, f(x +2π) =f(x) f(x) cos kx dx} = 1 kπ {c 1 [sin kx] π 0 + c 2 [sin kx] 2π. sin kx dx} = 1 kπ {c 1 [cos kx] π 0 + c 2 [cos kx] 2π

Transkript

1 Fachhochschue für echnik Essingen c Brücken zur Mathematik Aufgabe : Gegeben ist die -periodische Funktion c für << f() = c für <<, f( +) =f() Ermitten Sie ihre Fourierreihe c c f() a) durch Berechnung der Fourier-Koeffizienten k = a = c d + c d = c + c k a k = c b k = c cos k ds + c sin k ds + c cos k d = k c [sin k] + c [sin k] = sin k d = k c [cos k] + c [cos k] b k = k c [ cos k] + c [cos k ] = k (c c ) [ cos k] k =n = b n = k =n + = b n+ = (c c ) (n +) = f() = c + c + (c c ) sin + sin sin b) durch Überagerung bekannter Rechteckimpuse. Aus abee für A =: y h() = für < < für < < h() = (sin + 3 sin 3 + ) 5 sin 5...

2 [ + h()]/ [ h()]/ f() = h()+ = f() = c + c c + h() + (c c ) c = c + c sin + + c c h() + sin 5 5 sin Aufgabe : Bestimmen Sie die Fourierreihe der -periodischen Funktion f() = ( ) für <, f( +) =f(). f() f() gerade = b k = a = a k = ) ( a k = [ cos k k + a k = [ cos k d = cos k d ] sin k k k ] k = ] [ 3 3 cos k d = 3 [ cos k k + k cos k = ( k ) ] k 3 sin k = k = f() = 3 cos + cos + 9 cos Aufgabe 3: Ermitten Sie die Fourier-Reihe der -periodischen Funktion, die in [,) wie fogt definiert ist (Skizze!): für < f() = für <, f( + ) =f()

3 ω = f(t) gerade = b k = a = = a k = t cos t dt + ( t)cost dt a k = [ cos t k ω + a k = cos k ω + ] sin t sin cos sin k ω + cos + sin k ω a k = cos cos k ω a k = cosk cos k k ( ) [ ] + sin t [ cos t k ω + ] sin t sin k ω + sin... a k = ()k k f(t) = cos ωt + 9 cos 3ωt + 5 cos 5ωt +... Aufgabe : Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der durch fogende Abbidungen dargesteten periodischen Funktionen: t t f(t): Periode = = ω = = f(t) ungerade = a k =

4 b k = b k = b k b k t sin t dt + ( t)sint dt [ ] sin t k ω t cos t = sin k ω cos cos = sin k ω sin k ω b k = sink k ( ) sin k = sin ( k ) k = [ cost ] + cos = 8 sin k k für k =, ±, ± +... für k =, 5, 9... für k = 3, 7,... [ sin t k ω sin k ω + cos ] t cos t + sin k ω cos f(t) = 8 sin t 9 sin 3 t + 5 sin 5 t +... g(t): Periode = ω = a = = a k = g(t)cost dt = g(t) gerade = b k = ( t) cos t dt a k = [ sin t ( )] cos t k ω + t sin t ( a k = sin cos + sin )] k ω k ω [ ] a k = 6 cos mit ω = k ω a k = k ( cos k ) f(t) = + cos ωt + 9 cos 3ωt + 5 cos 5ωt cosωt + 9 cos 6ωt + 5 cos ωt +... Aufgabe 5: Ermitten Sie die Fourierreihe der -periodischen Funktion sin für f() = für <<, f( +) =f()

5 g(t) = f(t) sin t = sin t g(t) gerade = g(t) besitzt nur Kosinus-Gieder a = a = a k = a k = sin tdt = [cost] = sin t cos tdt = [ sin t ] = [ sin t cos kt dt = cos(k +)t k + cos(k +) k + f(t) = + sin t i sin ωt = i cos(k ) k ] cos( k)t k = +()k (k ) 3 cos t cos t cos 6t +... Aufgabe 6: Die Umformung eines Wechsestromes mit der Geichung i = i sin ωt durch einen Zweiweggeichrichter iefert einen pusierenden Geichstrom, dessen Verauf durch i = i sin ωt in Abhängigkeit von der Zeit beschrieben wird. Wie autet die zugehörige Fourier-Entwickung für die Stromstärke i? Geben Sie das zugehörige Ampitudenspektrum an. Hinweis: Verwenden Sie das Ergebnis aus Aufgabe 5. sin = f() sin = cos k k= (k )(k +) k= cos t (k )(k +) Aufgabe 7: Gegeben sind die kompeen Fourierkoeffizienten A k = i k, A k+ = c = ; c k =() k j k, k = ±, ±, ±3,... einer -periodischen Funktion f(t). Geben Sie die reee Form der zugehörigen Fourierreihe an. a = c = a k = Rec k = b k = Imc k = () k+ k f(t) = sin t sin t + 3 sin 3t +...

6 f(t) t