TEILPRÜFUNG ZUR BERUFSREIFEPRÜFUNG. Themenstellung für die schriftliche Berufsreifeprüfung. aus dem Fach MATHEMATIK und ANGEWANDTE MATHEMATIK

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Arnim Beyer
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1 TEILPRÜFUNG ZUR BERUFSREIFEPRÜFUNG Theenstellung für die schriftliche Berufsreifeprüfung aus de Fach MATHEMATIK und ANGEWANDTE MATHEMATIK Terin: Soer 013 PrüferIn: Mag. Wolfgang BODISCH Mag. Wolfgang GALSTERER Dr. Maja LOPERT Mag. Stephan STRASSER Punkteverteilung/Gewichtung: Notenschlüssel: Beispiel 1) 8 Punkte Beispiel ) 6 Punkte Beispiel 3) 6 Punkte Beispiel ) 11 Punkte Beispiel 5) 1 Punkte Beispiel 6) 15 Punkte gesat 60 Punkte Punkte Sehr gut 8-55 Punkte Gut 38-7 Punkte Befriedigend Punkte Genügend 0-9 Punkte... Nicht genügend Seite 1

2 Aufgabe 1 Ein Grundstück hat die For eines unregeläßigen Vierecks ABCD. Da die eine Seite, nälich c, unzugänglich ist, sind nur die Seiten a, b und d essbar: AB a 35 BC b 3, AD d 0,7 < BAD 10, < ABC 111, 5 a) Berechnen Sie die Größe des Grundstücks. ( P.) b) Das Grundstück wird u zu Kauf angeboten. Ist das ein günstiger Preis, wenn der ortsübliche Preis 60 pro beträgt? (1 P.) c) Will an den Grund uzäunen, so benötigt an alle 3 Meter eine Zaunsäule und Zaun, der nur in Rollen zu 50 Metern erhältlich ist. Eine Zaunsäule kostet 1 und eine Zaunrolle 13. Wie viel würden die reinen Materialkosten für diesen Zaun ausachen? Aufgabe Frau Maier will ihre Fira verkaufen. Zwei Interessenten bieten (bei eine Zinssatz von i 8%): A: 10 Jahresraten zu je , jeweils a Beginn des Jahres. B: Millionen Euro sofort, 1,5 Millionen Euro nach zwei Jahren, weitere Euro nach sechs Jahren sowie Euro a Beginn des zehnten Jahres. a) Welcher der beiden Interessenten bietet ehr? An wen soll Frau Maier ihre Fira verkaufen? b) Wie viel üsste ein dritter Anbieter, C, über 10 Jahre hinweg a Ende jeden Quartals zahlen, u ein zuindest gleichwertiges Angebot zu liefern? Seite

Aufgabe 3 Ein Feinschecker bestellt in eine Restaurant eine Schale it Kaviar. (6 P.) Auf der Speisekarte steht neben de Preis auch eine Mengenangabe, nälich 10 cl (was 100 c³ entspricht).

3 Aufgabe 3 Ein Feinschecker bestellt in eine Restaurant eine Schale it Kaviar. (6 P.) Auf der Speisekarte steht neben de Preis auch eine Mengenangabe, nälich 10 cl (was 100 c³ entspricht). Als der Gast seine Bestellung bekot, bezweifelt er allerdings, dass es sich tatsächlich u die in der Speiskarte angegebene Menge handelt und öchte deswegen nachrechnen: Der Gast beerkt, dass die Querschnittsfläche des Gefäßes, in de sich der Kaviar befindet, zielich genau die For einer Parabel aufweist (siehe Graphik unten). I Boden ( AB ) beträgt der Durchesser des Gefäßes c und a oberen Rand ( DC ) beträgt er 6 c, das Gefäß ist insgesat 5 c hoch. Die Füllenge in de Gefäß ist allerdings nur c hoch. Wie viel c³ Kaviar sind also tatsächlich in der Schale drinnen? Aufgabe Ein Gewehr hat eine Trefferwahrscheinlichkeit von 35%. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 5 Schüssen i) genau Treffer, ii) indestens einen Treffer zu erzielen? b) Wie oft uss an schießen, dait die Wahrscheinlichkeit, zuindest einal zu treffen, 95% überschreitet? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 1000 Schüssen indestens 310 Treffer zu erzielen? ( P.) d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 1000 Schüssen zuindest 30 und höchstens 360 Treffer zu erzielen? Seite 3

4 Aufgabe 5 a) Der Sauerstoffgehalt eines Sees beträgt an der Wasseroberfläche 8,1 g/l. In einer Wassertiefe von 0 Metern werden 5,9 g/l geessen. Legen Sie zunächst eine lineare Abnahe des Sauerstoffgehalts zugrunde und geben Sie eine Forel an, die den O -Gehalt als Funktion der Wassertiefe berechnet. Was konkret gibt in diese Fall die Steigung k an? b) Welcher O -Gehalt sollte nach de linearen Modell in 30 Wassertiefe bestehen? In welcher Wassertiefe gibt es nach de linearen Modell gar keinen Sauerstoff ehr? ( P.) c) Legen Sie nunehr - it den Angaben aus Punkt a) - eine eponentielle Abnahe des Sauerstoffgehaltes zugrunde. Stellen Sie das entsprechende Gesetz, das den funktionalen Zusaenhang zwischen den O -Gehalt und der Wassertiefe angibt, auf. Wie groß ist die Abnahe pro Meter Tiefe in Prozent? d) Welcher Sauerstoffgehalt besteht nach de eponentiellen Modell in 30 Wassertiefe? U wie viel Prozent geht der Sauerstoffgehalt auf die folgenden 0 Tiefe zurück? Welches Modell (das lineare oder das eponentielle) erscheint Ihnen realistischer, den Sachverhalt zu beschreiben Geben Sie eine genaue Begründung. e) Ma ist begeisterter Taucher und startet zusaen it 9 Freunden (also zu zehnt) ein neues Tauchforu i Internet. Die Anzahl der Mitglieder nach t Monaten lässt sich durch die Forel N t 000 ( ) bestien. 0, t e 5 Wie viele Mitglieder hat das Foru nach eine halben Jahr? Wann kann an das 500. Mitglied willkoen heißen? Seite

5 Aufgabe 6 Ein Unterneher stellt Spielwaren her und öchte, basierend auf den Inforationen, die er über den Kostenverlauf eines seiner Produkte hat, eine Funktionsgleichung für die Betriebskostenfunktion aufstellen. Ih liegen folgende Inforationen zugrunde: Er kennt die Grenzkostenfunktion K () 0,018² 1,8 50 und er weiß außerde, dass die Stückkosten a niedrigsten sind, wenn er 10 Stück produzieren lässt. a) Wie lautet die Betriebskostenfunktion und an welcher Stelle liegt die Kostenkehre? Wie hoch sind die inialen Stückkosten? (6 P.) (Achtung: K()... sollte das Ergebnis Ihrer Überlegungen sein!) b) Was den Verkauf dieses Produktes betrifft, rechnet der Hersteller it einer linear fallenden Nachfragefunktion, wobei der Höchstpreis bei 380 liegt und die Sättigungsenge bei 760 Stück. Zeige, dass es sich in diese Fall u die Nachfragefunktion p ( ) 0,5 380 handelt. ( P.) c) Bei wie viel Stück produzierter und verkaufter Ware kann der Unterneher unter diesen Voraussetzungen it eine aialen Gewinn rechnen und wie viele Euro würde dieser konkret betragen, wenn der Hersteller folgende Kostenfunktion K( ) 0,006 ³ 0,9 ² annit? (6 P.) d) U wie viel Euro üsste an das Produkt schließlich verkaufen, u den aial öglichen Gewinn auch tatsächlich erzielen zu können? (1 P.) Seite 5

6 Lösungen: Aufgabe 1: a) Seite 6

7 Seite ,9 950,3 sin 695,6 sin 69,,3 sin sin 59,1 cos A A A b A d a A d ad d a > ψ α ϕ β ψ ϕ α ϕ α b) ungünstig ist Angebot das > ,9 165 c) : Pr ,9 cos eis Zaun Rollen und Säulen daher benötigt Man d c b a u b b c ψ

8 Aufgabe : a) ( 1 i) n 1 A : Bv R ( 1 i) ,1 i B : ,08 1,08 1,08 A bietet ehr b) i B n ( 1 i) 1 1 ( 1 i) R ,1 R i 0, n ( 1 i ) R ,95 i 0 Aufgabe 3: ( ) it g ( ) 0 und g ( ) g a c a 1; c g y y ( ) ² ( ) V π dy π y dy π 75, c³ 7,5cl c Seite 8

9 Aufgabe : a) p 0,35 q 0, i) P( X ) 0,35 0,65 0, ii) P( X 1) 1 P( X 0) 1 0,35 0 0, ,1160 0,88 b) 1 0,65 n > 0,95 0,65 n > 0,05 0,65 n < 0,05 n > 6,95 > n 7 c) µ n p , σ n p q 15,1 P( X ) 1 Φ 1 Φ(,65) 1 0,00 0,996 15,1 d) P ( 30 X 360) Φ(0,66) Φ( 1,99) 0,753 0,033 0,71 Seite 9

10 Aufgabe 5: a) N( t) k t N N 0 8,1 0 N(0) k 0 N0 5,9 k 0,11 N( t) 0,11 t 8,1 k-0,11 g/ gibt die Abnahe des O -Gehaltes pro an. b) N (30) 0, ,1,8 g l N( t) 0,11 t 8,1 0 t 73, 6 c) d) t N( t) N a N e λ N 0 8,1 t (0) 0 5, 9 0, ,57% N N a a i a 1 λ ln( a ) N (30) 30 8,1 0, g l (70) 70 8,1 0,9879,67 g l N,67 5, % 6,93% 5,035 e) 000 N(6) 0, e N( t) 0,5 t 1 199e 500 t 8,39 Monate Seite 10

11 Aufgabe 6: a) K( ) K ( ) d F 0,006 ³ 0,9 ² 50 F K( ) F K( ) 0,006 ² 0,9 50 F K ( ) 0,01 0,9 ² K (10) 0 F 7776 K( ) 0,006 ³ 0,9 ² K(10) 93, K ( ) 0 Kostenkehre 50 b) p(0) 380 p(760) 0 p() 0,5 380 c) G( ) E( ) K( ) E( ) p( ) G( ) 0,006 ³ 0, ² G ( ) 0,01 ² 0, ,3 159 Stück Stückzahl für aialen Gewinn G( ) 30688,79 Höhe des aialen Gewinns a a d) a p( ) 300,8 Verkauf u 300,8, u aialen Gewinn zu erzielen Seite 11

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