bezeichnet, die sich aus den sphärischen Bessel- bzw. Hankel-Funktionen 3

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Ina Otto
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1 Wirkungsquerschnitt für Lorenz-Mie-Streuung Berechnungen des totaen Wirkungsquerschnitts für Lorenz-Mie-Streuung an Wassertropfen (Brechungsindex n = 1.33). Formen dazu der Literatur entnommen und in einem Mape-Arbeitsbatt zusammengefasst. Eine ebene eektromagnetische Wee werde an einer dieektrischen Kuge (Radius R, Brechungsindex n) gestreut. Der Wirkungsquerschnitt für diesen Prozess wurde erstmas 1890 von L. Lorenz berechnet, später geangte G. Mie 1 unabhängig von Lorenz zum geichen Ergebnis. Die Rechnungen machen Gebrauch von der Partiaweenmethode, sie soen hier nicht nachvozogen werden. Das Ergebnis ässt sich wie fogt zusammenfassen: Der (totae) Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch (1) (2 1) 2 a b, k 1 das heißt, durch eine Reihenentwickung nach den Beiträgen, mit denen die Partiaween in ihm vertreten sind. Dementsprechend sind a und b die Partiaweenkoeffizienten der gestreuten Wee. Mit 2 (2) k ist die Weenzah der einaufenden Wee bezeichnet (λ = Weenänge). Die Partiaweenkoeffizienten ergeben sich aus der Bedingung, dass die Tangentiakomponenten der eektrischen und magnetischen Fedstärke an der Oberfäche der Kuge stetig vom Kugeinneren zum Außenraum übergehen. Sie auten 2 (3) a b ( x) ( nx) n( nx) ( x) ( x) ( nx) n( nx) ( x) ( x) n ( nx) ( nx) ( x) ( x) n( nx) ( nx) ( x) Dabei ist x eine Abkürzung für den Größenparameter kr, aso (4) x kr. Mit ψ und ξ sind die Riccati-Besse-Funktionen () s s j () s () s s h () s (5) (1) bezeichnet, die sich aus den sphärischen Besse- bzw. Hanke-Funktionen 3 j() s J 1/2() s 2x (6) (1) (1) h () s H 1/2() s 2x ergeben. Die Striche in (3) bedeuten die Abeitungen nach dem jeweiigen Argument. Die oben aufgeführten Geichungen habe ich in einem Mape-Arbeitsbatt 4 (Anhang) zusammengefasst und mit diesem den totaen Wirkungsquerschnitt σ berechnet. Abbidung 1 zeigt das Ergebnis für eine Kuge mit dem Brechungsindex n = 1,33 (Wassertropfen). Aufgetragen ist σ (normiert auf den geometrischen Querschnitt πr 2 ) as Funktion des Größenparameters kr. Der grobe Verauf erinnert an eine abkingende Schwingung, obwoh es sich im voriegenden Fa nicht um ein Bewegungsphänomen handet. Eine Periode mit einer Länge von etwa Δ(kR) = 10 ist

2 erkennbar, deren Ampitude mit wachsendem kr abnimmt. Dieser Schwingung ist ein rippe von höherer Frequenz überagert. In den Lecture Notes 5 wird der Verauf des Wirkungsquerschnitts ausführich diskutiert. Abbidung 1 Totaer Wirkungsquerschnitt für Lorenz-Mie-Streuung an einem Wassertropfen (Brechungsindex n = 1.33). Der Wirkungsquerschnitt ist auf den geometrischen Querschnitt πr 2 bezogen und as Funktion des Größenparameters kr aufgetragen. k = 2π/λ (λ = Weenänge), R = Radius des Tropfens. Die grobe Periode Δ(kR) 10 ässt sich unter sehr vereinfachenden Annahmen erkären: Dazu betrachtet man nur die Streuung in Vorwärtsrichtung und nimmt an, dass der größte Beitrag dazu von Weenzügen geiefert wird, die durch die Mitte der Kuge gehen. Diese Weenzüge haben nach dem Durchaufen der Kuge eine Phasendifferenz gegenüber den an der Kuge vorbeiaufenden Weenzügen von 2R/λ n 2R/λ n =1 = 2kR(n 1). Die Überagerung der beiden Weenzüge führt zu gegenseitiger Verstärkung, wenn die Phasendifferenz ein ganzzahiges Viefaches von 2π ist. Der Abstand aufeinanderfogender Maxima ist damit Δ(kR) = π/(n 1). Für n = 1,33 ergibt dies Δ(kR) = 9,5 in grober Übereinstimmung mit dem Wert 10, der sich aus Abbidung 1 abesen ässt. In den Abbidungen 2 bis 10 ist der Wirkungsquerschnitt bei vorgegebenem (konstanten) Kugeradius R as Funktion der Lichtweenänge λ aufgetragen, wiederum für n = 1,33 (Wasser). Es wurden einige charakteristische Radien ausgewäht. Sie sind in Tabee 1, zusammen mit Bemerkungen zum Verauf des Wirkungsquerschnitts, aufgeführt. Tabee 1 Abb. R/m Bemerkungen 2 0,05 R < λ sichtbar, aber noch etwa 100ma größer as die Stickstoff- und Sauerstoffmoeküe der Luft. Übergang zur Rayeigh-Streuung λ 4 3 0,1 typische Tröpfchengröße bei dunstigem Wetter. Der baue Antei des sichtbaren Lichts wird 4 0,2 bevorzugt gestreut, im direkten Licht erscheint die untergehende Sonne rot. 5 0,3 6 0,5 R λ sichtbar, starke Streuung fast im gesamten Bereich des sichtbaren Lichts, sehr diesiges Wetter 7 1,0 starke Streuung im bauen und im roten Bereich des sichtbaren Lichts, vieeicht die Ursache für den grünen Bitz beim Sonnenuntergang 8 2,0 typische Größe der Wassertropfen bei Nebe und in Woken. Keine starke Abhängigkeit der 9 5,0 Streuung von der Weenänge. Woken erscheinen im kassischen Weiß ,0

3 Abbidung 2 R < λ sichtbar, aber noch etwa 100ma größer as die Stickstoff- und Sauerstoffmoeküe der Luft. Übergang zur Rayeigh-Streuung λ 4 Abbidung 3 (siehe Unterschrift zu Abbidung 5) Abbidung 4 (siehe Unterschrift zu Abbidung 5)

4 Abbidung 5 (auch zu Abbidungen 3 und 4) R = m sind typische Tröpfchengrößen in der Luft bei dunstigem Wetter. Baues Lichts wird bevorzugt gestreut, im direkten Licht erscheint die untergehende Sonne rot. Abbidung 6 Streuung im gesamten Bereich des sichtbaren Lichts, diesiges Wetter Abbidung 7 starke Streuung im bauen und im roten Bereich des sichtbaren Lichts, vieeicht die Ursache für den grünen Bitz beim Sonnenuntergang

5 Abbidung 8 (siehe Unterschrift zu Abbidung 10) Abbidung 9 (siehe Unterschrift zu Abbidung 10) Abbidung 10 R = m sind typische Tröpfchengrößen bei Nebe und in Woken. Keine starke Abhängigkeit der Streuung von der Weenänge. Woken erscheinen im kassischen Weiß.

6 Anmerkungen 1 Mie, Gustav: Beiträge zur Optik trüber Medien, spezie kooidaer Metaösungen. Annaen der Physik Foge 4, Bd. 25, 1908, S , doi: /andp siehe z. B. Zangwi, Modern Eectrodynamics, Cambridge University Press, 2013, S. 787, dort Kap : Mie Scattering from a Dieectric Sphere. Dass schon 1890 (18 Jahre vor Mie) der dänische Physiker Ludvig Lorenz zu denseben Ergebnissen wie Mie geangte, war ange Zeit vergessen, ist aber heute gesichert. 2 z. B. García-Cámara, Brauio: Ph.D. Thesis, Santander, 2010, Kap. 2 Theoretica Overview siehe auch Zangwi, Modern Eectrodynamics, Cambridge University Press, 2013, S siehe mathematische Formesammungen, z. B. L. Råde und B. Westergren, Springers Mathematische Formen [RadW 96], oder I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew et a., Taschenbuch der Mathematik [BroS 93] 4 Die Anweisungen in dem Mape-Arbeitsbatt fogen im Wesentichen dem Skript Mie Scattering MSU P-A Wecome Page, 5 Lecture Notes, evan.ucsd.edu/cass/sioc251/lecture_notes.../mie_detaied.pdf Anhang Mape Arbeitsbatt. Ausgabe ist der Graph in Abbidung 1. restart: with(linearagebra): with(pots): #Mie-Streuung, totaer Streuquerschnitt #Sphärische Bessefunktionen (j, h1), siehe z.b. Rade-Westergren 3 j := (n, x) -> sqrt(pi/(2*x)) * BesseJ(n + 1/2, x): h1 := (n, x) -> sqrt(pi/(2*x)) * HankeH1(n + 1/2, x): #Riccati-Besse Funktionen (psi, xi) und Abeitungen (psid, xid) psi := (, s) -> s * j(, s): xi := (, s) -> s * h1(, s): psid := (, s) -> ( + 1)*j(, s) - s*j( + 1, s): xid := (, s) -> ( + 1)*h1(, s) - s*h1( + 1, s): #Totaer Wirkungsquerschnitt (sigmatot). Lx ist Liste der Steen kr, LsigmaTot ist Liste der #zugehörigen Werte von sigmatot NR := 1.33: max := 100: Lx := []: LsigmaTot := []: LsigmaRayeigh := []: N := 400: x := 0: for n from 1 to N do x := x + 1/8: for from 1 to max do a[, x] := evaf((psi(,x)*psid(,nr*x)- NR*psi(,NR*x)*psiD(,x))/(xi(,x)*psiD(,NR*x)-NR*psi(,NR*x)*xiD(,x))): b[, x] := evaf((psi(,x)*nr*psid(,nr*x)- psi(,nr*x)*psid(,x))/(xi(,x)*nr*psid(,nr*x)-psi(,nr*x)*xid(,x))): end do: Lx := [op(lx),evaf(x)]; sigmatot := (2/x^2)*sum((2*m + 1)*((abs(a[m,x]))^2 + ((abs(b[m,x]))^2)), m = 1..max): LsigmaTot := [op(lsigmatot), sigmatot]: end do: pot( Lx, LsigmaTot, 1..nops(Lx), axes = boxed, abedirections = ["horizonta", "vertica"], abefont = ["Verdana", 14], abes = [kr, sigma/(pi*r^2)]);

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