Vortest zur Ingenieurmathematik

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1 Vortest zur Ingenieurmathematik Liebe Studienanfängerinnen und Studienanfänger! Sie haben sich für einen ingenieurwissenschaftlichen Studiengang entschieden. Ein wichtiges Rüstzeug für ein erfolgreiches Studium ist ein mathematisches Grundverständnis. Dabei geht es zum Einen um das reine Rechnen zum Anderen um eine Vorstellung von Strukturen. Mit diesem Vortest bieten wir Ihnen die Möglichkeit mal zu auszuprobieren, auf welches Wissen Sie zurückgreifen können. Der Test in sechs Abschnitte zu verschiedenen Themen gegliedert, die Sie unabhängig voneinander bearbeiten können. Der Test soll Ihnen Anhaltspunkte liefern, an welchen Stellen Sie Ihr aktives Wissen gut ist oder wo Sie Ihre Fertigkeiten verbessern könnten. Mit ( ) sind die Kernaufgaben markiert, Aufgaben mit einem etwas höherem Schwierigkeitsgrad erkennen Sie an den zwei Punkten ( ). Hinweise zur Bearbeitung Drucken Sie sich am besten den Vortest aus, Sie können diesen Test direkt auf diesen Seiten bearbeiten. Lösen Sie die Aufgaben zunächst ohne Hilfsmittel insbesondere ohne Taschenrechner, auf eine Formelsammlung können Sie ggf. zurückgreifen. Direkt vor Beginn des Mathematik-Repetitoriums werden die Lösungen veröffentlicht, so dass Sie Ihre Ergebnisse vergleichen können. Viel Erfolg wünschen Ihnen, Wigand Rathmann und Nicolai von Schroeders

2 l. Winkelfunktionen: Sinus, Kosinus, Tangens, Cotangens Im ersten Abschnitt wird Ihr Wissen um die trigonometrischen Funktionen gepru ft. Dazu werden neben graphischen Betrachtungen auch analytische Eigenschaften und Definitionen behandelt. Aufgabe. ( ) Weisen Sie eindeutig durch Verbindung mit einer Linie die gelisteten Winkelfunktionen ihren Definitionen im rechtwinkligen Dreieck zu. sin(α) Ankathete Hypothenuse cos(α) Gegenkathete Ankathete tan(α) Ankathete Gegenkathete cot(α) Gegenkathete Hypothenuse

3 Aufgabe. ( ) Aus dem Schulunterricht ist die Darstellung von Kosinus und Sinus am Einheitskreis bekannt. II I sin(a) a cos(a) III IV Tragen Sie in die unteren Quadranten eindeutig jeweils das Vorzeichen (+ oder -) ein, das Sinus (links) und Kosinus (rechts) in diesen Quadranten annehmen. cos() sin()

4 Aufgabe. ( ) Kreuzen Sie zu dem unteren Graphen in der folgenden Liste die Funktionsterme an, durch die der Graph beschrieben wird. sin(x) cos sin(x + ) x+ π sin x sin(x) + cos x + π + y f(x) π π π 4 π x

5 Aufgabe.4 ( ) Kreuzen Sie zu dem unteren Graphen in der folgenden Liste die Funktionsterme an, durch die der Graph beschrieben wird. cos(x) cos x sin(x) sin(x) cos(x) cos(x) y f(x) π π π 5 π x

6 Aufgabe.5 ( ) Kreuzen Sie zu dem unteren Graphen in der folgenden Liste die Funktionsterme an, durch die der Graph beschrieben wird. tan(x) qquad tan(x) sin(x)) sin(x + π) π cos x 5π cos x y f(x) π π π 6 π x

7 Aufgabe.6 ( ) Gegeben ist die Funktion f (x) = sin π x mit D = [0; 9] 9 a) Wo besitzt die Funktion Nullstellen? b) Bestimmen Sie Art und Lage des Extrempunktes von f (x). 7

8 ll. e-funktion, ln-funktion / Potenz- & Logarithmusgesetze In diesem Aufgabenteil werden Kenntnisse im Umgang mit Potenz- und Logarithmusgesetzen gepru ft. Anhand von Gleichungen und wichtiger analytischer Eigenschaften wie dem Finden von Extrempunkten oder Symmetriebetrachtungen wird vertieftes Wissen gepru ft, das die Basis zum Zeichnen von Potenz- und Logarithmusfunktionen schafft. Aufgabe. ( ) Vereinfachen Sie folgenden Term so weit wie mo glich: e6x ex ey e7y e y + ex ey Aufgabe. ( ) U berpru fen Sie jede Aussage auf Richtigkeit und kreuzen Sie richtige Antworten an: a) ln(a b) = a ln(b) b) ln a b = ln(a) ln(b) (b 6= 0) ln(a) ln(b) ln(a) + ln( ) b ln(a) + ln(b) ln(a) ln( ) b ln(a + b) ln(a) ln(b) ln(ab ) ln(a) + ln(b) 8

9 Aufgabe. ( ) Vereinfachen Sie folgenden Term so weit wie mo glich: 0x 04x + 5x 55x Aufgabe.4 ( ) Gegeben sei die Gleichung x4 yy x = xm y n mit x, y R\{0}. yx5 y Fu r welche m und n N stimmt diese Gleichung? 9

10 Aufgabe.5 ( ) Bestimmen Sie jeweils die Lo sung folgender Gleichungen. a) ln(5x) ln(0) = 0 b) ln(5x) 0 = 0 c) e ln(5x) 0e = 0 0

11 Aufgabe.6 ( ) Bestimmen Sie von folgender Funktion Art und Lage der Extrempunkte. f (x) = x e9x x

12 Aufgabe.7 ( ) Sei f (x) = x ln(x ) und G der Graph von f (x). a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von G mit den Koordinatenachsen. b) Untersuchen Sie die Funktion auf Punktsymmetrie zum Ursprung und Achsensymmetrie zur y-achse. c) Untersuchen Sie das Verhalten von G im Unendlichen. Geben Sie die Definitionsmenge D der Funktion an.

13 lll. Integration & Differentiation von Polynomen bis zur Ordnung Dieser Block behandelt elementares Grundwissen der Analysis. Es mu ssen wichtige Regeln beim Bilden von Ableitungen und Stammfunktionen beherrscht und deren Zusammenhang erkannt werden. Aufgabe. ( ) Berechnen Sie den Inhalt der Fla che zwischen dem Graphen von f (x) und der x-achse u ber dem angegebenen Intervall J. a) f (x) = x x, b) f (x) = sin(x), J = [ ; ] J = π; π 4

14 Aufgabe. ( ) Nennen Sie drei wichtige Regeln beim Ableiten und wenden Sie diese jeweils anhand eines selbstgewa hlten Beispiels an. 4

15 Aufgabe. ( ) Ordnen Sie folgende Funktionen ihren richtigen Ableitungen zu. (a R) 5 x4 ln(ax) f (x) = x5 5 x x 5 x4 a x 5 x ax 5x 6 5 x6 ex ln(a) ln(a) 5

16 Aufgabe.4 ( ) Kreuzen Sie die richtigen Antworten an. Sei f (x) = xn + xn + xn x + x + c, c R, n N. Die Ableitung f 0 (x) von f (x) ist gegeben durch f 0 (x) = n xn + (n ) xn + (n ) xn x + f 0 (x) = xn + xn + xn x + f 0 (x) = n xn+ + (n ) xn + (n ) xn x + 4 f 0 (x) = xn + xn + xn x + 5 f 0 (x) = xn + xn + xn x + 6

17 Aufgabe.5 ( ) Kreuzen Sie die richtigen Antworten an. Sei f (x) = g(h(x)). Die Ableitung f 0 (x) von f (x) ist gegeben durch g 0 (h(x)) g 0 (h(x)) h(x) g 0 (h(x)) h0 (x) 4 g(h0 (x)) h0 (x) 5 g 0 (h0 (x)) h(x) Aufgabe.6 ( ) Kreuzen Sie die richtigen Antworten an. Sei f (x) = g(x). h(x) Die Ableitung f 0 (x) von f (x) ist gegeben durch 4 5 h(x) g 0 (x) g(x) h0 (x) (h(x)) 0 h (x) g(x) g 0 (x) h(x) (h(x)) h(x) g(x) g(x) h(x) (h(x)) 0 h(x) g (x) g(x) h0 (x) (h(x)) 0 h(x) g (x) + g(x) h0 (x) (h(x)) 7

18 Aufgabe.7 ( ) Kreuzen Sie die richtigen Antworten an. Sei f (x) = xn + xn + xn x + x + c, c, d R, n N. Die Stammfunktion F (x) von f (x) ist gegeben durch 4 5 xn xn x x xn c x+d n n n F (x) = (n + ) xn+ + n xn + (n ) xn x + x + c x + d xn xn x x xn d F (x) = n+ n n xn+ xn xn x x F (x) = c x+d n+ n n xn xn xn x x F (x) = c x+d n+ n n F (x) = 8

19 Aufgabe.8 ( ) Kreuzen Sie die richtigen Antworten an. Sei g(x) = f 0 (x). f (x) Das unbestimmte Integral R g(x) dx von g(x) ist gegeben durch Z g(x) dx = e f (x) + c Z g(x) dx = f (x) f 0 (x) + c Z g(x) dx = eln f (x) + c Z g(x) dx = 4 f (x) +c f 0 (x) Z 5 g(x) dx = ln f (x) + c Aufgabe.9 ( ) Gegeben ist die Funktion f (x) = ( x) e x mit D = R. Zeigen Sie, dass durch F (x) = ( + x) e x eine Stammfunktion von f (x) gegeben ist. 9

20 lv. Kurvendiskussion von Polynomen und das Zeichnen von Graphen dieser Polynome Zur Kurvendiskussion und dem daraus resultierenden Zeichnen von Graphen geho rt es Grenzwertund Symmetriebetrachtungen durchzufu hren, Definitionslu cken und Nullstellen zu bestimmen. Zudem sollen anhand richtig gebildeter Ableitungen Steigungs- und Kru mmungsverhalten sowie Extrema und Wendepunkte ermittelt werden. Aufgabe 4. ( ) Bestimmen Sie die Definitionsmengen folgender Funktionen. a) f (x) = x x b) g(x) = x x c) h(x) = 6x7 + x5 + 6x 9x + x d) i(x) = x + 0

21 Aufgabe 4. ( ) Sind folgende Funktionen achsensymmetrisch zur y-achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder nichts davon? a) f (x) = 895x x5 + x 75 +x b) g(x) = 6x7 + x5 + 6x c) h(x) = e 5x0 + 8x4 + 6 x

22 Aufgabe 4. ( ) Beschreiben Sie sinnvoll in Worten, wie Sie vorgehen wu rden, um die Extrempunkte und deren Art einer Funktion f (x) festzustellen.

23 Aufgabe 4.4 ( ) Wa hlen Sie fu r das Auffinden von Wendepunkten einer Funktion f (x) sinnvolle Schritte aus und nummerieren Sie diese in einer mo glichst passenden Reihenfolge. Streichen Sie die nicht beno tigten Schritte. (Mehrere richtige Lo sungen sind mo glich, entscheiden Sie sich fu r eine!) Finden der Nullstellen xi von f 00 (x) Bilden von f 0 (x) Einsetzen der xi in f 000 (x). Falls f 000 (xi ) 6= 0, so ist xi die x-koordinate des Wendepunkts. Bilden von f 000 (x) Finden der Nullstellen von f 0 (x) Bilden von f 00 (x) Berechnung von lim f (x) x + Vorzeichentabelle von f 00 (x): Bei Wechsel des Vorzeichens von f 00 (x) Berechnung von f (xi ) P (xi /f (xi )) ist Wendepunkt von f (x) Bildung der vierten Ableitung

24 Aufgabe 4.5 ( ) Von der Funktion f (x) ist nur untere Tabelle bekannt. Welche Aussagen bezu glich der Extremwerte von f (x) ko nnen Sie treffen? x x < < x < 0 f 0 (x) <0 0 >0 0 f (x) <x< x> <0 0 > y x

25 Aufgabe 4.6 ( ) Zeichnen Sie den Graph zu folgenden Funktionen in das Koordinatensystem ein. a) f (x) = x x + = (x ) (x + ) y x

26 b) g(x) = 8 x+ y x

27 V. Elementares Umformen von Termen & Gleichungen Es sollen einfachere Terme vereinfacht werden, die sich v.a. aus Bru chen und Wurzelausdru cken zusammensetzen. Zum Thema Gleichungen werden lineare und quadratische Gleichungen sowie lineare Gleichungssysteme behandelt. Dabei wird ein versierter Umgang im Rechnen mit rationalen Zahlen verlangt, da dieser in der Regel mit dem Lo sen von Gleichungen einhergeht. Aufgabe 5. ( ) Vereinfachen Sie folgende Terme so weit wie mo glich x + 9x b) x c) 98b 7ab r a b d) a+b a) e) (ex + ex )(e x + e x ) 7

28 Aufgabe 5. ( ) Lo sen Sie folgende lineare Gleichungen nach x auf. a) 4 (8 x) 7 = 9( + x) 5x 0 x 8x 5 4x = 7 4 x x+6 c) = (x + ) x b) 8

29 Aufgabe 5. ( ) Lo sen Sie folgende quadratische Gleichungen nach x auf. a) x + = 8 b) (4, 5 x) = (x + )(x 8) + 4x c) 4x + 5x = 4x 5x + 9

30 Aufgabe 5.4 ( ) Bestimmen Sie in den folgenden Gleichungen die Variable p R so, dass die Gleichung genau eine Lo sung besitzt. a) x 4x + p = 0 b) x + px + p + = 0 0

31 Aufgabe 5.5 ( ) Lo sen Sie folgende lineare Gleichungssysteme mit einem Verfahren ihrer Wahl. a) I : II : 6x + 6 = 4y + 4 = 6x b) I : (x y) = II : x 4y = 6

32 VI. Rechnen im Ko rper der rationalen & reellen Zahlen Zum Rechnen mit rationalen und reellen Zahlen geho rt der Umgang mit Prozentrechnung, binomische Formeln und Bruchterme sowie dem Auflo sen und Vereinfachen von Formeln nach einer Variablen. Aufgabe 6. ( ) Es sei x eine positive Zahl. Es sei y um 0% kleiner als x und es sei z um 0% gro ßer als y. a) Welche der drei folgenden Aussagen ist richtig? I) z ist gro ßer als x. II) z ist gleich x. III) z ist kleiner als x b) Wenn z ungleich x ist, um wie viel Prozent unterscheiden sich die beiden Zahlen?

33 Aufgabe 6. ( ) Fu llen Sie die Ka stchen mit Zahlen Z aus, sodass eine sinnvolle Aussage entsteht. 9 4 s+t = s + st + t

34 Aufgabe 6. ( ) 0 x Gegeben sei der Term mit D = R+ x x Ordnen Sie die folgenden Umformungsschritte durch Nummerierung der Ka stchen logisch ausgehend vom oben angegebenen Term. 6x 0 x (6x 0) x x (x 5) x x (x 5) x x 0 6x x x 4

35 Aufgabe 6.4 ( ) I sei eine positive Konstante. Stellen Sie die Formel T = aus, dass T Q+. V = IT V = V = V =± V = ± IT T I r I T V =I T V = ±I T r V nach V um. Gehen Sie davon I T I V = 5 T I