Institut für Thermische Verfahrenstechnik. Wärmeübertragung I. Lösung zur 4. Übung (ΔT LM (Rührkessel, Gleich-, Gegenstrom))

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1 Prof. Dr.-Ing. Matthia Kind Intitut für hermihe Verfahrentehnik Dr.-Ing. homa Wetzel Wärmeübertragung I öung zur 4. Übung ( M (Rührkeel, Gleih-, Gegentrom Einführung Ein in der Wärmeübertragung häufig auftretende Problem it die tationäre Wärmeübertragung zwihen zwei Strömen, die ihre emperatur entlang de Wärmeübertragungweg ändern. Hilfreih it hier e gemittelte Kinetik, welhe die Wärmeübertragung nur in Abhängigkeit der leiht zugänglihen Ein- und Autritttemperaturen und niht abhängig von den lokalen emperaturen drükt. Der Index wird dabei tet dem Strom mit der höheren emperatur zugeordnet (bei der Anwendung der gemittelten Kinetik beahten!. ; ( z 0 k A ( ; ( z ; ( z 0 ; ( z Kinetiher Anatz allgem: k A ( it die mittlere emperaturdifferenz im Apparat. In em beideitig durhmihten Rührkeel it die emperaturdifferenz überall gleih, alo gilt: Q & k A. ( Häufig ind und aber niht kontant. In dieem Fall tellt ih die Frage, welher Mittelwert in den kinetihen Anatz zuetzen it. Für den Doppelrohrapparat wurde die in der Vorleung hergeleitet. Hier oll die nun am Beipiel e Rührkeel mit Kühlhlange gehehen. Angenommen, die Oberflähe A nimmt entlang er Koordinatenrihtung z zu (die Koordinatenrihtung it normalerweie parallel zu em der Flüigkeittröme im Apparat, o da bei z 0 (Eintritt A 0 it und bei z (Autritt A A Geamt. Man betrahtet differenzielle Volumenelement der Strömung (von z bi z + dz, da kl genug it, damit die emperaturdifferenz durh lokale emperaturen gedrükt werden kann: ( z ( z ( z dq k da ( ( z ( z k da ( z z 0 z. Somit it der kinetihe Anatz in differenzieller Form: & ( Damit man nun auf die mittlere emperaturdifferenz kommt, mu man diee Gleihung von A 0 bi A A Geamt integrieren. Da Problem bei der Integration it, da die lokalen emperaturen unbekannt ind. Der Verlauf der emperaturdifferenz entlang der

2 Koordinatenrihtung al Funktion von z it alo noh niht definiert. Um die unbekannten Größen zu eliminieren, werden weitere Gleihungen benötigt. Die Bilanz um differenzielle Volumenelement, z.b. e Rührkeel mit Kühlwaerhlange, liefert: Bilanz um differenzielle Volumenelement,z,z Bilanzraum: diff Volumenelement de Keelinhalte & H, z + dz d Q & Bilanzraum: diff Volumenelement der Kühlwaerhlange & H, z + dz Auf der Seite der Rohrhlange:, H& z, z+ dz + d 0 ; d d ( z p, Differenzielle Kinetik: k da ( ( z ( z k π r dz ( ( z d da der Rührkeel volltändig rükvermiht it gilt für die emperaturen entlang der Wärmeübertragungflähe: ( z.,0,, ont Nah dem Gleihetzen erhält man: p,d ( z p,d( ( z k π r dz ( ( z ( Diee Gleihung kann nah der rennung der Variablen direkt integriert werden: z d( ( z k ( ( z z 0 π r p, 0 dz ( z 0 ka,0,, ( z p, Au der Geamtbilanz um die Rohrhlange folgt: Q & p,(,, p,,, Und geetzt in die Gleihung (3 ergibt ih: ( z 0,, ka ( z Q & z z,,, +, ( 0 ( ka ka ka k A ( z 0 ( z 0 ( z 0 ( z ( z ( z,,0,0 (3 M nennt man die mittlere logarithmihe emperaturdifferenz. Diee Formel gilt auh für Rührkeel mit Heizhlange, owie für den Doppelrohrapparat mit Gleih- und Gegentrom (iehe Herleitung Vorleung. M

3 Allgem gilt für Rührkeel und Doppelrohrapparat im tationären Betrieb: k A M M (,0,0 (,, (,0,0 (,, M Kurzhreibweie: ( z 0 ( z ( z 0 ( z : heißer Strom : kalter Strom Q & von nah angenommen 3

4 öung. Aufgabe Behreibung de Gegentande: Shematihe Skizze zur Bilanz,zu,zu Bilanzraum: Keel (mit Shlange,ab,ab Aufgabeteil a Gefragt it, min dh Grundgeetze: H&, zu + H&, zu H&, ab H&, ab 0 (tationärer Betrieb dt zu, p,, ab, p,, zu, p,,, ab p,, etzen: + ( 0 ; p,(,, p,,, Der ziger Wert, der ih in der Gleihung für Damit die Kühlaufgabe erfüllt wird und dabei p, p,,,,,, min verändert, it die emperatur,. & gilt, mu die emperatur M, min,,, max. Der maximal mögliher Wert von, it, (die emperatur de Kühlwaer kann niht höher, al die emperatur de Keelinhalt. Somit ergibt ih: kj p,,, K 00 C 40 C,min 0,5 0, 5 kj p,,, 4 K 40 C 0 C Aufgabeteil b. Gefragt it der innere Durhmeer der Rohrhlange d i.,5,min,5 0,5 0, 75 d i π d 4 i V& ρ u AQuerhnitt ρ u 4 π u ρ ρ 4 0,75 da u m, gilt d i 0,0309 m π m 000 Au der abelle der nähtgrößere Durhmeer: d i 3 mm. 3 m Aufgabeteil. Gefragt it zunäht die Oberflähe der Rohrhlange A (Mantelflähe!. Die Oberflähe berehnet ih dem kinetihen Anatz k A Der Wärmetrom Q & ergibt ih der Bilanz um den Keelinhalt: M 4

5 dh H& dt M, zu p, H& (,, ab, 0,5 p, ( z 0 ( z ( z 0 ( z (, kj K, 0 (00 C 40 C 60 kw emperaturprofile:,, ( z 0, ( z, z 0 ( it überall im Keel gleih und gleih,!, der Bilanz um die Rohrhlange: dh dt, M H&, zu, ( H&,, ab +, + p,, p,, W 0 C + 3 0, (,,,,, Somit die Oberflähe der Rohrhlange: W A 4, m² W k 800 8, K M m K p,, J K C z (40 C 0 C (40 C 30 C 8, C 40 C 0 C 40 C 30 C Weiter gefragt: änge der Rohrhlange. Au Geometrie: A π d a A 4, d a 35 mm ( der abelle, o da 37,5 m π d π 0,035 a 5

6 öung. Aufgabe. A k M Rührkeel Gleihtrom Gegentrom Q & W W W k 800 W/(m²K 600 W/(m²K 600 W/(m²K Skizze z 0 z z 0 z z 0 z (z 0 30 K 90 K 70 K (z 0 K 0 K 30 K M 8, K 36,4 K 47, K A 4, m²,75 m², m² 6