1 Systeme mit einem Freiheitsgrad

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1 Tragwersdynami und Schwingungsprobeme HS 9 Systeme mit einem Freiheitsgrad. Formuierung der Bewegungsgeichung.. Direte Formuierung ) Zweites Newtonsches Gesetz (Ationsprinzip) di F d ( mu ) ( Impus) (.) dt dt mu I Die Kraft entspricht der Änderung des Impuses nach der Zeit. Tragwersdynami und Schwingungsprobeme HS 9 ) Prinzip von d Aembert F + T (.4) Das Prinzip basiert auf die Idee einer fitiven Trägheitsraft, die geich dem Produt der Masse ma ihre Bescheunigung ist und die in entgegengesetzter Richtung zur Bescheunigung wirt. Der Massenpunt steht zu jeder Zeit unter der resutierenden Kraft F und der Trägheitsraft T mu im Geichgewicht. y x() t + + u s + ut () y x + u T my m( x + u ) F ( u s + u) cu + mg u s u cu + mg u cu (.5) (.6) (.7) (.8) F + T (.9) cu u mx mu (.) f () t f c () t + F() t mu () t (.) mu + cu + u mx (.) Mit der Federraft f () t u() t und der Dämpfungsraft f c () t cu () t wird Geichung (.) zu: mu () t + cu () t + u() t F() t (.3) Zur Hereitung der Bewegungsgeichung wird das dynamische Geichgewicht für jede Kraftomponente formuiert. Dazu müssen die Kräfte und gegebenfas auch die Momente in ihre Komponenten in den Koordinatenrichtungen zeregt werden. Aessandro Dazio Aessandro Dazio

2 Tragwersdynami und Schwingungsprobeme HS 9.. Prinzip der virtueen Arbeit Tragwersdynami und Schwingungsprobeme HS 9. Beispie Inverted Penduum δu (.) Virtuee Verschiebung gedachte infinitesimae Verschiebung Soen am Besten inematisch zuässig sein, sodass die noch unbeannten Reationsräfte eine Arbeit eisten Direte Formuierung m F m δa i δa a (.3) Dabei müssen auch die Trägheitsräfte und die Dämpfungsräfte berücsichtigt werden ( f m + f c + f )δu F()δu t..3 Energie Formuierung (.4) Kinetische Energie T (Arbeit, die eine äussere Kraft eisten muss, um eine Masse zu bewegen) Deformationsenergie U (wird aus der Arbeit bestimmt, die eine äussere Kraft eisten muss, um eine Deformation zu erzeugen) Potentiee Energie der äusseren Kräfte V Energieerhatungssatz (Konservative Systeme) E T+ U+ V T o + U o + V o onstant de dt (.5) (.6) O Federraft: F a sin( ϕ ) a ϕ (.7) Trägheitsraft: F m ϕ m (.8) Externe Kraft: m g (.9) Geichgewicht a F p a cos(ϕ ) a sin(ϕ ) ϕ F F a cos( ϕ ) + F m F p sin( ϕ ) sin(ϕ ) F p sin(ϕ ) ~ ϕ cos(ϕ ) ~ (.) Aessandro Dazio 3 Aessandro Dazio 4

3 Tragwersdynami und Schwingungsprobeme HS 9 Tragwersdynami und Schwingungsprobeme HS 9 m ϕ + ( a m ) ϕ Eigenreisfrequenz: (.) Federraft: F cos( ϕ ) a ϕ (.4) Trägheitsraft: F m ϕ m (.5) ω K a m M m g m -- a (.) Externe Kraft: F p sin( ϕ ) m ϕ (.6) Virtuee Verschiebungen: System stabi wenn: ω > : a > m (.3) δu δϕ a, δu m δϕ (.7) Prinzip der virtueen Arbeit: Formuierung mit dem Prinzip der virtueen Arbeit m ( F cos( ϕ )) δu + ( F m ( F p sin( ϕ ))) δu m ( a ϕ ) δϕ a + ( ϕ m m ϕ ) δϕ (.8) (.9) F m F p sin(ϕ ) Nach wegürzen von δϕ erhät man die Bewegungsgeichung: F cos(ϕ ) δu m m ϕ + ( a m ) ϕ (.3) Die Bewegungsgeichung (.3) entspricht Geichung (.). δu a ϕ δϕ O sin(ϕ ) ~ ϕ cos(ϕ ) ~ Aessandro Dazio 5 Aessandro Dazio 6

4 Tragwersdynami und Schwingungsprobeme HS 9 Tragwersdynami und Schwingungsprobeme HS 9 Energie Formuierung Für einen Winen git: ϕ m (-cos(ϕ )) ~.5 ϕ E pot,p a sin(ϕ ) E def, v m E in,m cos( ϕ ) ϕ ϕ und Geichung (.33) wird: E pot,p ( m g.5 ϕ ) bzw cos( ϕ (.35) ) (.36) O a Feder: E def, -- [ a sin( ϕ (.3) )] -- ( a ϕ ) Masse: E in,m -- m v (.3) m -- m ( ϕ ) cos( ϕ ) ann fogendermassen as Reihe ausgedruct werden: (.33) cos( ϕ ) ( ) x + (.34)! 4! ( )! ϕ E pot,p ( m g) ( cos( ϕ )) ϕ ϕ 4 sin(ϕ ) ~ ϕ cos(ϕ ) ~ Energiesatz E tot E def, + E in,m + E pot,p onstant E -- m ( ) ϕ -- a + ( m ) ϕ onstant Abeitung der Energie nach der Zeit: de dt (.37) (.38) Abeitungsrege: ( g f)' ( g' f) f' (.39) ( m ) ϕ ϕ + ( a m ) ϕ ϕ Nach Herausürzen der Geschwindigeit ϕ : m ϕ + ( a m ) ϕ (.4) (.4) Die Bewegungsgeichung (.4) entspricht Geichungen (.) und (.3). Aessandro Dazio 7 Aessandro Dazio 8

5 Tragwersdynami und Schwingungsprobeme HS 9 Vergeich der Energiemaxima Tragwersdynami und Schwingungsprobeme HS 9.3 Modebidung KE PE -- m ( ϕ,max ) -- ( a ϕ ) -- g m ϕ (.4) (.43).3. Struturen mit onzentrierten Massen Wasserbehäter F(t) F(t) Geichsteung von KE und PE ϕ,max a m m ϕ (.44) ϕ,max ω ϕ ω unabhängig vom Anfangswine ϕ (.45) je grösser die Ausenung, desto grösser die Maximageschwindigeit. Brüce in Querrichtung 3EI w H 3 F(t) F(t) Rahmen mit starrem Riege 3EI w H 3 EI s H 3 mu + u F() t (.46) Aessandro Dazio 9 Aessandro Dazio

6 Tragwersdynami und Schwingungsprobeme HS 9 Tragwersdynami und Schwingungsprobeme HS 9.3. Struturen mit verteiten Massen δa i ( EIu'' δ[ u'' ]) dx (.53) Umformungen: u'' ψ''u und u ψu (.54) Die virtuee Verschiebung ist affin zur gewähten Verformung: δu ψδu und δ[ u'' ] ψ''δu (.55) Mit Geichungen (.54) und (.55) wird die Arbeit der äusseren Kräften δa a : Verschiebung: uxt (, ) ψ( x)ut () (.47) Externe Kräfte: Prinzip der virtueen Arbeit δa i δa a δa a txt (, ) mu ( xt, ) fxt (, ) ( t δu) d x + ( f δu) dx ( mu δu) dx + ( f δu) dx δa i ( M δϕ) dx (.48) (.49) (.5) vobei: (.5) M EIu'' und δϕ δ[ u'' ] (.5) δa mψu a ( ψδu) dx + ( f ψδu) dx δu U mψ dx + fψdx (.56) Mit Geichungen (.54) und (.55) wird die Arbeit der inneren Kräften δa i : δa i ( EIψ''U ψ''δu) d x δu U ( EI( ψ'' ) ) dx (.57) Geichung (.49) ist gütig für ae virtueen Verschiebungen, deshab: U ( EI ( ψ'' ) ) d x U mψ dx + fψdx m * U + * U F * (.58) (.59) Aessandro Dazio Aessandro Dazio

7 Tragwersdynami und Schwingungsprobeme HS 9 Eigenreisfrequenz Tragwersdynami und Schwingungsprobeme HS 9 Beispie Nr. : Kragarm mit verteiter Masse * ω n m * ( EI( ψ'' ) ) dx mψ dx (.6) -> Rayeigh-Quotienten Wah der Verformungsfigur - Die Genauigeit der Modeierung ist von der Annahme der Verformungsfigur abhängig; - Die besten Resutate werden dann erziet, wenn die Verformungsfigur ae agerungsbedingungen erfüt; - Die agerungsbedingungen sind automatisch erfüt, wenn die Verformungsfigur die Biegeinie einer externen Beastung entspricht; - Eine mögiche externe Beastung ist das Eigengewicht der Strutur in der untersuchten Richtung. Eigenschaften des Rayeigh-Quotienten - Die geschätzte Eigenfrequenz ist immer höher as die Exate (Minimierung!); - Man beommt brauchbare Resutate auch wenn die angenommene Verformungsfigur nicht sehr reaistisch ist. x ψ cos------, ψ'' (.6) cos x m * x m cos dx + ψ ( x )M x 3x 8 sin x x + cos sin m ( 3 8) m + M.3m+ M + M (.6) Aessandro Dazio 3 Aessandro Dazio 4

8 Tragwersdynami und Schwingungsprobeme HS 9 Tragwersdynami und Schwingungsprobeme HS 9 Beispie Nr. : Kragarm mit verteiter Masse * EI cos x dx (.63) x EI x x + cos sin EI EI 3EI EI ω (.64) (.3m + M) 3 Kontroe der Randbedingungen der Verformungsfigur x ψ( )? -> ψ( x) cos : OK! ψ( ) ψ' ( )? -> ψ' ( x) x sin : OK! ψ' ( ) ψ'' ( )? -> ψ'' ( x) : OK! cos x ψ'' ( ) x ψ cos------, ψ'' (.65) cos x Berechnung der Masse m * m * x m cos dx ψ + x -- M + ψ ( x )M m * ( 3 8) m + cos-- M 4 + M m * ( 3 8) 3 m M + M m *.3m +.86M + M (.66) (.67) (.68) (.69) Aessandro Dazio 5 Aessandro Dazio 6

9 Tragwersdynami und Schwingungsprobeme HS 9 Tragwersdynami und Schwingungsprobeme HS 9 Berechnung der Steifigeit * 6 3 EI Nmm (.75) * EI cos x dx (.7) 4 EI Nm Aus Geichung (.73) (.76) * 4 EI EI 3EI Berechnung der Eigenreisfrequenz ω EI (.3m +.86M + M ) 3 ω (.7) (.7) EI ω M 3 3 f ω Hz Aus Geichung (.74) (.77) (.78) Speziafa: m und M M M ω 3.4EI (.86M) 3 EI M 3 (.73) Die genaue erste Eingenreisfrequenz eines Zweimassenschwingers mit onstanter Steifigeit und geichen Massen ist: ω EI.65 (.M) EI M 3 (.74) As numerischer Beispie ann die erste Eigenfrequenz eines Stahprofis HEB36 (Biegung um die stare Achse), m hoch und mit zwei Massen M M t: f EI Hz M 3 3 (.79) Die erste Eigenreisfrequenz von so einem Einmassenschwinger ann mit einem FE-Programm (z.b. Stati 5) berechnet werden. Sie beträgt: T.946s, f.77hz (.8) Die übereinstimmung der Geichungen (.78), (.79) und (.8) ist sehr gut. Die Darsteung der ersten Eigenfrequenz aus einem FE-Programm ist im nächsten Bid angegeben. 4 Aessandro Dazio 7 Aessandro Dazio 8

10 Tragwersdynami und Schwingungsprobeme HS 9 Tragwersdynami und Schwingungsprobeme HS 9 M t.3.3 Dämpfung Dämpfungsarten Dämpfung Interne Externe Materia Kontatbereiche innerhab der Tragwere M t Hysteresis (Visos, Reibung, Fiessen) Reativbewegung zwischen Teitragweren (ager, Fugen, etc.) Externer Kontat (nichttragende Eemente, Energieabstrahung im Boden, etc.) HEB 36 SAP v8 - Fie:HEB_36 - Mode Period.946 seconds - KN-m Units Angaben zur Dämpfung von Tragweren Materia Stahbeton (ungerissen) Stahbeton (gerissen) Stahbeton (Vorgespannt) Stahbeton (Teiweise Vorspannung) Verbundbauteie Stah Tabee C. aus [Bac+97] Dämpfung ζ Aessandro Dazio 9 Aessandro Dazio

11 Tragwersdynami und Schwingungsprobeme HS 9 ager HS 9 Dissipatoren Quee: A. Marioni: Innovative Anti-seismic Devices for Bridges. [SIA3] Aessandro Dazio Tragwersdynami und Schwingungsprobeme Quee: A. Marioni: Innovative Anti-seismic Devices for Bridges. [SIA3] Aessandro Dazio