Beschränkte Funktionen
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- Bettina Sofie Lenz
- vor 6 Jahren
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1 Beschränkte Funktionen 1 1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
2 Eine beschränkte Funktion: Beispiel 1 a = 1 Abb. 1 1: Eine von unten beschränkte Funktion y = 0.5 x² Die Funktion y = 0.5 x² besitzt keine negativen Funktionswerte. f x = 0.5 x 2 : D = R, W = R + 1 2a Ma 1 Lubov Vassilevskaya
3 Eine beschränkte Funktion: Beispiel 1 Die Funktion y = 0.5 x² besitzt keine negativen Funktionswerte. Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt f x a wobei a eine beliebige nicht positive reelle Zahl sein darf, also beispielsweise a = 0 oder a = 5 usw. Man nennt y = 0.5 x² eine nach unten beschränkte Funktion. Jede Zahl, die die Eigenschaft besitzt, dass sie kleiner ist als alle Funktionswerte der Funktion y = 0.5 x², wird als untere Schranke dieser Funktion bezeichnet. Eine untere Schranke muss nicht unbedingt mit dem kleinsten Funktionswert übereinstimmen. 1 2b Ma 1 Lubov Vassilevskaya
4 Eine beschränkte Funktion: Beispiel 2 b = 2.5 Abb. 1 2: Eine von oben beschränkte Funktion y = x + 2 Die Funktion y = x + 2 ist nach oben beschränkt, denn für alle x aus dem Definitionsbereich gilt f x b Sofern b 2 gewählt wird. b wird obere Schranke der Funktion genannt. 1 3 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
5 Eine beschränkte Funktion: Beispiel 3 Abb. 1 3: Eine von oben und unten beschränkte Funktion y = f (x) f x = x , x sin 5 x, x 2.53, W f = [ 0.2, 3.2] f (x) ist sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt. 1 4 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
6 Beschränkte Funktionen: Aufgaben 1 8 Stellen Sie die folgenden Funktionen dar, und ermitteln Sie ihre wichtigsten Eigenschaften Aufgabe 1: f x = 2 x 1 Aufgabe 2: f x = x Aufgabe 3: f x = 2 sin 2 x Aufgabe 4: f x = 4 e 0. 4 x 2, g x = 2 e x2, h x = e 3 x2 Aufgabe 5: f x = 3 e 0.1 x2 cos 2 x Aufgabe 6: Aufgabe 7: f x = 3 e x, g x = 2 e x f x = e 0. 1 x 9 x 2, g x = e x 9 x 2 Aufgabe 8: f x = sin 3 x x 2 A Ma 1 Lubov Vassilevskaya
7 Beschränkte Funktionen: Lösung 1 Abb. L1: Eine von unten beschränkte Funktion y = f (x) y = 2 x 1, D = R, W = [ 1, ) nach unten beschränkt (b 1) streng monoton fallend (x 0) streng monoton steigend (x 0) y = f (x) ist eine gerade Funktion 2 1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
8 Beschränkte Funktionen: Lösung 2 Abb. L2: Eine von unten beschränkte Funktion y = f (x) f x = x 2 2 2, D = R, W = [ 0, ) nach unten beschränkt (b 0) streng monoton fallend: streng monoton steigend: x (, 2 ] [ 0, 2 ] x [ 2, 0 ] [ 2, ) f (x) ist eine gerade Funktion 2 2 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
9 Beschränkte Funktionen: Lösung 3 Abb. L3: Eine von unten und oben beschränkte Funktion y = f (x) f x = 2 sin 2 x, D = R, W = [0, 2] nach oben beschränkt (a 2), nach unten beschränkt (b 0) periodische Funktion T = π streng monoton steigend: streng monoton fallend: x [0, /2] x / 2, y = f (x) ist eine gerade Funktion 2 3 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
10 Beschränkte Funktionen: Lösung 4 Abb. L4: Von unten und oben beschränkte Funktionen y = f (x), y = g (x) und y = h (x) f x = 4 e 0. 4 x2, g x = 2 e x2 3 x2, h x = e 2 4a Ma 1 Lubov Vassilevskaya
11 Beschränkte Funktionen: Lösung 4 f x = 4 e 0.4 x 2, D = R, W = ( 0, 4 ] g x = 2 e x2, D = R, W = ( 0, 2 ] h x = 3 e 3 x2, D = R, W = [ 1, 0 ) f (x) und g (x) sind streng monoton steigend (x 0) und streng monoton fallend (x 0) h (x) sind streng monoton fallend (x 0) und streng monoton steigend (x 0) f (x), g (x) und h (x) sind gerade Funktionen 2 4b Ma 1 Lubov Vassilevskaya
12 Beschränkte Funktionen: Lösung 5 Abb. L5: Von unten und oben beschränkte Funktion y = f (x) f x = 3 e 0.1 x2 cos 2 x, D = R, W = ( 0, 3 ] g x = 3 e 0.1 x2 nach oben beschränkt (a 3), nach unten beschränkt (b 0) y = f (x) ist eine gerade Funktion 2 5 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
13 Beschränkte Funktionen: Lösung 6 Abb. L6: Von unten und oben beschränkte Funktionen y = f (x) und y = g (x) f x = 3 e x, g x = 2 e x 2 6a Ma 1 Lubov Vassilevskaya
14 Beschränkte Funktionen: Lösung 6 f x = 3 e x, D = R, W = ( 0, 3 ] g x = 2 e x, D = R, W = [ 2, 0 ) f (x) ist streng monoton steigend (x 0) und streng monoton fallend (x 0) g (x) ist streng monoton fallend (x 0) und streng monoton steigend (x 0) f (x) und g (x) sind gerade Funktionen 2 6b Ma 1 Lubov Vassilevskaya
15 Beschränkte Funktionen: Lösung 7 Abb. L7: Von unten und oben beschränkte Funktionen y = f (x) und y = g (x) f x = e 0. 1 x 9 x 2, D = [ 3, 3], W = [0, 3] g x = e x 9 x 2, D = [ 3, 3], W = [0, 3] f (x) und g (x) sind streng monoton steigend ( 3 x 0) und streng monoton fallend (0 x 3) f (x) und g (x) sind gerade Funktionen 2 7 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
16 Beschränkte Funktionen: Lösung 8 Abb. L8: Von unten und oben beschränkte Funktion y = f (x) f x = sin 3 x x, D f = R { 0 }, W = [ 0.65, 3] nach oben beschränkt (a 3), nach unten beschränkt (b 0.65) f (x) ist eine gerade Funktion 2 8 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
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