3 Antwortspektren, Tragwiderstand und Duktilität

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1 Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 Inhal 3 Anworspekren, Tragwidersand und Dukiliä ) Zeiverlaufsberechnung von linearen und nichlinearen EMS Bewegungsgleichung von EMS Numerisches Inegraionsverfahren nach Newmark Beispiele ) Elasische Anworspekren Definiion Eigenschafen und Grenzwere Pseudo-Bewegungsgrösse Kombiniere doppel-logarihmische Darsellung Spekren in ADRS Forma Dämpfung 3) Tragwidersand und Dukiliä Inelasische seismische Anwor von Srukuren Aren von Dukiliä (lokal & global) 4) Inelasische Anworspekren Definiion R y μ T Beziehungen Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 Lieraur [Bac+97] Bachmann e al.: Vibraion Problems in Srucures. ISBN Birkhäuser Verlag, Basel 997. [Bac] Bachmann H.: Erdbebensicherung von Bauwerken. Birkhäuser,. [Cho7] Chopra A.K.: Dynamics of Srucures. Third Ediion. Prenice Hall, 7. [Daz4a] Dazio A.: Anworspekren. Unerlagen zum Forbildungskurs Erdbebenbemessung mi den neuen SIA-Tragwerksnormen am 7. Okober 4. Zürich 4. ( [Daz4b] Dazio A.: Sahlbeon. Unerlagen zum SGEB Forbildungskurs Erdbebenbemessung mi den neuen SIA-Tragwerksnormen am 7. Okober 4. Zürich 4. ( [DWB99] Dazio A., Wenk T., Bachmann H.: Versuche an Sahlbeonragwänden uner zyklisch-saischer Einwirkung. IBK Berich Nr. 39, Birkhäuser, 999. (e-collecion.ehbib.ehz.ch/view/eh:396) [LWB99] Lesuzzi P., Wenk T., Bachmann H.: Dynamische Versuche an Sahlbeonragwänden auf dem ETH-Erdbebensimulaor. IBK Berich Nr. 4, Birkhäuser, 999. (e-collecion.ehbib.ehz.ch/view/eh:397) [NH8] Newmark N.M., Hall W.J.: Earhquake Specra and Design. EERI monograph, 98. [Mar3] Marioni A.: Innovaive Ani-seismic Devices for Bridges. In SIA Dokumenaion D98. SIA, Zürich 3. [Sei9] Seismosof: SeismoSignal Users Manual. Seismosof [Online], 9. ( [SIA3] SIA: Einwirkung auf Tragwerke. Norm SIA 6, Zürich 3. Alessandro Dazio Seie 9 Alessandro Dazio Seie 3

2 Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 3. Zeiverlaufsberechnung von linearen und nichlinearen EMS Erdbebensicherung von Bauwerken I FS Inegraionsverfahren nach Newmark Inkremenelle Formulierung der Differenialgleichung mδx + cδx + kδx = mδx g (3.5) + Δ + Δ + Δ x = x + Δx, x = x + Δx, x = x + Δx (3.6) Annahme des Verlaufs der Beschleunigung im Zeischri mx + cx + f s = mx g (3.) mx + cx + kx = mx g (3.) x + ζω n x + ω nx = x g (3.3) Wobei: ζ = c ( mω n ), ω n = k m, f s = kx = mω nx (3.4) Vollsändige Berechnung der dynamischen Anwor durch: Falungsinegral ([Cho7] Abschni 4.) Numerische Inegraion der DGL ([Cho7] Abschni 5) x ( τ) -- x + Δ ( + x = ) = x τ + Δx x ( τ) x x + ( τ) dτ x x Δx = = ( τ ) τ x( τ) x + x ( τ) dτ = = x x x + Δx ( τ ) dτ τ (3.7) (3.8) (3.9) Alessandro Dazio Seie 3 Alessandro Dazio Seie 3

3 Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 (3.) Die Inkremene der Beschleunigung, Geschwindigkei und Verschiebung im Zeischri beragen somi: (3.) (3.) (3.3) Die Gleichungen für Δx und Δx können generalisier werden als: mi: x( τ) x x ( τ ) x + Δx ( τ ) = Δx + Δ x = x = Δx + Δ Δx x x x Δx = = Δ Δx x Δ x Δx Δ = Δx x + γδx = ( )Δ, Δx = x Δ+ ( x + βδx ) Δ (3.4) Konsaner Beschleunigung: β -- =, γ = -- Δ T Linearer Beschleunigung: β = --, γ = -- Δ T Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 Lösung der DGL Die Ausdrücke von Gleichung (3.4) werden in Gleichung (3.5) eingesez, die jez für die einzige verbleibende Unbekanne Δx gelös werden kann ( m + cγδ + kβδ )Δx mδx g c x = Δ k x Δ + x oder in kompaker Form (3.5) m Δx = Δp (3.6) Durch Rückwärseinsezen von Δx können die gesuchen Bewegungsgrössen zur Zei + Δ berechne werden. Lineare Syseme m, c und k bleiben konsan während des Erdbebens. Die Grösse m is ebenfalls konsan und kann im Voraus besimm werden. Nichlineare Syseme Δ Die Masse m und die Dämpfung c bleiben ypischerweise konsan während des ganzen Erdbebens. Die Seifigkei k variier während des Erdbebens und m is somi nich mehr konsan. Falls sich die Seifigkei innerhalb des Zeischries änder, muss ierier werden. Alessandro Dazio Seie 33 Alessandro Dazio Seie 34

4 Erdbebensicherung von Bauwerken I FS Implemenierung des Inegraionsverfahrens nach Newmark in der Excel-Tabelle EBI_Einmassenschwinger_FS9.xls Gleichung (3.5), hier nochmals geschrieben, wird in der Excel- Tabelle wie folg implemenier: ( m + cγδ+ kβδ ) meq Δx da mδx g x Δ = c k ΔF() dv x Δ + x dd In den Spalen C bis E werden zuers die sogenannen Prädikoren dd, dv und da besimm: Δ dd = x Δ+ x dv da = x Δ mδx g c dv k dd = = meq Δx ( dela-displacemen ) ( dela-velociy ) Δ ( dela-acceleraion ) In den Spalen F bis H werden anhand von sogenannen Korrekoren die Bewegungsgrössen zum Zeipunk + Δ besimm: + Δ x + Δ x = x + da = x + dv + ( da γ Δ) Δx Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 + Δ x = x + dd + ( da β Δ ) Δx In der Spale I wird schlussendlich die absolue Beschleunigung x abs zum Zeipunk + Δ besimm: + Δ x abs = + Δ x + + Δ x g Bemerkungen zur Anwendung der Excel-Tabelle Die gelb-unerlegen Felder können geänder werden: Die Spalen A und B enhalen die Süzwere im Absand Δ, die den Zeiverlauf der Bodenbewegung x g () beschreiben, für welche die Anwor des Einmassenschwingers (EMS) zu besimmen is. Um die Anwor des EMS infolge einer anderen Bodenbewegung x g () zu berechnen, müssen diese zwei Spalen mi den Süzweren des neuen Erdbebenzeiverlaufs gefüll werden. Das Bewegungsverhalen eines linearen EMS is für einen gegebenen Erdbebenzeiverlauf x g (), nur von seiner Periode T = π ω n und seiner Dämpfung ζ abhängig. Aus diesem Grund können T und ζ in der Excel-Tabelle ebenfalls frei gewähl werden. Die Masse m is lediglich benöig, um die asächliche Seifigkei des EMS k = m ω n zu definieren und daraus die korreke Federkraf f s = k x zu berechne. Im Feld Anzahl Perioden (Zelle V9) wird angegeben für wievielen Perioden T i des EMS dessen dynamische Anwor berechne werden soll, um dami die ensprechenden Anworspekren zeichnen zu können. Alessandro Dazio Seie 35 Alessandro Dazio Seie 36

5 Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 Die Anworspekren werden mi dem Makro anworspekrum berechne. Das Makro füg lediglich die verschiedene Perioden T i in der Zelle S3 ein; dann lies sie die Maxima der Anworgrössen aus der Zellen F6, G6, H6 und I6 heraus und schreib sie in den ensprechenden Zellen der Spalen L bis P Nichlinearer EMS f y f el x = m, μ Δ = R y x y Widersand des nichlinearen EMS f y f y f el = = R y k el x el R y (3.7) R y = Krafredukionsbeiwer f el = maximalen Federkraf f s, die ein linearer EMS gleicher Periode T und Dämpfung ζ uner dem gleichen Zeiverlauf x g erfahren würde Maximale Verschiebungsanwor x m des nichlinearen EMS x m = μ Δ x y bzw. μ Δ = x m x y (3.8) x y = Fliessverschiebung = Verschiebedukiliä μ Δ Alessandro Dazio Seie 37 Alessandro Dazio Seie 38

6 Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 Bemerkung Erdbebensicherung von Bauwerken I FS Anwendungsbeispiel: Einfacher Rahmen Es wirk späer im Laufe der Vorlesung klar werden, warum die Konzepe des Krafredukionsbeiwers R y und der Verschiebedukiliä sehr nüzlich sind. μ Δ Nowendige Anpassungen Für nichlineare EMS mi idealisieren Kraf-Verformungs-Eigenschafen sind folgende Anpassungen nowendig, wenn die Inegraionsverfahren nach Newmark angewende wird: k EI s = , T π m --- V =, V, (3.9) k y y = Δ H y = k H 3 Parameervariaion Süze k [kn/m] T [s] f y [MPa] V y [kn] V y /V el [-] Δ y [cm] HEA HEA HEA HEA HEA HEA HEA HEA IPE IPE IPE IPE M y Alessandro Dazio Seie 39 Alessandro Dazio Seie 4

7 Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 Rahmen mi T = 3.75s, uner El Cenro Erdbeben Rahmen mi T =.95s, uner El Cenro Erdbeben Δ=8.c 3 Δ=5.9c 3 Δ=.6c 3 Δ=.c 3 Zei [s] V el=39.5kn V y=9.8kn V y=9.9kn V y=6.6kn Δ=.3c 3 Δ=7.7cm 3 Δ=9.4cm 3 Δ=.4c 3 Zei [s] V el=46.7kn V y=3.4kn V y=6.7kn V y=4.kn Alessandro Dazio Seie 4 Alessandro Dazio Seie 4

8 Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 Rahmen mi T =.7s, uner El Cenro Erdbeben Erdbebensicherung von Bauwerken I FS Beispiele von inelasischen hysereischen Gesezen Δ=.5cm 3 Δ=.cm 3 Δ=.5cm 3 Δ=.cm 3 Zei [s] V el=4.4kn V y=5.7kn V y=.9kn V y=68.6kn Alessandro Dazio Seie 43 Alessandro Dazio Seie 44

9 Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 3. Elasische Anworspekren [Daz4a] 3.. Berechnung von Anworspekren [Bac] Bild.5 Anworspekren dienen zur Auswerung von Erdbebenaufzeichnungen aber vor allem, in Form von Bemessungsspekren, zur Erdbebenbemessung von Bauwerken Anworspekren sollen für alle Perioden und Dämpfungen, die bei Bauwerken vorkommen, berechne werden. Wo nichs anderes angegeben, beziehen sich die nächsen Anworspekren auf die Nord-Süd Komponene des El Cenro Erdbebens vom 8. Mai 94 ([Cho7]) Weiere Zeiverläufe auf: ) hp://db.cosmos-eq.org/scrips/defaul.plx ) hp://peer.berkeley.edu/nga/ Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 El Cenro : Lineare Anworspekren Absolue Beschleunigung [m/s ] Relaive Verschiebung [m] Relaive Geschwindigkei [m/s] ζ = % ζ = % ζ = % ζ = % ζ = % ζ = % ζ = % ζ = % ζ = % ζ = % ζ = % ζ = %..... Alessandro Dazio Seie 45 Alessandro Dazio Seie 46

10 Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 Grenzwere von Anworspekren Erdbebensicherung von Bauwerken I FS Pseudo-Bewegungsgrösse Pseudo-Geschwindigkei S pv S pv = ωs d (3.) - ha die Einheien einer Geschwindigkei S pv - is ein Mass für die maximale Verformungsenergie S pv x a + ζωx + ω x = x a + ζωx + ω x = x = x a () = x () + x g () = x g() x () = xg() x () = x g () ks d ks ( E s pv ω) = = = ms pv (3.) ag [m/s ] vg [m/s] a g,max = 3.3 m/s v g,max = 36.cm/s Pseudo-Beschleunigung S pa - ha die Einheien einer Beschleunigung S pa - is ein Mass für die maximale Querkraf S pa = ω S d (3.) dg [m] d g,max =.cm Aufpassen Basiskorrekur! [Sei9] V = ks d = ks ( pa ω ) = ms pa (3.3). 3 Zei [s] Alessandro Dazio Seie 47 Alessandro Dazio Seie 48

11 Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 Wirkliche vs. Pseudo-Bewegungsgrösse Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 Bemerkungen zur Pseudo-Beschleunigung Absolue Beschleunigung [m/s ] Relaive Geschwindigkei [m/s] Beschleunigung Pseudo-Beschleunigung Geschwindigkei Pseudo-Geschwindigkei Für ζ = sind Beschleunigung und Pseudo-Beschleunigung gleich. Für T verschwinde die Pseudo-Geschwindigkei Pseudo-Geschwindigkei und Pseudo-Beschleunigung ensprechen in ewa den wirklichen Bewegungsgrössen bei EMS mi ζ < % und T < s... /... max [ ]... /... max [ ] Pseudo-Beschl. Pseudo-Geschw. - x Verschiebung 5 5 Pseudo-Beschl. Pseudo-Geschw. - x Verschiebung ζ = ζ > 5 5 Zei [s] x a () = ω x () ζωx () Zeiverlauf der Pseudo-Beschleunigung A() Für ζ = : x () = A () Für ζ > : bei x max : x a = A aber A < A max Verschiebung der Maxima durch die Dämpfung (3.4) Alessandro Dazio Seie 49 Alessandro Dazio Seie 5

12 Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 Kombiniere doppel-logarihmische Darsellung Pseudo Geschwindigkei Spv [cm/s] S pv S pv = ωs d log( S pv ) = log( S pv ) = log( ) = S pa S pv = log( S ω pv ) = log( S pv ) = log( ) = S pv = 7 cm/s S pv S pa = 447 cm/s Pseudo Beschl. S pa [cm/s ] log( ω) + log( S d ) log() f + log( π) + log( S d ) log( T) + log( π) + log( ) S d log( ω) + log( S pa ) log( f) log( π) + log( S pa ) log( T) log( π) + log( S pa ). Verschiebung S d [cm] T = s Sd =. cm... Erdbebensicherung von Bauwerken I FS Eigenschafen von linearen Anworspekren Pseudo Geschwindigkei Spv [cm/s] a g = 33 cm/s Pseudo Beschl. S pa [cm/s ] v g = 36. cm/s. Verschiebung S d [cm]... Anworspekren weisen Bereiche die enweder mehr von der Bodenbeschleunigung (kleine Periode)oder von der Bodengeschwindigkei (milere Periode) oder von der Bodenverschiebung (grosse Periode) beeinfluss sind. d g =. cm ζ = % ζ = % ζ = % Alessandro Dazio Seie 5 Alessandro Dazio Seie 5

13 Erdbebensicherung von Bauwerken I FS Bemessungsspekren nach Newmark ([Cho7] Fig. 6.9.) Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 Elasische Bemessungsspekren nach Newmark S pv / v g [-] S pa / a g [-] Spa / a g [-] T [s] S d /d g [-] Pseudo Geschwindigkei Spv [cm/s] A B α a a g a g C Pseudo Beschl. S pa [cm/s ] α v v g. Verschiebung S d [cm] T A =/33s T B =/8s T E =s... v g D αd d g d g E F T F =33s T [s] Median(5%) Eine Sdabw. (84%) Dämpfung ζ % α a.74 α v.3 α d.63 α a 3.66 α v.9 α d.4 5% % % Alessandro Dazio Seie 53 Alessandro Dazio Seie 54

14 Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 Elasische Anworspekren nach SIA 6 ([SIA3] Ar. 6..3) Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 Verschiebungsanworspekren nach SIA 6 6 Zone 3b, 5 Zone 3b, Pseudo-Beschleunigung S pa [m/s ] Baugrundklasse A Baugrundklasse B Baugrundklasse C Baugrundklasse D Baugrundklasse E.... BGK A: Harer oder weicher Fels uner max. 5 m Lockergeseinsabdeckung. BGK B: Ablagerungen von grossräumig zemenierem Kies und Sand mi einer Mächigkei über 3 m. BGK C: Ablagerungen von normal konsolidierem und unzemenierem Kies und Sand mi einer Mächigkei über 3 m. BGK D: Ablagerungen von nich konsolidierem Feinsand Sil und Ton mi einer Mächigkei über 3 m. BGK E: Alluviale Oberflächenschich der BGK C oder D mi einer Mächigkei von 5 bis 3 m über einer Schich der BGK A oder B. BGK F: Srukurempfindliche und organische Ablagerungen mi einer Mächigkei über m Verschiebung S d [cm] 5 5 Baugrundklasse A Baugrundklasse B Baugrundklasse C Baugrundklasse D Baugrundklasse E.... Die Verschiebungsanworspekren wurden aus den Beschleunigungsanworspekren miels Gleichung (3.5) berechne. S d = S pa ω (3.5) Die Verschiebungsanworspekren sind wichige Bemessungswerkzeuge, weil sie (auch bei kräfebasierenverfahren Bemessungsverfahren) die einfache Schäzung der erwareen Verformungen (d.h. auch der erwareen Schäden) erlauben. Alessandro Dazio Seie 55 Alessandro Dazio Seie 56

15 Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 Elasische Anworspekren nach SIA 6 (linear) Pseudo-Beschleunigung S pa [m/s ] Verschiebung S d [cm] Zone 3b, Baugrundklasse A Baugrundklasse B Baugrundklasse C Baugrundklasse D Baugrundklasse E Baugrundklasse A Baugrundklasse B Baugrundklasse C Baugrundklasse D Baugrundklasse E Zone 3b, Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 Elasisches Bemessungsspekrum nach Newmark vs. Elasisches Anworspekrum nach Norm SIA 6 Spa / Ag [ ] Elasisches Anworspekrum nach SIA 6, Baugrundklasse A A Elasisches Anworspekrum nach SIA 6, Baugrundklasse B Elasisches Bemessungsspekrum nach Newmark..... Die Spekren für die Norm SIA 6 und für EC8 wurden anhand ähnlicher Prinzipien wie bei den Newmark-Spekren konsruier. Es wurden dabei andere Erdbeben ausgewere. - Norm SIA 6 differenzier nach Baugrundklassen. - Es wurden unerschiedliche Bruchmechanismen unersuch - Es wurden viel mehr Zeiverläufe ausgewere. Nebenbei: Die Figur zeig warum in der Norm SIA 6 und im EC8 keine Periode definier is. T A B C D Alessandro Dazio Seie 57 Alessandro Dazio Seie 58

16 Erdbebensicherung von Bauwerken I FS Elasische Bemessungsspekren in ADRS-Forma (Acceleraion-Displacemen-Response Specra) Spa [g] Spa [g] S pa ω S d S d [cm] Die Perioden T ensprechen Geraden, die durch den Ursprung der Achsen laufen, und zwar aus diesem Grund: = Sd [cm] 5 5 T=cons. Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 9 Elasische Bemessungsspekren in ADRS-Forma Spa [g] Elasisches Bemessungsspekrum nach SIA 6, Boden Typ B Elasisches Anworspekrum eines Erdbebens mi gleichem a g,max T=.77s: Überschäzung T=.87s: Unerschäzung. 5 5 S d [cm] Bemessungsspekren werden anhand von gemielen Anworspekren besimm. Es is deshalb möglich, dass einzelne Erdbeben Bereiche aufweisen, die durch grössere Spekralwere im Vergleich zum Bemessungsspekrum charakerisier sind. Diese wichige Eigenschaf von Bemessungsspekren soll während der Bemessung von Tragwerken nie vergessen werden. S pa = ω S d und nach Umformung: T = π S d S pa (3.6) Alessandro Dazio Seie 59 Alessandro Dazio Seie 6