HLW Graz. 2. Schularbeit 1HL[ Gc 2 ] 6. April Angewandte Mathematik

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1 Sa 2 2. Schularbeit 1HL[ Gc 2 ] 6. April 2011 Md 2 A 1. Forme die Gleichung p V = R s T nach T um (Gesetz von Gay-Lussac, mit p = Druck, V = Volumen, R s ist die Gaskonstante und T die Temperatur in Kelvin)! 2 P. p V = R s T R s p V T = R s Erkla re, was in der Gleichung passieren kann, wenn der Druck ansteigt! 3 P. Wenn p ansteigt, kann die Temperatur T ebenfalls ansteigen, oder das Volumen V kleiner werden. 2. In der Algebra gilt es, sowohl einfachere als auch kompliziertere Gleichungen zu lo sen. Bestimme daher die Lo sungsmenge beider Gleichungen u ber der Grundmenge G = Q! a) x 1 + 3x x = 23 x Der kleinste gemeinsame Nenner ist 120. Erweitern ergibt (x 1) + 2 (3x + 1) x 12 (23 x) 10 = x + 4x + 1 x = x P. 4x 4 = x + 10x + 4 x = 27 x = L = {} b) x (x 3) 2 3 P. + 1 = x 2 3x x Zerlegen der Nenner: x 2 3x = x (x 3) x = x (x 3) 2 = (x 3) (x 3) Damit ergibt sich als gemeinsamer Nenner x (x 3) 2. Erweitern ergibt (x 3) 1 (x 3)2 (x 2 + 3x) (x 3) x (x 3) 2 = x x (x 3) 2 x x 1 + x 2 6x + 9 = x 2 x 2 gemeinsamer Nenner x 6 = 0 x 2 + x x = 6 L = { 6}

2 3. Finde das passende Modell/die passende Gleichung zu folgender Aufgabe: Eva gibt 1 ihres Monatsgehalts fu r die Miete ihrer Wohnung aus. Fu r Lebensmitteleinka ufe und die Betriebskosten der Wohnung gibt sie jeweils 1, und fu r diverse 4 Versicherungen 1 ihres Gehalts aus. Ü ber die restlichen 840 kann sie frei verfu gen. Welche Betra ge gibt Eva fu r die erwa hnten Bereiche jeweils 8 aus? M1 x ( x 4 + x + x + x 8 ) = 840 M2 (x 1 4 ) + 2 (x 1 ) + (x 1 ) = x 8 a) Welches der beiden Modelle passt zur gestellten Aufgabe? M1 M2 2 P. (Streiche das Falsche durch!) b) Wofür steht x in deinem gewählten Modell? Für das gesamte Monatsgehalt. 1 P. c) Berechne x in deinem gewählten Modell! 2 P. x ( x 4 + x + x + x 8 ) = 840 x ( 10x x x 40 + x 40 ) = x 40 31x 40 = 840 9x = x 3733,33 4. Kreuze jeweils an, ob es sich bei der Zuordnung um eine Funktion handelt! Begru nde deine Entscheidung in beiden Fa llen! 4 P. Funktion keine Funktion Den Schu lerinnen einer Klasse werden die jeweils gewa hlten Freigegensta nde zugeordnet. Den Schu lerinnen einer Klasse wird die Anzahl der von ihnen gewa hlten Freigegensta nde zugeordnet. Begründung: Eine Funktion ordnet einem Element eindeutig ein anderes Element zu. Es ko nnen aber mehrere Gegensta nde (oder auch gar keiner) gewa hlt werden. Die Anzahl (0, 1, 2, ) der gewa hlten Gegensta nde ist aber eindeutig.. Die Funktion P: x P(x) = 1,0 x + 2,20 gibt den Preis P(x) (in ) fu r eine Taxifahrt von x km La nge an. Wie hoch ist der Grundpreis, der unabha ngig von der gefahrenen Strecke zu bezahlen ist? Wie weit ist jemand gefahren, der 23,20 bezahlt? P. Der Grundpreis betra gt 2,20. Wenn der Preis P(x) = 23,20 ist, bedeutet das 1,0 x + 2,20 = 23,20 2,20 1,0 x = 21 1,0 x = 14 Die Fahrtstrecke betrug also 14 km.

3 Punkte: Genügend Punkte: Gut Newly HIV infected (%, age 1 49) 6. Welcher der drei Graphen passt zur abgebildeten Kerzenform, wenn die Kerze ohne Ünterbrechung brennt, bis sie ganz abgebrannt ist? h(t) gibt die Ho he der Kerze an, t die Brenndauer. Kreuze den richtigen Graphen an! 3 P. 7. Die Funktion h gibt die Ho he (in Meter) eines mit einer bestimmten Geschwindigkeit senkrecht nach oben geworfenen Tennisballs t Sekunden nach dem Wurf an. Der Graph der Funktion ist unten abgebildet. a) Wann hat der Ball seine ho chste Position erreicht und wie hoch ist er zu diesem Zeitpunkt? 2 P. Nach 2 Sekunden, in 20 m Ho he. b) Bestimme h(3)! h(3) = 1 1 P. c) In welchem Zeitintervall hat der Ball eine Ho he von mindestens 1 m? Im Intervall [1; 3]. 2 P. d) Was bedeutet die Aussage h(t) 20 fu r alle t aus der Definitionsmenge in Alltagssprache? 2 P. Dass der Ball niemals ho her als 20 m war. e) Kann h eine lineare Funktion sein? Begru nde! 2 P. Nein, weil der Graph einer linearen Funktion eine Gerade ist. 8. Die folgende Abbildung zeigt die Entwicklung der HIV-Neuinfektionsraten in Su dafrika und Simbabwe wa hrend der letzten Jahrzehnte. Beschreibe in Worten, wie sich der Unterschied der Neuinfektionsraten der beiden La nder seit 1998 entwickelt hat! 3 P South Africa Zimbabwe 1 0 Die Ünterschiede sind in der Grafik gru n markiert. Man sieht, dass der Ünterschied seit 1998 kontinuierlich zunimmt.

4 9. Ordne jeder der angegebenen Funktionen den passenden Graphen zu! 6 P. Funktion p(x) = x 1 q(x) = x + 1 r(x) = 3 2 x + 3 Graph A D B A B C D 10. Skizziere im unten vorgegebenen Koordinatensystem den Graph einer linearen Funktion f: y = kx + d, fu r die gilt d < 0 und k < 0! 3 P. Jeder Graph mit negativem y-achsenabschnitt und negativer Steigung ist zula ssig. Zum Beispiel:

5 Sa 2 2. Schularbeit 1HL[ Gc 2 ] 6. April 2011 Md 2 B 1. Forme die Gleichung M = r s π nach s um (M ist die Mantelfla che eines Kegels mit dem Radius r und der Mantellinienla nge s)! 2 P. M = r s π rπ s = M rπ Erkla re, was in der Gleichung passieren kann, wenn sich der Radius verdoppelt! 3 P. Die Mantelfla che M verdoppelt sich oder die Mantellinienla nge s halbiert sich. 2. In der Algebra gilt es, sowohl einfachere als auch kompliziertere Gleichungen zu lo sen. Bestimme daher die Lo sungsmenge beider Gleichungen u ber der Grundmenge G = Q! a) x+3 + x 2 + 2x 3 = 1 x Der kleinste gemeinsame Nenner ist 12. Erweitern ergibt (x + 3) (x 2) 4 (2x 3) 3 + = 1 x x x 8 + 6x 9 = 1 x 12 2 P. b) x+3 = 2 (x 3) 2 x+3 x x x + 1 = 1 x + x 1 17x = 0 17 x = 0 L = {0} Zerlegen der Nenner: (x 3) 2 = (x 3) (x 3) x + 3 = x + 3 x 2 9 = (x + 3) (x 3) Damit ergibt sich als gemeinsamer Nenner (x + 3) (x 3) (x 3). Erweitern ergibt (x + 3) (x + 3) (x 3) 2 (x + 3) = 2 (x 3) 2 (x + 3) (x 3) 2 x (x 3) (x 2 gemeinsamer Nenner 9) (x 3) (x + 3) 2 = 2 (x 2 6x + 9) (x 2 3x) x 2 + 6x + 9 = 2x 2 12x + 18 x 2 + 3x x 2 + 6x + 9 = x 2 9x + 18 x 2 + 9x 9 1x = P. x = 9 1 = 3 L = { 3 }

6 3. Finde das passende Modell/die passende Gleichung zu folgender Aufgabe: Anna erbt ein 1 des Vermo gens ihrer Großmutter. Ewald erbt ein 1 und die beiden 3 4 Zwillinge Lily und Lola je 1 der Gesamtsumme. Die restlichen 3000 der Erbschaft sollen fu r anfallende Kosten herangezogen werden. Wie viel bekommt jeder Erbe? M1 M2 x 3 + x 4 + x + x = x (x 1 3 ) + (x 1 4 ) + 2 (x 1 ) = x a) Welches der beiden Modelle passt zur gestellten Aufgabe? M1 M2 2 P. (Streiche das Falsche durch!) b) Wofür steht x in deinem gewählten Modell? Für die Höhe der gesamten Erbschaft. 1 P. c) Berechne x in deinem gewählten Modell! 2 P. x 3 + x 4 + x + x = x 20x + 1x + 12x + 12x = x 9x = x 9x 3000 = x 9x 3000 = x x = Kreuze jeweils an, ob es sich bei der Zuordnung um eine Funktion handelt! Begru nde deine Entscheidung in beiden Fa llen! 4 P. Funktion keine Funktion Den Schu lerinnen einer Klasse wird ihr Sternzeichen zugeordnet. Den Schu lerinnen einer Klasse werden ihre Haustiere zugeordnet. Begründung: Eine Funktion ordnet einem Element eindeutig ein anderes Element zu. Jedem Menschen kann ebenso eindeutig ein Sternzeichen zugeordnet werden, aber jemand kann mehrere Haustiere haben (oder auch gar keines).. Die Funktion K: x K(x) = 7 x gibt die Gesamtkosten K(x) (in ) eines Betriebs an, wenn x Mengeneinheiten produziert werden. Wie hoch sind die Fixkosten (Kosten, die unabha ngig von der produzierten Menge sind) des Betriebs? Wie viele Mengeneinheiten ko nnen produziert werden, wenn zur Verfu gung stehen? P. Die Fixkosten betragen Wenn die Kosten K(x) = betragen, dann gilt 7 x = x = x = 2400 Es ko nnen also 2400 Mengeneinheiten produziert werden.

7 Punkte: Genügend Punkte: Gut Life expectancy (years) 6. Das abgebildete Martiniglas wird durch gleichma ßigen Wasserzulauf gefu llt. Welcher der drei Graphen bildet den Zusammenhang zwischen Fu lldauer t und Fu llho he h(t) korrekt ab? Kreuze den richtigen Graphen an! 3 P. 7. Von einer Felswand lo st sich ein Stein und fa llt senkrecht nach unten bis ins Tal. Die Funktion h gibt die Ho he des Steins (gemessen in Meter u ber dem Talboden) t Sekunden nach Beginn des Falls an. Der Graph der Funktion ist unten abgebildet. a) In welcher Ho he (u ber dem Talboden) ist der Stein abgebrochen und wann schla gt er im Tal auf? 2 P. Er ist in 42 m Ho he abgebrochen und schla gt nach 3 Sekunden im Tal auf. b) Bestimme h(1)! h(1) = 40 1 P. c) In welchem Zeitintervall ist der Stein noch mindestens 20 Meter vom Talboden entfernt? 2 P. Üngefa hr im Intervall [0; 2,2]. d) Wird der Stein schneller, langsamer, oder beha lt er wa hrend des Falls eine konstante Geschwindigkeit bei? Begru nde deine Antwort! 2 P. Der Stein wird schneller, da der Graph flach beginnt und dann immer steiler fa llt. e) Kann h eine lineare Funktion sein? Begru nde! 2 P. Nein, weil der Graph einer linearen Funktion eine Gerade ist. 8. Die folgende Abbildung zeigt die Entwicklung der Lebenserwartung in Su dafrika und Simbabwe wa hrend der letzten Jahrzehnte. Beschreibe in Worten, wie sich der Unterschied der Lebenserwartungen der beiden La nder seit 2004 entwickelt hat! 3 P. Die Ünterschiede sind in 6 der Grafik gru n markiert. Man sieht, dass der Ünterschied seit 2004 kontinuierlich abnimmt. 0 Zimbabwe 4 South Africa 40 3

8 9. Ordne jeder der angegebenen Funktionen den passenden Graphen zu! 6 P. Funktion p(x) = x 1 q(x) = x + 1 r(x) = 3 2 x + 3 Graph B D C A B C D 10. Skizziere im unten vorgegebenen Koordinatensystem den Graph einer linearen Funktion f: y = kx + d, fu r die gilt d > 0 und k < 0! 3 P. Jeder Graph mit positivem y-achsenabschnitt und negativer Steigung ist zula ssig. Zum Beispiel: