Klassische Experimentalphysik I (Mechanik) (WS 16/17)

Transkript

1 Klassische Experientalphysi I Mechani) WS 16/17) Übungsblatt 3 Lösungen Nae des Übungsgruppenleiters und Gruppenbuchstabe: Naen der bearbeitenden Gruppe: Ausgabe: Di, Abgabe: Mo,

2 Aufgabe 9: Flaschenzug 6 Punte) a) Die wirenden Kräfte önnen Sie der Sizze entnehen: Zur Erläuterung: die einzelnen Seilabschnitte des Flaschenzuges sind it 1, 2 und 3 geennzeichnet. Außerde betrachten wir die Masse, den Haen und die Dece. Wir beginnen an der Masse. ˆ F g = g ist die Gewichtsraft. Sie setzt in der Sizze an der Masse an und wirt nach unten. ˆ An der Rolle, an der die Masse aufgehängt ist, teilen sich die Gegenräfte aus actio gleich reactio i Kräftegleichgewicht auf: F 1 = 1 /2 g und F 2 = 1 /2 g. Beide Kräfte wiren nach oben. ˆ An der oberen Rolle wiren die Gegenräfte zu F 1,2, die wir in der Sizze ohne bezeichnen: F 1,2 = 1 /2 g. Beide Kräfte wiren nach unten. Außerde wirt die zusätzliche Zugraft F z, die Sie a Seil aufbringen, u die Masse in ihrer Position zu halten. Die Kraft F z ist de Betrage nach gleich zu F 1, weist aber in eine andere Richtung daher die zusätzliche Bezeichnung als F 1 in der Sizze). Die obere Rolle ist wie Ihnen in Aufgabe 8 bereits begegnet ein Kraftwandler, der die Richtung einer an ih wirenden Kraft ändert, den Betrag der Kraft jedoch gleich läßt. 2

3 ˆ Den Kräften F 1, F 2 und F z wirt i Kräftegleichgewicht wiederu an der oberen Rolle die Kraf F H = F 1 + F 2 + F z ) entgegen. ˆ Die Gegenraft zu F H ist F D = F H D für Dece), die die Dece nach unten zieht. ˆ Die Kraft F D = F D der Veranerung des Haens in der Dece sorgt schließlich dafür, dass weder der Haen noch ein Teil der Dece nach unten fällt. In die Bewertung der Aufgabe gehen alle vertial eingezeichneten Kräfte a Flaschenzug ein. Beachten Sie, dass Sie i allgeeinen bereits intuitiv in der Genauigeit Ihrer Betrachtungen variieren: Sie önnen einfach F D als Gegenraft zu gegebene F g und F z betrachten, wenn Sie sich nur für die Frage interessieren, ob die Masse stabil an der Dece hängt. Sie önnen aber auch eine detailliertere Kräftebilanz a Flaschenzug aufstellen, so wie wir es in dieser Aufgabe getan haben, wenn Sie sich für die Frage interessieren, wie der Flaschenzug funtioniert. Daraus erhalten Sie zuätzlich eine Aussage zu F z bei gegebene F g. U die Frage zu beantworten, wann ein Seil reissen önnte, ist selbst dieses Modell nicht ausreichend; in diese Fall üssen Sie sich auch für die horizontal wirenden Kräfte interessieren wie i linen Teil der Sizze angedeutet, was i Übrigen auch die Frage beantwortet, welche horizontale Position die beiden Rollen zueinander einnehen). b) Gretchenfrage: welche Kraft uß an Seilabschnitt 3 wiren, u die Masse in ihrer Position zu halten? Antwort: it zwei Rollen oder genauer einer Windung über zwei Rollen) üssen Sie nur die halbe Kraft aufbringen. Wie sieht es it 2, 3, 4,... Windungen über den zwei Rollen aus? U die Masse anzuheben üssen Sie it F z > 1 /2 g ziehen. Die Kraft, die a Aufhängepunt der Konstrution wirt, wenn die Masse nur gehalten wird ergibt sich aus der Sue F D = F 1 + F 2 + F z ; das ergibt sich bereits aus der Sizze von Teilaufgabe a). Da F 1 = F 2 = 1 /2F g und F z = F 1 gilt F D = /2 cos α) g und wenn das Seil nach unten gezogen wird F D = 3 /2 g. Diese Kraft wird durch F D opensiert, sonst würde der Aufhängepunt, nach Newton, seinen Bewegungszustand ändern. Achtung: es handelt sich bei F D = F 1 + F 2 + F z u eine vetorielle Addition. Es gibt also auch eine Horizontaloponente der resultierenden Kraft, abhängig davon unter welche Winel Sie a Seil ziehen, wovon Sie sich leicht überzeugen önnen, wenn Sie sich vorstellen, dass der Haen aus der Dece bricht und Sie nach hinten überippen. c) Sie ziehen das Seil u 1 an sich heran. Dait heben Sie die Masse u 0.5 an unter Vernachlässigung des leinen Winels, den die beiden Seilabschnitte 1 und 2 zur Lotrechten haben. 3

4 Aufgabe 10: Parabelflug 8 Punte) a) Die wichtigsten Ecdaten zu Parabelflug önnen Sie aus der unteren Sizze entnehen: Das Flugzeug beginnt seinen Steigflug in h in = 6000 Höhe, it einer horizontalen Anfangsgeschwindigeit von v x = 220 /s und einer vertialen Anfangsgeschwindigeit von v z = 0. Die Horizontalgeschwindigeit nehen wir für alle weiteren Berechnungen als onstant an. Das spielt nur eine Rolle für die Festlegung des Anstiegswinels, bei de die Steigphase endet. Wir nehen weiterhin vereinfachend an, dass die nach oben wirende Beschleunigung a i Steigflug ebenfalls onstant ist. Bei eine Anstiegswinel von 45 o zu Zeitpunt t 0 gilt: v x = v z t 0 ) = v z,0. Der Steigflug dauert nach Angaben t = 20 s. Wir erhalten also für die Beschleunigung: v z,0 = v x v z,0 = a t a = v z,0 t 4 = 220 /s 20 s = 11 /s 2

5 also a g. Alle auf das Flugzeug und einen darin befindlichen Insassen wirenden Kräfte während dieser Steigphase sind in der unteren Sizze eingetragen. Zur Erläuterung gehen wir die Kräfte von oben nach unten durch wir beziehen uns dabei explizit auf das Bezugssyste Erde ): ˆ Auf das Flugzeug wirt die Auftriebsraft der Flügel, F A, und die F A entgegen gerichtete Gravitationsraft, FG. Dies ist eine der seltenen Aufgaben, in denen wir uns nicht in eine Kräftegleichgewicht befinden, die Sue beider Kräfte resultiert in einer Kraft F sys die das Flugzeug beschleunigt. Achtung: das Flugzeug ist dait für den Insassen ein beschleunigtes Bezugssyste. ˆ Auf den Insassen der wohlgeert als Insasse it de Flugzeug in Verbindung steht!) wirt die Gravitationsraft, Fg, nach unten, die entsprechende Gegenraft resultierend aus der Festigeit des Flugzeugbodens) F g nach oben. Dies wäre auch ohne Steigflug der Fall. Die gleiche Festigeit des Flugzeugbodens überträgt jetzt noch eine zusätzliche Kraft F a die nach oben wirt. Dies ist auch die resultierende Kraft auf den Insassen. Wie das Flugzeug wird er it a nach oben beschleunigt. 5

6 Der Flugzeuginsasse erfährt eine Kraft von a + g) 2 g in der gewählten Vorzeichenonvention für g), die der Flugzeugboden auf ihn ausübt. Die Kraft die er auf der Anzeige einer Waage sehen würde ist das Ergebnis aus der Kraft F a, die von unten nach oben wirt und der Kraft F g, die von oben nach unten wirt. Bei der Frage nach der Beschleunigung üssen wir ein wenig Vorsicht walten lassen: der Insasse erfährt i Bezugssyste Erde ) eine Beschleunigung von a = 11 /s 2 nach oben. Die Kraft, die auf ihn wirt entspricht einer Beschleunigung von a + g = /s 2, die berühte Beschleunigung in Vielfachen von g, von der anschaulich oft die Rede ist. Letzteres ist auch die Größe, nach der in der Aufgabe gefragt war. Dabei geht der Anteil a auf die Trägheit des Insassen und g auf seine Schwere. 6

7 b) Für einen Anstiegswinel des Flugzeugs von 45 o gilt v x = v z = 220 /s. Die Höhe des Flugzeuges zu diese Zeitpunt erittelt sich aus der Anfangshöhe, der Beschleunigung und der Dauer des Anstiegsfluges zu: h 0 = h in + a 2 t2 = h in + v z,0 2 t = /s 2 Der höchste Punt, den das Flugzeug erreicht, ergibt sich wiederu aus: 20 s = 8200 h ax = h 0 + g 2 t 2 = h in + v z,0 2 t + g 2 = h in + v z,0 2 t + v2 z,0 2g = vz,0 g ) 2 = 10 ist eine bei Linienflügen übliche Höhe. Alle wirenden Kräfte in der zweiten Flugphase des Parabelfluges önnen Sie der Sizze auf Seite 6 entnehen. c) Die Dauer der Schwerelosigeit ergibt sich aus den Anfangs- und Endbedingungen der zweiten Flugphase. Diese sind gegeben durch den Anstiegs- und Sinwinel, die in beiden Fällen betragsgleich sind it unterschiedliche Vorzeichen). Aus de Sinwinel ist lar, dass wieder v z,1 = v x sein uß. I Scheitelpunt der Parabel ist v z = 0. Für die Dauer, t s, der Schwerelosigeit ergibt sich also: t s = 2 vz,1 g = 45 s Der Fator zwei ergibt sich aus der Sue der Anstiegszeit bis zu Scheitel der Wurfparabel und der Zeit des Sinfluges bis zu Abfanganöver des Piloten. d) Die Kräftebilanz während des Abfanganövers ist die gleiche wie in Teilaufgabe a) Sizze auf Seite 5), selbst wenn das Flugzeug die Beschleunigung a jetzt it einer nach unten gerichteten Anfangsgeschwindingeit und nicht it der Anfangsgeschwindigeit v z = 0 erfährt. Betrag und Richtung von a sind die gleichen hier wie in Teilaufgabe a). Auch die Richtungen und Beträge der Gewichtsräfte ändern sich natürlich nicht. Wir nutzen den Rau für eine urze Disussion von Scheinräften in beschleunigten Bezugssysteen: wenn Sie in den oben angegebenen Sizzen das Flugzeug als Bezugssyste wählen, handelt es sich dabei u ein beschleunigtes Bezugssyste. Das äußert sich durch die in den Sizzen eingezeichneten grauen Kraftpfeile, die für den Beobachter i Bezugssyste des Flugzeuges, zusätzlich, quasi aus de Nichts auftauchen. In der oberen Sizze entfallen für den Insassen die folgenden Kräfte, von denen er nichts weiß: F A, F G, F sys, F a. Er erfährt stattdessen eine zusätzliche Kraft F s, die sich aus der Beschleunigung des Bezugssystes Flugzeug ergibt und deren Ursache er in seine Bezugssyste) nicht ennt. Auf de Boden des Flugzeuges 7

8 wirt F s wiederu eine Gegenraft F s nach de Newtonschen actio gleich reactio Prinzip entgegen. Die Richtung von F s entgegen der Beschleunigung des Bezugssystes Flugzeug ), wird larer, wenn Sie sich den Insassen nicht it de Flugzeugboden in Kontat d.h. in der Luft schwebend ) vorstellen. In diese Fall entfällt F s durch den Flugzeugboden und der Insasse würde it der Beschleunigung g + a in Richtung Flugzeugboden fallen. Auf einer Waage stehend würde sich die angezeigte Kraft aus der Sue der Kräfte F g und F s ergeben, die beide nach unten wiren. Ähnliches gilt i Fall des freien Falles: die zusätzlich auftretende Kraft, F s, wirt hier wieder entgegen der Beschleunigung des Bezugssystes also jetzt nach oben) und opensiert die Gewichtsraft, Fg, des Insassen. I Kräftegleichgewicht wirt eine resultierende Beschleunigung auf den Insassen und nach de Äquivalenzprinzip ann der Insasse seine Situation nicht von der absoluter Schwerelosigeit unterscheiden. Das gilt in unsere Beispiel 45 s lang, bis der Pilot das Flugzeug wieder abfängt. Aufgabe 11: Bungee Sprung 6 Punte) Dieses ist eine Rechenaufgabe, it der Sie, it physialischer Motivation, das allgeeine Lösen von Differentialgleichungen üben önnen. Bei der Lösung ergeben sich einige interessante technische Aspete. Außerde werden wir versuchen ein wenig die Physi aus dieser Aufgabe herauszuarbeiten. Wie in der Angabe verlangt legen wir den Ursprung unseres Koordinatensystes auf die Brüce und essen z nach unten hin positiv ansteigend. a) Wir berechnen zuerst v 1 und t 1 aus de freien Fall: l = g 2 t2 2 l t 1 = g = 3.2 s v 1 = g t 1 = g 2 l g = 2 lg = 31.3 /s b) In de Moent, in de sich das Seil spannt, gilt: z = g + h l) z) z = g + h l) z) Der Einfachheit halber beschränen wir uns i folgenden auf die z-koponente der Differentialgleichung. Zur Lösung verwenden wir den Ansatz: C-1) zt) = C A sin B t + φ) C-2) żt) = AB cos B t + φ) C-3) zt) = AB 2 sin B t + φ) 1) Dieser Ansatz ist nicht aus der Luft gegriffen: i Fall des gespannten Seils und ohne Schwerraft würden wir für v 1 0) eine haronische Schwingung erwarten. Die zusätzliche Koponente der Schwerraft führt zu eine weiteren Suanden in der Bewegungsgleichung. 8

9 Als nächstes gilt es die Konstanten A, B, C, und φ aus den Randbedingungen zu bestien. Das Gleichungssyste 1) wirt auf den ersten Blic unterbestit, weil wir vier Unbeannte aus scheinbar drei Gleichungen bestien wollen. Die Stetigeitsbedingungen für zt 1 ) und vt 1 ) stellen allerdings orrelierte Forderungen sowohl an die Aplitude, A, als auch an die Phase, φ, der Schwingung. Die Bewegungsgleichung selbst, die C-1) und C-3) verbindet, stellt eine orrelierte Forderung an die Konstanten C und B. Aus C-3) zu Zeitpunt t 1 ergeben sich folglich zunächst Randbedingungen für C und B: AB 2 h l) z) sin B t + φ) = g + g + h l) C) = + A sin B t + φ) g + h l) C) AB 2 = A = 0 C = B = h l) + g ) Als nächstes verwenden wir C-1) und C-2) zu Zeitpunt t 1 : zt 1 ) = l l = C A sin B t 1 + φ) ) = h l) }{{} +g A sin B t 1 + φ) = l per Konstrution) g A = sin B t 1 + φ) vt 1 ) = 2lg 2lg = AB cos B t 1 + φ) = A cos B t 1 + φ) 2lg 1 A = cos B t 1 + φ) Aus der Gleichheit beider Bedingungen für A ergibt sich die Randbedingung für die Phase φ, in der der Springer zu Zeitpunt t 1 in die Schwingung eintritt: Und schließlich A: A = g tanb t 1 + φ) = φ = 2lg g + arctan cos g g + arctan 9 g ) g )) = 2lg cos arctan g ))

10 Insgesat erhalten wir: zt) = h l) + g }{{} ) + 2lg g )) cos arctan } {{ } sin t }{{} g + arctan = C = A = B t = φ ) g }{{} Sie sehen als Ergebnis einer nicht ganz unoplizierten Rechnung: eine haronische Schwingung, durch ihre Randbedingungen aus de Ursprung des Koordinatensystes gerüct und in ihrer Phase verschoben. Bei aller Arbeit, die Sie sich geacht haben ist das Modell nicht realistisch genug, u beschreiben zu önnen, wie der Springer zur Ruhe ot. In unsere Modell würde er ewig weiter schwingen. Eine Däpfung der Schwingung ist nur durch innere Reibung des Seils und Luftreibung zu verstehen. Fraglich, ob die Differenzialgleichung unter Berücsichtigung dieser Effete überhaupt analytisch lösbar ist. Der heutige Alltag eines Wissenschaftlers besteht darin, eine einal gefundene Differentialgleichung innerhalb von Seunden nuerisch, it Hilfe eines Coputers zu lösen. Papier und Bleistift oen dabei nicht ehr sehr oft zu Einsatz. c) Wir oen zu den Zahlen. Der tiefste Punt der Flugbahn ergibt sich aus Gleichung 2): 2) z ax = l + g A = = d.h. a tiefsten Punt Ihres Sturzes haben Sie eine Tiefe von etwa 85.5 erreicht, 14.5 über der Oberfläche des Flusses. Sie erreichen diesen Punt, wenn der Sinus-Ter gleich 1 wird. Das ist nach etwa 2.4 s der Fall, von da an wo sich das Seil spannt. Geeinsa it der Flugzeit der Schwerelosigeit von 3.2 s ergibt sich eine Gesatzeit vo Absprung bis zu tiefsten Punt von 5.6 s. Ihr Nachfolger springt in eine Tiefe von Er braucht an diese Tag also eine Haarwäsche ehr... Größte Beschleunigung: a ax = AB 2 = 37.4 /s 2 = 3.8 g Diese Beschleunigung wird a tiefsten Punt des Sturzes erreicht und wirt nach oben. Beachten Sie die Disussion zur Beschleunigung aus Aufgabe 10. Für Ihren 150 g Nachfolger betrüge die Beschleunigung nur 27.4 /s g). Ob es in unsere Modell ein Maxiu der axialen Beschleunigung als Funtion der Masse der Springers gibt und wo es gegebenenfalls liegt, lassen wir offen. 10