Hochschule Bremerhaven Unterlagen zur Lehrveranstaltung. Regelungstechnik und Simulation [RTS]

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1 Hochschule Bremerhaven Unterlagen zur Lehrveranstaltung Regelungstechnik und Simulation [RTS] Teil : Signale, Systeme und Regelkreis Teil 2: Modellbildung Teil 3: Zeit- und Frequenzbereich Teil 4: Reglerentwurf Revision: V.d (major) Datum: Februar 25 Prof. Dr.-Ing. Kai Müller Hochschule Bremerhaven Institut für Automatisierungs- und Elektrotechnik Ander Karlstadt 8 D Bremerhaven Tel: FAX: E---Mail: kmueller@hs---bremerhaven.de

2 I I Einleitung I.I Umdruck zur Vorlesung Ein Teil der Dokumentation entstand während meiner Lehrtätigkeiten an der FH Wolfenbüttel sowie der Universität Bremen. Das Kerngebiet der Regelungstechnik basiert auf dem Umdruck von meinem geschätzten Kollegen Prof. Dr. Ulrich Konigorski vom Institut für Regelungstechnik und Mechatronik an der Technischen Universität Darmstadt. I.II Regelungstechnik Alle Abläufe in der Natur, Technik oder der Wirtschaft können als Wechselwirkung zwischen Chaos und Ordnung aufgefaßt werden. Die chaotischen Elemente machen Abläufe und Entwicklungen unvorhersehbar. Die ordnenden Elemente lassen sich oft als sogenannte geschlossene Regelkreise darstellen und sind ein Grundprinzip der Natur. Dieser Zusammenhang wurde von Norbert Wiener unter dem Oberbegriff Kybernetik beschrieben[32]. Aus heutiger Sicht hat sich die Kybernetik nicht als eigenständiges Wissenschaftsgebiet etabliert. Vielmehr beschränkt man sich heute überwiegend auf das wichtigste Teilgebiet, die technische Kybernetik oder wie man heute sagt: die Regelungstechnik. Dabei ist zu erwähnen, daß es heute viele Überlappungen mit nicht-technischen Bereichen wie Biologie, Medizin und Wirtschaft gibt, die den umfassenden Anspruch der Kybernetik nachträglich rechtfertigen. Regelkreise, d.h. geschlossenen Wirkungskreise, sind ein Naturprinzip und bestimmen unserleben.sowirdbeispielsweisediekörpertemperaturaufrechtgenau37 Celsius unabhängig von veränderlichen Umgebungstemperaturen gehalten (geregelt). In allen Regelkreisen existiert ein Element, das für die Einhaltung gewünschter oder geforderter Werte sorgt. Dieses Element wird als Regler bezeichnet. Auch wir selbst sind häufig Regler, wenn wir beispielsweise mit einem Auto in einem Baustellenbereich mit konstanter Geschwindigkeit fahren. Schwerpunkt der Regelungstechnik sind natürlich Analyse und Synthese von Regelungen, die auf mechanischen und elektronischen Reglern beruhen. Man verwirklicht Regler heute überwiegend mit elektronischen Analogrechenschaltungen und mit zunehmendem Anteil als Software auf Mikroprozessoren, Mikrocontrollern oder DSPs (digitale Signalprozessoren). Diese Art von Reglern könnte man auffassen als Maschinen, die Maschinen kontrollieren. Fowles, John: The Aristos(nicht-technische Thesensammlung)

3 II Die Gründe für den technischen Einsatz von Regelungen sind sehr vielfältig. Die wichtigsten Argumente seien hier kurz genannt: Viele Anlagen lassen sich ohne Regelung gar nicht betreiben. Beispiele sind moderne Motoren in Kraftfahrzeugen(Lambda-Regelung, Klopfregelung), Geräte der Medizintechnik und Kraftwerke zur Erzeugung elektrischer Energie. Regelungen erhöhen die Sicherheit von Anlagen. Von vielen technischen Anlagen geht eine Betriebsgefahr aus. Mit Hilfe von Regelungen lassen sich häufig gefährdende Größen(Kraft, Drehmoment, Spannung, Druck oder Temperatur) auf ungefährliche Werte beschränken(z.b. Kräfte an Aufzugtüren). In Kraftfahrzeugen erhöhen ABS und ESP die aktive Fahrsicherheit. Regelungen ermöglichen einen automatisierten Betrieb von Anlagen. Eine Regelung kann häufig Arbeitsabläufe mit wesentlich höherer Geschwindigkeit und größerer Genauigkeit durchführen, als das einem menschlichen Bediener möglich ist. Regelungen können auch einen Beitrag zur Humanisierung von Arbeitsplätzen leisten, indem gesundheitsschädliche Arbeiten automatisiert werden (z.b. Lackierungs- und Beschichtungsaufgaben in der Automobilindustrie). Die Regelungstechnik ist ein wichtiges Teilgebiet der Automatisierungstechnik. Die Regelung hat einen direkten Einfluß auf die Produktivität. Fertigungsabläufe lassen sich mit geeigneten Regelungen gegenüber einem menschlichen Bediener erheblich beschleunigen. Dies bedeutet einen Zugewinn an Produktivität. Anlagen mit großer Produktivität lassen ich auch in Ländern mit hohen Lohnkosten, wie der Bundesrepublik Deutschland, mit Gewinn betreiben und sichern damit Arbeitskräfte. Dennoch bedeutet Automatisierung immer auch Wandel, da sich die Zahl der Arbeitskräfte und auch die Anforderungen an ihre Qualifikationen ändern. Regelungen verbessern die Produktqualität. Ein wesentlicher Grund für den Einsatz von Regelungen sind steigende Anforderungen an die Produktqualität. In einem globalen Markt lassen sich relativ teure Produkte nur noch verkaufen, wenn ihre Qualität über der des übrigen Weltmarktes liegt. Dies gilt für die Fertigung mechanischer Produkte wie auch für verfahrenstechnische Erzeugnisse. In allen Fällen ist die Regelungstechnik maßgeblich beteiligt. Der Entwurf leistungsfähiger Regelungen sind Herausforderungen an Ingenieure der Regelungstechnik. Regelungen erhöhen den Komfort. Viele Regelungen dienen im wesentlichen dem Komfort. Aus dem PKW sind uns hierzu temperaturgeregelte Klimaanlagen oder der sogenannte Tempomat bekannt, der ohne Fahrereingriff auf eine konstante Geschwindigkeit regelt. Die Regelungstechnik ist eine junge Wissenschaft. Erst ab etwa 94 entstand die Regelungstechnik als selbständige Disziplin innerhalb der Ingenieurwissenschaften. In einer Periode bis ca. 96 entstand die sogenannte klassische Regelungstechnik, die im wesentlichen Gegenstand der Vorlesung Regelungstechnik I ist. Etwa alle 2 Jahre haben sich in der Regelungstechnik grundlegend neue Entwicklungen vollzogen, die natürlich wiederum Auswirkungen auf die Grundlagenvorlesungen haben.

4 III I.III Überblick über die Vorlesung Regelungstechnik Die heutige Regelungstechnik ist verfahrensorientiert, d.h. es steht nicht eine bestimmte Anwendung im Vordergrund (Prozessorientierung), sondern es werden Verfahren bereitgestellt, mit denen sich regelungstechnische Probleme unabhängig von der jeweiligen Anwendung lösen lassen. Wir betrachten deshalb physikalische Größen wie Temperaturen, Drücke, Positionen, Geschwindigkeiten, Drehzahlen, Spannungen, Ströme usw. ganz allgemein als Signale, die durch Übertragungselemente oder Systeme verändert werden. Die Regelungstechnik befaßt sich also mit Signalen, Systemen und deren Wechselwirkungen. Mit Beispielen wird die Anwendbarkeit der Verfahren auf praktische Aufgabenstellungen gezeigt. Ergänzungen zu diesem Umdruck werden als PDF (Portable Document Format) im Verlauf der Vorlesung zur Verfügung gestellt. Das Lesen bzw. Ausdrucken der Ergänzungen erfordert neben dem frei erhältlichen Acrobat Reader keine weitere Software. Die Bearbeitung der Beispiele lässt sich mit WinFACT[34], Matlab[2] oder Scilab[28] durchführen. I.III.I Ablauf der Vorlesung Die Vorlesung ist wie folgt aufgebaut:

5 IV Regelungstechnik und Simulation Signale, Systeme und Regelkreis Signale Zeitbereich Systeme Modellbildung Ausgleichsvorgänge Systemantworten Signale Laplace-Transformation Frequenzbereich Systeme Ausgleichsvorgänge Systemantworten Frequenzgang Einschleifiger Regelkreis Rückführung der Regelgröße Führungsverhalten Störverhalten Reglertypen Stabilität Wurzelkriterium Bodediagramm Nyquistdiagramm Reglerentwurf Wurzelortskurve Beeinflussung des Kreisfrequenzgangs Gütekriterien empirische Methoden Bild I.I: (Geplanter) Aufbau der Vorlesung Regelungstechnik und Simulation

6 V Die Simulation sowie die numerische Berechnung von Anwendungsbeispielen ist jeweils Bestandteil der einzelnen Abschnitte. Ich wünsche allen Hörern der Veranstaltung Regelungstechnik viel Freude an dem faszinierenden Fachgebiet Regelungstechnik. Bremerhaven, Oktober 29 Kai Müller Tel: (47)

7 VI II Inhalt Signale, Systeme und Regelkreis.... Signale Systeme Signale und Systeme Regelkreis Systemgrenzen....6 Eigenschaften der Temperaturregelung Regelung einer Raumheizung Lehrexperiment: elektrischer Antrieb Geschlossener Kreis(Regelung) Übertragungsverhalten im Zeitbereich Testsignale Rampenfunktion r(t) Impulsfunktion(Dirac-Impuls) δ(t) Übertragung beliebiger Signale Sprungantwort und Impulsantwort Berechnung des Übertragungsverhalten mit der Impulsantwort g(t) (Faltungsintegral) Übungsbeispiel: Faltungsoperation Lösung Fourier-Reihe und Fourier-Transformation Beispiel: Rechteckfunktion Komplexe Fourier-Reihe Fourier-Transformation Existenz der Fourier-Transformation Fourier-Transformierte eines Rechtecksignals Fourier-Transformierte des Dirac-Impulses Bestimmung von Fourier-Transformierten... 37

8 VII 4.7 Übertragung von Signalen im Frequenzbereich Rechenregeln für die Fourier-Transformation Weitere Eigenschaften der Fourier-Transformation Parsevalsches Theorem Übungsbeispiel: Fourier-Reihe und Fourier-Transformierte Fourier-Reihe Fourier-Integral Spektralanalyse einer Messreihe Spektralanalyse einer Messreihe (Diskrete Fourier-Transformation) Diskrete Fourier-Transformation(DFT) Hanning-Fenster Aufgaben Lösungen Analyse eines Messsignals mit FFT Die einseitige Laplace-Transformation Sprungfunktion σ Dirac-Impuls δ Laplace-Transformierte der Exponentialfunktion Korrespondenzen Zeitfunktion <=> Laplace-Transformation Rechenregeln zur Laplace-Transformation Beispiele Übertragung von Signalen Grenzwertsätze für Anfangs- und Endwert der Zeitfunktion Inverse Laplace-Transformation Inverse Laplace-Transformation durch Partialbruchzerlegung Mehrfache Pole Frequenzgang, Bode- und Nyquist-Diagramm Herleitung des Frequenzgangs Beispiel für einen Frequenzgang Bode-Diagramm... 78

9 VIII 6.2 Nyquist-Diagramm(Ortskurve) Pole und Nullstellen Beispiel: Umwandlung in die Pol-Nullstellen-Form Der Einfluss von Polen und Nullstellen auf den Frequenzgang Abhängigkeit des Betrag von den Nullstellen und Polen der Übertragungsfunktion Allpass-Funktionen Übungsbeispiele: Laplace-Transformation Transformation in den Frequenzbereich Lösungen zu Inverse Laplace-Transformation über Residuensatz und Partialbruchzerlegung Lösungen zu Konstruktion von Bode- und Nyquist-Diagrammen Lösungen zu Messung des Frequenzgangs(Identifikation)... Warum Laplace-Transformation?... 4 Reglertypen Heuristische Verfahren Tu-Tg-Methoden(Tu-T-Methoden) Einstellregeln nach Oppelt Einstellregeln nach Chien, Hrones und Reswick(= gebräuchlich) Ziegler-Nichols-Methode... 3 Reglerentwurf über den Phasenabstand... 4 Analytischer Reglerentwurf durch Vergleich mit der Normalform für ein System 2. Ordnung Beispiel : PT-Prozess(Prozess. Ordnung) und I-Regler Beispiel 2: PT2-Prozess(Prozess 2. Ordnung) und P-Regler Regelfläche und Ersatzzeitkonstante Zeitdiskrete Systeme z-transformation... 24

10 IX 5.. Beispiele Abtast- und Halteglied Endliche Folgen Korrespondenztabelle z-transformation Inverse z-transformation Beispiele Übertragung von diskreten Signalen(z-Übertragungsfunktion) Rechenregeln der z-transformation z-übertragungsfunktion und Differenzengleichung Beispiel: rekursive Berechnung der Ausgangsgröße eines diskreten Systems Zusammenhang zwischen kontinuierlicher Übertragungsfunktion und z-übertragungsfunktion Diskrete Zustandsdarstellung Berechnung der Matrizen A und B des diskreten Systems Analytische Berechnung der diskretisierten Zustandsform über den Polynomansatz Bilineare Transformation(Tustin-Transformation) Übungsbeispiele: Z-Transformation Z-Transformierte elementarer Funktionen Lösungen zu Übungsbeispiele: inverse z-transformation Inverse z-transformation Lösungen zu Übungsbeispiele: Diskretisierung kontinuierlicher Systeme Lösungen zu Übungsbeispiele: Diskretisierung einer kontinuierlichen Zustandsdarstellung Lösungen zu Literatur... 6

11 Signale, Systeme und Regelkreis Die Regelungstechnik befasst sich mit Signalen, Systemen und deren Wechselwirkungen in einem geschlossenen Wirkungskreis. Dieser Wirkungskreis wird als Regelkreis bezeichnet, wobei wir hier meist eine technische Einrichtung meinen. Ein Regelkreis wird fast immer künstlich erzeugt, indem ein Prozess um eine sogenannte Rückkopplung oder Rückführung ergänzt wird. Es stellt sich die Frage, warum das Prinzip der Rückführung so außerordentlich bedeutsam und vorteilhaft ist. Der Grund ist darin zu sehen, dass sich mit Hilfe einer Rückführung die Verhalten eines Prozesses in gewünschter Weise verändern lässt. Dieser Sachverhalt kann am Beispiel einer Temperaturregelung bei einer Raumheizung verdeutlicht werden(s. a.[29]). Bild. zeigt das Prinzip einer ungeregelten Raumheizung, wie man sie in älteren Gebäuden gelegentlich noch antrifft. Regelgröße Temperatur θ Q. zu Prozess (Regelstrecke) Q. ab Heizkörper Fenster Stellgröße Ventil Bild.: Raumheizungsanlage EinWärmefluss Q. ab durchdasfensteroderaußenwändeverringertdietemperatur θ des Raumes. Mit dem Ventil kann die Durchflussmenge des Warmwassers und damit der demraumzugeführtewärmefluss Q. zu verändertwerden.dietemperaturbleibtkonstant, wenn für die Wärmeflüsse Q. ab = Q. zu (.) gilt. Gleichzeitig soll die Raumtemperatur θ einen gewünschten Wert annehmen, d.h. man strebt

12 2 θ =θ soll =const. (.2) an. Mit einer konstanten Ventilstellung kann dieses Ziel nicht erreicht werden, da die Raumtemperatur von vielen Einflussfaktoren abhängt(außentemperatur, Temperatur des Heizwassers, Sonneneinstrahlung usw.), die eine Veränderung der Ventilstellung erfordern. Die Anlage in Bild. zeigt eine offene Wirkungskette. Über die Ventilstellung wird zwar die Heizleistung und damit die Raumtemperatur verändert; die Raumtemperatur hat aber nach Bild. keinerlei Auswirkung bzw. Rückwirkung auf die Ventilstellung. Es sind damit folgende Fälle denkbar: Die Ventilstellung ist zu klein, d.h. die Heizleistung ist zu gering, um die gewünschte Temperatur zu erreichen. Als Folge kühlt die Raumtemperatur zu weit ab. Die Ventilstellung bewirkt exakt die richtige Heizleistung, um die richtige Temperatur θ soll einzuhalten. Die Ventilstellung ist zu groß, d.h. die Heizleistung ist höher als erforderlich. Die Raumtemperatur heizt sich über die gewünschte Temperatur hinaus auf. Der mittlere, ideale Fall gilt auch nur so lange, wie sich die Umgebungsbedingungen (Außentemperatur usw.) nicht ändern. Wir erkennen also, dass eine Rückwirkung der Temperatur auf die Ventilstellung sinnvoll sein kann. Damit wird aus der offenen Wirkungskette ein geschlossenen Kreis bzw. eine Regelung. Aus eigener Erfahrung wissen wir, dass wir selbst diese Regelaufgabe übernehmen können. Wir übernehmen dann nach Bild.2 die Funktion von Temperatursensor und Regler. Ist es uns zu warm, schließen wir das Ventil, bei zu tiefen Temperaturen öffnen wir das Ventil und bei der richtigen Temperatur belassen wir das Ventil in seiner Stellung. Der Mensch hat jedoch ein schlecht ausgeprägtes Empfinden für Absolutwerte der Temperatur. Folglich reagiertererst,wenndietemperaturdeutlichzutiefbzw.zuhochist.

13 3 Temperatur θ Q. ab Q. zu Heizkörper Fenster Ventil Bild.2: Raumheizungsanlage mit Mensch als Sensor und Regler Bei einer zu hohen Temperatur wird der Raum überheizt, was einer Verschwendung von Energie gleichkommt, insbesondere wenn die Raumtemperatur durch das Öffnen von Fenstern wirksam abgesenkt wird. Dies ist der Grund, warum sich die Umrüstung auf sogenannte Regelventile nach einer relativ kurzen Zeit amortisiert. Die Struktur der Regelung ist in Bild.3 gezeigt. Sensor Temperatur θ Q. ab θ soll Regler Q. zu Heizkörper Fenster Ventil Bild.3: Raumheizungsanlage mit Regelventil

14 4 Sensor, Regler und Ventil in Bild.3 sind häufig sehr kompakt in einem Gehäuse vereint. Die einzelnen Elemente können aber auch räumlich verteilt angeordnet sein. Dies hat den Vorteil, dass der Temperatursensor an der Stelle angebracht werden kann, an der auch die Temperatur geregelt werden soll. Man erkennt nun den geschlossenen Wirkungskreis (= Regelkreis), da nun eine Auswirkungen der Ventilstellung(= Heizleistung) über die Temperatur, den Sensor, das Regelgerät(= Regler) wieder auf die Ventilstellung zurückwirkt(bild.4). Temperatur θ Regler θ soll Sensor Q. ab Heizleistung Ventilstellung Bild.4: Regelkreis Eine wichtige Eigenschaft des geschlossenen Regelkreises erkennt man an Bild.4: Für Signale im geschlossenen Regelkreis existiert kein einfaches Ursache-Wirkung- Prinzip, da alle Signale über den geschlossenen Kreis aus sich selbst zurückwirken. Charakteristisch für die Signale der meisten Regelungen ist folgende Aussage: Das ursprüngliche Eingangssignal wird durch ein neues Signal ersetzt, das technisch viel besser nutzbar ist. Dieses Signal wird als Sollwert bezeichnet. Das hört sich recht abstrakt an, ist aber in unserem Beispiel sehr einfach. Das ursprünglich Eingangssignal war die Ventilstellung, mit der eine problematische Einstellung der Temperatur verbunden war. Das neue Signal ist nun der sogenannte Temperatur-Sollwert. Damit lässt sich--- je nach Ausführung der Regelung--- die Temperatur bis auf Zehntelgrad genau konstant einstellen. Die Temperaturregelung leistet damit einen Beitrag zum Komfort und zur Energieeinsparung, da eine Überheizung vermieden wird. Ein wesentlicher Vorteil der Regelung gegenüber einer ungeregelten Lösung ist die Fähigkeit, auf externe Signale zu reagieren. Eine Regelung kann unerwünschte Auswirkungen externer Signale vollständig unterdrücken.

15 5 Die externen Signale bezeichnet man auch als Störgrößen. Bei der Temperaturregelung sind solche Signale beispielsweise eine wechselnde Sonneneinstrahlung oder auch schwankende Außentemperaturen. Die Temperaturregelung kann also auch unter diesen Bedingungen für eine konstante Raumtemperatur sorgen. Anlagen ohne geschlossen Wirkungskreis bezeichnet man auch als Steuerungen. Die Struktur nach Bild. ist somit ist Steuerung. Eine Steuerung ist oft kostengünstiger als eine Regelung. Die Vorteile einer Regelung rechtfertigen jedoch oft die Mehrkosten. Sofern ein Rechner zur Steuerung einer Anlage vorhanden ist, ist die Umstellung von einer Steuerung auf eine Regelung häufig nur eine Frage der Software. Die Regelungstechnik ist eine methodisch orientierte Wissenschaft, d.h. die Verfahren und Lösungen sind weitgehend unabhängig vom jeweiligen Anwendungsfall. Wir wollen deshalb in die Begriffe einführen und diese auf die Temperaturregelung anwenden.. Signale Signale in der Regelungstechnik beschreiben Energien, Material, Informationen oder anderen Größen. Signale können verschiedener Natur sein: Elektrische Signale: Strom, Spannung, Induktion, Feldstärke usw. Mechanische Signale: Druck, Massen- oder Volumenströme, Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, Drehmoment, Winkel usw. Verschiedene Signale wie Temperaturen, Frequenzen, Leistungen usw. Man beschreibt die Zusammenhänge zwischen Signalen und Systemen mit Hilfe von regelungstechnischen Blockschaltbildern. Diese Blockschaltbilder sind Graphen mit Knoten undkanten.diesignalebildendiekantendesgraphenundwerdenalsliniemiteinem Pfeil dargestellt, der die Wirkungsrichtung angibt. u Bild.5: Darstellung von Signalen in Blockschaltbildern Die Bezeichnung des Signals wird an die Linie geschrieben. Nicht alle Signale müssen benannt werden; in jedem Fall sollten jedoch die Ein- und Ausgangssignale bezeichnet werden. Für alle arithmetischen Operationen zwischen Signalen existieren Symbole. Die häufigsten Fälle sind die Addition bzw. die Subtraktion.

16 6 u y x e =w x y =u +d w --- e d Bild.6: Addition und Subtraktion von Signalen Die Anordnung der Symbole ist völlig frei und sollte möglichst übersichtlich gewählt werden(z.b. indem viele Überkreuzungen vermieden werden). u y x e =wx y = u d w e d Bild.7: Division und Multiplikation von Signalen Division und Multiplikation von Signalen ist in Bild.7 gezeigt. Bei der Division ist zu beachten, dass der Divisor stets unten eingezeichnet werden sollte, um ein eindeutiges Ergebnis zu gewährleisten. Sehr häufig treten Signalverzweigungen auf, die durch einen Lötpunkt symbolisiert werden. u u u w x x w keine Verbindung Bild.8: Verzweigung und Kreuzung von Signalen.2 Systeme Die zweite wichtige Gruppe in regelungstechnischen Blockschaltbildern sind Systeme, deren Definition von Unbehauen[29] übernommen werden soll: Ein dynamisches System stellt eine Funktionseinheit dar zur Verarbeitung und Übertragung von Signalen, wobei die Systemeingangsgrößen als Ursache und die Systemausgangsgrößen als deren zeitliche Auswirkung zueinander in Relation gebracht werden. Unter System wollen wir immer ein sogenanntes dynamisches System verstehen, das eine zeitliche Auswirkung bei der Übertragung von Signalen aufweist. Als Beispiel sei der Ladevorgang eines Kondensators nach Bild.9 gezeigt.

17 7 i R u C u c Bild.9: Ladevorgang eines Kondensators(dynamisches System) Für eine sprungförmige Änderung der Spannung u erhält man einen Verlauf der Spannung u c gemäßbild...2 Spannungen u u c Zeit [ms] Bild.: Ein-/Ausgangsspannungen der Widerstands-Kondensator-Schaltung Wiemanerkennt,unterscheidetsichderzeitlicheVerlaufderAusgangsspannung u c am Kondensator von der Eingangsspannung u. Dynamische Systeme kennzeichnet man in einem regelungstechnischen Blockschaltbild durch Rechtecke. Zur Kennzeichnung des Systems hat sich keine einheitliche Darstellung durchgesetzt. Üblich sind Symbole oder Texte innerhalb der Rechtecke(Bild.). dynamisches System Bild.: Symbol für Systeme.3 Signale und Systeme Mit den bisher bekannten Symbolen für Blockschaltbilder können wir nun das Blockschaltbild konstruieren, das das dynamische Verhalten der Widerstands-Kondensator-Schaltung beschreibt.

18 8 u R C u c Bild.2: Blockschaltbild für die Widerstands-Kondensator-Schaltung Obwohl es sich bei der Raumheizung (Bild.) um ein ganz anderes System mit physikalisch völlig unterschiedlichen Ein- und Ausgangsgrößen handelt, ist das dynamische Verhalten ähnlich. Würde man das Ventil um einen bestimmten Betrag öffnen, würde man einenähnlichenverlauffürdietemperaturbeobachtenwiediespannung u c inbild.. Die Zeitachse wäre dann natürlich ganz anders skaliert. Ventilstellung Raumheizung Temperatur θ Bild.3: Blockschaltbild für die Raumheizung In Bild.3 ist der ungeregelte Fall dargestellt. Das zu regelnde, dynamische System bezeichnet man als Regelstrecke oder Prozess. Die Bilder.2 und.3 zeigen also Regelstrecken bzw. Prozesse. Das Blockschaltbild eines Prozesses kann natürlich viel komplizierter aussehen als die beiden obigen Beispiele. Wird das Blockschaltbild eines Prozesses um die Regeleinrichtung erweitert, so erhält man den Regelkreis..4 Regelkreis Der Regler ist im allgemeinen Fall auch ein dynamisches System. Somit besteht unser Regelkreis aus den Systemen Prozess und Regler und den Signalen Temperatur θ, Temperatur-Sollwert θ soll, Ventilstellung (Öffnungswinkel α) sowie dem Wärmestrom Q. ab. DervonderHeizungabgegebeneWärmestrom Q. zu isteinedirekte Folge des Ventil-Öffnungswinkels α und muss deshalb nicht extra im Blockschaltbild aufgeführt werden. Q. ab θ soll Regler α Prozess θ Bild.4: Blockschaltbild der Temperaturregelung

19 9 Man verwendet häufig --- wie in Bild die Formelzeichen der Signale anstelle der Signalbezeichnungen, um Platz zu sparen. Diejenige Größe, die man gezielt mit dem Regler beeinflussen möchte, bezeichnet man als Regelgröße oder Istwert. In unserem Beispiel ist dies die Temperatur θ. In der überwiegenden Zahl der Regelungen wird lediglich die Differenz von Sollwert und Istwert verarbeitet(bild.5). Sollwert Regelabweichung --- Regelabweichung = Sollwert --- Istwert Istwert Bild.5: Bildung der Regelabweichung Das entstehende neue Signal bezeichnet man als Regelabweichung oder auch als Regelfehler. Aufgabe einer Regelung ist es, den Istwert möglichst gleich dem Sollwert zu halten oder den Istwert dem Sollwert bestmöglich nachzuführen. Dies entspricht dem Bestreben, die Regelabweichung zu minimieren. Auch viele Temperaturregelungen verwenden die Differenz zwischen Sollwert und Istwert. Das entsprechende Blockschaltbild.6 zeigt deshalb eine typische Temperaturregelung. [neuer Eingang] [alter Eingang] Q. ab Sollwert =θ soll --- Regelabw. Regler α Prozess θ Istwert =θ Bild.6: Blockschaltbild der Temperaturregelung Die einer Regelung zugrunde liegenden Strukturen wiederholen sich auch bei unterschiedlichsten Anwendungen. Zur Entwicklung von Verfahren der Regelungstechnik ist es folglich sinnvoll, sich von bestimmten Anwendungen zu lösen und eine allgemeine Beschreibungsform zu verwenden. Die Bezeichnungen für Elemente einer Regelung sind in der DIN festgelegt. Diese Norm muss leider als veraltet angesehen werden, da sie keine konfliktfreie Bezeichnung aller Größen ermöglicht und folglich in regelungstechnischen Veröffentlichen nicht beachtetwird.wirkönnenunsjedochzumgroßenteilandiesenormanlehnen,daim

20 Rahmen dieser Grundlagenvorlesung keine unüberwindlichen Konflikte in den Symbolen auftreten. Ein allgemeiner Regelkreis mit regelungstechnischen Symbolen nach Bild.7 kann leicht auf viele praktische Probleme übertragen werden. Die regelungstechnischen Methoden sollen anhand dieser Blockschaltbilder entwickelt werden. z w --- x d Regler F R Prozess F S x Bild.7: Regelungstechnische Bezeichnungen NeuindieserDarstellungistdasSignal z zwischenregler F R undprozess F S. Dieses Signal ist häufig vorhanden und wird als Störgröße bezeichnet. Da das Ziel einer Regelung darinbesteht,denregelfehler x d (=Sollwert w---istwert x)zuminimieren,bewirktdas Signal z eine Störung desidealzustandes x=w(bzw. x d =). DasSignal Q. ab in Bild.6 ist eine solche Störgröße. Bei jedem Blockschaltbild stellt sich die Frage, wie detailliert die Darstellung erfolgen soll. Ein komplizierter Prozess kann aus vielen Teilprozessen bestehen, die sich alle in einem Blockschaltbild darstellen lassen. Es bestehen keine Richtlinien, mit welchem Detaillierungsgrad ein Blockschaltbild zu zeichnen ist. Es ist immer möglich, mehrere dynamische Systeme zu einem neuen System zusammenzufassen, wenn es der Übersichtlichkeit dient. Ganz ähnlich geht man bei elektrischen Schaltplänen vor, bei denen ICs oder Baugruppen auch nicht mehr auf der Transistorebene gezeichnet werden. Ein Blockschaltbild mit einem typischen Detaillierungsgrad mit gebräuchlichen regelungstechnischen Bezeichnungen zeigt das Bild.8. z w --- x d Regler y x F S F S2 F R Prozess x m Messglied F M Bild.8: Typischer Regelkreis

21 DieBezeichnungenlehnensich(nichtvollständig)andieDIN9226anundsindinder folgenden Tabelle aufgeführt. Symbol Bedeutung Beschreibung x Regelgröße zu regelnde Größe w Sollwert Wert, den die Regelgröße x annehmen soll y Stellgröße Ausgangsgröße des Reglers; häufig auch Eingangsgröße des Prozesses x d Regelfehler (Regeldifferenz) Differenz von Sollwert w minus Istwert x (x d = w--- x) x m Messwert AusgangsgrößedesMessgliedes,fallsdieRegelgröße x erst durch ein Messglied, das selbst wieder ein dynamisches System bildet, zugänglich ist. z Störgröße externes Signal, das auf den Regelkreis einwirkt. F S F S2 Teilsystem des Prozesses Teilsystem2 des Prozesses In dem Blockschaltbild.8 wird angenommen, dass derprozessauszweiteilsystemenbesteht. F S ist das erste Teilsystem. Zweites Teilsystem des Prozesses. Es wird angenommen, dass die Störgröße nur auf des Teilsystem F S2 wirkt. F M Messglied DerRegleristeininformationsverarbeitendes Element, das meist Spannungen oder digitale Informationen benötigt. In dem Messglied werden alle dynamischen Effekte beschrieben, die bei der Umwandlung des Messwerts in das erforderliche Format für den Regler auftreten(z.b. Umsetzung von Druck in Spannung, A/D-Umsetzung). Das ideale Messglied bewirkt eine verzögerungslose und betragsgenaue Umsetzung des Messwerts. In diesem Fall wird das Messglied nicht eingezeichnet. F R Regler DerRegleristebenfallseindynamischesSystem, dassausdemregelfehler x d diestellgröße y erzeugt..5 Systemgrenzen Ein Blockschaltbild ist immer eine Abstraktion und eine Vereinfachung der Wirklichkeit. Wir betrachten den Prozess und auch den Regelkreis als ein dynamisches System, das ausschließlich über die Ein-/Ausgangssignale mit seiner Umwelt in Wechselwirkung steht. Weiterhin setzen wir voraus, dass die Ein- und Ausgangssignale ausschließlich über den Prozess bzw. den Regelkreis in Verbindung stehen.

22 2 Für technische Systeme treffen diese Annahmen häufig zu; für biologische und soziale Regelsysteme ist es aufgrund vieler Wechselwirkungen deutlich schwieriger, alle Einflussgrößen vollständig zu erfassen. z w x d --- Regler y x F S F S2 F R Prozess x m Messglied F M Systemgrenze Bild.9: Schnittstellen des Regelkreises zur Umwelt Wir müssen also bei der Beschreibungen von Systemen wie in Bild.9 darauf achten, dass mit den Signalen w und z alle wesentlichen Einflussgrößen erfasst werden. Da viele Anlagen ihre Funktionalität erst durch eine Regelung erhalten, wird zunehmend auch schon beim Entwurf der Anlage darauf geachtet, dass diese Voraussetzungen gut erfüllt werden. Dies betrifft die Anzahl und Positionen der Sensoren, die Wahl günstiger Stellgrößen sowie die Schaffung klarer Schnittstellen zur Umwelt und eine weitgehende Isolation von Umwelteinflüssen. Diese Eigenschaften fasst man unter dem Begriff Regelbarkeit zusammen..6 Eigenschaften der Temperaturregelung Die folgenden Diagramme zeigen gerechnete Verläufe von Temperatur und Ventilstellung im geregelten Betrieb. Aus regelungstechnischer Sicht stellt diese Regelung nicht die technisch optimale Lösung dar. Es wurde ein Typ von Regler verwendet, der häufig für einfache Temperaturregelungen eingesetzt wird. Die Werte werden normiert dargestellt, d.h. die Werte sind auf einen Nennwert oder Maximalwert bezogen. Der Wert entspricht bei der Temperatur dem Sollwert und bei der Ventilstellung dem maximalen Wert(Ventil ist voll geöffnet). Der Wert entspricht in Bild.2 der Temperatur des Raumes bei ausgeschalteter Heizung und in Bild.2 bedeutet der Wert ein vollständig geschlossenes Ventil.

23 3 Temperatur Zeit [Minuten] Bild.2: Temperaturverlauf (normierte Temperatur) Ventilstellung Zeit [Minuten] Bild.2: Verlauf der Ventilstellung (normierte Ventilstellung) Am Anfang steht ein Aufheizvorgang des Raumes. Mit vollständig geöffneten Ventil erhöht sich die Temperatur bis kurz vor dem Erreichen der gewünschten Temperatur. Dann erfolgt eine starke Verringerung der Ventilstellung und damit der Heizleistung. Dennoch steigt die Temperatur kurzfristig ein wenig über die Solltemperatur an. Dies wäre regelungstechnisch vermeidbar, ist aber eine spezifische Eigenschaft des hier verwendeten Reglers. Nach ca. 2 Minuten ist der Aufheizvorgang abgeschlossen und beide Größen nehmen konstante Werte an. ZumZeitpunkt t=3min.verringertsichderwärmefluss Q. ab,beispielsweiseindemdie Sonneneinstrahlung zunimmt. Ohne Regelung würde die Temperatur deutlich zunehmen. Man erkennt, dass die Temperatur nur um einen geringen Betrag zunimmt, da die Heizleistung über die Ventilstellung sofort zurückgenommen wird. Nach etwa Minuten hat sich wieder ein stationärer Zustand eingestellt, d.h. Ventilstellung und Temperatur haben konstante Werte angenommen. Mit einer hochwertigeren Regelung wäre die geringfügige Erhöhung der Temperatur vermeidbar gewesen.

24 4 Lab#:Heizung.7 Regelung einer Raumheizung Das folgende Bild zeigt das Prinzip einer Raumheizung aus Heizkörper, Raumluft und Umgebungstemperatur. q T VL T H α Heizkörper T R Raum T U Umgebung Bild.22: Prinzip einer Raumheizung Aus der Energieerhaltung folgt, dass die innere Energie des Heizkörpers sich aus der Differenz von zugeführter Wärmeleistung minus der abgeführten Wärmeleistung ändert du H dt =cp W T VL qα C HR TH T R. (.3) Dabei ist die innere Energie des Heizkörpers U H =V H cp W T H. (.4) Die Änderung der inneren Energie des Raumes ist

25 5 du R dt = C HR TH T R CRU TR T U. (.5) Die innere Energie des Raumes ist entsprechend U R = L V R cp L T R. (.6) Fasst man alle Konstanten zusammen. so lässt sich ein System von Differentialgleichungen kompakt beschreiben dt H dt dt R dt = k α k 2 TH T R, (.7) = k 2 TH T R k3 TR T U. (.8) Erzeugen Sie ein m-file, dass die Konstanten wie folgt initialisiert: % heizung_init: Konstanten der Raumheizung k = ; k2 =.4; k3 =.; disp( Danke, das genuegt. ); Setzen Sie die Differentialgleichungen als Simulink-Modell um. Die Anfangswerte sollen folgende Werte annehmen: T H = 2 C T R = 2 C T U = C, nach6minuten5 C Die Simulationsdauer beträgt 5 Minuten. SimulierenSiedas System mit α = und α =.8. Ergänzen Sie das System durch einen Proportional-Regler mit der Verstärkung und einer Begrenzung von gemäß folgendem Ausschnitt. DerSollwertsollsichvon 2 Cauf 25 Cändern.AnalysierenSiedieErgebnisse..8 Lehrexperiment: elektrischerantrieb Geregelte elektrische Antriebe sind häufig Bestandteil industrieller Anlagen(Roboter, Werkzeugmaschinen, Förderanlagen usw.). Ein elektrischer Antrieb kann als System mit

26 6 einem Ausgangssignal(Drehzahl) und zwei Eingangssignalen(Drehmomenteingang und Lastmoment) aufgefasst werden(bild.23). Lastmoment Eingangssignale Drehmoment Ausgangssignal Motor y Leistungsverstärker --- n Drehzahl Regelstrecke/ Prozess Bild.23: System elektrischer Antrieb mit Ein- und Ausgangssignalen (offener Kreis = Steuerung) Das Eingangssignal y bewirkt über einen Leistungsverstärker ein Antriebsdrehmoment. Die Differenz zwischen Antriebsdrehmoment und Lastmoment beschleunigt den Motor, d.h. die Motordrehzahl ändert sich. Versuche zur Steuerung(offener Kreis). Messung des Drehzahlverlaufs bei konstantem Eingangssignal y. 2. Messung des Drehzahlverlaufs bei Änderung des Lastmomentes(Bremsung des Motors).8. Geschlossener Kreis(Regelung) Führt man die Drehzahl des Motors über einen Regler auf den Eingang der Strecke zurück, erhält man eine Regelung(Bild.24). Mit dem Aufbau werden wir sowohl prinzipielle Eigenschaften des geschlossenen Kreises als auch unterschiedliche Regelalgorithmen untersuchen. Der Regler ist in diesem Fall als Rechner Rechner ausgeführt, um leicht Regelalgorithmen ändern zu können und um zeitlich Verläufe leicht ausgeben zu können. Regelungen lassen sich mit Mikrocontrollern, DSPs oder auch als Analogschaltung verwirklichen. Versuche zur Regelung(geschlossener Kreis). Untersuchung des Drehzahlverlaufs bei Drehzahländerungen. 2. Messung der Stellgröße bei Drehzahländerungen. 3. Untersuchung der Abhängigkeiten von Drehzahl und Stellgröße bei unterschiedlichen Lastmomenten.

27 7 Stellgröße Drehmoment Störgröße Motor n soll --- D A y Regelalgorithmus Leistungsverstärker --- D A n n Drehzahl Regler(Rechner) Regelstrecke/ Prozess Regelgröße Bild.24: Geregelter elektrischer Antrieb (= geschlossener Kreis)

28 8 2 Übertragungsverhalten im Zeitbereich Bisher wurden die Signale und Systeme als Funktionen der Zeit t beschrieben. Im Zeitbereich kann das Übertragungsverhalten für beliebige Eingangssignale mit Hilfe des sogenannten Faltungsintegrals beschrieben werden. Im weiteren Verlauf der Veranstaltung werden wir sehen, dass in vielen Fällen eine Beschreibung im sogenannten Frequenzbereich vorteilhafter ist. Zunächst wird das Übertragungsverhalten im Zeitbereich behandelt. 2. Testsignale Das Übertragungsverhalten wird häufig mit bestimmten Testfunktionen analysiert. Eine wichtige Signalform ist die Sprungfunktion σ(t) = für t < t. (.9) Die Sprungfunktion kann zeitlich verschoben werden, um den Anfang eines Signal anzugeben. σ(t) σ(t---t ) t T t σ(t+t 2 ) T 2 t Bild.25: Zeitliche Verschiebung von Sprungfunktionen Negative Zeiten bedeuten einen Verschiebung hin zu späteren Zeiten; eine positive Zeit verschiebt die Funktion nach links. Die Sprungfunktion besitzt eine Ausblendeigenschaft, d.h. man kann damit beispielsweiseeinensinusbeschreiben,dererstzumzeitpunkt T beginnt. u =σ(t T ) sin(ωt). (.) Weitere wichtige Testsignale folgen aus Integration und Differentiation der Sprungfunktion. Die Differentiation der Sprungfunktion existiert jedoch nur als Grenzübergang.

29 9 2.. Rampenfunktion r(t) Die Rampenfunktion ist das Integral der Sprungfunktion r(t) = t σ(τ)dτ = t dτ = t, t. (.) r(t) t Bild.26: Rampenfunktion r(t) 2..2 Impulsfunktion(Dirac-Impuls) δ(t) Die Impulsfunktion ist besonders wichtig, da in ihr sämtliche Frequenzen enthalten sind (konstante Leistungsdichtespektrum, s.a. Abschnitt über Fourier-Transformation). Der Impuls kannformaldurcheinengrenzübergang T fürdieableitungderfolgenden modifizierten Sprungantwort hergeleitet werden. r(t) T t Bild.27: Modifizierte Sprungfunktion DieAbleitungderFunktioninBild.27istinBild gezeigt.

30 2 (t) T Bild.28: Impuls (t) T t Wird T verkleinert,sowirddiefunktion (t) immerschmalerundhöher.diefläche (also das Integral) bleibt dabei immer. Es entsteht schließlich für lim T (t) =δ(t). (.2) Der Dirac-Impuls ist somit eine unendlich hohe, unendlich schmale Funktion, die nur für t= vonnullverschiedenist δ(t):= fürt = t. (.3) Gleichzeitig gilt σ(t) = δ(t)dt. (.4) 2.2 Übertragung beliebiger Signale In diesem Abschnitt wird beschrieben, wie Eingang und Ausgang eines Systems im Zeitbereich zusammenhängen (Bild 2.). Im Gegensatz zum Zeitbereich wird in der Regelungstechnik häufig eine Beschreibung von Signalen im Frequenzbereich mit Hilfe der sogenannten Laplace-Transformation(s. Kapitel 3) verwendet. Beide Darstellungsformen sind gleichwertig und haben ihre spezifischen Vor- und Nachteile. Bei der Behandlung von Systemen wollen wir uns auf lineare Systeme beschränken. Bei einem linearen System hängt das Übertragungsverhalten nur von zeitlichen Verlauf und nicht von der Amplitude ab. In der Differentialgleichung dürfen nur Ableitungen der Ein- und Ausgangsgröße auftreten. Produkte und Potenzen der Einbzw. Ausgangsgröße sind nicht zulässig. Die Koeffizienten der Differentialgleichung werden als konstant angenommen.

31 2 u System G y Bild 2.: Eingangssignal u, Ausgangssignal u und dynamisches System G Sehr häufig wird das Verhalten eines dynamischen Systems anhand der zeitlichen Verläufe von Ein- und Ausgangssignalen beurteilt. In diesem Fall kann eine Darstellung im Zeitbereich vorteilhaft sein, da sich hier direkt der zeitliche Verlauf des Ausgangssignals x berechnen läßt. Der Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangsgröße im Zeitbereich wird durch die Differentialgleichung des Prozesses beschrieben. Die Lösung der Differentialgleichung, insbesondere die inhomogene Lösung bei komplizierten Anregungsfunktionen, ist jedoch recht unhandlich. Hinzu kommt natürlich noch die Anpassung an die Anfangsbedingungen. Zur praktischen Berechnung der Ausgangsgröße aus Eingangssignal und Prozeß eignet sich bei beliebigen Eingangssignalen die Faltungsoperation. 2.3 Sprungantwort und Impulsantwort Die Lösung der System-Differentialgleichung für beliebige Anregungssignale ist sehr aufwendig. Die Reaktion eines Systems auf die Sprungfunktion σ(t) oder die Impulsfunktion(Dirac-Impuls) δ(t) läßt sich dagegen oft leichter berechnen. Die Reaktion eines Systems auf die Sprungfunktion σ(t) bezeichnet man als Sprungantwort w(t). Die Reaktion eines Systems auf die Impulsfunktion δ(t) bezeichnet man als Impulsantwort g(t). Wir wollen nun herleiten, wie man aus der Kenntnis der Impulsantwort g(t) eines Systems die Ausgangsgröße für eine beliebige Anregung berechnen kann. Zuvor müssen wir allerdings klären, wie wir die Impulsantwort bestimmen können. Es handelt sich bei der Impulsfunktion ja um ein synthetisches Signal; wir könnten also die Impulsantwort nicht direkt messen. Die Impulsfunktion kann nicht verwirklicht werden, da ihr Energieinhalt unendlich ist. Energie ist das zeitliche Integral über die Leistung P E = P(t)dt. (2.)

32 22 Die Leistung, die mit einem Signal verbunden sein kann, ist oft proportional zum Quadrat dessignals.beispielsweiseistdieineinemwiderstandumgesetzteleistung Ri 2 (t)bzw. u 2 (t) R. InbeidenFällenistdieLeistungalsoProportionalzumQuadratdesSignals. Die Impulsfunktion lässt sich auch über die Differenz zweier Sprungfunktionen definieren δ(t) = lim T T σ(t) σ(t T ). (2.2) Nun bestimmen wir die Leistung E = lim T T σ(t) σ(t T ) 2 dt, (2.3) die dieses Signal enthält. Da die Impulsfunktion nur im Intervall...T ungleich ist, vereinfacht sich das Integral zu T E = lim T T 2 dt = lim T T =. (2.4) Der Energieinhalt der Impulsfunktion ist also unendlich. Funktionen dieser Art lassen sich natürlich technisch nicht erzeugen. Wir können die Eigenschaft σ(t) = δ(t)dt (2.5) jedoch nutzen, um mit der Impulsfunktion zu rechnen. Wir können die Impulsfunktion δ(t) ebenfalls als Ableitung der Sprungfunktion σ(t) auffassen, auch wenn diese Ableitung im mathematischen Sinne nicht existiert. Die Operationen Integration und Differentiation können auch von Systemen ausgeführt werden. Wir wir später sehen werden, existieren in Natur und Technik viele Beispiele von Systemen, die diese Eigenschaft haben. In Form systemtechnischer Blockschaltbilder stellen sich die Zusammenhänge wie in den Bildern 2.2 und 2.3 gezeigt dar. δ(t) Integrator σ(t) Bild 2.2: Integrator

33 23 σ(t) Differenzierer δ(t) Bild 2.3: Differenzierer Integrator und Differenzierer sind lineare Systeme. Kennzeichnend für lineare Systeme ist folgende wichtige Eigenschaft: Schaltet man mehrere lineare Systeme hintereinander, so hängt das dynamische Verhalten des Gesamtsystems nicht von der Reihenfolge ab, mit der die Einzelsysteme hintereinandergeschaltet werden. Diese Eigenschaft gilt für beliebige lineare Systeme, da Integration und Differentiation ebenfalls lineare Funktionen sind, z.b. gilt f(x) = cx, df dx = f dx dt, f(x)dx = f xdx. (.5) Integration und Differentiation sind Operationen, die sich gegenseitig aufheben. Da die Reihenfolge am Ergebnis nichts ändert, sind also die folgenden Beziehungen richtig. δ(t) Integrator σ(t) Differenzierer δ(t) Bild 2.4: Hintereinanderschaltung von Integrator und Differenzierer σ(t) Differenzierer δ(t) Integrator s(t) Bild 2.5: Hintereinanderschaltung von Differenzierer und Integrator Es erscheint wichtig anzumerken, daß es technisch nicht möglich ist, einen idealen Differenzierer zu verwirklichen, da wir natürlich die Impulsfunktion δ(t) nicht erzeugen können. Diese Eigenschaft linearer Systeme, daß das Gesamtsystem nicht von der Reihenfolge der Hintereinanderschaltung der Einzelsystem abhängt, ermöglicht uns eine einfache Berechnung der Impulsantwort eines Systems aus der Sprungantwort. Eine Sprungantwort, also das Ausgangssignal eines Systems bei Anregung durch s(t) läßt sich meist einfach messen oder berechnen. Betrachten wir ein mechanisches System, bei dem ein Fahrzeug mit konstanter Kraft angeschoben wird.

34 24 v(t) F a m F R =c R v Bild 2.6: Bewegung eines Fahrzeugs Angetrieben werde das Fahrzeug mit der Masse m durch die Antriebskraft F a = F a =const., die Reibkraft sei die Kraft F R, die natürlich der Antriebskraft entgegenwirkt. Die Reibkraft wird als proportional zur Geschwindigkeit angekommen. Die Trägheitskraft F T wirkt der Bewegung entgegen. Wir erhalten damit aus dem Kräftegleichgewicht die Bewegungsgleichung F = F a F R F T = F a c R v m dv dt =. (2.6) Aufgelöst nach der Ableitung von v erhält man dv dt = m F a c R v. (2.7) Die Lösung der DGL nach der Methode der Trennung der Veränderlichen lautet dv F a c R v = m dt +C. (2.8) Die unbestimmte Integration führt auf die Stammfunktionen c R ln(f a c R v) = t m +C. (2.9) Bilden wir Exponentialfunktion von beiden Seiten, so folgt F a c R v = e c R m t c RC = C2 e c R m t. (2.) Auflösen von(2.) nach v(t) führt mit der Anfangsbedingung v(t=) = auf v(t) = F a c R e c R m t. (2.) DasSignal v(t) in(2.)istdiesprungantwort w s (t), dawirfürdieantriebskraft F a die Sprungfunktion annehmen können. Den Zusammenhang zeigt Bild 2.7.

35 25 δ(t) Integrator σ(t) =F a (t) Fahrzeug v(t) =w(t) Bild 2.7: Sprungantwort Um die Impulsantwort zu erhalten, müßte eine Anordnung gemäß Bild 2.8 gewählt werden. δ(t) Fahrzeug v(t) =g(t) Bild 2.8: Impulsantwort Nach Bild 2.9 ist die Sprungantwort identisch mit folgendem Blockschaltbild. w(t) σ(t) Differenzierer δ(t) Integrator σ(t) Fahrzeug v(t) =w(t) w s (t) Bild 2.9: AlternativeFormenderSprungantwort w s (t) Da das Übertragungsverhalten des Gesamtsystems nicht von der Reihenfolge der einzelnen Systeme abhängt, zeigt das folgende System das gleiche Verhalten. w(t) σ(t) Differenzierer δ(t) Fahrzeug g(t) Integrator v(t) =w(t) g(t) Bild 2.: Zusammenhang zwischen Impulsantwort g(t) und Sprungantwort w(t) In Bild 2. wird nun der Prozeß mit der Impulsfunktion angeregt. Die Ausgangsgröße ist folglich die Impulsantwort g(t). Man erkennt nun den einfachen Zusammenhang zwischen der Impulsantwort g(t) und der Sprungantwort w(t). Die Sprungantwort w(t) ist das Integral der Impulsantwort g(t). Die Impulsantwort kann aus der Sprungantwort durch Differentiation berechnet werden.

36 26 Nun ist es also einfach möglich, aus der Sprungantwort des Fahrzeugprozesses(2.7) die Impulsantwort zu berechnen g(t) = d w(t) dt Die Impulsantwort ist in Bild 2. gezeigt. = F a m e c R m t. (2.2) g(t) m Zeit t c R Bild 2.: Impulsantwort des Fahrzeugprozesses 2.4 Berechnung des Übertragungsverhalten mit der Impulsantwortg(t) (Faltungsintegral) Bei bekannter Impulsantwort kann die Ausgangsgröße eines Systems für einen beliebigen Verlauf der Eingangsgröße bestimmt werden. Zur Herleitung dieser Beziehung wollen wir von einer Impulsfunktion mit der endlichen Breite T ausgehen. Diese Funktion soll mit δ T (t) bezeichnetwerden. δ T (t) T T Zeit t Bild 2.2: ModifizierteImpulsfunktion δ T (t) mitendlicherbreite T

37 27 Wir wollen annehmen, daß wir die Antwortfunktion auf δ T (t) kennen. Diese Impulsantwort wollenwirmit g T (t) bezeichnen.weiterhinwirddieumdiezeit kt (k { })verschobenenimpulsfunktionen δ T (t---kt) benötigt. Wir beschreiben einen beliebigen Verlauf des Eingangssignals u(t) näherungsweise durch die Stufenfunktion u T (t) := T k= u(kt)δ T (t kt), (2.3) diemithilfederzeitverschobenenimpulsfunktionen δ T (t) gebildetwird(bild2.3). u(t) u T (t) u(4t)δ T (t---4t) u T (t) u(t) T t Zeit t Bild 2.3: Zusammenhangzwischen u(t) und u T (t) Es ergibt sich eine Stufenfunktion, die für T gegen die Originalfunktion konvergiert. Um den Verlauf des Ausgangs zu bestimmen, können wir die Reaktion jedes Summanden in (2.3) bestimmen und die Ergebnisse wieder addieren. Diese Vorgehensweise (Überlagerung) ist bei linearen Systemen zulässig. Mit anderen Worten: wir berechnen die Reaktion des Systems auf jeden einzelnen Streifen in Bild 2.3 und addieren die Ausgangssignale. WennwirdesAusgangssignalzumZeitpunkt t berechnenwollen,brauchenwirnatürlich nurdie Streifen berücksichtigen,dievordieserzeit t liegen.esistdahernureine endliche Summe zu bilden. Wenn wir das Ausgangssignal zum in Bild (2.3) eingezeichnetenzeitpunkt t wissenmöchten,somüssenwirdieauswirkungen g(t---kt) der7vorangegangenen Impulse u(kt)δ T (t---kt) [k=,...,6] überlagern.derimpuls 7kannaufdenAusgangzumZeitpunkt t keineneinflußhaben. Der Ausgang lautet damit N=Int(t T y(t) = T ) g T (t kt) u(kt). (2.4) k= Frühere Werte des Eingangssignals u (k ist klein) wirken sich mit späteren Werten der Impulsantwort g T beigegebenerzeit t aus. Manerkennt,daßderLaufindex k in g T und in u mit mit unterschiedlichem Vorzeichen auftritt. Daher rührt der Name Faltung.

38 28 DieLösungfürdentatsächlichenVerlaufvon x(t)erhältmandurchdenübergang T. Aus der Summe(2.4) wird dann das Integral(unendlich viele Summanden werden mit einem unendlich kleinen Faktor T bewertet) y(t) = t g(t τ) u(τ) dτ:= g*u, (*=Faltungsoperator), (2.5) τ= das aufgrund der gegenläufigen Richtung der Integrationsvariablen τ Faltungsintegral genannt wird. Das Faltungsintegral ermöglicht die Berechnung des Ausgangssignals bei bekannter Impulsantwort des Systems für beliebige Eingangssignale. Die Argumente dürfen bei dem Faltungsintegral auch vertauscht werden, da dann ebenfalls die gleichen Produkte gebildet werden(faltungsintegral ist kommutativ, f*g = g*f) y(t) = t τ= g(τ) u(t τ). (2.6)

39 RTS --- Übung 29 Übung 3 Übungsbeispiel: Faltungsoperation Übertragungsverhalten einer elektronischen Schaltung R u E C u A DieSchaltung werdemit dem Signal u E gemäß folgendem Bild angeregt. u E t 2t 3t 4t t --- a) Wielautet diesprungantwort der Schaltung [u E =σ(t)]? b) Bestimmen Sie die Impulsantwort der Schaltung durch Ableitung der Sprungantwort. c) BeschreibenSiedieFunktion u mithilfeelementarerfunktionen. Hinweis: Rampen und Sprungfunktionen σ(t). d) Berechnen Sie die Ausgangsspannung durch Faltung der Impulsantwort mit der Eingangsspannung. Hinweise: xe ax = a 2(ax )eax, Überlagerungssatz.

40 RTS --- Übung 3 e) Skizzieren Sie die Verläufe. 3. Lösung a) Ein Spannungsumlauf führt auf u E = Ri +u A = RC du A +u dt A. Wennu 2 konstantist[sprungσ(t)], könnendievariablen,dievonderzeit t und von u 2 abhängengetrennt werden(= Trennung der Veränderlichen ) du A u E u = dt A RC. Mit der Abkürzung T = RC und beidseitiger Integration folgt du 2 u E u A = dt T +k. Manerhält ln ue u A = t T +k, bzw. durchauflösennach u A = u E e k e T:= t u E k 2 e t T. Mit der Anfangsbedingung u A (t=) = folgt k 2 =u E und schließlich u A = u E e t T. Für die Sprungantwort ist u E =σ(t) =. Damit lautet die Spungantwort u A = e t T. b) g(t) = du A dt = e t T T (Impulsantwort). c) d) u E = t t σ(t) 2 t t σ(t t t ) +2 t 3t σ(t 3t t ) t 4t σ(t 4t t ). (ggf. Erläuterung durch Skizze). Im Bereich t t gilt t t u A = g(t τ) u E (τ)dτ = e t τ T T τ t dτ. Die von τ unabhängigen Anteile können vor das Integral gezogen werden t u A = e t T Tt τ e τ T dτ = e t T T Tt 2 et τ τ t T. einsetzen der Grenzen führt schließlich auf

41 RTS --- Übung 3 u A = t t T t e t T. Das Faltungsintegral braucht aufgrund der Linearität der Faltungsoperation nicht wieder explizit für die anderen Abschnitte durchgeführt zu werden. Das Ergebnis kannmitkenntnisvon u A nuneinfachdurcheinezeitlicheverschiebungunddie Sprungfunktion angegeben werden u A = U A σ(t) 2U A (t t )σ(t t ) +2U A (t 3t )σ(t 3t ) U A (t 4t )σ(t 4t ). Dies folgt aus der Ähnlichkeit der Rampenfunktionen, die durch einen Faktor plus einer zeitlichen Verschiebung auseinander hervorgehen. Durch Einsetzen der Ergebnisse für die einzelnen Zeitabschnitte könnte der Ausdruck noch vereinfacht werden. e) Verläufe: u E u A t

42 32 4 Fourier-Reihe und Fourier-Transformation Bisher waren alle betrachteten Signale Funktionen der Zeit(unabhängige Variable t). Eine Funktion kann jedoch auch mit der Frequenz f bzw. der Kreisfrequenz ω als unabhängige Variable dargestellt werden. Für periodische Funktionen ist dies die Fourier-Reihe. Die Entwicklung einer periodischen Funktion in eine Fourier-Reihe nennt man auch harmonische Analyse, da die Frequenzanteile der Funktion sichtbar werden. Erfüllt eine Funktion der Zeit die Dirichletschen Bedingungen a) Funktion ist stetig und monoton oder b) für Unstetigkeitsstellen kann ein rechts- und linksseitiger Grenzwert gebildetwerden x(t +), x(t ---), (t =Unstetigkeitsstelle), so konvergiert die Fourier-Reihe x(t) = a 2 + k= a k cos k2πt T + k= b k sin k2πt T. (3.) Dies liegt daran, dass die Funktionen, cos(x), cos(2x), cos(3x),..., sin(x), sin(2x), sin(3x)... ein vollständiges Orthonormalsystem bilden. Dabei ist T die Periodendauer des Signals. Der Term 2π T =ω (3.2) ist die Kreisfrequenz. Die Koeffizienten der Fourier-Reihe folgen durch Korrelation einer Periode der Funktion mit der der betreffenden Kosinus- bzw. Sinusfunktion a k = 2 T T 2 f(t)cos k2πt T dt, k =,,2,3, (3.3) T 2 b k = 2 T T 2 f(t)sin k2πt T dt, k =,2,3, (3.4) T 2 Für folgende Spezialfälle vereinfacht sich sich Berechnung der Koeffizienten: BeigeradenFunktion,d.h. x(t)=x(-t),sindalle b k =. BeiungeradenFunktion,d.h. x(t)= -x(-t),sindalle a k =. In allen anderen Fällen treten sowohl cos- als auch sin-terme auf.

43 33 4. Beispiel: Rechteckfunktion Die Funktion gemäß Bild 3. soll durch eine Fourier-Reihe beschrieben werden. q ---q Bild 3.: Rechteckfunktion mit der Periode 2π DadieFunktionungeradeist,müssennurdieSinus-Koeffizienten b k bestimmtwerden b k = π π π x(t) sin(kt)dt. (3.5) Aufgrund der Symmetrie von x(t) und des Sinus muss Integral nur über das positive Intervall erstreckt werden b k = 2 π π qsin(kt)dt = 2q π π sin(kt)dt. (3.6) Die Integration führt auf b k = 2q π cos(kt) π. (3.7) k ManerhältfolgendeLösung(fürgerade k ist b k null) und damit b k = 4q kπ, k =,3,5, (3.8) x(t) = 4q πsin(t) +4qsin(3t) +4qsin(5t) + (3.9) 3π 5π Die ersten vier Terme sowie die Summe dieser Terme sind in Bild 3.2 aufgetragen.

44 34 q ---q Bild 3.2: Approximation der Funktion in Bild 3. durch die ersten vier Terme der Fourier-Reihe 4.2 Komplexe Fourier-Reihe Mit der komplexen Exponentialfunktion e jx =cosx +jsinx (3.) kann die Fourier-Reihe auch sehr kompakt mit nur einem Typ von Koeffizienten c k geschrieben werden x(t) = k= c k e j k2πt T. (3.) DiekomplexenKoeffizienten c k folgengemäß T 2 c k = T x(t) e jk2πt T dt. (3.2) T 2 Obwohl es sich um komplexe Funktionen handelt, ist die Funktion f(t) wieder reell, da stets nur konjugiert komplexe Werte auftreten c k = c k *. (3.3) Die Berechnung ist in der Regel einfacher als(3.3) und(3.4), da die Integration einer Exponentialfunktion häufig zu einfachen Ergebnissen führt. Für das Beispiel 4. erhält man beispielsweise π π c k = f(t) e 2π jk t dt = π q e jkt dt. (3.4) π

45 35 Man erhält schließlich c k = 2q jπk Mit Hilfe der Beziehung, k =, 3,,,3, (3.5) 2j e jx e jx =sinx (3.6) kann man erkennen, dass sich die Ergebnisse der reellen und der komplexen Berechnung entsprechen. 4.3 Fourier-Transformation Die Fourier-Reihe gilt nur für periodische Funktionen, d.h Funktionen der Form x(t +T) = f(t). (3.7) Viele technisch interessante Signale sind nicht periodisch(transient). Für diese Signale eignet sich das Fourier-Integral. Das Fourier-Integral folgt formal aus der Fourier-Reihe, indem folgende Grenzübergänge durchgeführt werden 2π T =ω dω, kω ω, T dω 2π. (3.8) Damit wird aus den Fourier-Koeffizienten das Fourier-Integral X(jω) = x(t) e jωt dt:=x(t). (3.9) X(jω) wird Fourier-Transformierte von x(t) genannt. Entsprechend gilt für die Umkehrung aus der Fourier-Reihe j x(t) = X(jω) e 2πj jωt d(jω):= X(jω). (3.2) j 4.3. Existenz der Fourier-Transformation Das Fourier-Integral konvergiert aufgrund von e jx = (3.2) für alle Signale, die betragsintegrierbar sind(hinreichend) X(jω) = x(t) dt. (3.22)

46 Fourier-Transformierte eines Rechtecksignals Die Funktion (t) in Bild 3.3 soll im Frequenzbereich dargestellt werden. (t) T T 2 T 2 t Bild 3.3: Rechteckfunktion X(jω) = (t) e jωt dt = Die Integration nach der Zeit t führt auf X(jω) = e jωt jωt + Die Lösung kann aufgrund von T 2 T 2 T 2 T 2 T e jωt dt (3.23) = jωt e jωt 2 e jωt 2. (3.24) 2j e jx e jx =sinx (3.25) als Sinus- bzw. Si-Funktion geschrieben werden X(jω) = 2 ωt sin ωt 2 = ωt sin ωt 2 := siωt. (3.26) 2 2 Die Fourier-Transformierte ist in diesem Fall reell(s. Bild 3.4).

47 37.8 X(jω) ω Bild 3.4: Fourier-Transformierte der Rechteckfunktion 4.5 Fourier-Transformierte des Dirac-Impulses AlsGrenzübergangfür T folgtdiefourier-transformiertedesimpulses[hinweis: L Hopital] (jω) = lim T ωt 2 sin ωt 2 =lim x sinx x =. (3.27) Die Funktion D(jω) ist also eine Konstante, d.h. der Impuls enthält sämtliche Frequenzen mit gleicher Intensität. 4.6 Bestimmung von Fourier-Transformierten In der Praxis berechnet man selten die Fourier-Transformierte über das Integral(3.9). In der Literatur(z.B.[6]) findet sich meist eine Tabelle der elementaren Funktionen der Zeit und der entsprechenden Fourier-Transformationen. Durch die Linearität der Fourier- Transformation lassen sich dann leicht auch komplizierte Funktionen ohne Berechnung transformieren. 4.7 Übertragung von Signalen im Frequenzbereich Der wesentliche Grund für den Einsatz der Fourier-Transformation ist die einfache Beschreibung von Übertragungseigtenschaften im Frequenzbereich. Im Zeitbereich gilt zwischen Eingang und Ausgang eines System das Faltungsintegral y(t) = t g(t τ) u(τ)dτ. (3.28)

48 38 Bild 3.5 verdeutlicht den Zusammenhang. u(t) Prozess g(t) y(t) Bild 3.5: Eingangssignal u, Ausgangssignal y und dynamisches System im Zeitbereich Das Faltungsintegral ermöglicht die Berechnung der Ausgangsgröße für beliebige Eingangssignale u(t). Allerdings ist seine Berechnung recht aufwendig. Ein wesentlich einfacherer Zusammenhang besteht im Frequenzbereich. Hierzu wollen wir die Fourier-Transformierte von y(t) nach(3.28) berechnen y(t) = y(t)e jωt dt = t g(t τ) u(τ) dτ e jωt dt. (3.29) t= t= τ= Die obere Integrationsgrenze für das innere Integral kann für τ kann auf gesetzt werden, da für τ > t dann g(t---τ) identisch Null ist(kausales System) y(t) = Y(jω) = t= τ= g(t τ)u(τ) dτ e jωt dt. (3.3) Wirersetzen t--- τ durch σ (Variablensubstitution,esgiltauch t=σ+τ).für dt können wir auch dσ schreiben Y(jω) = σ= τ= g(σ) u(τ)e jω(τ+σ) dτ dσ. (3.3) Der Exponent lässt sich in zwei Faktoren aufspalten. Gleichzeitig kann die untere Grenze für τ auf - erweitertwerden,dadassignal u(τ) für τ< immernullist Y(jω) = σ= τ= g(σ) u(τ)e jωτ e jωσ dτ dσ. (3.32) Nun lässt sich das Doppelintegral vollständig in zwei einzelne Integrale aufteilen, da das Produktin(3.32)ausFunktionenbesteht,entwedernurvon τ odernurvon σ abhängen Y(jω) = σ= g(σ)e jωσ dσ τ= u(τ)e jωτ dτ. (3.33)

49 39 Die beiden Integrale beschreiben nun die zwei Fourier-Transformierten von g(t) und u(t) Y(p) = g(t) u(t) = G(jω) U(jω). (3.34) Offensichtlich wird aus dem komplizierten Faltungsintegral im Zeitbereich eine einfache Multiplikation von Funktionen im Bildbereich. Dies ist der Grund für die Verbreitung der Fourier-Transformation in der Systemtheorie. Man bezeichnet die Fourier-Transformierte G(jω) der Impulsantwort g(t) als Frequenzgang G(jω). Der Ausgang eines Systems Y(jω) ergibt sich durch Multiplikation des Freqeunzgangs G(jω) mit dem Eingangssignal U(jω). Das Bild 3.6 verdeutlicht den einfachen Zusammenhang im Bildbereich. U(jω) Prozess G(jω) Y(jω) Y(jω) = G(jω) U(jω) Bild 3.6: Eingangssignal U(jω), Ausgangssignal Y(jω) und dynamisches System G(jω) im Frequenzbereich Anstelle der Differentialgleichungen im Zeitbereich treten im Frequenzbereich algebraische Funktionen. Die Eigenschaft, das anstelle von Differentialgleichungen nur noch algebraische Beziehungen Auftreten, ist ein wesentlicher Grund für die Beschreibung von Systemen im Frequenzbereich. 4.8 Rechenregeln für die Fourier-Transformation DieFunktionderZeitistinderRegeleinereelleFunktion,d.h.esgilt x(t) = x * (t), *=konjugiertkomplex. (3.35) Die Fourier-Transformation X(jω) = x(t) e jωt dt (3.36) wird bei einer konjugiert komplexen Zeitfunktion ebenfalls konjugiert komplex, d.h. man erhält

50 4 X * ( jω) = Ist also die Zeitfunktion reell, dann muss folglich x * (t) e jωt dt. (3.37) X(jω) = X * ( jω), x(t)reell (3.38) gelten. Der Realteil ist somit eine gerade Funktion, während der Imaginärteil eine ungerade Funktion bildet(punktsymmetrisch zum Ursprung). Beispiel: Die folgende Funktion ist ein ungerade und reelle Funktion. Man erhält für die Fourier-Transformierte durch Aufteilung des Integrals in zwei Anteile X(jω) = T e jωt dt + e jωt dt. (3.39) T x(t) -T T t - Bild 3.7: Ungerade Funktion der Zeit Die Integrale liefern nach Einsetzen der Grenzen X(jω) = jω e jωt e jωt +. (3.4) Ersetzt man die komplexen Exponentialfunktionen durch Sinus und Kosinus, so folgt X(jω) = j ω 2 cosωt jsinωt cosωt +jsinωt. (3.4) Schließlich folgt nach Vereinfachung X(jω) = j2 ω cosωt. (3.42)

51 4 Die Funktion X(jω) ist rein imaginär und--- wie erwartet--- eine ungerade Funktion..5 Im{X(jω)} Re{X(jω)} = Bild 3.8: Imaginärteil der Fourier-Transformierten von x(t) Die Fourier-Transformierte zeigt damit das gleiche Verhalten, das auch schon für die Koeffizienten der Fourier-Reihe festgestellt wurde. Wie wir auch an dem vorstehenden Beispiel gesehen haben gelten folgende Eigenschaften der Fourier-Transformierten(folgt aus der Definitionsgleichung): Wenn x(t) eine gerade Funktion ist, wird X(jω) reell (und damit eine gerade Funktion). Wenn x(t) eine ungerade Funktion ist, wird X(jω) rein imaginär(und damit ist der Imaginärteil eine ungerade Funktion) Weitere Eigenschaften der Fourier-Transformation Linearität: ax (t) +bx 2 (t) = a x +b x2, a,b. (3.43) Verschiebung: x(t τ) = X(jω)e jωτ. (3.44) Beweis x(t τ) e jωt dt (3.45) istmit α=t---τ bzw. dα=dt

52 42 x(α) e jω(α+τ) dα = e jωτ x(α) e jωα dα = X(jω)e jωτ. (3.46) Ähnlichkeit: (folgt ebenfalls durch Variablensubstitution) x(at) = a Xjω a, a. (3.47) Eine Dehnung des des Zeitbereich bewirkt eine Stauchung der Frequenzachse (bzw. umgekehrt). Dualität: (folgt ebenfalls durch Variablensubstitution) x (t) = x2 (jω) x2 (t) = x ( jω). (3.48) Ist also die Fourier-Transformierte einer Funktion bekannt, so kann die Fourier-Transformierte nach Austausch der Variablen jω gegen t ohne Rechnung direkt bestimmt werden. Z.B. war die Fourier-Transformierte eines Rechteck-Impulses die Si-Funktion. Die Fourier-Transformierte der Si-Funktion führt demnach auf eine Rechteck-Funktion. Multiplikation: (folgt aus der Dualität) y(t) = x (t)x 2 (t) Y(jω) = 2π X (jω)*x 2 (jω), (*=Faltung). (3.49) Parsevalsches Theorem Das Parsevalsche Theorem folgt u.a. aus der Energiegleichheit im Zeit- und im Frequenzbereich. Wir können das Theorem auch aus der Multiplikationseigenschaft herleiten. Die Fourier-Transformation des Produkts zweier Zeitfunktionen lautet nach (3.49) x (t)x 2 (t) = j x (t)x 2 (t)e jωt dt = X j2π (jν) X 2 (jω jν) djν. (3.5) j DieGleichung(3.5)giltfürjedes ω, d.h.auchfür ω= j x (t)x 2 (t)dt = X j2π (jν) X 2 ( jν) djν. (3.5) j Wir können allgemein auch komplexe Funktionen der Zeit zulassen (obwohl dies gewöhnlich nicht auftritt). Dann folgt wegen x * (t) = X * ( jω) (3.52)

53 43 für(3.5) j x (t)x * 2(t)dt = X j2π (jν) X * 2(jν)djν. (3.53) j Gleichung(3.53) ist die allgemeine Form des Parsevalschen Theorems. Häufig findet man einer spezielle Form des Parsevalschen Theorems, nämlich den Sonderfall x 2 (t)=x (t), x (t) reell j j x 2 (t)dt = X j2π (jν) X * (jν) djν = X (jν) 2 djν. (3.54) j2π j j HierwurdedieBeziehung xx * = x 2 verwendet.dasintegraldesquadratseinerfunktion hat die Bedeutung einer Energie (es fehlt in der Regel lediglich ein Faktor, damit auch die Einheit Ws entsteht). Das Parsevalsche Theorem in der Form(3.54) besagt demnach, dass die Energie sowohl im Zeitbereich als auch im Frequenzbereich berechnet werden kann.

54 RTS --- Übung 44 Übung2 5 Übungsbeispiel: Fourier-Reihe und Fourier-Transformierte 5. Fourier-Reihe Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der folgenden Funktion der Zeit t. x(t) π π 2π 3π 4π t --- Lösung a) Die Funktion ist ungerade [f(---x) = ---f(x)]. Es treten folglich nur Sinus-Funktionen auf. Für die Periode gilt T = 2π. Die Funktion im Intervall [---π...π] ist t/π. π b k = π t π sin(kt) dt Man erhält π b k = π 2 π t sin(kt) dt = π 2 sin(kt) k 2 tcos(kt) k +π π b k = 2πcos(kπ) π 2 = 2 k π cos(kπ) k π, k =,2,3,,

55 RTS --- Übung 45 Die Reihe lautet damit.5 x(t) = 2 π sin(t) sin(2t) 2 + sin(3t) 3 sin(4t) DasBildzeigtdieersten5TermesowiediedieSummedieserFrequenzen.Esist leicht ersichtlich, dass die Berücksichtigung von Termen höherer Frequenzen exakt auf die ursprüngliche Zeitfunktion führen würde. 5.a Synthese der Sägezahnschwingung mit MATLAB[NEU] Die Fourier-Reihe aus der vorangegangenen Berechnung lässt sich leicht für eine Sägezahnschwingung beliebiger Frequenz angeben, da die Frequenz lediglich als Faktor in allen Sinusschwingungen auftritt: x(t) = 2 π sin(ω t) sin(2ω t) 2 + sin(3ω t) 3 sin(4ω t) 4 +. Eine Sägezahnschwingung der Frequenz 22 Hz(für Musiker: das ist der Ton A) soll durch Synthese von Grund- und Oberschwingungen erzeugt werden. Erzeugen Sie ein neues Matlab-File saege22.m. AlsReferenzsollzunächsteinSägezahnsignal(22Hz)derDauervon2s erzeugt werden. Für die Audio-Wiedergabe des Signals auf dem PC werden 892 Werte pro Sekunde (Abtasfrequenz) verwendet. Auf größere Abtastfrequenzen sind möglich; dies belegt aber sehr viel Speicherplatz. % saege22 : Fourier synthesis of 22 Hz sawtooth signal Tmax = 2.; % Sekunden Fs = 892; % default sampling frequency Ns = Tmax * Fs; % Anzahl Werte

56 RTS --- Übung 46 t = :Ns-; % Zeitachse t = t / Fs; f = 22.; % Frequenz, Ton A y_ref = 2. * t * f; for k=:ns if y_ref(k) > y_ref(k:ns) = y_ref(k:ns) - 2; end end figure(); Nplot = ; % nur die ersten Werte plotten plot(t(:nplot), y_ref(:nplot), b-, LineWidth,2); Überprüfen Sie, ob ein Signal mit 22Hz entstanden ist. Wie groß ist die Periodendauer der Schwingung? Synthetisieren Sie das Signal durch Addition harmonischer Sinusschwingungen mit denamplitude b k (aus der Übung). Hierzuwird diekreisfrequenz w = 2. * pi * f; benötigt. Fragen Sie die Anzahl der zu berücksichtigenden harmonischen Schwingungen ab: NN = input( * Anzahl der Frequenzen zur Synthese: ); Berechnen Sie die einzelnen Frequenzanteile und bilden Sie die Summe. Plotten Sie die Ergebnisse. Für NN=4 sollte das Diagramm wie folgt aussehen: Geben Sie das Referenzsignal und das synthetisierte Signal mit sound(y_ref) und sound(<mein signalname>) wieder. Interpretieren Sie die Ergebnisse.

57 RTS --- Übung Fourier-Integral Die Fourier-Transformierte des sogenannten Signals soll berechnet werden. Das Signal wird häufig als Testsignal bei der Erprobung von Flugzeugen eingesetzt, da es über ein weites Frequenzspektrum verfügen soll. x(t) t --- a) b) Lösung Berechnen Sie die Fourier-Transformierte von x(t). Skizzieren Sie X(jω). a) Die Funktion x(t) ist abschnittsweise konstant. Es kann aufgrund der Linearität der Fourier-Transformation jeweils für die konstanten Abschnitte der Funktion gebildet werden. Die Fourier-Transformierte X(jω) = x(t) e jωt dt:=x(t) wird dann X(jω) = e jωt dt e jωt dt + e jωt dt e jωt dt Da alle Integrale ähnlich sind, erhält man einfach X(jω) = jω e jω3 e jω5 +e jω3 +e jω6 e jω5 e jω7 +e jω6 = jω 2e jω3 +2e jω5 2e jω6 +e jω7. Zerlegt man die Exponentialfunktion gemäß e jx =cosx +jsinx, so kann man den Betrag der Funktion X(jω) bilden.

58 RTS --- Übung 48 b) Den Ausdruck kann man numerisch auswerten. Die Funktion X(jω) ist im folgenden Bild gezeigt X(jω) ω Matlab-Code zur Erzeugung des Diagrams (zur Information): % uf: Spektrum Signal w = -499:499; w = w / 5 * 6 + eps; X = ones(size(w)); X = X - 2 * exp(-j*w*3); X = X + 2 * exp(-j*w*5); X = X - 2 * exp(-j*w*6); X = X + * exp(-j*w*7); X = X./ w; plot(w, abs(x)); disp( Danke, das genuegt. ); Man erkennt ein bandbegrenztes Signal, dass Minima bei der Frequenz null (DC) und bei,5 Hz aufweist. Es sind zumindest alle Frequenzen im Bereich von..hz vorhanden, auch wenn nicht alle Frequenzen gleiche Intensität aufweisen. Übung3 5.3 Spektralanalyse einer Messreihe Die (unbekannte) Frequenz eines Signals soll aus einer Probe endlicher Dauer mit Hilfe der Fourier-Transformation ermittelt werden. Die Probe besteht aus der Messung ineinem Intervallvon [-T...T ].

59 RTS --- Übung T T Bild 2.4: HarmonischeSchwingungimIntervall [-T... T ]. Es soll untersucht werden, wie groß dass Intervall gewählt werden muss, um die Frequenz mit ausreichender Genauigkeit zu bestimmen. a) Bestimmen Sie die Fourier-Transformierte X(jω) aus der Zeitfunktion x(t) = cos(ω t) (im Intervall [-T t T ]). b) ungerade? Ist die Fourier-Transformierte reell oder imaginär, gerade oder c) Bilden Sie den Limes T. Welche Funktion wird dann transformiert? d) VariierenSiedasZeitfensterüberdenParameter T unddiskutieren Sie die Qualität einer Frequenzbestimmung aus der Fourier-Transformierten. Lösung a) Zur Berechnung der Fourier Transformierten X(jω) = x(t) e jωt dt ist es vorteilhaft, den Kosinus als Summe komplexer Exponentialfunktionen zu schreiben cosx = 2 e jx +e jx, da das Fourier-Integral dann ausschließlich aus e-funktionen besteht. Die Fourier-Transformierte wird dann X(jω) = T T 2 e jω t +e jω t e jωt dt

60 RTS --- Übung 5 = 2 T T e j(ω ω)t dt + T 2 = e j(ω ω )T e j(ω ω )T 2j(ω ω ) = 2jsin (ω ω )T 2j(ω ω ) = sin (ω ω )T ω ω T e j(ω+ω)t dt e j(ω+ω )T e j(ω+ω )T 2j(ω +ω ) + 2jsin (ω +ω )T 2j(ω +ω ) + sin (ω +ω )T ω +ω = T sin (ω ω )T ω ω T +T sin (ω +ω )T ω +ω T = T si (ω ω )T +T si (ω +ω )T. b) Die Fourier-Transformierte ist reell, da die Zeitfunktion x(t) eine gerade Funktion ist. Reelle Fourier-Transformierte sind immer gerade Funktionen. c) Für T wird exakt die Kosinus-Funktion transformiert. Die Fourier-Transformierte wird an der Stelle ±ω immer höher (Faktor T ) und gleichzeitig immer schmaler. Schließlich entstehen zwei Impulse bei ω = ±ω [=Fourier-Transformierte der Kosinus-Funktion, s. Lösung zu d)]. Die exakte Durchführung des Grenzübergangs ist recht aufwendig. Man erhält schließlich cos(ω t) =π δ(ω ω ) +δ(ω +ω ). d) Die Richtigkeit der prinzipiellen Überlegungen zu c) lassen sich durchdiediagrammefür verschiedene Wertevon T nachweisen. Hierzukann folgendes Matlab-Script verwendet werden: function ue6a_rc; global titlebox textfield T = str2num(get(textfield, String )); w =.; fprintf( Fourier-Transform with T=%.2f, w=%.2f\n, T, w); w = -399:399; w = w / 4. * * eps; Xw = sin((w - w) * T)./ (w - w)... + sin((w + w) * T)./ (w + w); plot(w, Xw); grid on fprintf(...done.\n ); DieBerechnung liefert für T = folgendes Ergebnis:

61 RTS --- Übung 5 Offensichtlich ist das Zeitfenster viel zu klein, um hier eindeutig eine Frequenz zu identifizieren. Für T = erhält mandas folgendebild:

62 RTS --- Übung 52 T = bedeutet 2/2π =3,8 Perioden.Hierkannmandeutlich die Frequenz ω = erkennen. Wählt man das Zeitfenster weiter, so wird die Erkennung der Frequenz immer besser. Die Fourier-Transformierte ermöglicht natürlich auch eine Identifikation mehrerer Frequenzen. Übung4 5.4 Spektralanalyse einer Messreihe (Diskrete Fourier-Transformation) Mit dieser Übung werden zwei Ziele verfolgt: Diese Übung ist eine Ergänzung zur Übung über die Fourier-Transformation. Mit dem Beginn dieser Übung werden künftig Aufgaben zur abgelaufenen Vorlesung zur Verfügung gestellt, die in der jeweils folgenden Woche behandelt werden. Es besteht somit die Möglichkeit, sich zunächst selbst an die Lösung zu wagen, nachdem die

63 RTS --- Übung 53 Inhalte in der Vorlesung behandelt wurden. Die Übung zur Vorlesung findet also erst in der darauffolgenden Woche statt. Es wird die diskrete Form der Fourier-Transformation vorgestellt. Die kontinuierliche Form eignet sich nicht zur Echtzeit-Auswertung von Signale, Integrale numerisch ausgewertet werden müssen. bei der diskreten Form sind dies lediglich Summen. Aufgrund der Symmetrie der Fourier-Transformation existiert auch eine extrem schneller Algorithmus zur Bestimmung der diskreten Fourier-Transformation(FFT = Fast Fourier Transform). Dieser Algorithmus wird allerdings nicht verwendet Diskrete Fourier-Transformation(DFT) Bei der diskreten Form der Fourier-Transformation betrachtet man nur Messwerte einer kontinuierlichen Funktion, die zu bestimmten(äquidistanten) Abtastzeitpunkten, die um die Abtastzeit T auseinanderliegen. In unserem Beispiel verwenden wir eine feste Anzahl N=8 bzw. N=64. Messen wir also eine Kosinus-Funktion, so lauten die Messwerte x(kt) = cos(ω kt), k =,,2,,N. (2.7) Man lässt i.a. die Abtastzeit T im Argument weg und schreibt kurz x(k). Um die Messwerte in einem Rechnerprogramm besser indizieren zu können, beschränkt man sich häufig auf positive Zahlen bzw. die positive Zeitachse. Die zur Verfügung stehenden Frequenzen sind ebenfalls diskret, d.h. sie nehmen nur bestimmte Werte an ω n = 2πn NT, n =,,2,,N 2, Ngerade. (2.8) Den Index n nennt man auch Harmonische. Die Messwerte sind durch die senkrechten Striche gekennzeichnet. Beispiel: N = k Bild 2.5: N=8/n=

64 RTS --- Übung k Bild 2.6: N=8/n= k Bild 2.7: N=8/n= k Bild 2.8: N=8/n=4 Höhere Harmonische als n = 4 (bei N = 8) dürfen aufgrund von Mehrdeutigkeiten nicht verwendet werden. Aus dem Fourier-Integral wird dann im diskreten Fall die Summe X(n) = N N k= k2πn x(k)e j N, n =,,2,,N. (2.9)

65 RTS --- Übung 55 Entsprechend zur inversen Fourier-Transformation lautet die inverse diskrete Fourier- Transformation x(n) = N k= was jedoch seltener benötigt wird. X(k)e j k2πn N, n =,,2,,N, (2.2) Bei der DFT wird angenommen, dass sich die Funktion x(k) periodisch ist mit NT fortsetzen kann, d.h. man nimmt folgende Beziehung an x(k +pn) = x(k), p. (2.2) Hanning-Fenster Lässt sich die Funktion nicht periodisch fortsetzen, kann eine DFT nicht fehlerfrei berechnet werden. In diesem Fall kann man ein sogenannten Hanning-Fenster h(k) =.5 +cos 2πk N 2 N, k =,,,N (2.22) verwenden, um eine periodische Funktion zwangsweise zu erzeugen. Diese Modifikation der ursprünglichen Funktion reduziert i.a. die Fehler bei einer nicht periodisch fortsetzbaren Funktion der Zeit. Die Zeitfunktion wird mit dem Hanning-Fenster (Bild 2.9) multipliziert Bild 2.9: Hanning-Fenster Aufgaben a) Detektieren Sie Frequenzen aus einem Satz von 64 Messwerten mit Hilfe der DFT. Diskutieren Sie die numerische Lösung X(k) der DFT. b) Diskutieren Sie die Lösung für die DFT von Kosinus-Funktionen, die im Mess-Intervall nicht periodisch fortsetzbar sind (z.b. das 3,5-fache der

66 RTS --- Übung 56 Frequenz ω = 2π NT c) Setzen Sie ein Hanning-Fenster ein und Überprüfen Sie die erzielte Verbesserung Lösungen a) An dem Diagramm der DFT ist gut die dreifache Frequenz zu erkennen. Da die Funktion ohne Fehler periodisch fortgesetzt werden kann, ist die Transformation fehlerfrei. Eine Identifikation der Frequenz ist einfach möglich. Bild 2.2: DFT eines Frequenzsignals mit 3-facher Grundfrequenz b) Das 3,5-fache der Grundfrequenz lässt sich nicht periodisch fortsetzen. Es treten in der DFT zwar in der Nähre von größere Amplituden auf. Eine eindeutige Identifikation ist der Frequenz ist jedoch nicht möglich.

67 RTS --- Übung 57 Bild 2.2: DFT eines Frequenzsignals mit 3,5-facher Grundfrequenz c) Im folgenden Bild ist die Multiplikation der Zeitfunktion aus Bild 2.2 mit dem Hanning-Fenster[Bild 2.9] dargestellt. Die DFT liefert nun wieder klare Maxima bei der betreffenden Frequenz (3 und 4 haben gleiche Beträge).

68 RTS --- Übung 58 Bild 2.22: DFT eines Frequenzsignals mit 3.5-facher Grundfrequenz und Hanning-Fenster Übung5 5.5 Analyse eines Messsignals mit FFT Die folgende Messung soll in Bezug auf die in dem Signal enthaltenden Frequenzen analysiert werden.

69 RTS --- Übung 59 Bild 2.23: Messwerte(248 Werte mit 248 Hz aufgezeichnet) LadenSiedieMesswertemit load testsignal.mat in den Workspace von Matlab. Plotten Sie den zeitlichen Verlauf mit plot(t, xtest) Können Sie in dem Signal einzelnen Frequenzen erkennen? Berechnen Sie die diskrete Fourier-Transformierte mit der Matlab-Funktion / NN * fft() Plotten Sie den Betrag der Fourier-Transformierten (abs) über der Frequenzachse f_axsis. Welche Frequenzen können Sie erkennen? Wie groß sind ihre Amplituden:. Frequenz: Amplitude: 2. Frequenz: Amplitude:

70 6 6 Die einseitige Laplace-Transformation Mit der Fourier-Transformation lassen sich nur Signale beschreiben, deren Betrag integrierbar ist, d.h. für die Signale muss gelten x(t) dt <. (4.) Diese Einschränkung ist beispielsweise für die Regelungstechnik zu gravierend, so dass eine andere Transformation benötigt wird, die auch auf konstante oder gar aufklingende Signale anwendbar ist. Diese Eigenschaft besitzt die Laplace-Transformation, die als Erweiterung der Fourier-Transformation aufgefasst werden kann. Man ersetzt die imaginäre Frequenz jω der Fourier-Transformation X(jω) = x(t) e jωt dt (4.2) durch eine neue komplexe Frequenzvariable mit dem Realteil σ s =σ +jω. (4.3) Es entsteht damit die Laplace-Transformation x(t):= X(s) = x(t) e st dt. (4.4) Man beachte, dass die untere Grenze nun nicht mehr - sondern beträgt(deshalb einseitige Laplace-Transformation). Die wichtige Voraussetzung zur Existenz der Laplace-Transformation lautet damit: x(t), t <. (4.5) Diese Einschränkung ist in der Elektrotechnik oder der Regelungstechnik nicht entscheidend, da die Zeit t = als Beginn einer Beobachtung aufgefasst werden kann. Die Laplace-Transformation existiert nun für alle Funktionen, die einer exponentiellen Wachstumsbeschränkung x(t) Ke ct (4.6) unterliegen. Praktisch sämtliche technisch, ökonomische und biologische Größen fallen unter diese Beschränkung. Offensichtlich konvergiert das Integral für

71 6 Re{s} =σ>c. (4.7) Der Bereich in der komplexen Ebene wird als Konvergenzbereich bezeichnet. Die inverse Laplace-Transformation σ+j X(s) = x(t) = X(s)e st ds. (4.8) 2πj σ j konvergiert für alle Integrationswege, die innerhalb des Konvergenzbereichs verlaufen. 6. Sprungfunktion σ Die Laplace-Transformation kann nun auch auf Funktionen angewandt werden, für die die Fourier-Transformation nicht existiert. Dies ist beispielsweise die wichtige Testfunktion σ(t), die nicht betragsintegrierbar ist(fourier-transformation existiert somit nicht) σ(s) = σ(t)e st dt = e st dt (4.9) Die Integration führt auf σ(s) = s e st t= t= = s, fürσ>. (4.) Der Konvergenzbereich ist somit die gesamte (komplexe) rechte Halbebene ohne die imaginäre Achse. 6.2 Dirac-Impuls δ Die Herleitung der Laplace-Transformation des Dirac-Impulses muss etwas anders als bei der Fourier-Transformation erfolgen. Der Dirac-Impuls existiert jedoch auch als Limes für Signale,dienurfür t vonnullverschiedensind(bild4.). T (t) T t Bild 4.: Approximation des Dirac-Impulses

72 62 Man erkennt, dass für lim T (t) =δ(t) (4.) der Dirac-Impuls entsteht. Die Laplace-Transformation von (t) ist (s) = T e T st dt = e st st T = e st. (4.2) st Mit Hilfe der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion lautet(4.2) e x = + x! +x2 2! +x3 + (4.3) 3! (s) = +st (st )2 + (st )3 2! 3! = st st 2! +(st )2 (4.4) 3! Nun kann der Limes gebildet werden lim T (s) =. (4.5) Die Laplace-Transformierte des Impulses ist also mit derjenigen der Fourier-Transformierten identisch. 6.3 Laplace-Transformierte der Exponentialfunktion Beliebige Exponentialfunktionen x(t) = e αt (4.6) können ebenfalls transformiert werden X(s) = e αt e st dt = e (s α)t dt. (4.7) = s α e (s α)t = s α, σ >α. (4.8) Die Laplace-Transformation gilt für beliebige(auch positive) Werte für α. Bild zeigt den Konvergenzbereich für s.

73 63 jim(s) Konvergenzbereich α Re(s) Bild 4.2: Konvergenzbereichfür x(t)=e αt 6.4 Korrespondenzen Zeitfunktion Laplace-Transformation Man wertet die Definitionsgleichung der Laplace-Transformation(4.4) selten direkt aus. Aufgrund der Linearitätseigenschaft ax (t) +bx 2 (t) = a x (t) +b x2 (t) (4.9) kann die Zeitfunktion oft in elementare Funktionen zerlegt werden, deren Laplace-Transformation in Tabellen verfügbar ist[6],[3]. Tabelle einiger Laplace-Transformationen:

74 64 x(t) x(t) = X(s) δ(t) σ(t)bzw. s t s 2 2 t2 s 3 t n n! s n+ e αt s α te αt (s α) 2 t n n! eαt (s α) n+ sin(ω t) cos(ω t) ω s 2 +ω 2 s s 2 +ω 2 Beispielsweise lässt sich die Funktion x(t) =sin 2 t (4.2) in die elementaren Funktionen x(t) =sin 2 t = 2 cos(2t) (4.2) (Konstante + Kosinusfunktion) zerlegen, für die die Laplace-Transformation in Tabellen nachgesehen werden kann(s.o.). Die Laplace-Transformation von(4.2) lautet damit X(s) = 2 s s s 2 +4 = 2 s s (4.22) 6.4. Rechenregeln zur Laplace-Transformation Die meisten Rechenregeln folgen unmittelbar aus der Definitionsgleichung(4.4). Zeitliche Verschiebung: x(t τ) = x(t τ)e st dt. (4.23)

75 65 DurchVariablensubstitution σ=t---τ bzw. t=σ+τ sowie dt=dτ erhältman x(t τ) = τ x(σ)e s(σ+τ) dσ. (4.24) Danach(4.5)dasSignal x(t) fürt< nullseinmuss,kanndieunteregrenzeebenfalls null gesetzt werden x(t τ) = e sτ x(σ)e sσ dσ = e sτ X(s). (4.25) Eine zeitliche Verschiebung entspricht bei der Laplace-Transformation einer Multiplikationmit e -sτ. Skalierung(auch Ähnlichkeitssatz genannt): x(at) = x(at)e st dt, a >, a. (4.26) Mit Hilfe der Variablentransformation σ = at folgt x(at) = a x(σ)e σ a s dσ = a X s a. (4.27) Eine Dehnung des Zeitbereichs entspricht im Frequenzbereich einer Stauchung und umgekehrt. Differentiation im Zeitbereich: DiepartielleIntegration uv dt = uv u vdt von führt auf X(s) = x(t)e st dt. (4.28) X(s) = s x(t)e st + s ẋ(t)e st dt = x() s + s ẋ. (4.29)

76 66 Schließlich erhält man ẋ = sx(s) x() (4.3) (Differentiationssatz). Da der linksseitige Grenzwert immer null ist, muss in (4.3) natürlich der rechtsseitige Grenzwert gebildet werden. Man schreibt deshalb auch ẋ = sx(s) x(+). (4.3) Integration im Zeitbereich: Zur Bestimmung des Zusammenhangs geht man von der inversen Laplace-Transformation aus x(t) = 2πj σ+j σ j Man erhält für das Integral t x(τ)dτ = t X(s)e st ds. (4.32) x(τ)dτ = t 2πj σ+j σ j X(s)e st ds dt = 2πj σ+j σ j X(s) s e st ds. (4.33) Daraus folgt unmittelbar t x(τ)dτ = X(s) s. (4.34) Der Integration im Zeitbereich entspricht also im Bildbereich einer einfachen Division durch s. Dämpfungssatz: Der Dämpfungssatz beschreibt den Einfluss einer Multiplikation einer Zeitfunktion mit dem Dämpfungsterm Es gilt damit e αt. (4.35)

77 67 x(t)e αt = x(t)e αt e st dt = x(t)e (s+α)t dt. (4.36) Damit erhält man die einfache Beziehung xe αt = X(s +α). (4.37) Beispiele ) Integration des Kosinus. Die Laplace-Transformierte der Kosinus-Funktion x(t) =cos(ω t) (4.38) ist gemäß Tabelle X(s) = s s 2 +ω 2 (4.39) Dem Integral im Zeitbereich entspricht nach(4.34) Y(s) = X(s) s = s 2 +ω 2 Schreibt man(4.4) in der Form Y(s) = X(s) s = ω ω s 2 +ω 2. (4.4) so findet man in der Tabelle die Entsprechung im Zeitbereich. (4.4) y(t) = Y(s) = ω sin(ω t). (4.42) 2) Ableitung der Kosinus-Funktion x(t) =cos(ω t) (4.43) im Zeitbereich. Gemäß(4.3) erhält man Y(s) = sx(s) x(+) = s s s 2 +ω 2 = s2 s 2 ω 2 s 2 +ω 2 = ω2 s 2 +ω 2. (4.44) Die Transformation in den Zeitbereich liefert erwartungsgemäß y(t) = ω sin(ω t). (4.45) 6.5 Übertragung von Signalen Wie bei der Fourier-Transformation gilt ein sehr einfacher Zusammenhang zwischen Einund Ausgangssignal bei der Laplace-Transformation. Dies ist ein wesentlicher Grund für

78 68 den Einsatz der Laplace-Transformation in der Systemtheorie. Im Gegensatz zur Fourier-Transformation gelten dann die Einschränkungen bezüglich der Signale nicht mehr. Der Faltungsoperation y(t) = t g(t τ) u(τ)dτ. (4.46) im Zeitbereich entspricht im Frequenzbereich nun eine einfache Multiplikation Dabei ist Y(s) = G(s)U(s). (4.47) G(s) = g(t) e st dt (4.48) die Laplace-Transformierte der Impulsantwort. G(s) wird Übertragungsfunktion genannt. Dem Lösen eines Faltungsintegrals steht im Frequenzbereich eine einfache Multiplikation gegenüber. Bei bekannten Ein- und Ausgangssignalen kann die Übertragungsfunktion auch über das Verhältnis G(s) = Y(s) U(s) (4.49) bestimmt werden(algebraische Gleichung). 6.6 Grenzwertsätze für Anfangs- und Endwert der Zeitfunktion Bei bekannter Laplace-Transformierter können ohne Berechnung der entsprechenden Zeitfunktion die Werte (Anfangswert) und lim t x(t) (4.5) lim x(t) (4.5) t (Endwert) bestimmt werden. Aus dem Cauchi schen Integralsatz, mit dem die Rücktransformation berechnet werden kann, lassen sich die folgenden Regeln herleiten lim t x(t) = lim s sx(s), (Anfangswert), (4.52)

79 69 lim x(t) =limsx(s), (Endwert). (4.53) t s Die Gleichungen(4.52) oder(4.53) gelten jedoch nur unter der Voraussetzung, dass auch tatsächlich ein Grenzwert existiert. Beispiel: Die Funktion x(t) =5e 2t (4.54) weist die Grenzwerte sowie limx(t) = 4 (4.55) t lim x(t) = (4.56) t auf. Die Laplace-Transformierte von(4.54) lautet X(s) = Die Grenzwertsätze ergeben bzw. 2s s(.5s +). (4.57) limx(t) = lim sx(s) = lim 2s =4 (4.58) t s s.5s + lim t x(t) =lim s sx(s) =lim 2s =. (4.59).5s + s 6.7 Inverse Laplace-Transformation Die Transformation vom Laplace- in den Zeitbereich erfolgt nur selten durch unmittelbare Auswertung des Integrals(4.8) x(t) = 2πj σ+j σ j X(s)e st ds. (4.6) Wenn es gelingt, die einen geschlossenen Integrationsweg zu finden, der den Wert des Integrals nicht verändert und der sämtliche Singularitäten von X(s) enthält, so kann der Cauchi sche Integralsatz angewandt werden. Die Lösung besteht dann einfach in der Summe der Residuen. Das Integral konvergiert rechts eines Wertes σ > a, wenn a der größte Realteil einer Singularitätvon X(s) ist. UnterderVoraussetzung,dassdieFunktion X(s)e st aufeinem

80 7 Kreisbogen mit dem Radius R schneller abfällt als /R, kann der Integrationsweg auf einem Kreisbogen mit unendlichem Radius über die Linke Halbebene geschlossen werden, ohne dass sich der Wert von(4.6) ändert. Voraussetzung dafür sind natürlich Zeiten t >. Die Laplace-Transformierten sind in der Regel gebrochen rationale Funktionen, d.h. sie bestehen aus Polynomen in Zähler und Nenner. Wenn der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist, so ist eine Erweiterung des Integrationsweges in (4.6) durch einen Halbkreis mit unendlichem Radius über die linke Halbebene immer möglich. Beispiel : Gesucht wird die inverse Laplace-Transformation von X(s) = s +α (4.6) Die Singularität(auch Pol genannt) ist -α. Das Residuum der Funktion X(s)e st (4.62) für die Singularität -α ist lim X(s)e st (s α) = e αt = x(t). (4.63) s α Füreinenmehrfachen(n-facher)Pol s k istderresiduensatzanzuwenden Beispiel 2: Die Funktion R k = lim s sk (n )! d n ds n X(s)e st s sk n. (4.64) X(s) = (s +α) 4 (4.65) besitzteinen4-fachenpolbei s=-α. DieAnwendungvon(4.64)führtauf x(t) = lim s α 3! d 3 ds 3 X(s)e st (s +α) 4 = 6 lim s α d 3 ds 3 est = t3 6 e αt. (4.66) Das Ergebnis kann natürlich auch der Tabelle am Anfang des Kapitels entnommen werden. 6.8 Inverse Laplace-Transformation durch Partialbruchzerlegung Die Ergebnisse des vorigen Abschnitts legen es nahe, die Funktion X(s) --- sofern es sich um eine gebrochen rationale Funktion handelt --- in Partialbrüche zu zerlegen, die dann

81 7 aufgrund der Linearitätseigenschaft unmittelbar in den Zeitbereich transformiert werden können. Beispiel: Die Funktion X(s) = 2s s 2 +4s +3 mitdenpolen s =- und s =-3 kannindiepartialbrüche X(s) = 2s s 2 +4s +3 = 2s (s +)(s +3) = a s + + b s +3 (4.67) (4.68) aufgespalten werden, die sich unmittelbar in den Zeitbereich transformieren lassen. Die Zählerkoeffizienten(in diesem Fall Residuen ) lassen sich mit dem Residuensatz(4.64) bestimmen. Im Fall einfacher Pole wird daraus die Zuhaltemethode : a = lim s b = lim s 3 Die Zeitfunktion lautet dann X(s)(s +) = 3 2, (4.69) X(s)(s +3) = ( 7) ( 2) =7 2. (4.7) x(s) = ae t +be 3t = 3 2 e t e 3t. (4.7) Die Bestimmung der inversen Laplace-Transformation durch Partialbruchzerlegung ist in der Regel deutlich einfacher als eine Berechnung über die Residuen gemäß Mehrfache Pole Bei mehrfachen Polen gestaltet sich die Berechnung der Zählerkoeffizienten etwas schwieriger. Eine naheliegende Methode ist ein Koeffizientenvergleich, der auf ein lineares Gleichungssystem führt. Das Signal s 3 +3s 2 +2s + (s +2) 4 (4.72) besitzt die Partialbruchzerlegung X(s) = a (s +2) 4 + b (s +2) 3 + c (s +2) 2 + d s +2. (4.73) Bringt man die rechte Seite auf den Hauptnenner, so folgt X(s) = ds3 +(c +6d)s 2 +(b +4c +2d)s +a+2b +4c +8d (s +2) 4. (4.74) Dies ergibt folgendes Gleichungssystem

82 a b c d = 3 2. (4.75) Die Lösung lautet a b c d = = 2 3. (4.76) Die Koeffizienten folgen jedoch auch einfacher durch die Erweiterung der Zuhaltemethode (man beachte! = ) a = (n )! lim s s k d n ds n X(s) s sk n. (4.77) Der Index ist dabei der Koeffizient zu dem Pol -ter Ordnung und n ist die Nennerordnung der Funktion X(s). Es gelten somit die Zuordnungen a = d, a 2 = c, a 3 = b, a 4 = a. (4.78) Die Berechnung von Ableitungen ist für eine Berechnung von Hand i.a. wesentlich einfacher. Zur Kontrolle werden die Koeffizienten nun nach(4.77) berechnet. a = a 4 = lim s 2 b = a 3 = lim s 2 c = a 2 = 2 lim s 2 d = a = 6 lim s 2 Die Zeitfunktion lautet dann einfach s 3 +3s 2 +2s + =. (4.79) d s 3 +3s 2 +2s + = lim 3s 2 +6s +2 =2. (4.8) ds s 2 d 2 ds 2 s 3 +3s 2 +2s + = 2 lim 6s +6= 3. (4.8) s 2 d 3 ds 3 s 3 +3s 2 +2s + = 6 lim 6 =. (4.82) s 2 x(t) = a 6 t3 e 2t + b 2 t2 s 2t +cte 2t +de 2t = t3 6 +t2 3t + e 2t.(4.83)

83 73 Bild 4.3: Verlauf der Funktion x(t) 6.9 Frequenzgang, Bode- und Nyquist-Diagramm Bei linearen Systemen beobachtet man, dass die Systemantwort auf ein sinusförmiges Eingangssignal nach einiger Zeit ebenfalls sinusförmig verläuft. Die Frequenz ändert sich bei linearen Systemen nicht. u = sin(t) G y Bild 4.4: Anregung durch ein Sinus-Signal

84 Bild 4.5: Sinus-AntwortderÜbertragungsfunktion G = 2s + Wie man am Verlauf in Bild 4.5 sieht, stellt sich nach wenigen Perioden eine Sinus-Funktion mit einer gegenüber dem Eingangssignal anderen Amplitude und einer anderen Phasenlage (genannt Phase) ein. Die Zeit bis zu diesem stationären Verhalten kann jedoch unterschiedliche Zeit in Anspruch nehmen(s. Bild 4.6) Bild 4.6: Sinus-Antwort der Übertragungsfunktion G = s 2 +.2s + Zur Herleitung des stationären Zusammenhangs gehen wir von der allgemeinen Form der Übertragungsfunktion aus(ordnung n) G(s) = b ms m +b m s m + +b s +b s n +a n s n + +a s +a. (4.84) Diese Übertragungsfunktion ist das Verhältnis von Eingangs- zu Ausgangssignal G(s) = Y(s) U(s). (4.85)

85 75 Durch Hochmultiplizieren erhält man s n Y +a n s n Y + Y +a sy +a Y = b m s m U +b m s m U + +b su +b U. (4.86) Wendet man den Differentiationssatz der Laplace-Transformation an, so folgt für den Zeitbereich(alle Anfangswerte und Ableitungen für t = werden null angenommen) (n) (n ) y +an y + +a ẏ +a y = b (m) (m ) m u +b m u + +b u. +b u. (2.23) Man erhält also eine lineare DGL n. Ordnung. Die Koeffizienten b k (Zähler der Übertragungsfunktion) treten also als Koeffizienten der Ableitungen der Eingangsgröße auf;diekoeffizienten a k (NennerderÜbertragungsfunktion)sinddieKoeffizientender Ableitungen der Ausgangsgröße y. 6. Herleitung des Frequenzgangs Die Antwort auf eine sinusförmige Eingangsgröße ist im stationären Zustand ebenfalls eine sinusförmige Größe. Die Frequenz ändert sich nicht. Wir nehmen an, dass die vorstehenden Behauptungen wahr sind und schreiben Ein- und Ausgangssignal in folgender Form u(t) = u^sinωt, y(t) = y^sin(ωt +). (2.24) Die Berechnungen werden wesentlich vereinfacht, wenn die komplexe Form verwendet wird u(t) = u^ 2j e jωt e jωt, y(t) = y^ Die Gleichung(2.23) lässt sich als Summe kompakt schreiben n k= a (k) k y = m i= 2j e j(ωt+) e j(ωt+). (2.25) b i u (i), (2.26) wobei m n giltundund a n = erfülltist. DieAbleitungenin(2.26)lautenmitder komplexen Darstellung(2.25) (n) u = d n u u^ dtn =(jω)n 2j ejωt ( jω) n u^ 2j e jωt, (2.27)

86 76 (n) d y n y y^ = dtn =(jω)n 2j ej(ωt+) ( jω) n y^ 2j e j(ωt+). (2.28) Die Ableitungen in(2.26) können nun ersetzt werden ^ y n 2j ej(ωt+) k= = u^ 2j ejωt m a k (jω) k y^ i= 2j e j(ωt+) n k= b i (jω) i u^ 2j e jωt m i= a k ( jω) k a i ( jω) i. (2.29) Die Gleichung(2.29) ist erfüllt, wenn sie sowohl für positive als auch für negative Frequenzen gilt. Teilt man die Gleichung entsprechend auf, so folgt ^ y 2j ejωt e n j k= ^ y 2j e jωt e n j a k (jω) k = u^ 2j ejωt m k= i= a k ( jω) k = u^ 2j e jωt m Das Verhältnis von Eingang/Ausgang ergibt sowie ^ y u^ e j = ^ y u^ e j = m i= n k= m i= n k= b i (jω) i b i (jω) i, (2.3) i= b i ( jω) i. (2.3) a k (jω) k = G(jω), (2.32) b i ( jω) i a k ( jω) k = G( jω). (2.33) Für negative Frequenzen erhält man prinzipiell das gleiche Ergebnis wie für positive Frequenzen (für negative Frequenzen ist die Lösung lediglich konjugiert komplex). Es genügt also, lediglich die positiven Frequenzen(+jω) auszuwerten. Das Verhalten für sinusförmige Signale wird beschrieben durch Auswertung der Übertragungsfunktion G(s) auf der imaginären Achse(jω)[Gleichung(2.32)]. Die Übertragungsfunktion auf der imangiären Achse G(jω) wird Frequenzgang genannt.

87 77 Der Frequenzgang besteht aus Betrag G(jω) und Phase (jω) bzw. aus Real- und Imaginärteil. Fürjedes ω istderwert G(jω) einekomplexezahl Der Betrag G(jω):= z = a +jb = z e j. (2.34) G(jω) = z = y^ u^ (2.35) ist das Verhältnis der Amplitude von Ausgangs- zu Eingangssignal. Der Winkel =arctan b a =arctanim G(jω) ReG(jω) (2.36) ist der Phasenwinkel zwischen Ausgang y und dem Eingang u. 6.. Beispiel für einen Frequenzgang Die Übertragungsfunktion G(s) = 2s + (2.37) auf der imaginären Achse jω ist der Frequenzgang G(jω) = 2jω + = +j2ω. (2.38) Für den Betrag erhält man G(jω) = ' 4ω 2 +. (2.39) Die Phase lässt sich durch konjugiert komplexe Erweiterung von(2.38) bestimmen G(jω) = +j2ω Real- und Imaginärteil lauten j2ω j2ω = j2ω +4ω 2. (2.4) ReG(jω) = +4ω 2, Im G(jω) = j2ω +4ω 2. (2.4) Schließlich erhält man für den Winkel =arctan Im G(jω) =arctan 2ω = arctan2ω. (2.42) ReG(jω)

88 78 Für jede Frequenz ist der Frequenzgang ein komplexer Wert. Diese komplexe Zahl lässt sich in Polarkoordinaten(Betrag und Phase) oder in kartesischen Koordinaten(Real- und Imaginärteil) darstellen. Die grafische Darstellung von Betrag und Phase nennt man Bode-Diagramm. Die grafische Darstellung von Real- und Imaginärteil ist das Nyquist-Diagramm. (auch Ortskurve genannt). 6. Bode-Diagramm Betrag G(jω) alsfunktionderfrequenz ω unddeswinkels überω bildetdas Bode-Diagramm. Für eine bessere Darstellung verwendet man eine logarithmische Achse für die Frequenz und für den Betrag. Insbesondere bei amerikanischer Software findet sich eine Darstellung des Betrags in Dezibel[dB] db =2log G(jω). (4.87) Das Bode-Diagramm für(2.38) ist in Bild 2.24 dargestellt. G(jω) phase frequency ω [rad/s] Bild 2.24: Bode-Diagramm für(2.37)

89 Nyquist-Diagramm(Ortskurve) Nyquist-Diagramm: Imaginärteil Im{G(jω)} über Realteil Re{G(jω)}. Die Frequenz ω ist nun ein Parameter der entstehenden Kurve. In Europa ist die Darstellung der positiven Frequenzen üblich. Amerikanische Software verwendet dagegen die gesamte imaginäre Achse j jω j. Das Nyquist-Diagramm (europ. Version) des obigen Beispiels zeigt Bild imaginary part. ω ω = = π ω ω = Bild 2.25: Nyquist-Diagramm real part DerBetragvon G(jω) istderabstandderortskurvevomursprung.derwinkel tritt zwischen der reellen Achse und der Verbindung zwischen Ursprung und Punkt auf der Ortskurve auf. Bode- und Nyquist-Diagramm zeigen natürlich die gleichen Ergebnisse. Wenn ω gegen Unendlichstrebt,wirdderBetragnullundderWinkel wird -π/2. 7 Pole und Nullstellen Übertragungsfunktionen sind in der Regel gebrochen rationale Funktionen(mit einem Zähler- und einem Nennerpolynom). Die Nullstellen des Zählerpolynom sind die Übertragungsnullstellen.

90 8 Die Nullstellen des Nennerprolynoms sind die Pole der Übertragungsfunktion. Die Anzahl der Nullstellen ist mit der Ordnung des Polynoms identisch. Die Übertragungsfunktion G(s) = b ms m +b m s m + +b s +b s n +a n s n + +a s +a. (2.43) hat demnach m Nullstellen und n Pole. Für jedes technisch realisierbare System gilt m n. Jedes Polynom kann in faktorisierter Form geschrieben werden P(s) = a n s n +a n s n + +a s +a = a n s p s p2 s p n (2.44) bzw. kompakter P(s) = n a k s k = a n ( n s pk. (2.45) k= k= Eine gleichwertige Form ist die Pol-Nullstellen-Form der Übertragungsfunktion G(s) = b m ( m s qi i= ( n k= s pk. (2.46) Die Umwandlung erfordert die Berechnung aller Nullstellen und Pole der Übertragungsfunktion. 7. Beispiel: Umwandlung in die Pol-Nullstellen-Form Die Übertragungsfunktion G(s) = 3s2 +3s 6 s 3 +4s 2 +3s (2.47) besitztdienullstellen q =, q 2 =---2 unddiepole p =, p 2 =---, p 3 =---3. Den Koeffizienten b m =3 bezeichnetmanalsverstärkung(gain) G(s) = b 2 s q s q2 )(s +2) =3(s s p s p2 s p3 s(s +)(s +3). (2.48)

91 8 7.2 Der Einfluss von Polen und Nullstellen auf den Frequenzgang Der Frequenzgang G(jω) einer Übertragungsfunktion in Pol-Nullstellen-Form lautet G(jω) = b m ( m jω qi i= ( n k= jω pk. (2.49) Der Zähler besteht aus den Produkten aller komplexen Abstände von den Nullstellen zu einem Punkt jω auf der imaginären Achse. Der Nenner besteht dementsprechend aus den Produkten der Abstände zu den Polen. In Polarkoordinaten erhält man G(jω) = = b m ( m jω qi e j i i= ( n k= b m ( m jω qi i= ( n k= jω pk e j k. jω pk e jm i n i= k= k. (2.5) Die gesamte Phase ist somit die Summe aller Winkel der Zähler-Abstände minus aller Winkel der Nenner-Abstände = m i= i n k= k. (4.88)

92 82 Im(s) p s jω---q jω---p jω p q jω---p 2 q p2 Re(s) p 2 Bild 2.26: Zur Bestimmung des Frequenzgangs aus der Pol-Nullstellen-Form Das Diagramm 2.26 wurde für die Übertragungsfunktion G(s) = s + s 2 +3s (2.5) konstruiert,welchedienullstelle q =- unddiepole p /2 =-,5±j besitzt. Jede Nullstelle in der linken Halbebene bewirkt eine Phasendrehung um = +π/2. Jede Nullstelle in der rechten Halbebene bewirkt eine Phasendrehung um =---π/2. Jeder Pol in der linken Halbebene bewirkt eine Phasendrehung um =---π/2. Jeder Pol in der rechten Halbebene bewirkt eine Phasendrehung um = +π/2. Dabei ist es unerheblich, ob die Pole oder Nullstellen reell oder(konjugiert) komplex sind Das Bode-Diagramm von(2.5) bestätigt die obigen Aussagen.

93 Phase (deg) Magnitude (db) Bild 2.27: Bode-Diagramm für(2.5) Frequency (rad/sec) 7.3 Abhängigkeit des Betrag von den Nullstellen und Polen der Übertragungsfunktion Da der Betrag der Übertragungsfunktion (Bode-Diagramm) die Auswertung der Übertragungsfunktion auf der imaginären Achse ist, kann der Einfluss der Nullstellen und Pole durch die grafische Darstellung des Betrags der Übertragungsfunktion G(s) = G(σ + jω) (4.89) über der komplexen s-ebene verdeutlicht werden.

94 84 poles zero imaginary axis Bild 2.28: Betrag von G(s) in der komplexen s-ebene Die Nullstelle verursacht ein Loch in der Oberfläche; ein Pol bildet einen Berg. Der SchnittpunktderEbenemitderFlächeσ=ergibtdenBetragimBode-Diagramm.Im Unterschied zum Bode-Diagramm ist die jω-achse jedoch nicht logarithmisch skaliert. Aus dem Diagramm lassen sich folgende wichtige Regeln ableiten: Ein Pol mit einem geringen Abstand zur imaginären Achse hat einen großen Einfluss auf den Betrag im Bode-Diagramm. Die Pole nennt man die dominanten Pole. Eine Nullstelle mit einem geringen Abstand zur imaginären Achse hat einen großen Einfluss auf den Betrag im Bode-Diagramm. Diese Nullstellen nennt man die dominanten Nullstellen. In unserem Beispiel haben wir jedoch nur eine Nullstelle und ein konjugiert komplexes Polpaar. Eine Angabe von dominanten Polen oder Nullstellen macht hier keinen Sinn Allpass-Funktionen Ein sehr wichtiger Typ von Übertragungsfunktionen sind Allpass-Funktionen. Ein Allpass hat --- wie der Name vermuten lässt --- keine Frequenzabhängigkeit in der Verstärkung. Man erkennt Allpass-Funktionen an der Struktur G(s) = P( s) P(s). (4.9)

95 85 Pole und Nullstellen liegen symmetrisch zur imaginären Achse(alle Pole sind in der linken Halbebene). Ein Beispiel, dass(4.9) erfüllt, ist G(s) = s2 s+.25 s 2 +s+.25. (2.52) Die Nullstellen liegen bei q )2 =.5 * j (2.53) und die Pole betragen p )2 =.5 * j (2.54) (pzplane) imaginary axis Bild 2.29: Betrag von G(s) in der komplexen s-ebene Obwohl die Pole und Nullstellen gewöhnlich einen großen Einfluss auf den Betrag haben, heben sich die Wirkungen von Polen und Nullstellen hier auf der imaginären Achse auf. Der Betrag ist für alle Frequenzen. Die Phase ändert sich jedoch frequenzabhängig um 36. Das Bode-Diagramm ist in Bild 2.3 gezeichnet.

96 86 Phase (deg) Magnitude (db) Frequency(rad/sec) Bild 2.3: Bode-Diagramm einer Allpass-Funktion Die zugehörige Sprungantwort zeigt Bild 2.3. Amplitude Time (sec) Bild 2.3: Sprungantwort einer Allpass-Funktion Allpass-Funktionen lassen sich schwer regeln, da sie zunächst in die falsche Richtung tendieren.

97 RTS --- Übung 87 Übung5 8 Übungsbeispiele: Laplace-Transformation 8. Transformation in den Frequenzbereich Berechnen Sie die Laplace-Transformierten für folgende Funktionen der Zeit ohne Berechnung der Integraltransformation, d.h. verwenden Sie die Korrespondenztabelle und die Rechenregeln. ) x(t) =2 +5t t 2 2) 3) x(t) =sin(3t)cos(3t) x(t) = t 3 e 2t 4) Bilden Sie die Ableitung von x(t) aus 3) und überprüfen Sie die Gültigkeit des Differentiationssatzes ẋ = sx(s) x(+ ). 5) Signal x(t) t --- 6) Rampensignal(nicht periodisch)

98 RTS --- Übung 88 x(t) t --- 7) BestimmenSiedieLösungderDifferentialgleichung dy +2y =sint dt durch Laplace-Transformation und anschließende Rücktransformation in den Zeitbereich [y(t=) = ]. 8.2 Lösungen zu 8. ) x(t) =2 +5t t 2 ElementweiseTransformationliefert X(s) = 2 s +5 s 2 2 s 3. 2) x(t) =sin(3t)cos(3t) Anwendung des Additionstheorems sinxcosx=/2sin2x führt auf x(t) = sin(6t). DieLaplace-Transformiertefolgt danngemäß Tabellezu 2 X(s) = 6 2s s = s2 3s +36. ss ) x(t) = t 3 e 2t Unmittelbar kann die Laplace-Transformierte aus Tabelle abgelesen werden X(s) = 3! (s +2) 4 = 6 (s +2) 4. 4) Bilden Sie die Ableitung von x(t) aus 3) und überprüfen Sie die Gültigkeit des Differentiationssatzes ẋ = sx(s) x(+ ). Ableitung x(t) =3t 2 e 2t 2t 3 e 2t. Aus 3) erhält manaufgrund vonx(t=) =

99 RTS --- Übung 89 sx(s) = 6s (s +2) 4 = 6 (s +2) 3 2. Die Rücktransformation gemäß 4 (s +2) Tabelleführt auf diegleichelösung wiein3). 5) Signal Das Zeitsignal kann als folgenden elementaren Signale zusammengesetzt werden: x(t) =σ(t) 2σ(t 3) +2σ(t 5) 2σ(t 6) +σ(t 7). Der Verschiebungssatz führt dannauf X(s) = s 2e 3s +2e 5s 2e 6s e 7s. 6) Rampensignal(nicht periodisch) Die gleiche Vorgehensweise ist auch bei den verschobenen Rampensignalen möglich x(t) = 3 (t 3)σ(t 3) 2(t 6)σ(t 6) +2(t 2)σ(t 2) (t 5)σ(t 5). Die Laplace-Transformierte entsteht wieder durch Überlagerung der einzelnen Terme: X(s) = 3s 2 e 3s 2e 6s +2e 2s e 5s. 7) BestimmenSiedieLösungderDifferentialgleichung dy +2y =sint dt durch Laplace-Transformation und anschließende Rücktransformation in den Zeitbereich. Durch Transformation in den Frequenzbereich wird aus der DGL eine algebraische Gleichung, die einfacher gelöst werden kann sy(s) +2Y(s) = s 2 +, Y(s) = s +2 s 2 +. Aufteilung des Polynoms im Nenner ergibt Y(s) = s +2 s j s +j = a s +2 + b s j + c s +j. Man erhält aus der Partialbruchzerlegung a = 5, b = 2j, c = +2j und damit im Zeitbereich y(t) = 5 e 2t + 2j e jt + +2j e jt = 5 e 2t e jt +e jt + 2 j e jt e jt = 5 e 2t 5 cost +2 5 sint. Überprüfen Sie die Lösung durch Einsetzen in die DGL!

100 RTS --- Übung Inverse Laplace-Transformation über Residuensatz und Partialbruchzerlegung Berechnen Sie die inverse Laplace-Transformierten für folgende Funktionen mit den zwei genannten Verfahren ) X(s) = 2s 2 s 2 + a) Residuensatz b) Partialbruchzerlegung 2) X(s) = s3 +6s 2 +4s + (s +2) 4 (s +) a) Residuensatz b) Partialbruchzerlegung 8.4 Lösungen zu 8.3.a) Residuensatz: Die Pole liegen bei ±j. Folglich ist die inverse Laplace-Transformation x(t) = R +R 2 mit den Residuen R k = lim d n s s k n! ds n X(s)e st s sk n. Da die Pole nur einfach auftreten, muss keine Ableitung gebildet werden R =lim s j X(s)e st s j =lim s j2 2s s = s +j st s=j 2 +j e 4 jt, R 2 = lim s j X(s)e st s +j = lim s j2 2s s = s j st s= j 2 j e 4 jt. Die Lösung lautet damit x(t) = 2 e jt +e jt +j 4 e jt e jt = 2 (2cost) +j 4 2jsint =cost 2 sint..b) Partialbruchzerlegung: Es muss die Funktion nicht in die Partialbrüche zerlegt werden, die sich aus den Polen der Funktion ergeben. Vielmehr genügt eine Zerlegung, die aufgrund der Korrespondenztabelle eine Rücktransformation zulässt. In diesem Fall wäre das X(s) = 2s 2 s 2 + = s s s 2 +. Aus der Tabelle folgt dann unmittelbar x(t) =cost 2 sint.

101 RTS --- Übung 9 2a) Residuensatz: EsbestehenzweiPole(s =-2, s 2 =-).Esmüssen somit die zwei Residuen sowie R = lim s 2 3! d 3 ds 3 X(s)e st (s +2) 4 R 2 = lim X(s)e st (s +) s bestimmt werden. R = lim d 3 +6s 2 +4s + s 2 6 ds 3s3 e st s + Nach längerer Rechnung (ggf. mit einem symbolischem Mathematikprogramm) erhält man R = 6 6+2t 3 e 2t = t3 3 e 2t sowie R 2 = lim s Die gesamte Zeitfunktion lautet damit s 3 +6s 2 +4s + (s +2) 4 e st = e t x(t) = t3 3 e 2t +e t. 2.b) Partialbruchzerlegung: Diese Berechnung gestaltet sich etwas komplizierter, da nicht bekannt ist, welche Partialbrüche tatsächlich auftreten. Man muss deshalb alle möglichen Lösungen ansetzen: X(s) = a 4 (s +2) 4 + a 3 (s +2) 3 + a 2 (s +2) 2 + a s +2 + a 2 s +. Für die Zählerkoeffizienten erhält man[s. Vorlesung (4.77)] a 4 = lim s 2 a 2 = lim s 2 a 2 = lim s 2 a = lim s 2 s 3 +6s 2 +4s + s +! 2! 3! =2 d ds s3 +6s 2 +4s + = s + d 2 +6s 2 +4s + ds 2s3 = s + d 3 +6s 2 +4s + ds 3s3 s + a 2 = lim s 3 +6s 2 +4s + s (s +2) 4 =. Damit lautet die Partialbruchzerlegung X(s) = 2 (s +2) 4 s +2 + s +. Mit Hilfe der Tabelle findet man x(t) = 2 6 t3 e 2t e 2t +e t und damit natürlich das gleiche Ergebnis wie unter 2.a). =

102 RTS --- Übung 92 Übung6 8.5 Konstruktion von Bode- und Nyquist-Diagrammen Skizzieren Sie Bode- und Nyquist-Diagramm für folgende Übertragungsfunktionen: () G(s) = 3s + (2) G(s) = 3s (3) G(s) = s + (s +.)(s +) (4) G(s) = s Lösungen zu 8.5 () G(jw) = +j3ω, G(jw) = ' +9ω 2, = arctan Im {Nenner} Re{Nenner} = arctan3ω. Die Grenzfrequenz (Abfall der Verstärkung um 2 ' ) liegt bei ω = /3. Damit kann das Bode-Diagramm gezeichnet werden.

103 RTS --- Übung 93 Phase (deg) Magnitude (db) Frequency(rad/sec) Bild 2.32: Bode-Diagramm zu() Real- und Imaginärteil folgen durch konjugiert komplexe Erweiterung von G(jw) = j3ω j3ω = +j3ω j3ω +9ω 2. Das Nyquist-Diagramm kann mit Hilfe der folgenden Tabelle skizziert werden: Re{G(jω)} lim ω lim ω Im{G(jω)}

104 RTS --- Übung 94 Imaginärteil ω Realteil Bild 2.33: Nyquist-Diagramm zu() (2) Das Bode-Diagramm von G(jw) = +jω = jω unterscheidet sich von() nur durch die Phase G(jw) = ' +9ω 2, = π arctan Im {Nenner} Re{Nenner} = π+arctan3ω.

105 RTS --- Übung 95 Phase (deg) Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Bild 2.34: Bode-Diagramm zu(2) Real- und Imaginärteil folgen durch konjugiert komplexe Erweiterung von G(jw) = +j3ω +j3ω = j3ω +j3ω +9ω 2. Das Nyquist-Diagramm kann mit Hilfe der folgenden Tabelle skizziert werden: Re{G(jω)} lim ω --- lim ω Im{G(jω)}

106 RTS --- Übung 96 Imaginärteil ω Realteil Bild 2.35: Nyquist-Diagramm zu(2) (3) Aufgrund der logarithmischen Skalierung können die einzelnen Terme von +jω G(jω) =. +jω +jω durch Addition bzw. Subtraktion zum gesamten Bode-Diagramm überlagert werden. Betrag und Phase lauten: ' +ω G(jω) = 2, '. +ω 2 ' +jω 2 (jω) =arctanω arctanω arctan.ω.

107 RTS --- Übung 97 Phase (deg) Magnitude (db) Bild 2.36: Bode-Diagramm zu(3) Frequency (rad/sec) Das Nyquist-Diagramm kann unter Zuhilfenahme des bekannten Bode-Diagramms gezeichnet werden. Zusätzlich bestimmt man Anfang und Ende des Nyquist-Diagramms durch die Grenzübergänge 2 Re{G(jω)} lim ω lim ω Im{G(jω)}

108 RTS --- Übung 98 Imaginärteil ω Realteil Bild 2.37: Nyquist-Diagramm zu(3) (4) G(jω) = (jω) 2 = ω 2, = 8. Phase (deg) Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Bild 2.38: Bode-Diagramm zu(4) Das Nyquist-Diagramm liegt auf der gesamten negativen reellen Achse von - bis.

109 RTS --- Übung 99 j Im ω Re Bild 2.39: Nyquist-Diagramm zu(4)

110 RTS --- Übung Lab#2: 9 Messung des Frequenzgangs(Identifikation) Der Frequenzgang eines unbekannten Prozesses soll gemessen werden. Die gemessenen Werte sollen für eine Parameteridentifikation des unbekannten Prozesses verwendet werden. Aus dem Verlauf der Phase soll auf die Ordnung bzw. Struktur des Prozesses geschlossen werden. Die Aufbau einer Amplituden- und Phasenmessung zeigt das nachstehende Blockschaltbild. Bild 2.4: Matlab/Simulink Modell für die Messung des Frequenzgangs Der unbekannte Prozess wird in diesem Beispiel durch die Übertragungsfunktion G(s) =.4s + (2.55) ersetzt. Später wird über die Real-time-Komponente von Matlab/Simulink ein realer Prozess angeschlossen.

111 RTS --- Übung Das System wird angeregt durch einen Kosinus-/Sinusgenerator, von dem nur die Kosinuskomponente den Eingang für den Prozess liefert. Bild 2.4: Detailansicht der Analysekomponente Der Analysator (in Bild 2.4 detailliert dargestellt) benötigt Sinus und Kosinus des Eingangssignals für den Prozess, die Frequenz sowie des Ausgangssignal des Prozesses. Es wird der Sinus des Ausgangssignals über einen Allpass gebildet. Theorie des Allpasses: Der Allpass besitzt die Übertragungsfunktion G AP (s) = ω s ω +s =2ω ω s ω +s ω =2. ω +s (2.56) Der Betrag der Übertragungsfunktion ist immer für alle Frequenzen(deshalb Allpass). Der Phasenwinkel ergibt sich zu φ(jω) = arctan ω ω arctan ω ω = 2arctan ω ω. (2.57) Für ω= ω istderphasenwinkelsomit---9.damitwirdauseinemkosinussignalein Sinussignal. Theorie der Betragsbestimmung: Wenn Sinus und Kosinus eines Signals bekannt sind, kann die Amplitude einfach durch folgende Rechnung bestimmt werden:

112 RTS --- Übung 2 ' u^2sin 2 (ω t) +u^2cos 2 (ω t) = u^ ' sin 2 (ω t) +cos 2 (ω t) = u^. (2.58) Die Frequenz hat damit keinen Einfluss mehr auf die Bestimmung der Amplitude. Theorie der Phasenbestimmung: Für eine Bestimmung der Phasenverschiebung werden Sinus und Kosinus von Eingang und Ausgang benötigt. Es stehen somit folgende Größen zur Verfügung: u cos = u^cos(ω t), (2.59) u sin = u^sin(ω t), (2.6) y cos = y^cos(ω t +φ), (2.6) y sin = y^sin(ω t +φ). (2.62) Hinweis: der Phasenwinkel ist meist negativ. Die Sinus- und Kosinusgrößen lassen sich zu komplexen Größen zusammenfassen u = u^cos(ω t) +j u^sin(ω t), (2.63) y = y^cos(ω t +φ) +j y^sin(ω t +φ) (2.64) bzw. in Polarkoordinaten u = u^e jω t, (2.65) y = y^e j ω t+φ. (2.66) Betrachtet man den Term y u * = y^e j ω t+φ u^e jω t = y^u^e φ. (2.67) Das Ergebnis ist konstant und somit kann der Winkel aus Real- und Imaginärteil von(2.67) bestimmt werden. Die Dazu notwendige Berechnung wird aber gemäß y u * = ycos +j y sin ucos j u sin = y cos u cos +y sin u sin +j ysin u cos y cos u sin (2.68) in kartesischen Koordinaten ausgeführt. Erzeugen Sie aus dem ursprünglichen Matlab/Simulink Modell eine Real-time- Version, die einen externen Prozess einbindet. Messen Sie bei verschiedenen Frequenzen die Verstärkung und den Phasenwinkel(ca Messungen) über einen großen Frequenzbereich.

113 RTS --- Übung 3 Notieren Sie die Werte und verwenden Sie die Messwerte für eine Parameteridentifikation im Frequenzbereich durch Übereinstimmung im Bode-Diagramm.

114 4 Warum Laplace-Transformation? Signale lassen sich als sowohl als Funktion der Zeit als auch als Funktion der Frequenz(mit Hilfe der Laplace-Transformation) gleichwertig beschreiben. Man spricht bei einer Darstellung der Signale als Laplace-Transformierte auch von Frequenz- oder Bildbereich. Da sich die Regelungstechnik mit Signalen, Systemen und deren Wechselwirkungen befaßt, ist es besonders vorteilhaft, wenn sich das Übertragungsverhalten einfach beschreiben läßt. Dieser Zusammenhang ist im Frequenzbereich deutlich einfacher als im Zeitbereich. Im Zeitbereich gilt zwischen Eingang und Ausgang eines System das Faltungsintegral x(t) = t g(t τ)y(τ)dτ. (3.55) Bild 3.9 verdeutlicht den Zusammenhang. y(t) Prozeß g(t) x(t) Bild 3.9: Eingangssignal y, Ausgangssignal x und dynamisches System im Zeitbereich Das Faltungsintegral ermöglicht die Berechnung der Ausgangsgröße für beliebige Eingangssignale y(t). Allerdings ist seine Berechnung recht aufwendig. Ein wesentlich einfacherer Zusammenhang besteht im Frequenzbereich. Hierzu wollen wir die Laplace-Transformierte von x(t) nach(3.55) berechnen Lx(t) = x(t)e pt dt = t g(t τ)y(τ)dτ e pt dt. (3.56) t= t= τ= Die obere Integrationsgrenze für das innere Integral kann für τ kann auf gesetzt werden,dafür τ>t dann g(t---τ) identischnullist. Lx(t) = X(p) = t= τ= g(t τ)y(τ)dτ e pt dt. (3.57) Wir ersetzen t--- τ durch σ(variablensubstitution). Für dt können wir auch dσ schreiben X(p) = σ= τ τ= g(σ)y(τ)e p(τ+σ) dτ dσ. (3.58)

115 5 DasäußereIntegralkannmitderUntergrenze σ= beginnen,da g(σ) fürnegative σ Null ist X(p) = σ= τ= g(σ)y(τ)e pτ e pσ dτ dσ. (3.59) Nun läßt sich das Doppelintegral vollständig in zwei einzelne Integrale aufteilen, da das Produktin(3.59)ausFunktionenbesteht,entwedernurvon τ odernurvon σ abhängen X(p) = g(σ)e pσ dσ y(τ)e pτ dτ. (3.6) σ= τ= Die beiden Integrale beschreiben nun die zwei Laplace-Transformierten von g(t) und y(t) X(p) = Lg(t) Ly(t) = G(p)Y(p). (3.6) Offensichtlich wird aus dem komplizierten Faltungsintegral im Zeitbereich eine einfache Multiplikation von Funktionen im Bildbereich. Dies ist der Grund für die Verbreitung der Laplace-Transformation in der Regelungstechnik. Man bezeichnet die Laplace-Transformierte G(p) der Impulsantwort g(t) als Übertragungsfunktion F(p). Der Ausgang eines Systems X(p) ergibt sich durch Multiplikation der Übertragungsfunktion F(p) mit dem Eingangssignal Y(p). Das Bild 3. verdeutlicht den einfachen Zusammenhang im Bildbereich. Y(p) Prozeß F(p) X(p) X(p) = F(p)Y(p) Bild 3.: Eingangssignal Y(p), Ausgangssignal X(p) und dynamisches System F(p) im Frequenzbereich

116 6 Reglertypen Ein Regler kann im Prinzip jede beliebige Übertragungsfunktion annehmen. Es werden in der Praxis jedoch häufig Standardtypen eingesetzt, die als sogenannte Industrieregler verfügbar sind. Standardregler decken etwa 9% aller regelungstechnischen Anwendungen ab. Bild 2.42: IndustriereglervonSiemens Standardregler sind PID-Typen. Die Buchstaben stehen für P Proportional I Integral D Derivative (Ableitung) K(s) =V R u V R y Bild 2.43: Proportional-Regler K(s) = T i s u T i y Bild 2.44: Integral-Regler

117 7 T K(s) = D s T * s + u T D y Bild 2.45: Differential- Regler P-, I- und D-Elemente werden häufig kombiniert(d.h. addiert, nicht hintereinandergeschaltet). Die populärsten Typen sind PI, PD und PID. PI-Regler: DerRegleristdieSummeauseinemP-undeinemI-Regler K(s) = V R + T i s = V R T i s + T i s. (2.69) Der PI-Regler hat eine negative Nullstelle und einen Pol im Ursprung. Die Standard-Darstellung(gemäßDIN, T n =Nachstellzeit) K(s) =V R T n s + T n s u V R T n y Bild 2.46: PI-Regler PD-Regler: DerReglerbestehtausderSummevonP-undD-Regler K(s) = V R + T D s T * s + = V R T * +T D s +VR T * s +. (2.7) Der PD-Regler hat eine negative Nullstelle und einen negativen Pol. Die Standarddarstellung für einen PD-Regler ist K(s) =VR T D s + T s + u T D T y Bild 2.47: PD-Regler PID-Regler: Der Regler resultiert aus der Summe eines P-, eines I- und eine D-Elementes K(s) = V R + T i s + T D s T * s + = V R T i T * +T D T i s 2 + VR T i +T * s + T i s T * s +. (2.7)

118 8 Der PID-Regler hat zwei Nullstellen mit negativem Realteil, einen negativen Pol und einen Pol im Ursprung (Integrator). Die Standarddarstellung des PID-Reglers lautet (man beschränkt sich auf zwei reelle Nullstellen) K(s) =V R (T n s +) TV s + T n s T * s + u y Bild 2.48: PID-Regler 2 Heuristische Verfahren Heuristische Verfahren sind nicht-mathematische Methoden( Bauernregeln ), um die Parameter einer Reglers zu ermitteln. Die Regeln sind das Ergebnis vieler Experimente. In vielen Anwendungen haben sich die Einstellregeln bewährt. Allerdings besteht stets das Risiko, dass das Regelsystem nicht wie erwartet funktioniert. 2. T u -T g -Methoden(T u -T -Methoden) Die Verfahren basieren auf zwei einfach bestimmbaren Werten aus einer gemessenen Sprungantwort.DieWertewerdenals T u und T g bezeichnet. Sprungantwort y(t) V G Wendetangente 2. Ableitung wird null T u T g Zeit t Bild 2.49: Bestimmungvon T u und T g DieMessungdesParameters T g machtnursinn,wenndiesprungantworteinenendwert erreicht.weinweitererparameterist V G, dieverstärkungderungeregeltenprozesses. Bei Systemen mit unendlicher Sprungantwort(integrierende Systeme) wird anstelle von T g derparameter T verwendet.

119 9 Sprungantwort y(t) k i T Tangente T u T Zeit t Bild 2.5: Messungvon T u und T für integrierende Prozesse DieParameter T u, T und k i könnendemgemessenendiagrammdersprungantwort einfach abgelesen werden(s. Bild 2.5). Sobald die Parameter bestimmt wurden, lassen sich die Parameter eines gewünschten Reglers einfach aus einer Tabelle bestimmen. Es existieren mehrere Regeln bzw. Tabellen. An dieser Stelle sollen nur die bekannten Einstellregeln von Oppelt angegeben werden. 2.. Einstellregeln nach Oppelt TabelleA: Oppelt-Einstellregelnfürnicht-integrierendeProzesse = T u -T g -Regeln Reglertyp Verstärkung P V R = T g /(T u V G ) PI Integrations- Zeitkonstante V R =.8 T g /(T u V G ) T n =3T u D-Zeitkonstante PD V R =.2 T g /(T u V G ) T V = T u PID V R =.2 T g /(T u V G ) T n =2T u T V =.42 T u TabelleB: Oppelt-Regelnfür integrierendeprozesse = T u -T -Regeln Reglertyp Verstärkung P V R =.5/(k i T u ) Integrations- Zeitkonstante D-Zeitkonstante PI V R =.42/(k i T u ) T n =5.8 T u PD V R =.5/(k i T u ) T V =.5 T u PID V R =.4/(k i T u ) T n =3.2 T u T V =.8 T u 2..2 Einstellregeln nach Chien, Hrones und Reswick(= gebräuchlich) DiefolgendenEinstellregelnsolltennurverwendetwerden,wenn T g >3 T u erfülltist!falls diese Bedingung nicht gilt, kann der Regler immer über Vorgabe des Betrags- oder des

120 Phasenabstands bestimmt werden. Dies erfordert allerdings ein Modell der Strecke und nicht nur die gemessene Sprungantwort. Tabelle C: Einstellregeln nach Chien, Hrones und Reswick für nicht-integrierende Prozesse Reglertyp Param. aperiodisch ca. 2% Überschwingen Störung Führung Störung Führung P V R.3T g /(T u V G ).3T g /(T u V G ).7T g /(T u V G ).7T g /(T u V G ) PI V R.6T g /(T u V G ).35T g /(T u V G ).7T g /(T u V G ).6T g /(T u V G ) T n 4T u.2t g 2.3T u T g PID V R.95T g /(T u V G ).6T g /(T u V G ).2T g /(T u V G ).95T g /(T u V G ) T n 2.4T u T g 2T u.35t g T v.42t u.5t u.42t u.47t u Anmerkung: der als ideal angenommene PID-Regler hat die Form K(s) = V R + T n s +T V s. (2.72) 2.2 Ziegler-Nichols-Methode Die Einstellregeln von Ziegler-Nichols sind sehr leistungsfähig und führen häufig zu brauchbaren Regelungen in der Praxis. Nachteilig an dem Verfahren ist, dass Experimente mit dem Prozess durchgeführt werden müssen, die bis an den Rand der Stabilität gehen. Die Ziegler-Nichols-Einstellregeln setzen die die Oppelt-Regeln den idealen PID-Regler (2.72) voraus. Nach Ziegler-Nichols lassen sich aber auch PI-Regler entwerfen Die Einstellung nach Ziegler-Nichols beginnt mit einem einfachen Proportionalregler, dessen Verstärkung solange erhöht wird, bis eine stationäre Schwingung entsteht (Stabilitätsgrenze). realer Prozess K =V krit G --- T krit Bild 2.5: Geschlossener Kreis mit einem P-Regler variabler Verstärkung

121 DieVerstärkung,beidereinestationäreSchwingungauftrittbezeichnetmanals V krit, die PeriodendauerderSchwingungist T krit.wenndiesewerteermitteltwurden,lassenichsich Parameter des gewünschten Reglers aus der folgenden Tabelle ablesen. Tabelle D: Ziegler-Nichols Einstellregeln Reglertyp Verstärkung Integrations- Zeitkonstante D-Zeitkonstante PI V R =.45 V krit T n =.85 T krit PID V R =.6 V krit T n =.5 T krit T V =.2 T krit 3 Reglerentwurf über den Phasenabstand Der Phasenabstand Ψ d :=π +φ(jω d ) (2.73) isteingutesmaßfürdiestabilitäteinesregelkreises.dabeiist ω d diedurchtrittsfrequenz in den Einheitskreis, d.h. es gilt F (jω d ) =!. (2.74) JegrößerderPhasenabstand Ψ d ist,umsogrößeristauchderabstandderortskurveim Nyquist---Diagrammzur - unddamitzurinstabilität.einphasenabstandψ d 6 wird als notwendig für einen hinreichenden Abstand zur - angesehen. FürdasBeispielinBild2.52erhältmanfür F =.25 K R s(s +)(4s +). (2.75) z w K R s s s + y Bild 2.52: Regelkreis mit Integralregler ZurVerwendungdesPhasenabstandswerdenBetragundPhasevon F (jω) benötigt

122 2 F (jω) =.25 K R jω( +jω)( +4jω), (2.76).25 K F (jω) = R, (2.77) ω ' +ω 2 ' +6ω 2 φ = π 2 arctanω arctan4ω. (2.78) Der Phasenabstand(2.73) wird mit(2.78) Ψ d =π +φ = π 2 arctanω d arctan4ω d. (2.79) Setzen wir als gewünschten Phasenabstand Ψ d =π/3 (6 ) an, so erhält man eine GleichungzurBestimmungvon ω d Ψ d =! π 3 =π 2 arctanω d arctan4ω d (2.8) oder π 6 arctanω d arctan4ω d =!. (2.8) Diese Gleichung lässt sich leider nur numerisch z.b. über Newton-Raphson lösen, man erhält ω d = (2.82) AusderBetragsbedingung(2.74)folgtschließlich K R F (jω d ) = K R = ω d ' ω d '.25 K R +ω 2 d ' +6ω 2 d =!, (2.83) +ω 2 ' +6ω 2 d d =.966. (2.84).25 Das Nyquist-Diagramm mit dieser Verstärkung zeigt den Phasenabstand von 6.

123 3 Ψd=6 Bild 2.53: Nyquist-Diagrammvon F (jω) Die Sprungantwort des geschlossenen Kreises (Bild 2.54) zeigt das erwartete gute Verhalten.