Korrektur Aufgabe 8.1

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1 Korrektur Aufgabe 8.1 Anstatt x 2-2x+3 muss es heissen x 2-4x

2 Wiederholung Arithmetik auf Polynomen mit Grad n Polynome in Koeffizientendarstellung Auswerten: O(n) mit Horner-Schema Addition/Subtraktion: O(n) Multiplikation/Division: O(n 2 ) mit Schulmethode Polynome in Point-value Form Interpolation: O(n 2 ) mit Lagrange-Interpolation Addition/Subtraktion: O(n) Multiplikation: O(n)

3 Multiplizieren von Polynomen Koeffizientenform Gewöhnliche Multiplikation O(n 2 ) a 0,,a n-1 c b 0,,b 0,,c 2n-1 n-1 Auswertung Ziel: O(n logn) a(ω 2n 0),, a(ω 2n 2n 1) b(ω 2n 0),, b(ω 2n 2n 1) Punktweise Multiplikation O(n) Interpolation Ziel: O(n logn) c(ω 2n 0),, c(ω 2n 1 2n ) Point-value Form

4 n-te Einheitswurzeln Def: Eine n-te Einheitswurzel ist eine komplexe Zahl ω C mit der Eigenschaft ω n = 1 Es gibt exakt n viele n-te Einheitswurzeln e 2πik/n für k=0,1,,n-1 Erinnerung: e iα = cos(α) + i*sin(α) n-te Einheitswurzeln besitzen gleichen Abstand auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene ω n = e 2πi/n heißt primitive n-te Einheitswurzel Alle n-ten Einheitswurzeln sind Potenzen von ω n

5 Gruppeneigenschaft Satz: (<ω n >,*) ist eine multiplikative, zyklische Gruppe der Ordnung n. Neutrales Element: 1. Ordnung: ω n n=e 2πi = 1. Abgeschlossenheit: ω n i * ω n j = ω n i+j mod n Inverses zu ω n i ist ω n n-i

6 Eliminations- und Halbierungslemma Eliminationslemma: Für alle n,k N 0 und d N: ω dn dk = ω n k ω dn dk = (e 2πi/dn ) dk = (e 2π i/n ) k = ω n k Korollar: Für jede gerade Zahl n N: ω n n/2 = ω 2 = -1 ω 2 = e πi = cos(π) + isin(π) = (-1) Halbierungslemma: Sei n>0 gerade. Dann sind die Quadrate der n-ten Einheitsheitswurzeln gerade die n/2-ten Einheitswurzeln. Eliminationslemma: (ω n k) 2 = ω n/2 k. Jede zwei n-te Einheitswurzeln haben dasselbe Quadrat: (ω n k) 2 = (- ω n k) 2 = (ω n n/2 * ω n k) 2 = (ω n k+n/2)

7 Discrete Fourier Transform (DTF) ObdA: grad(a) < n = 2 k a(x) sei als Koeffizientenvektor a=(a 0,,a n-1 ) gegeben a g = (a 0, a 2, a 4,, a n-2 ) a u = (a 1, a 3, a 5,, a n-1 ) Werten a(x) an den Stützstellen ω n k für k=0,,n-1 aus Sei y k = a(ω n k) = j=0 n-1 a j ω n kj für k=0,,n-1 y = (y 0,,y n-1 ) ist die diskrete Fouriertransformierte von a=(a 0,,a n-1 ) Schreibweise: y = DFT n (a, ω)

8 Fast Fourier Transform (FFT) Splitte Polynom a(x) in zwei Teile 1. a g (x) = a 0 + a 2 x + a 4 x a n-2 x n/2-2 bzw. a g = (a 0, a 2, a 4,, a n-2 ) 2. a u (x) = a 1 + a 3 x + a 5 x a n-1 x n/2-1 bzw. a u = (a 1, a 3, a5,, a n-2 ) Dann gilt: a(x) = a g (x 2 ) + x*a u (x 2 ) Berechnen von DFT n (a): Auswerten von a(x) an ω n 0,,ω n n-1 Auswerten der Polynome a g, a u vom Grad < n/2 an den Stellen (ω n 0) 2 = ω n/2 0, (ω n 1) 2 = ω n/2 1,, (ω n n/2-1) 2 = ω n/2-1 n/2, (ω n n/2) 2 = ω n/2 0, (ω n n/2+1) 2 = ω n/2 1,, (ω n n-1) 2 = ω n/2-1 n/2 D.h. es genügt a g und a u an n/2 vielen Stellen auszuwerten. Berechnen von DFT n/2 (a g,ω) und DFT n/2 (a u,ω). Kombinieren von a(x) mittels a g und a u. y = DFT(a) mit y k = a(ω n k) = a g (ω n/2 k) + ω k n *a u (ω n/2 k) = a g (ω n 2k) + ω n k*a u (ω n 2k) Laufzeit: T(n) = 2*T(n/2) + O(n), T(1) = O(1). T(n) = O(n logn) (Übungsaufgabe)

9 FFT-Algorithmus Algorithmus FFT EINGABE: a=(a 0,,a n-1 ), n=2 k 1. If (n=1) return a 2. ω n e 2πi/n ; ω 1 3. (y 1g,y 2g,, y n/2g ) FFT(a 0,a 2,,a n-2, n/2) 4. (y 1u,y 2u,, y n/2u ) FFT(a 1,a 3,,a n-1, n/2) 5. for k = 0 to n/ y k y k g + ω y k u 2. y k+(n/2) y k g - ω y k u 3. ω ω*ω n AUSGABE: y=(y 0,,y n-1 )

10 Korrektheit Schritt 1: y 0 = a(ω 1 ) = a 0 *ω 1 0 = a 0 Schritt 2+5.2: Update von ω = ω n k. Schritt 3+4: (y 1g,y 2g,, y n/2g ) = DFT n/2 (a g,ω), d.h. y g k = a g (ω n/2 k) = a g (ω n 2k) (y 1u,y 2u,, y n/2u ) = DFT n/2 (a u,ω), d.h. y u k = a u (ω n/2 k) = a u (ω n 2k) Schritt 5.1: y k = y g k + ω n k*y u k = a g (ω n 2k) + ω n k*a u (ω n 2k) = a(ω n k) für k=0,,n/2-1 Schritt 5.2: y k+n/2 = y g k - ω k n y u k = y g k + ω k+n/2 n y u k = a g (ω n 2k) + ω k+n/2 n a u (ω n 2k) = a g (ω n 2k+n) + ω k+n/2 n a u (ω n 2k+n) = a(ω n k+n/2) für k+n/2=n/2,,n

11 Summationslemma Lemma: Für alle n,i N mit n - i k=0 n-1 (ω ni ) k = 0. n 1 X k=0 (ωn) i k = (ωi n) n 1 ωn i 1 = (ωn n) i 1 ω i n 1 = 1i 1 ω i n 1 =

12 Inverse Diskrete Fourier Transformation Interpolation: Point-value Koeffizientenform Darstellung der DFT als Matrix-Vektor Produkt: ω n ωn 2... ωn n 1 1 ωn 2 ωn 4... ω 2(n 1).. 1 ωn n ωn 2(n 1)... ω n (n 1)(n 1) n a 0 a 1 a 2. a n 1 = y 0 y 1 y 2. y n 1 Vandermonde-Matrix V mit Einträgen v ij = ω n ij für 0 i,j n-1 Man beachte: V = V T Inverse Diskrete Fourier Transformation a = DFT n -1(y, ω) = V -1 y

13 Invertieren von V Satz: Sei V -1 =(v i,j ) für 1 i,j n. Dann gilt v i,j = 1/n*ω n -ij. Zeigen V*V -1 = I n, die (n n)-einheitsmatrix Betrachten (i,j)-eintrag von V*V -1 n-1 k=0 ω ik n * 1/n*ω -kj n = 1/n n-1 k=0 ω ki n * ω -kj n = 1/n n-1 k=0 ω k(i-j) n Für i = j liefert die Summation 1. Fall i j: i-j < n-1, d.h. n - i-j k=0 n-1 (ω n i-j) k = 0 (Summationslemma) Korollar: a = DFT n -1 (y, ω) = 1/n*DFT n (y, ω -1 ). D.h. die inverse diskrete Fouriertransformation lässt sich in Zeit O(n logn) berechnen

14 Multiplizieren von Polynomen a(ω 2n 0),, a(ω 2n 2n 1) b(ω 2n 0),, b(ω 2n 2n 1) Koeffizientenform Gewöhnliche Multiplikation O(n 2 ) a 0,,a n-1 c b 0,,b 0,,c 2n-1 n-1 DFT 2n ((a 0,,a n-1,0,,0), ω) DFT 2n ((b 0,,b n-1,0,,0), ω) O(n logn) Punktweise Multiplikation O(n) Point-value Form 1/(2n)*DFT 2n (c, ω -1 ) O(n logn) c(ω 2n 0),, c(ω 2n 2n 1)