Physikalisches Praktikum I Bachelor Chemieingenieurwesen, Wirtschaftsingenieurwesen Chemietechnik MSc. M. Gilbert

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1 Physialisches Pratiu I Bachelor Cheieingenieurwesen, Wirtschaftsingenieurwesen Cheietechni MSc. M. Gilbert M06 Federschwingung (Pr_EX_M06_Federschwingung_6, ) 1. Nae Matr. Nr. Gruppe Tea. 3. Protooll ist o O Datu Abtestat Folgende Korreturen nötig O

2 1. Ziel Schwingungen spielen in der gesaten Physi und Techni eine bedeutende Rolle. Als auslösende Ursache von Wellen stehen Schwingungen a Anfang vieler Verfahren zur Inforationsübertragung, Lautsprecherebran-Schallwelle, schwingende Ladung in der Antenne Radio-Welle. Bei genauer Betrachtung gibt es Nichts, was nicht schwingt. Theorie Die "einfachste" Schwingung stellt die "haronische" Schwingung dar, die sich ier dann ausbilden ann, wenn das schwingungsfähige Syste bei Auslenung seiner Ruhelage eine rüctreibende Kraft erfährt, die seiner Auslenung proportional ist. Generell setzt sich ein echanisch schwingendes Syste aus zwei Koponenten zusaen: der trägen (Masse ) und der rüctreibenden (Feder) Koponente. Die Frequenz, it der das sich selbst überlassene Syste schwingt, ist charateristisch für das Syste und heißt daher "Eigenfrequenz". Nichtharonische und sogar nichtperiodische Vorgänge lassen sich aus haronischen Schwingungen zusaengesetzt denen ("Fourieranalyse", siehe Pratiu Physi II). Eine Voraussetzung für das Verständnis oplexerer gedäpfter oder angeregter Schwingungen bis hin zur Resonanzatastrophe ist die Beherrschung der haronischen Schwingung, die in diese Versuch anhand einer einfachen Schraubenfeder erarbeitet werden soll. I späteren Pratiu Erzwungene Schwingungen & Resonanz bearbeiten wir die oplexeren Fälle..1 Statische Belastung der Feder Greift an einer Schraubenfeder eine Kraft F an, so tritt bei der Feder eine Längenänderung x auf. Die Änderung ist der einwirenden Kraft proportional (Hoosches Gesetz). In der Feder entsteht dabei eine Federraft vo gleichen Betrag, allerdings ist sie der von außen wirende Kraft entgegengerichtet. Für diese "rüchtreibende" Federraft gilt daher (1) F = - x Der Proportionalitätsfator heißt Richtgröße oder Federonstante, welche von den Abessungen und Materialeigenschaften der Feder abhängt. Wird die feder vertial aufgehängt und it der Masse beschwert, so führt die Gravitationsbeschleunigung g zur Gravitationsraft () F g g zur Auslenung x, woraus it Gl. 1 über. Dynaische Belastung der Feder F Fg die Federonstante berechnet werden ann. Ein Körper der Masse hänge an eine Schraubenfeder. Lent an ihn aus seiner Ruhelage x 0 aus, so erfährt er, sobald er losgelassen wird, aufgrund der rüctreibenden Kraft (Gl. 1) eine Beschleunigung (3) a

3 Diese wirt in Richtung seiner Gleichgewichtslage. Bei Vernachlässigung der Däpfung gilt (4) T F x Daraus ergibt sich die bewegungsgleichung (Dfferenzialgleichung) der Schwingung (5) x 0 Die Lösung dieser Differentialgleichung ist eine Funtion x(t), welche die Zeitabhängigeit der Bewegung des schwingenden Systes beschreibt (6) x( t) x0 sin t. Sie ergibt den oentanen Ort x(t) eines Körpers zu einer Zeit t,. Die axiale Auslenung aus der Ruhelage x = 0 nennt an die Aplitude x 0. Das Arguent t des Sinus heißt Phase. Aus der Phasenverschiebung ergibt sich die Startposition x(t = 0) zur Zeit t = 0. Die Frequenz f und die Kreisfrequenz der Schwingung berechnen sich aus den für die Anordnung charateristischen Größen. (7) f rad s [ f ] 1 Hz s Die Schwingung ist ein periodischer Vorgang und wiederholt sich daher nach eine Durchlauf der Periodendauer T, d.h. x(t) = x(t + T). Sie ist dann wieder in der gleichen Phase (gleicher Ort und gleiche Bewegungsrichtung), Es gilt (8) Daraus ergibt sich die Periodendauer: (9) T Abb. 1 Die träge Masse und die rüctreibende Kraft (Federonstante ) des schwingungsfähigen Systes bestien also die Periodendauer T bzw. die Eigenfrequenz. Fragen: Zulassung Wie lautet das Hoosche Gesetz? Was ist eine Schwingung und wie ist ein schwingendes Syste grundsätzlich aufgebaut? Mit welcher Funtion ann ich x(t) einer haronischen Schwingung beschreiben? Was sind Kreisfrequenz, Frequenz, Periodendauer, Aplitude einer Schwingung? Wie ann ich ein Masse-Feder-Syste ändern, u seine Fequenz f zu odifizieren? Wie lautet die Bewegungsgleichung der ungedäpften Schwingung? Wie ann an die Federonstante einer Feder bestien? 3

4 3. Versuchsdurchführung: Statische Messung A Gestell it Feder und Waagschale ist eine Spiegelsala angebracht. Mit deren Hilfe ann die vertiale Position der Waagschale ohne Paralaxefehler abgelesen werden inde an beispielweise die obere Kante der Waagschale anvisiert und it deren Spiegelbild auf der Sala zur Decung bringt. 3.1 Es werden acht unterschiedliche Massestüce auf die Waagschale gelegt und die Auslenung aus der unbelasteten Position in Abhängigeit von der Masse geessen (jeweils nur eine Messung). Hierbei darf die Feder it ax. 50 g belastet werden, ansonsten wird sie irreparabel zerstört und folgt nicht ehr de Hooschen Gesetz. Notieren Sie die geschätzte Messgenauigeit von x und von. Dynaische Messung 3. Die Feder wird it 8 verschiedenen Massestücen (beginnend it der größten erlaubten Masse von 50g) ausgelent und in Schwingungen versetzt. Mit einer Stoppuhr wird die Zeit T 10 für 10 Schwingungen (Start und Stop bei jeweiligen Nulldurchgang!) geessen und daraus die Periodendauer T bestit. Führen Sie pro Masse 10 Messungen durch. Eritteln Sie die Mittelwerte T der Mehrfachessungen und deren Standardabweichungen. Der Fehler der der Periodendauer T ergibt sich aus der Messgenauigeit der Stoppuhr + Standardabweichung. Federparaeter 3.3 Machen Sie sich it de Ugang von Messschieber und Miroeterschraube vertraut. Beachte: Eine Udrehung der Miroeterschraube entspricht einer Längenänderung von 0,5. Messen Sie die folgenden Größen der Feder: d=drahtdurchesser, N=Windungszahl und d w = ittlerer Windungsdurchesser, Schale = Masse der Schale incl. Genauigeiten. 4

5 4.Versuchsauswertung: Statische Messung 4.1 Aus de Kräftegleichgewicht der Beträge g = - x ergibt sich die Geradengleichung: x() = g/. Wie lautet die Ableitung (Steigung) der Funtion? Der Betrag der Auslenung x wird als Funtion der Masse graphisch aufgetragen, durch die Messpunte wird eine Ausgleichserade gelegt. 4. Tragen Sie die Fehlerbalen an den einzelnen Messpunten in das Diagra ein und schätzen Sie grafisch den Steigungsfehler der Ausgleichsgeraden ab. (zwei zusätzliche Geraden axialer und inialer Steigung. 4.3 Bestien Sie aus der Steigung der Geraden die Federonstante (g = 9.81 /s ). Bestien Sie aus de Steigungsfehler den Fehler für Dynaische Messung Zur Auswertung von Messungen ist an bestrebt, eine lineare Abhängigeit der Messgröße vo veränderlichen Paraeter der For y ax b zu erhalten, so dass aus der Steigung der Regressionsgraden die gesuchten Größen erittelt werden önnen. In unsere Fall erreichen wir dies durch Substitution aus der Gleichung: T ges ges Schale Feder it wenn y T und x 4.4 Quadrieren Sie die Gleichung und substituieren Sie T und. Zeigen Sie, dass die Funtion y(x) dann eine Geradengleichung dar For y ax b ist. 4.5 Das Quadrat der Schwingungsdauer T (Gl. 9) wird als Funtion der Masse graphisch aufgetragen. 4.6 Tragen Sie die Fehlerbalen für und T ein. Berücsichtigen Sie die Fehlerfortpflanzung für f ( T ) T it f f T T TT. 4.7 Bestien Sie aus der Steigung der Ausgleichdgeraden die Federonstante. Bestien Sie den Steigungsfehler und daraus den Fehler für. 4.8 Die statisch und dynaisch bestiten Werte für sind zu vergleichen. 4.9 Es ist nachzuweisen, daß Gleichung (6) die Differentialgleichung (5) erfüllt Der Torsionsodul G des Fedestahls ann aus der Federonstanten ittels 3 8NdW G berechnet werden. (Fehlerrechnung nicht nötig). 4 d d=drahtdurchesser, N=Windungszahl, d w = ittlerer Windungsdurchesser 5