma j j forma "excel" "delimied" "delimied" "delimied" "delimied" j /

2 Auswahl des Anregungsinervalls: pos T pos T 3 5 T T T.46 T.448 Länge des Anregung: ΔT T T Aus den eingelesenen Daen muss nun eine Anregungsfunkion R () erzeug werden. R ( ) linerp anregungsdaen reurn anregungsdaen G if T reurn Die Anregung is in g angegeben, demnach muss dies in der Funkion berücksichig werden. Anregung [g] Anregungsfunkion Die Differenzialgleichung Zei [s] Die Berechnung der Spekren erfolg über die lineare Schwingungsdifferenzialgleichung mi Fußpunkbeschleunigung d d m x () c x () kx = mr () d d Dabei ineressieren weder die Masse noch die Federseifigkei, sondern die Eigenfrequenz (bei sehr kleiner Dämpfung) k ω = = π f m /

3 Die Gleichung schreiben wir deshalb uner Ausnuzung von ξω =c/m um in die Form d ξ d x () ω d ω d x () x = R () ω Hier bei handel es sich bereis um die Formulierung für eine Fußpunkbeschleunigung. Die Sysemanwor x () ensprich dann nich der Absoluverschiebung, sondern nur der Relaivverschiebung. Sammeln der Daen Anregungsdauer [ms] τ ΔT.3 Zeihorizon der Simulaion T end T τ N sep ξ. % modale Dämpfung Differenzialgleichung Given d δx() d d ω ξ δx () d ω δx () = R () δxt = x δx' T = x Die Idee is nun die Differenzialgleichung in Abhängigkei vom Frequenzparameer zu lösen, da dieser direk aus der Eigenfrequenzanalyse abzulesen is. OdesolveT end erg ω N sep Problemaisch is, dass der Zeihorizon für die Simulaion nich von der Frequenz ω abhängig is, für die die Sysemanwor berechne wird. Deshalb is eine Berechnung in zwei Schrien sinnvoll.. Simulaion über die Dauer der Anregung [T,T ]. Simulaion über eine besimme Anzahl von Perioden bzgl. ω, z.b. 5 Perioden.[T,T end ] Die Anregung is eine Fußpunkbeschleunigung. Die Anworgröße is die Relaivverschiebung der beracheen Masse. Für die Berechnung wird eine der Kommandozeilenfunkionen von Mahcad verwende. Dazu müssen die reche Seie der Differenzialgleichung als Funkion f und die Jacobi-Marix J von f bzgl. der Lösung x definier werden: f xω ξ ξ ω x x ω x R () J ω x ω ξ ω ξ ω 3/

4 Es muss als vor der Berechnung die Frequenz ω und die Dämpfung ξ definier werden. Die Dämpfung wird ebenfalls als Parameer in die Funkion zur Berechnung der Spekren aufgenommen. Beispiel zur Lösung für eine fese Frequenz Zunächs berechnen wir die Lösung für eine fese Frequenz und eine vorgegebene Dämpfung. ω π5 N sep N anregung ξ. Nun wird eine Funkion mi nur zwei Argumenen definier, die von der Kommandozeilenfunkion akzepier wird. D ( y) fyω ξ Jy ( ) J ω y ω ξ Lösung für den Zeiraum der Anregung lösung Radau T T N sep D J Lösung über den weieren Verlauf N sim Perioden sollen nach nach T berechne werden. π T end T N sim T ω end.55 lösung Radau lösung N sep lösung N sep lösung sack submarix lösung N sep T lösung T end N sep D J 4/

5 Überlegungen zum Beschleunigungsspekrum Die Problemaik beseh nun darin, dass of das Beschleunigungsspekrum gesuch wird. Hierzu verwenden wir die "specra response relaion" a max ω xmax. Diese Relaion nehmen wir einfach an der ensprechenden Selle in unsere Rechnung mi auf. Die Erne - Zusammenfassung der bisherigen Ergebnisse Einige inernere Parameer werden von dem oberen Bla übernommen: T, T,T end, N sep, N sep und N sim wurden vom obigen Arbeisbla übernommen ShockResponsevx f f N f ξ f logspacef f schockou Nf N f for i N f "Frequenz besimmen" "Schwingungsdauer" T i f i ω π f i T end T N sim T i race "Frequenz (i={}) f={}" i f i "Funkionen für reche Seie und Jacobische zuweisen" D ( y) f [doc] y ω ξ Jy ( ) J ω y ω ξ "Lösung für die Anregungsdauer" lösung Radau T T N sep D J lösung Radau lösung Nsep lösung Nsep T T end N sep D J lösung lösung sack submarix lösung N sep schockoux max lösung i 5/

6 schockoux max lösung i schockouv max lösung i schockoua i ω schockouxi ( T schockoux f schockouv schockoua ) T Nun wird die Schockanwor für den Frequenzbereich [5Hz,Hz] mi Punken berechne. Die Dampungsrae beräg %. Dabei wird auch noch verglichen, inwiewei die gern verwendee "Fausformel", dass für das Geschwindigkeisspekrum v(ω)=ωx(ω) und das Beschleunigungsspekrum a(ω)=ωv(ω) gele, erfiüll is ShockResponse ShockResponsevx(.) 4 3 x 3 4 f [Hz]. x Wegspekrum Geschwindigkeisspekrum specra response relaon f [Hz] 6/

7 Semianalyische Berechnung im ungedämpfen Fall Sezen wir nun die Lösung der Differenialgleichung analyisch an, so können wir das allgemeine Differenzialgleichungssysem y' () = y' = ω y () R () berachen. Für dieses Sysem können wir die allgemeine Lösung miels Variaion der Konsanen aufschreiben. Für die homogene Gleichung erhalen wir die Fundamenalmarix X () und deren Inverse Xinv( ) X () cosω ω sinω sin ω ω cos ω Xinv() cos ω sin ω sin ω ω cos ω ω b () R () Die Variaion der Konsanen gib uns nun die Möglichkei, direk die Koeffizienenfunkion aufzuschreiben: b () R () Dami erhalen wir c ( ) = Xinv()b bzw. c () c () sinω τ ω τr( τ) d T c () ω sin ω cos ω R () cosω τ ω τr( τ) d T Zur Vereinfachung vereinbaren wir an dieser Selle, dass die Anregung immer ers zum Zeipun T +ε einsez.somi sind die Anfangsdaen und auch die Ableiungen der Lösung x() immer und es genüg, nur die spezielle Lösung zu berachen. Darüber hinaus verschwinde die Ableiung von c() in T. Für die allgemeine Lösung können wir zusammenfassen: x () c ( ) cos ω v () ω c () c ( ) sin ω sinω ω c () cos ω Uns ineressier nun aber der Maximalwer der Beschleunigung a() zu einem besimmen Wer ω. Eine Idee is nun, c () und c () in Abhängigkei von ω zu abellieren. Hier biee es sich wieder an, in zwei Schrien zu arbeien:. Süzpunke aus der Anregung für das Inervall [T, T ],. Süzpunke im Inervall [T, T end ] in Abhängigkei von ω. Die Zeipunke für die Anregung sehen in der. Spale der Marix anregungsdaen. Für die Anregung 7/

8 nuzen wir die Funkion R () oben im Bla. ex anregungsdaen R ex R ex Es sollen wieder N sim Perioden weiergerechne werden. π T end T N sim ω frei linspace T T end 4N sim R frei R frei Die Informaionen aus beiden Inervallen werden nun zusammengefüg, wobei der Zeipunk T einmal gelösch werden muss. Auswerezei s sacksubmarix ex las ex frei Die Inervallänge erhalen wir aus: h diff ( s) Rs sacksubmarixr ex lasr ex R frei Schleife über die Inervalle iloop las( s) Iniialisieren der Vekoren c Werlas ( s) c Werlas ( s) Speichern der Were der Winkelfunkionen und des Inegranden für Variaion der Konsanen sin s sin ω s cos s cos ω s sinr sin s Rs cosr cos s Rs Das Inegral wird zunächs nur auf den einzelnen Inervallen der Zeischrie [ exi, exi ] berechne. Dazu wird das Inegral exiloop c WeriLoop = sin ω τr( τ) dτ ω exiloop miels der Trapezregel approximier, wobei die Schleife über die Variable iloop läuf. c IniLoop h sinr sinr ω iloop iloop iloop c IniLoop h cosr cosr ω iloop iloop iloop Durch Aufsummieren aller Elemene bis zum jeweils i-en Elemen erhalen wir die gesuchen Inegrale 8/

9 i ω T sinω τr( τ) dτ i i = c Ini bzw. i i cosω τ ω τr( τ) d = T i c Ini c vec cum c In c vec cum c In 5 4 Koeffizienenfunkion c vec c vec s Die Lösung der Differenzialgleichung läss sich nun leich aus den bereis gespeicheren Daen ermieln: x s c vec cos s c vec sin s v s ω c vec sin s c vec cos s 3 Semianalyische Lösung Weg Geschwindigkei Zei Überprüfung des bisherigen Resulaes anhand der numerischen Lösung von oben: Vergleich der ransienen Lösungen (Weg) 9/

10 Vergleich der ransienen Lösungen (Geschwindigkei) Da wir oben mi Dämpfung gerechne haben, bleib in der Ampliude ein Unerschied. Die Behandlung der Dämpfung is nich Gegensand dieses Berichs. Die zweie Erne Fassen wir unsere Ergebnisse in einer neuen Funkion zusammen: ShockResponseA f f N f f logspacef f N f "Sammeln der freq.-unabhaengigen Daen" ex submarix anregungsdaen las anregungsdaen R ex R ex "Schleife ueber die Frequenzen" for i N f T i f i T end T N sim T i ω πf i race ("i={}" i ) "Erzeugen des zweien Zeiinervalls" frei linspacet T end N sim R frei R frei s sack ex frei Rs sackr ex R frei h diff ( s) sin s sinω s cos s cosω s sinr sin s Rs R R /

11 cosr cos s Rs "Berechnung der Variaion der Konsanen" for iloop las( s) c Werlas ( s) c Werlas ( s) c IniLoop h sinr sinr ω iloop iloop iloop c IniLoop h cosr cosr ω iloop iloop iloop c vec cum c In c vec cum c In x s c vec cos s c vec sin s v s ω c vec sin s c vec cos s schockoux max x i s schockouv max v i s schockoua ω i schockouxi "Ende Schleife ueber Frequenzen" ( T schockoux f schockouv schockoua ) T Wieder berechnen wir die Schockanwor für das Inervall [5Hz, Hz]. ShockResponse ShockResponseA( 5) 5 Beschleungigung [g] f [Hz] /

12 Vergleich der Ergebnisse x f [Hz] Der Voreil in der semianalyischen Mehode beseh darin, dass bei der Berechnung der Lösung auf die Srukur der Eingabedaen zurückgegriffen wird. Es wird die Annahme der sückweisen linearen Eingangsfunkions in der Rechnung berücksichig. Der leze Schri besünde jez darin, die berechneen Spekren für die Nuzung in anderen Sofwarepakeen zu exporieren [] und auch in der semianalyischen Lösung die kleine Dämpfungen zu berücksichigen. Anmerkung Die auf dem Bla verwendeen Funkionen linspace, diff und cum, sind separa auf dem Bla definier. Lieraur [] Irvine, Tom: AN INTRODUCTION TO THE SHOCK RESPONSE SPECTRUM, Revision R, July hp:// [] Jakel, Roand: und prakische Anwendung der dynamischen Soßanalyse in Creo Elemens / Pro Mechanica. Vorrag auf der, TU Chemniz, 9. April Auor Friedrich-Alexander-Universiä Erlangen-Nürnberg Deparmen Mahemaik Lehrsuhl für Angewande Mahemaik Marenssr Erlangen wigand.rahmann@am.uni-erlangen.de +49 () /