Zusatzmaterialien zu Übung 5 zur Vorlesung Informatik II für Verkehrsingenieurwesen: Systemeigenschaften und Gewichtsfunktion/folge

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1 Fakultät Informatik Institut für Angewandte Informatik, Professur für Technische Informationssysteme Zusatzmaterialien zu Übung 5 zur Vorlesung Informatik II für Verkehrsingenieurwesen: Systemeigenschaften und Dresden, den

2 Gliederung Vorbemerkungen Weitere Systemeigenschaften Bedeutung der Gewichtsfunktion Bedeutung der Gewichtsfolge Zusammenfassung Folie 2 von 34

3 Gliederung Vorbemerkungen Weitere Systemeigenschaften Bedeutung der Gewichtsfunktion Bedeutung der Gewichtsfolge Zusammenfassung Folie 3 von 34

4 Vorbemerkungen Bei Fragen oder Problemen Autor und Ansprechpartner: Dipl.-Inf. Denis Stein Webseite: Folie 4 von 34

5 Gliederung Vorbemerkungen Weitere Systemeigenschaften Kausalität Stabilität Bedeutung der Gewichtsfunktion Bedeutung der Gewichtsfolge Zusammenfassung Folie 5 von 34

6 Weitere Systemeigenschaften Kausalität Definition kausales System Ein System heißt kausal gdw. das Kausalitätsprinzip gilt. Definition akausales System Ein System heißt akausal, wenn das Kausalitätsprinzip nicht gilt. Anmerkungen zum Skript Die Unterscheidung in starke und schwache Kausalität (S. 20) ist hier nicht zielführend. Obige Definitionen entsprechen inhaltlich denen von S. 36f., wobei nichtkausal (Skript) akausal (dieser Foliensatz) entspricht. Folie 6 von 34

7 Weitere Systemeigenschaften Kausalität Definition Kausalitätsprinzip Es gilt: y t t f x t t 1 1 oder anders formuliert: Der Wert des Ausgangssignals y zum Zeitpunkt t 1 hängt ausschließlich vom Eingangssignal x für Zeiten t t 1 ab. mit anderen Worten: Die Wirkung des Systems (Reaktion; Ausgangssignal) setzt nicht vor der zugehörigen Ursache (Anregung; Eingangssignal) ein. Folie 7 von 34

8 Weitere Systemeigenschaften Kausalität Beispiele zum Kausalitätsprinzip x(t) y(t) x(t) kausales System 1 y(t) x(t) t y t t 1 f x t t 1 y(t) t x(t) kausales System 2 y(t) t t Folie 8 von 34

9 Weitere Systemeigenschaften Kausalität Beispiele zum Kausalitätsprinzip II x(t) x(t) akausales System y(t) y(t) t y t t 1 f x t t 1 t Folie 9 von 34

10 Weitere Systemeigenschaften Stabilität Definition stabiles System Ein System heißt (BIBO-)stabil gdw. es auf alle begrenzten Eingangssignale x(t) mit einem begrenzten Ausgangssignal y(t) = f(x(t)) reagiert: t, x t : x t y t BIBO ist die englische Abkürzung für bounded input bounded output. Folie 10 von 34

11 Weitere Systemeigenschaften Stabilität Definition instabiles System Ein System heißt (BIBO-)instabil, wenn es ein begrenztes Eingangssignal x(t) gibt, auf das mit einem unbegrenzten Ausgangssignal y(t) = f(x(t)) reagiert wird: t, x t : x t y t Siehe auch Video auf Webseite. Folie 11 von 34

12 Weitere Systemeigenschaften Stabilität Beispiele zur Stabilität x(t) y(t) x(t) instabiles System 1 y(t) t x t y t t x(t) y(t) x(t) instabiles System 2 y(t) t t Folie 12 von 34

13 Weitere Systemeigenschaften Stabilität Beobachtungen Für Nachweis der Stabilität müssen alle möglichen endlichen Eingangssignale x(t) getestet werden. unmöglich! Für Nachweis der Instabilität reicht die Kenntnis eines endlichen Eingangssignals x(t), auf das mit einem unendlichen Ausgangssignal y(t) reagiert wird. Interessant ist insbesondere die Stabilität komplexer Strukturen. Idee: Untersuchung der Gewichtsfunktion g(t). Folie 13 von 34

14 Gliederung Vorbemerkungen Weitere Systemeigenschaften Bedeutung der Gewichtsfunktion Bedeutung der Gewichtsfolge Zusammenfassung Folie 14 von 34

15 Bedeutung der Gewichtsfunktion Wiederholung Bei Kenntnis der Gewichtsfunktion g(t) ist das Verhalten eines LTI-Systems und damit dessen Reaktion auf ein beliebiges Eingangssignal x(t) eindeutig beschrieben. x(t) g(t) y(t) Frage: Ist damit auch der Nachweis von Systemeigenschaften durch bloße Untersuchung von g(t) möglich? Folie 15 von 34

16 Bedeutung der Gewichtsfunktion Nochmals betrachtete Systemeigenschaften Dynamik (statisches oder dynamisches System) Art des Zeitparameters (zeitdiskretes oder zeitkontinuierliches System) Kausalität (kausales oder akausales Systems) Stabilität (stabiles oder instabiles System) Folie 16 von 34

17 Bedeutung der Gewichtsfunktion Nochmals betrachtete Systemeigenschaften II Dynamik: statisches System: g(t 0) = 0 dynamisches System: g(t 0) 0 mit anderen Worten: Die Amplitude von Gewichtsfunktionen statischer Systeme ist nur zum Zeitpunkt t = 0 von 0 verschieden. Folie 17 von 34

18 Bedeutung der Gewichtsfunktion Nochmals betrachtete Systemeigenschaften III Art des Zeitparameters: zeitdiskretes System: g(t) zeitdiskret zeitkontinuierliches System: g(t) zeitkontinuierlich mit anderen Worten: Die Signaleigenschaft (Zeitparameter von g(t)) entspricht der Systemeigenschaft. Folie 18 von 34

19 Bedeutung der Gewichtsfunktion Nochmals betrachtete Systemeigenschaften IV Kausalität: kausales System: g(t < 0) = 0 akausales System: g(t < 0) 0 mit anderen Worten: Die Amplitude von Gewichtsfunktionen kausaler Systeme ist nur für Zeitpunkte t 0 von 0 verschieden. Folie 19 von 34

20 Bedeutung der Gewichtsfunktion Nochmals betrachtete Systemeigenschaften V Stabilität: stabiles System: g d instabiles System: g d mit anderen Worten: Die Fläche unter dem Betrag der Gewichtsfunktion ist bei stabilen Systemen endlich. 1. Konsequenz: Stabilitätsnachweis ist unmittelbar an g(t) möglich 2. Konsequenz: Statt unendlich vieler beschränkter Eingangssignale ist nur noch eines die Gewichtsfunktion zu untersuchen. Folie 20 von 34

21 Bedeutung der Gewichtsfunktion Beispiele g(t) 0 t Eigenschaften des Systems: dynamisch g(t 0) 0 zeitkontinuierlich g(t) zeitkontinuierlich akausal g(t < 0) 0 instabil g d Folie 21 von 34

22 Bedeutung der Gewichtsfunktion Beispiele II g(t) 0 t Eigenschaften des Systems: statisch g(t 0) = 0 zeitkontinuierlich g(t) zeitkontinuierlich kausal g(t < 0) = 0 stabil g d Folie 22 von 34

23 Bedeutung der Gewichtsfunktion Beispiele III g(t) 0 t Eigenschaften des Systems: dynamisch g(t 0) 0 zeitkontinuierlich g(t) zeitkontinuierlich kausal g(t < 0) = 0 stabil g d Folie 23 von 34

24 Gliederung Vorbemerkungen Weitere Systemeigenschaften Bedeutung der Gewichtsfunktion Bedeutung der Gewichtsfolge Zusammenfassung Folie 24 von 34

25 Bedeutung der Gewichtsfolge Beobachtung Bei Kenntnis der Gewichtsfunktion hier genauer: der Gewichtsfolge g(kt) ist das Verhalten eines (LTI-) Systems und damit dessen Reaktion auf ein beliebiges Eingangssignal x(kt) eindeutig beschrieben. x(kt) g(kt) y(kt) Frage: Ist damit erneut der Nachweis von Systemeigenschaften durch bloße Untersuchung von g(kt) möglich? Antwort: Ja. Folie 25 von 34

26 Bedeutung der Gewichtsfolge Nochmals betrachtete Systemeigenschaften Dynamik: statisches System: g(kt 0) = 0 dynamisches System: g(kt 0) 0 mit anderen Worten: Die Amplitude von Gewichtsfolgen statischer Systeme ist nur für k = 0 von 0 verschieden. Folie 26 von 34

27 Bedeutung der Gewichtsfolge Nochmals betrachtete Systemeigenschaften II Kausalität: kausales System: g(kt < 0) = 0 akausales System: g(kt < 0) 0 mit anderen Worten: Die Amplitude von Gewichtsfolgen kausaler Systeme ist nur für k 0 von 0 verschieden. Folie 27 von 34

28 Bedeutung der Gewichtsfolge Nochmals betrachtete Systemeigenschaften III Stabilität: stabiles System: T k g kt instabiles System: mit anderen Worten: Die Summe das Betrags der Werte der Gewichtsfolge ist bei stabilen Systemen endlich. 1. Konsequenz: Stabilitätsnachweis ist unmittelbar an g(kt) möglich T 2. Konsequenz: Statt unendlich vieler beschränkter Eingangssignale ist nur noch eines die Gewichtsfolge zu untersuchen. k g kt Folie 28 von 34

29 Bedeutung der Gewichtsfolge Beispiele g(kt) k Eigenschaften des Systems: dynamisch g(kt 0) 0 zeitdiskret g(kt) zeitdiskret akausal g(kt < 0) 0 instabil T k g kt Folie 29 von 34

30 Bedeutung der Gewichtsfolge Beispiele II g(kt) k Eigenschaften des Systems: statisch g(kt 0) = 0 zeitdiskret g(kt) zeitdiskret kausal g(kt < 0) = 0 stabil T g kt k Folie 30 von 34

31 Bedeutung der Gewichtsfolge Beispiele III g(kt) k Eigenschaften des Systems: dynamisch g(kt 0) 0 zeitdiskret g(kt) zeitdiskret kausal g(kt < 0) = 0 stabil T k g kt Folie 31 von 34

32 Gliederung Vorbemerkungen Weitere Systemeigenschaften Bedeutung der Gewichtsfunktion Bedeutung der Gewichtsfolge Zusammenfassung Folie 32 von 34

33 Zusammenfassung Zusammenfassung Die Gewichtsfunktion g(t) beschreibt das Verhalten eines zeitkontinuierlichen Systems eindeutig. Die Gewichtsfolge g(kt) beschreibt das Verhalten eines zeitdiskreten Systems eindeutig. Insbesondere kann bei Kenntnis der Gewichtsfunktion bzw. Gewichtsfolge Stabilität nachgewiesen werden unabhängig vom konkreten Eingangssignal. Folie 33 von 34

34 Wissen schließt Lücken Folie 34 von 34