3 Diskrete Fourier-Transformation

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1 33 3 Diskrete Fourier-Transformation Inhalt 3 Diskrete Fourier-Transformation Grundlagen Diskrete Fourier-Transformation Eigenschaften der diskreten Fourier-Transformation Vorbereitende Aufgaben Versuchsdurchführung Klirrfaktormessung mit der Klirrfaktor Vorbereitende Aufgaben Versuchsdurchführung Zusammenfassung Quiz Lösungshinweise Literaturverzeichnis und Quellen Sachverzeichnis... 5 Schlüsselbegriffe Diskrete Fourier-Transformation, Fourier-Summe, harmonische Analyse, Klirrfaktormessung, Leckphänomen, MATLAB, Spektrum, Kurzzeit-Spektralanalyse Lernziele ach Bearbeiten dieses Versuches können Sie die Definitionsgleichungen der und I angeben die Begriffe harmonische Analyse, -Spektrum und -Koeffizient erläutern den prinzipiellen Zusammenhang zwischen den -Koeffizienten und den transformierten Zeitsignalen erklären für Sinus- und Kosinussignale das -Spektrum berechnen für eine periodische Kosinusfolge die -Länge so bestimmen, dass das -Spektrum genau zwei von null verschiedene -Koeffizienten aufweist das Leckphänomen erklären und seine Bedeutung für die Spektralanalyse einschätzen die Voraussetzungen für eine Klirrfaktormessung (Simulation) erläutern und die Messung praktisch durchführen MATLAB ist ein Warenzeichen der Firma The MathWorks, Inc., U.S.A. Martin Werner SigSys_P

2 34 3 Diskrete Fourier-Transformation Dieser Versuch ist der erste einer Reihe von Versuchen zur Frequenzbereichsdarstellung mit der diskreten Fourier-Transformation (). Er führt Sie in die Grundlagen einer der häufigsten Anwendungen der digitalen Signalverarbeitung ein, die Kurzzeit-Spektralanalyse. Mathematischer Ausgangspunkt ist die Orthogonalität der harmonische Exponentiellen. Diese Eigenschaft spielt auch in der achrichtenübertragung eine Schlüsselrolle. Wichtige Anwendungen finden sich unter dem Begriff OFDM-Verfahren (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) beispielsweise bei den drahtlosen etzen (WLA), den digitalen Teilnehmeranschlüssen (ADSL), dem digitalen Fernsehen (DVB) und der 4. Mobilfunkgeneration (LTE). Darüber hinaus ist die in der Audio- und Videocodierung wichtige diskrete Kosinustransformation (DCT) eng mit der verwandt. Auch wenn die Verfahren der achrichtenübertragung hier nicht behandelt werden können, so werden mit diesem Versuch die Grundlagen zu ihrem Verständnis gelegt. In der Versuchsvorbereitung werden wichtige mathematische Zusammenhänge vorgestellt und an Beispielen erläutert. In der Versuchsdurchführung werden Sie Ihre Ergebnisse mit MATLAB überprüfen und die zur Kurzzeit-Spektralanalyse anwenden. Bei der Klirrfaktormessung wenden sie das Gelernte nochmals Schritt für Schritt an. 3. Grundlagen Das Beispiel der Synthese von Audiosignalen in Versuch 2 weist auf die Bedeutung der Frequenzkomponenten zur Signaldarstellung hin. Schon Mitte des 8. Jahrhunderts wurden in Europa die harmonische Exponentielle zur Beschreibung von Schwingungsphänomenen diskutiert. J. B. J. Fourier erkannte 87 die Bedeutung der harmonischen Analyse am Beispiel des Wärmeleitungsproblems. Heute wird in vielen Anwendungsgebieten die harmonische Analyse mit ihrer Signaldarstellung im Frequenzbereich genutzt. Die Fourier-Reihe und die Fourier-Transformation gehören zur mathematischen Grundbildung in technischen Studiengängen. An ihre Definitionen wird in Tabelle 3. in der linken Spalte, für (zeit)kontinuierliche Funktionen, erinnert: die Fourier-Reihe für periodische Signale und die Fourier-Transformation für aperiodische Signale. Über die recht allgemeinen Voraussetzungen zur Existenz der Transformationen in Tabelle 3., d. h. der auftretenden Integrale, gibt die Mathematik Auskunft. Die bekannten Methoden der Fourieranalyse für zeitkontinuierliche Signale sind auf zeitdiskrete Signale übertragbar, worauf in einem späteren Versuch noch näher eingegangen wird. 3.. Diskrete Fourier-Transformation Der harmonischen Analyse periodischer, zeitkontinuierlicher Signale mit der Fourier- Reihe entspricht die diskrete Fourier-Transformation () periodischer Folgen in Tabelle 3. oben rechts. Sie nimmt eine herausragende Rolle in der Signalverarbeitung ein. Ihre Bedeutung gründet sich auf vier Eigenschaften: Die lieferte eine eineindeutige Abbildung zwischen der Zeitfolge x[n] und ihrem Spektrum X[k]. Martin Werner SigSys_P

3 3. Grundlagen 35 Tabelle 3. Signaldarstellung im Zeit- und im Frequenzbereich Fourieranalyse Zeitkontinuierliche Funktionen Fourier-Reihe Zeitdiskrete Funktionen Diskrete Fourier-Transformation () Periodische Zeitfunktion j2π f ( ) = c e xt + k = k kt t+ T j2π f kt ck = xt ( ) e dt T t Es ergibt sich im Frequenzbereich ein Linienspektrum mit den Fourier-Koeffizienten c k bei den Frequenzen k f mit der Grundfrequenz f = /T und der Periode T des Zeitsignals xn [ ] = X[ k] e k = [ ] xn [ ] X k = e n= kn j2π kn j2π Es ergibt sich ein Linienspektrum mit den -Koeffizienten X k mit der Periode zu den normierten Frequenzen k /, k = :, mit der normierten Grundfrequenz / und der Periode des Zeitsignals Aperiodische Zeitfunktion Fourier-Transformation 2π j ( ) = X( ω) xt + + j ( ω) = ( ) ωt j e dω ωt X j xt e dt Es ergibt sich das Spektrum bzgl. der Kreisfrequenz ω = 2π f Fourier-Transformation (für Folgen) jω [ ] X( ) jω n xn= e e dω 2π 2π X + jω ( e ) xn [ ] jω n = e n= Es ergibt sich ein periodisches Spektrum für die normierte Kreisfrequenz Ω mit der Periode 2π Die steht in engem Zusammenhang mit der Fourier-Reihe und der Fourier-Transformation. Sie wird deshalb in Spektrumanalysatoren für zeitkontinuierliche Signale eingesetzt und das Ergebnis als Spektrum im Frequenzbereich interpretiert. Die eignet sich besonders zur numerischen Berechnung auf Digitalrechnern, da sie sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich diskret und von endlicher Länge ist. Die kann mit der schnellen Fourier-Transformation effizient berechnet werden. Wegen des engen Zusammenhangs mit der Fourier-Reihe wird die auch als diskrete Fourier-Reihe bezeichnet. Während die Fourier-Reihe mit k =, ±, ±2,... ein unendlich ausgedehntes Linienspektrum zu den Kreisfrequenzen 2π f k erzeugt, ordnet die wegen der Periodizität der Exponentialfunktion exp( j 2π k/) den Elementen einer Periode der Folge genau Spektrallinien für k =,,..., zu. Die ist eine Blocktransformation, die den Signalelementen im Zeitbereich genau Signalelemente im Frequenzbereich und umgekehrt bijektiv zuordnet. Wegen der bijektiven Umkehrbarkeit der der Transformation geht keine Signalinformation verloren. Martin Werner SigSys_P

4 36 3 Diskrete Fourier-Transformation Für das Verständnis der und ihrer Anwendungen ist wichtig, dass sie für periodische Folgen definiert ist, siehe Abbildung 3., aber häufig auf Folgen endlicher Länge angewendet wird. Dies ist kein Widerspruch. Weil jede Folge endlicher Länge L mit der Periode L eindeutig periodisch fortgesetzt werden kann, ist die auf alle geordneten Zahlenfolgen endlicher Länge anwendbar. Man beachte, dass die und ihr Inverses (I) in Tabelle 3. bis auf den Skalierungsfaktor / symmetrisch sind. Damit kann jede geordnete Folge endlicher Länge prinzipiell sowohl als Zeitsignal als auch als Spektrum interpretiert werden. Und die Sätze der für den Zeitbereich haben ihre Entsprechungen im Frequenzbereich und umgekehrt. Die bisherigen Überlegungen fassen die folgenden Definitionen nochmals zusammen: Die diskrete Fourier-Transformation () einer Folge x[n] der Länge mit n =,,..., ist die Folge der -Koeffizienten für k =,, 2,..., kn (3.) n= j( 2π ) [ ] = xn [ ] e X k Die inverse (I) liefert wieder die ursprüngliche Folge, wobei diese als Überlagerung gewichteter Sinus- und Kosinusfolgen dargestellt wird. 2π 2π x n X k X k k n k n k= k= + j( 2π ) kn [ ] = [ ] e = [ ] cos + j sin (3.2) Die Folge x[n] und ihr -Spektrum X[k] bilden ein -Paar. [ ] X[ k] xn (3.3) Bei Bedarf werden die Folge und ihr -Spektrum mit der Periode fortgesetzt. Beispiel 3. einer Kosinusfolge Um die Ergebnisse der interpretieren zu können, müssen wir uns die Eigenschaften der Transformationsgleichungen (3.) und (3.2) klar machen. Den ersten, und wichtigsten Schritt dazu liefert das grundlegende Beispiel der der Kosinusfolge π xn [ ] = cos n 8. (3.4) Grundperiode n Abbildung 3. Periodische Folge Martin Werner SigSys_P

5 3. Grundlagen 37 Sie soll der der Länge = 32 unterworfen werden. Die Indizes n und k der Blocktransformation bewegen sich dann von bis 3. [ ] X k 3 2π π j nk = cos n e 32 n= 8 (3.5) Für den weiteren Rechengang ist es vorteilhaft, die Kosinusfunktion mit der eulerschen Formel in exponentieller Form darzustellen. ach kurzer Zwischenrechnung erhält man die zwei geometrische Reihen [ ] X k die in die beiden Summen resultieren 3 π π j ( 2 k) n j ( 2+ k) n 6 6 = e + e 2 n= (3.6) [ ] X k e e = + 2 e e j2π ( 2 k) j 2π ( 2+ k) π π j ( 2 k) j ( 2+ k) 6 6 (3.7) Die Brüche in der Klammer zeigen, dass die Zähler stets null sind, weil in den Exponenten stets ein ganzzahliges Vielfaches von 2π auftritt und folglich die harmonischen Exponentiellen gleich eins sind. Damit sich überhaupt ein von null verschiedener -Koeffizient einstellen kann, muss der enner die ullstelle des Zählers kompensieren. Dies geschieht genau für k = 2 und 3, dann ist der enner ebenfalls null. Für k = 2 und 3 liegen somit zunächst unbestimmte Ausdrücke vor, die aus (3.7) mit der Regel von L Hospital, oder einfacher direkt durch Einsetzen der beiden Werte für k aus (3.6) bestimmt werden können. Es resultiert die der Kosinusfolge [ ] 6 ( δ[ 2] δ[ 3] ) X k = k + k für k = :3. (3.8) Die Kosinusfolge und ihr -Spektrum sind in Abbildung 3.2 dargestellt. Die Grafik wurde mit dem Programm 3. erzeugt. Darin wird die mit dem Befehl fft berechnet. Er stellt einen besonders effizienten Algorithmus zur Berechnung der dar und daher auch sein ame fft, für englisch fast fourier transform (FFT). Der Algorithmus der FFT ist Gegenstand eines weiteren Versuches und wird dort ausführlich behandelt. Wie in Abbildung 3.2 zu sehen ist, erfasst die der Länge = 32 genau zwei Perioden der Kosinusfolge. Die liefert deshalb genau zwei von null verschiedene reelle Koeffizienten, nämlich für k = 2 und k = 2 = 3. Damit kann vom -Spektrum in Abbildung 3.2 augenfällig, d. h. ohne Rechnung, auf das Kosinussignal und seine Periode und umgekehrt geschlossen werden. Die allgemeine Betrachtung der als harmonische Analyse macht dies nochmals deutlich, siehe (3.2). Die stellt jede Folge der Länge als mit den -Koeffizienten gewichtete Überlagerung von Kosinus- und Sinusfolgen dar Martin Werner SigSys_P

6 38 3 Diskrete Fourier-Transformation xn [ ] = X[ k] cos( Ωk n) + j sin ( Ωk n) für n = : (3.9) k = mit den normierten Kreisfrequenzen 2π Ω k = k für k = :. (3.) Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich der Zusammenhang Re( x[n] ) n Im( x[n] ) n Re( X[k] ) - Im( X[k] ) k k Abbildung 3.2 Kosinusfolge (oben) und ihr -Spektrum (unten); Darstellung von Real- (Re) und Imaginär-(Im)teilen links bzw. rechts (dsplab3_) Programm 3. der Kosinusfolge % dft spectrum of a cosine sequence % dsplab3_.m * mw * = 32; % length of sequences (period) n = :-; % normalized time Omega = pi/8; % normalized radian frequency x = cos(omega*n); % cosine sequence X = fft(x); % computation of dft spectrum % Graphics FIG = figure('ame','dsplab3_','umbertitle','off',... 'Units','normal','Position',[ ]); subplot(2,2,), stem(:-,real(x),'filled'), grid axis([ - - ]); xlabel('{\itn}'), ylabel('re( {\itx}[{\itn}] )') subplot(2,2,2), stem(:-,imag(x),'filled'), grid axis([ - - ]); xlabel('{\itn}'), ylabel('im( {\itx}[{\itn}] )') subplot(2,2,3), stem(:-,real(x),'filled'), grid MAX = max(abs(x)); axis([ - -MAX MAX]); xlabel('{\itk}'), ylabel('re( {\itx}[{\itk}] )') subplot(2,2,4), stem(:-,imag(x),'filled'), grid axis([ - -MAX MAX]); xlabel('{\itk}'), ylabel('im( {\itx}[{\itk}] )') Martin Werner SigSys_P

7 3. Grundlagen 39 ( δ[ ] δ ( ) ) 2π cos K n k K + k K 2 für k = :. (3.) Der erste Impuls im -Spektrum bei k gleich K folgt unmittelbar. Der zweite Impuls resultiert weil die Kosinusfunktion eine gerade Funktion und in 2π periodisch ist, das heißt 2π 2π 2π 2π cos ( K) n = cos n K n = cos K n. (3.2) Ebenso kann für Sinusfolgen überlegt werden ( δ[ ] δ ( ) ) 2π sin K n j k K + k K 2 für k = :. (3.3) 3..2 Eigenschaften der diskreten Fourier-Transformation Die besitzt ähnliche Eigenschaften wie die Fourier-Transformation, wie z. B. die Symmetrie zwischen der Hin- und Rücktransformation, die Dualität zwischen Zeit- und Frequenzbereich. Wegen der periodisch zu denkenden Folgen ergeben sich zusätzlich die speziellen Eigenschaften zur zyklischen Verschiebung, zyklischen Faltung und Multiplikation. In Tabelle 3.2 sind wichtige Eigenschaften im Sinne einer Formelsammlung zusammengestellt. Einige davon werden später noch genauer erläutert und in der Versuchsdurchführung verwendet. Hier soll noch auf zwei Eigenschaften gesondert hingewiesen werden: Zum ersten, die parsevalsche Gleichung. Sie verbindet die Signalleistungen in Zeit- und Frequenzbereich. Zum zweiten die hermitesche Symmetrie, sie ist für reelle Signale oft nützlich. [ ] [ ] für [ ] X k = X k xn (3.4) Sie ergibt sich aus dem Zuordnungsschema und bedeutet, dass für reelle Signale der Betrag des -Spektrums eine gerade und die Phase eine ungerade Funktion ist. Dies wird bei grafischen Darstellungen zur Vereinfachung oft benutzt. Die Annahme periodischer Folgen und Spektren deckt sich mit der üblichen zweiseitigen Darstellung der Fourier-Spektren in der Kommunikationstechnik. MATLAB unterstützt dies durch den Befehl fftshift der das -Spektrum in zentrierte Form bringt. Abbildung 3.3 zeigt ein Beispiel für die Sinusfolge. Der -Koeffizient für k gleich null befindet sich jetzt im Zentrum des dargestellten -Spektrums. Damit ähneln die Spektren den gewohnten Darstellungen aus der Fourier-Transformation zeitkontinuierlicher bzw. zeitdiskreter Signale. Für die inverse stellt MATLAB den Befehl ifft bereit. Martin Werner SigSys_P

8 4 3 Diskrete Fourier-Transformation Re( x [ n ] ) Im( x [ n ] ) n n Re( X [ k ] ) - Im( X [ k ] ) k k Abbildung 3.3 Sinusfolge (oben) und ihr -Spektrum in zentrierter Form (unten); Darstellung von Real- (Re) und Imaginär-(Im)teilen links bzw. rechts Tabelle 3.2 Sätze der diskreten Fourier-Transformation für periodische Folgen der Länge Linearität al xl[ n] al Xl[ k] (3.5) Zyklische Verschiebung mit mk j2π/ xn w = e [ m] w X[ k] l l (3.6) Modulation nl w xn [ ] X[ k l] + (3.7) Spiegelung x[ n] X[ k] (3.8) * * Konjugiert komplexe Folge x [ n] X [ k] (3.9) Zyklische Faltung x [ n] x [ n] X [ k] X [ k] * 2 2 (3.2) (3.2) Multiplikation x [ n] x [ n] X [ k] * X [ k] Parsevalsche Gleichung xn [ ] X[ k] (3.22) n= k= Zuordnungsschema gerade (even), ungerade (odd), reell (real), imaginär (imaginary) x[n] = x er [n] + x or [n] + j ( x ei [n] + x oi [n]) X[k] = X er [k] + X or [k] + j ( X ei [k] + X oi [k]) (3.23) Martin Werner SigSys_P

9 3. Grundlagen Vorbereitende Aufgaben A3. Von zentraler Bedeutung für die Eigenschaften der ist die Orthogonalität der harmonischen Exponentiellen. 2π j kn für k = m e = und k, m ganze Zahlen (3.24) n= sonst Verifizieren Sie die Gleichung mit der geometrischen Reihe. A3.2 Geben Sie für die nachfolgenden Signale das -Spektrum der Länge an. Hinweise: Es gilt n = : und n < bzw. Ω < π. Siehe auch Beispiel und Aufgabe A3.. [ ] = δ [ ] x n n n e e x [ n] = cos( Ω n) X [ k] = + e e 2π 2π j Ω k Ω+ j k 2 2 2π 2π 2 j Ω k Ω+ j k [ ] = sin ( Ω ) x n n x 3 j [ n] = Ω n 4 e x5 [ n ] = A3.3 Geben Sie für den Sonderfall Ω = λ 2π mit λ {, 2,..., } die Spektren X 2 [k], X 3 [k] und X 4 [k] an. Hinweis: Siehe Orthogonalität der harmonischen Exponentiellen. 2π x2 [ n] cos n λ = 2π x3[ n] sin n X3[ k] [ k ] k ( ) λ = = 2j δ λ δ λ x j ( 2π ) [ n] = 4 e λ n 3..4 Versuchsdurchführung ( ) M3. Erzeugen Sie die Signale x [n] bis x 5 [n] aus A3.2 und führen Sie für = 32 jeweils die durch. Als Parameter verwenden Sie n = 4 bzw. Ω = 4π /. Vergleichen Sie die grafischen Darstellungen mit Ihren vorbereiteten Ergebnissen. M3.2 Führen Sie die letzte Aufgabe M3. für das Signal x 2 [n] weiter. a) Stellen Sie das -Betragsspektrum in zentrierter Form grafisch dar. Achten Sie besonders auf die korrekte Beschriftung der Abszisse. Martin Werner SigSys_P

10 42 3 Diskrete Fourier-Transformation b) Ändern Sie nun die normierter Kreisfrequenz auf Ω = 4.5 π /. Wenn Ω λ 2π mit λ {, 2,..., } gewählt wird, verändern sich die - Spektren im Vergleich zu A3.3 in charakteristischer Weise. Warum wird hier zur Beschreibung der Begriff Leckphänomen, auch Leckeffekt, verwendet? 3.2 Klirrfaktormessung mit der 3.2. Klirrfaktor Der enge Zusammenhang zwischen der Fourier-Transformation und der kann im Fall periodischer Signale dazu benutzt werden, mit der die Koeffizienten der Fourier-Reihe effizient zu bestimmen. Für die Praxis ergeben sich daraus wichtige Anwendungen. So lassen sich mit einer kontinuierlichen Zustandserfassungen von Maschinen, z. B. von Antriebswellen und Lagern, Maschinenschäden in der Entstehungsphase erkennen; Oder anders herum der Abnutzungsvorrat im überwachten Betrieb ausschöpfen. Ein anderes Anwendungsgebiet ergibt sich in Energieversorgungsunternehmen. Dort ist der Leistungsanteil der Oberwellen im Spannungsversorgungsnetz eine Kenngröße für die Versorgungsqualität. Gewisse Grenzwerte müssen überwacht und eventuell Gegenmaßnahmen ergriffen werden. Schließlich spielt, wie der ame schon sagt, der Klirrfaktor in der achrichtentechnik, insbesondere der Audiotechnik, eine gewichtige Rolle, wenn es beispielsweise um die Güte von Mikrofonen und Lautsprechern geht. Die Klirrfaktormessung stellt das Beispiel in Abbildung 3.4 vor. Als Signal wird die mit einem Einweggleichrichter gleichgerichtete sinusförmige Spannung mit normierter Amplitude verwendet. Die Frequenz f sei 5 Hz, wie im europäischen Stromversorgungsnetz. u( t) = + sin ( 2π f t) + π 2 2 cos( 2π f t) + cos( 4π f t) + cos( 6π f t) + π (3.25) Mit dem Klirrfaktor wird allgemein die Signalverzerrung für Eintonsignale beim Durchgang durch ein nichtlineares System abgeschätzt, wie im Beispiel der Einweggleichrichter. Der Klirrfaktor ist definiert als das Verhältnis des Effektivwerts der Harmonischen höherer Ordnung (Oberschwingungsgehalt) zum Effektivwert des Signals ohne den Gleichanteil ((Gesamt-)Wechselanteil). u(t) 2 3 t in ms Abbildung 3.4 Sinussignal nach Einweggleichrichtung Martin Werner SigSys_P

11 3.2 Klirrfaktormessung mit der 43 Mit den Amplituden der k-ten Harmonischen uˆk gilt für den Klirrfaktor d = uˆ + uˆ + uˆ uˆ + uˆ + uˆ + uˆ (3.26) Der Formelbuchstabe d steht hier für die englische Bezeichnung total harmonic distortion (THD). Man beachte, der Klirrfaktor ist ein relatives Maß; Skalierungsfaktoren kürzen sich, was für die Anwendung sehr praktisch ist. Manchmal sind Klirrfaktoren spezieller Ordnungen von Interesse. Dann wird nur der Effektivwert der k-ten Harmonischen im Zähler in (3.26) verwendet. Für das Beispiel Abbildung 3.4 kann der Klirrfaktor mit Programm 3.2 bestimmt werden. Statt eines realen abgetasteten Signals werden zunächst die (idealen) Abtastwerte einer Periode generiert und es schließt sich die und die Auswertung der - Koeffizienten zum Klirrfaktor an. Das Programm erzeugt die Grafik in Abbildung 3.4. Um den Zusammenhang mit dem gedachten analogen Signal hervorzuheben, wird die Abszissenskalierung in Millisekunden (ms) bzw. Hertz (Hz) vorgenommen. Die in Tabelle 3.3 angezeigten Werte werden vom Programm berechnet. Der so bestimmte äherungswert für den Klirrfaktor beträgt ungefähr.4. Im Vergleich mit dem anhand der Fourier-Koeffizienten in (3.25) numerisch berechneten Wert.399 zeigt sich, obwohl nur 2 Abtastwerte pro Periode genommen wurden, und damit entsprechend wenig Harmonische ausgewertet, ein geringer relativer Fehler von circa 2.8 %. x(t) t in ms norm. X(f) f in Hz Abbildung 3.5 Gleichgerichtetes Sinussignal (eine Periode) und normiertes -Betragsspektrum zur Klirrfaktor-Messung (dsplab3_3) Martin Werner SigSys_P

12 44 3 Diskrete Fourier-Transformation Tabelle 3.3 Bildschirmanzeige zur Klirrfaktormessung (dsplab3_3) dsplab3_3 : distortion f = 5 Hz fs = Hz max X(f) = f in Hz X(f) /max X(f) : distortion d =.4 Programm 3.2 Klirrfaktormessung mit der % total harmonic distortion measurement with fft % dsplab3_3.m * mw * f = 5; T = /f; % fundamental frequency in Hz and signal period fs = e3; Ts = /fs; % sampling frequency and sampling period s = floor(t/ts); % number of samples per period n = :s-; % normalized discrete time % signal and spectrum x = sin(2*pi*f*ts*n); % sine function x(x<=) = ; % rectify signal, sine half wave (logical indexing) X = fft(x); % dft spectrum X = X/s; % normalize dft spectrum %% Graphics % Time signal, sampled signal t = e3*ts*n; % time scale in ms FIG = figure('ame','dsplab3_3 : distortion','umbertitle','off'); subplot(2,,), plot(t,x,t,x,'.','markerfacecolor','b',... 'MarkerEdgeColor','b','MarkerSize',2), grid axis([ e3*ts*s ]); xlabel('{\itt} in ms \rightarrow') ylabel('{\itx}({\itt}) \rightarrow') % spectrum M = floor((s-)/2); % number of spectral lines to show f = (:M)*fs/s; % frequency scale in Hz MAX = max(abs(x)); subplot(2,,2), stem(f,abs(x(:m+))/max,'filled'), grid axis([ max(f) ]); Martin Werner SigSys_P

13 3.2 Klirrfaktormessung mit der 45 xlabel('{\itf} in Hz \rightarrow') ylabel('norm. {\itx}({\itf}) \rightarrow') %% Text on screen fprintf('\n') % text output on screen fprintf('dsplab3_3 : distortion\n') fprintf('f = %5i Hz\n',f) fprintf('fs = %5i Hz\n',fs) fprintf('max X(f) = %g\n',max) fprintf('f in Hz X(f) /max X(f) : \n') for k = :M+ fprintf(' %5i %6.4f \n',f(k),abs(x(k)/max)) end %% Distortion D = abs(x(2)).^2; % rms-value for fundamental frequency signal D = sum(abs(x(2::m+)).^2); % rms-value for harmonics d = sqrt((d-d)/d); % distortion fprintf('distortion d = %6.4f \n',d) Vorbereitende Aufgaben A3.4 Machen Sie sich die Zerlegung eines Signals in Kosinus- und Sinusfunktionen durch die harmonische Analyse nochmals klar, indem Sie die Fourier-Reihe für den periodischen Rechteckimpulszug aus dem ersten Versuch, Kapitel.2.3, verwenden: 2 xt ( ) = + sin ([ 2m+ ] 2π t) (3.27) 2 π 2 m + m= In der Versuchsdurchführung soll die inverse zur Berechnung der Signalfolge eingesetzt werden. Man spricht dann auch von der Fouriersynthese im Gegensatz zur Fourieranalyse. Lösen Sie vorbereitend folgende Aufgaben bzw. beantworten Sie die Fragen. a) Geben Sie die Abtastfolge zu (3.27) an, wenn pro Periode 6 Abtastwerte genommen werden. Gehen Sie wieder von einer normierten Darstellung mit Amplitude und Periode aus, vgl. Abbildung.6 und.7. Wie groß ist dann die normierte Kreisfrequenz der. Harmonischen Ω? b) Die Abtastfolge ist ein reelles Signal. Welche Symmetriebedingung ergeben sich daraus für die -Koeffizienten, wenn die -Länge = 6 ist? c) Warum ist es wichtig, dass die -Länge ein ganzzahliges Vielfaches der (Signal-)Periode ist? d) Unter welchen Bedingungen kann das periodische Signal durch die - Koeffizienten vollständig repräsentiert werden? Martin Werner SigSys_P

14 46 3 Diskrete Fourier-Transformation A A x(t) T /4 T /2 3T /4 T 2T t Abbildung 3.6 Periodische Dreieckschwingung A3.5 Geben Sie die Fourier-Reihe für die Dreieckschwingung in Abbildung 3.6 mit der Periode T = ms an. Hinweis: Siehe einschlägige Tabellenwerke mit Fourier-Reihen Versuchsdurchführung M3.3 un soll Sie die Fouriersynthese aus A3.4 praktisch durchführen. Aus der Fourier-Reihe (3.27) folgt für die -Koeffizienten die Berechnungen im Programm 3.3. Machen Sie sich mit dem Programm vertraut und stellen Sie den Zusammenhang mit der Fourier-Reihe (3.27) bzw. Ihren Vorüberlegungen in A3.4 her. Hinweis: Für die inverse stellt MATLAB den Befehl ifft bereit. Das Programm 3.3 erzeugt Grafiken für das Signal und sein -Spektrum mit jeweils Werten für eine Periode. M3.4 Berechnen Sie den Klirrfaktor der Dreieckschwingung in Abbildung 3.6 mit MATLAB a) anhand der Fourierkoeffizienten aus der Vorbereitung A3.5 b) und mittels Simulation und. Programm 3.3 Signalsynthese durch inverse % Fourier synthesis by idft % dsplab3_6.m * mw * = 32; % length of sequences (period) % dft coefficients X = zeros(,); % allocate memory and set default values zero X(+)= /2; % X[]= /2 (dc component) cf = (/2)*(2/pi); % common factor for k = :2:/2 % for odd indices X[],X[3],...,X[/2] X(k+) = -i*cf/k; end % complete dft spectrum of real-valued signals by using even and % odd symmetry for real and imaginary parts respectively X(:-:/2+) = -X(2:/2+); x = ifft(x); % computation of time-domain signal % Graphics FIG = figure('ame','dsplab3_6','umbertitle','off',... 'Units','normal','Position',[ ]); subplot(2,2,), stem(:-,real(x),'filled'), grid axis([ ]); Martin Werner SigSys_P

15 3.3 Zusammenfassung 47 xlabel('{\itn} \rightarrow') ylabel('re( {\itx}[{\itn}] )\rightarrow') subplot(2,2,2), stem(:-,imag(x),'filled'), grid axis([ ]); xlabel('{\itn}\rightarrow') ylabel('im( {\itx}[{\itn}] )\rightarrow') subplot(2,2,3), stem(:-,real(x),'filled'), grid MAX = max(abs(x)); axis([ - -MAX MAX]); xlabel('{\itk} \rightarrow') ylabel('re( {\itx}[{\itk}] ) \rightarrow') subplot(2,2,4), stem(:-,imag(x),'filled'), grid axis([ - -MAX MAX]); xlabel('{\itk} \rightarrow') ylabel('im( {\itx}[{\itk}] ) \rightarrow') 3.3 Zusammenfassung Der Versuch Diskrete Fourier-Transformation knüpft daran an, dass Signale, wie Tonsignale in Kapitel 2, oft praktischerweise als Überlagerungen von vielen sinusförmigen Signalen gedacht werden können. Mathematisch betrachtet führt dies auf die harmonische Analyse bzw. die Fourier-Analyse in Tabelle 3.. Die dort dargestellte Diskrete Fourier- Transformation () bildete den Schwerpunkt dieses Versuches. Sie lernten die als eine, für Digitalrechner besonders geeignete numerische Blocktransformation kennen. Ihre Fundierung in der Orthogonalität der harmonischen Exponentiellen konnten Sie nachvollziehen. Auch eine Zusammenstellung von wichtigen Eigenschaften der wurde in Tabelle 3.2 vorgestellt wenn auch nicht weiter vertieft. Anhand der Klirrfaktormessung konnten Sie den Zusammenhang zwischen der Fourier- Reihe und der, zwischen den Fourier-Koeffizienten und den -Koeffizienten explizit nachvollziehen. Dadurch waren Sie auch in der Lage eine Fouriersynthese, eine Signalmodellierung vorzunehmen, ähnlich wie sie in der achrichtenübertragungstechnik heute ihre Anwendung findet. Weiter lernten Sie die Voraussetzungen für die Klirrfaktormessung kennen und konnten die Messung selbst praktisch durchführen. 3.4 Quiz Kreuzen Sie alle richtigen Aussagen in den Ja-ein-Fragen ( ) an bzw. ergänzen Sie die Lückentexte (_) sinngemäß. Die ist eine bijektive lineare Blocktransformation. 2 Die einer Kosinusfolge mit Ω = k 2π/ und k = und = 64 ist. 3 Die beruht auf der der harmonischen Exponentiellen. Martin Werner SigSys_P

16 48 3 Diskrete Fourier-Transformation 4 Ist das -Spektrum reell, ist auch die Rücktransformierte reell. 5 Der größte -Koeffizient zeigt die Signalfrequenz an. 6 Mit dem Befehl fftshift wird das -Spektrum in Form angeordnet. 7 Es gilt X[] = X[]. 8 9 Bei der Klirrfaktormessung sollte die -Länge mit der Harmonischen abgestimmt werden. Bei der Klirrfaktormessung erübrigt sich die Synchronisation zwischen dem Beginn der Messung, der Beginn des Signalblocks, und dem Beginn der Periode des Signals. Der Gleichanteil kann wegen seiner geringen Größe bei der Klirrfaktormessung in der Regel vernachlässigt werden. 3.5 Lösungshinweise Onlineressourcen dsplab3_.m bis dsplab3_7.m Zu A3. Orthogonalität für komplexe Exponentielle Für k = m ist der Exponent mit j 2π m stets ein ganzzahliges Vielfaches von 2π, so dass jeder der Summanden gleich ist. Für k m (insbesondere auch k ) folgt für die (endliche) geometrische Reihe j2π k 2π e k n j2π k n= exp j = = e da der Zähler ist und der enner endlich ist und von verschieden. Zu A3.2 -Paare 2π x[ n] = δ[ n n] X[ k] = exp j n k e e x [ n] = sin ( Ω n) X [ k] = e e 2π 2π j Ω k j Ω + k 3 3 2π 2π 2j j Ω k j Ω + k jωn x [ n] = e X e [ k] = e 2π j Ω k 4 4 2π j Ω k j2π k e x5 n X5 k k 2π j k e [ ] = [ ] = = δ [ ] Martin Werner SigSys_P

17 3.5 Lösungshinweise 49 Zu A3.3 -Paare ( ) 2π x2[ n] cos n X2[ k] [ k ] k ( ) λ = = 2 δ λ + δ λ j2π λn [ ] = e [ ] = δ[ λ] x n X k k 4 4 Zu A3.4 Fourier-Synthese a) Zuerst wird die kompakt gegebene Fourier-Reihe so umgeformt, dass ein Koeffizientenvergleich leichter ersichtlich wird. Zum besseren Verständnis und der Allgemeinheit halber fügen wir die Frequenz der. Harmonischen hinzu (Entnormierung). 2 xt ( ) = + sin (( 2m+ ) 2π f t) = 2 π m= 2m + 2 = + sin ( 2π f t) sin( 3 2π f t) sin( 5 2π f t) 2 π = 2 = + sin ( 2π f k t) 2 π k k =,3,5, Mit (= 6) Abtastwerten pro Periode T gilt fs = f =. T Und damit ergibt sich die Abtastfolge 2 x n = x t = nt = + sin 2π k f nt = [ ] ( ) ( ) S S 2 π k =,3,5, k TS = f 2 2π = + sin k n 2 π k =,3,5, k Die normierte Kreisfrequenz der. Harmonischen ist 2π Ω =. b) Für reelle Folgen gilt allgemein die hermitesche Symmetrie. Konkret hier für = 6 und nur Sinusterme [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] X = X 5, X 2 = X 4,, X 7 = X 9, X 8 =. Die Konstante liefert einen (reellen) Impulsanteil mit Amplitude / 2 = 8 im Spektrum für k =. c) ur wenn die -Länge ein ganzahliges Vielfaches der Periode ist, sind die Fourier-Koeffizienten und die -Koeffizienten direkt ineinander überführbar. ur dann entspricht die Abtastung der Fourier-Reihe der -Synthesegleichung (3.2). Martin Werner SigSys_P

18 5 3 Diskrete Fourier-Transformation d) Die -Koeffizienten müssen vollständig und bis auf einen gemeinsamen Faktor gleich den Fourier-Koeffizienten sein. Wegen der endlichen Blocklänge muss dazu die Fourier-Reihe abbrechen, die Zahl der Harmonischen endlich sein. Man spricht dann auch von einer Fourier-Summe bzw. einem bandbegrenzten Signal. Die -Blocklänge ist so zu wählen, dass alle Harmonischen durch die erfasst werden. (Und selbstverständlich ist das Abtasttheorem einzuhalten, siehe späteren Versuch.) Zu A3.5 Fourier-Reihe ( ) xt ( f t) ( f t) ( f t) 8 sin 2π sin 2π 3 sin 2π 5 = A π 3 5 Zu M3. Signalerzeugung, und grafische Darstellung siehe dsplab3_4. Zu M3.2 Siehe Programm dsplab3_5 und Abbildung 3.7. Mit dem Begriff Leckphänomen (Leakage phenomenon) wird das Ausfliesen der -Koeffizienten bezeichnet, wenn ein Ausschnitt eines periodischen Signals der unterworfen wird und die -Länge nicht genau ein ganzzahliges Vielfaches der Periode erfasst, siehe Abbildung 3.7. Es treten mehrere von null verschiedene -Koeffizienten auf, obwohl ein Eintonsignal zugrunde liegt. Das Leckphänomen wird nicht durch einen Fehler hervorgerufen, sondern ist durch die Segmentierung der Kurzzeit-Spektralanalyse (Blocktransformation) bedingt..5.5 x [n] ) -.5 x 2 [n] ) n n 5 5 X [k] 5 X 2 [k] 5 - k - k Abbildung 3.7 Leckphänomen im -Spektrum (rechts) Martin Werner SigSys_P

19 3.6 Literaturverzeichnis und Quellen 5 ach der parsevalschen Gleichung muss die Signalenergie im -Spektrum erscheinen, weshalb außer bei einer ullfolge nicht alle -Koeffizienten gleich null sein können. Die Energieanteile von Frequenzkomponenten, die im Frequenzraster des -Spektrums keine direkte Entsprechung haben, tauchen deshalb zwangsweise an anderen Stellen auf. Zu M3.3 Fouriersynthese, siehe dsplab3_6. % dft coefficients X = zeros(,); % allocate memory and set default values zero X(+)= /2; % X[]= /2 (dc component) cf = (/2)*(2/pi); % common factor for k = :2:/2 % for odd indices X[],X[3],...,X[/2] X(k+) = -i*cf/k; end % complete dft spectrum of real-valued signals by using even and % odd symmetry for real and imaginary parts respectively X(:-:/2+) = -X(2:/2+); Zu M3.4 Klirrfaktor, siehe dsplab3_ Literaturverzeichnis und Quellen Oppenheim A. A., Willsky A. S. & awab S. H. (997) Signals & Systems. (2nd ed.). Upper Saddle River, J: Prentice-Hall Schüßler H. W. (28) Digitale Signalverarbeitung. Analyse diskreter Signale und Systeme. (5. Aufl.) Berlin: Springer Werner M. (2) Digitale Signalverarbeitung mit MATLAB. Grundkurs mit 6 ausführlichen Versuchen. (5. Aufl.). Wiesbaden: Vieweg+Teubner 3.7 Sachverzeichnis Blocktransformation 35 -Koeffizienten 36 -Spektrum 36 Diskrete Fourier-Transformation 34 Fouriersynthese 45 Harmonischen Analyse 34 Hermitesche Symmetrie 39 Klirrfaktor 42 Klirrfaktormessung 42 Orthogonalität 4 parsevalsche Gleichung 4 Parsevalsche Gleichung 39 Zentrierte Form 39 Martin Werner SigSys_P

20 52 3 Diskrete Fourier-Transformation Die Seite bleibt aus drucktechnischen Gründen leer. Martin Werner SigSys_P