Lösung KSR GF Lösung Aufgabe Nr. 1. = 2x. D f = R \ {0} a) Gegeben: Nullstellen: Asymptoten: = 0. + ohne VZW x = 0 Gl. der vertikalen Asymptote

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Achim Martin
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1 Lösung KSR GF 008 Lösung Aufgabe Nr. a) Gegeben: + f() + + D f R \ {0} Nullstellen: + 0 ( )( ) 0 N (/ 0), N ( / 0) Asymtoten: für 0, < 0 gilt :f() + Polstelle 0 für 0, > 0 gilt :f() + ohne VZW 0 Gl. der vertikalen Asymtote + ± y Gl. der horizontalen Asymtote Ableitungen: f' () 5 7 ( f' ' '() 7 5 Etremalstelle: f' () 0 : f ' '() ) globaler TP bei, da f ' '( ) > 0 Wendeunkt: f' ' () 0 : WP 9 (Begründung auch ohne. Ableitungsfunktion möglich) 5 7 9, da f' ' '( ) 0 Normale, Bildgerade: b) f' () mt mn n : y + c, da ( / 0) Gn Die gesiegelte Gerade geht durch die. Nullstelle: n : y h : y + c) A Rechteck Höhe Breite n() [ ( ) ] (die Länge der Basis beträgt ) A() ( ) ( ) + A() + A '() + A' () A( ) glob. Ma., da A ' '( ) < 0 A ( )

2 Lösung KSR GF 008 Fortsetzung Lösung Nr. : d) Schnittunkt der horizontalen Asymtoten mit G f : + 7 S b b b A(b) ( + ) d d ln + A (b) lnb + ln + b lim A(b) eistiert nicht, da der Grah von y ln streng monoton wachsend ist. b Grah

3 Lösung Aufgabe Nr. Lösung KSR GF 008 a) + + Schnittunkt S: S.00...; y S + 8. b) F() c) Minimum: df() d ( + )d Minimum bei o für o ± ; df () d o > 0 : ( ) o d) V π ( + ) d ( + + )d π π + + π

4 Lösung Aufgabe Nr. Lösung KSR GF a) Die Seitenvektoren AB, 8 8 AC 8 und BC haben die Längen AB, AC und BC. Die Strecken AB und BC stehen senkrecht aufeinander: 0 8 AB BC b) Parametergleichung der Ebene: r ra + u AB+ v AC + u + v 8 Durch Elimination der Parameter u und v erhält man die Koordinatengleichung der Ebene E: + y + z - 0 [Alternative Lösung mit dem Vektorrodukt] c) Der Mittelunkt der Strecke AC ist M( - 0), wegen 7 r M (r A+ r C) Für den Punkt P muss gelten: BM BP : + ( + ) 7 + ( y + ) y 0 ( z ) z Der gesuchte Punkt ist P(7 -). d) Es ist 5 BD und BM Die Fläche des Vierecks ABCD setzt sich aus den Dreiecksflächen ABC und ACD zusammen, wobei das Dreieck ABC die Höhe BM hat und das Dreieck ACD die halb so lange Höhe MD BD BM. Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks ABC

5 Lösung KSR GF 008 berechnet sich aus dem halben Produkt der Katheten. Also ist der Inhalt des Dreiecks ACD wegen gleicher Grundlinie AC halb so gross wie der Inhalt von Dreieck ABC: F ΔABC AB BC und damit ist die gesuchte Fläche des Vierecks F r e) Die Normale durch M hat die Gleichung + t. 0 Die Länge der Viereck-Diagonalen AC ist. Die Punkte R und S ergeben sich, wenn man vom Punkt M aus senkrecht zur Ebene auf beide Seiten den Normalenvektor mit der Länge der halben Diagonalen abträgt. Man erhält diesen Normalenvektor aus: λ λ + + λ ; mit λ ergibt sich der Vektor und daraus die 5 Ortsvektoren rr + und 0 r S 5 0. Die gesuchten Punkte des Quadrates sind R(5 ) und S( -5 -).

6 Lösung KSR GF 008 Lösung Aufgabe Nr. Zufallvariable X: grösste der drei gewürfelten Ziffern, nimmt Werte,,..., an. A: B: C: a) P ( ) P(A zeigt B zeigt C zeigt ) 08 b) P ( 5) P(A zeigt 5 C zeigt 5) + P(A zeigt < 5 C zeigt 5) c) P ( ) P(A zeigt B zeigt C zeigt ) + P(A zeigt < B zeigt C zeigt 5 0 ) + +, also P (A zeigt ) Damit wird die bedingte W'keit P (A zeigt ) d) Für die Verteilung von X fehlen noch die Werte für, und : P ( ) P(A zeigt B zeigt C zeigt ) + P(A zeigt < B zeigt C zeigt ) + 08 P ( ) P(A zeigt B zeigt C zeigt ) + P(A zeigt < B zeigt C zeigt 7 ) + P(A zeigt < B zeigt < C zeigt ) P( ). X hat also die Verteilung 08 X 5 08 () 0 8 Kontrolle: Summe der Wahrscheinlichkeiten ist. 87 e) Erwartungswert µ E(X) ( ) f) Binomische Verteilung mit n 0 und 8 7. P (X nimmt genau viermal den Wert 5 an)

7 Lösung KSR GF 008 Lösung Aufgabe Nr. 5 a) Ansatz für k: ( ) + (y + ) r. Einsetzen der Koordinaten von P(-8 5) liefert ( 9) + (9) r. Gleichung k: ( ) + (y + ) und der Radius von k ist also r 9. 9 Der Vektor von M nach P hat die Komonenten, 9 Also Ansatz für Tangente t: - + y + C 0 Einsetzen der Koordinaten von P(-8 5) liefert C - t: - + y + C 0 ist also arallel - (Die Gleichung von t erhält man auch durch "Linearisierung" der Gleichung von k) b) Einsetzen von y + n in die Gleichung + y 00 erzeugt die quadratische Gleichung + n + n Mit Diskriminantenmethode (einelementige Schnittmenge) folgt D n (n 00) -n +00 : 0. Also kann n die beiden Werte -0 und +0 annehmen. c) Unendliche geometrische Reihe mit a und q Für Konvergenz muss - < q < mit q 0 Also - < - < mit Für gilt daher: 0 < < und c) Dann lässt sich die Summe s bestimmen zu s ( ) c) f() : mit 0 < < und Der Grah G f ist in diesem Bereich von ein Stück einer Hyerbel, monoton steigend, vertikale Asymtote mit Gleichung. Wegen der Definitionslücke kann s den Wert nicht annehmen. Die Wertemenge von f ist daher W ]0.5, [ \ {} bzw. für die Summe s gilt s > 0.5, s.

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