Gymnasium Landau Q11 Mai Extremwertprobleme. L Lx2 4x 3 2

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1 Gymnasium Landau Q11 Mai 01 Etremwertprobleme 1 Ein gleihshenkliges Dreiek ABC mit der Basislänge und den Shenkellängen b wird aus einem Draht der Länge L gebogen, dh +b L b h C b A B (a) Beweise für die Dreieksflähe A die Beziehung A() L L 4 3 (b) Berehne 0 so, dass A( 0 ) die maimale Dreieksflähe ist Untersuhe, um welhes besondere Dreiek es sih im Fall 0 handelt () Drüke die maimale Flähe A( 0 ) durh L aus und vereinfahe so weit wie möglih (L Lösung: (a) b L ) L b h 4 L A() 1 h L 4 (L 4) L L (L 4) L 4 3 (b) A() ist maimal, wenn der Radikand f() L 4 3 maimal ist f () L 1 (L 6) f () oder L 6 f ( 1 ) L > 0 (Minimum), f () L 4 f ( ) L 4L 6 L < 0 (Maimum) Also: 0 L 6 () Aus 0 folgt b L L 6 L 3 und L, dh das Dreiek ist gleihseitig 3 L L A( 0 ) L (L 4 0) L L ( 6 L 4L ) L 6 L L 6 3 L L 1

2 Die Lihtgeshwindigkeit für vershiedene Medien beträgt n, wobei 3,0 108m s die Lihtgeshwindigkeit im Vakuum und n die Brehungszahl des Mediums ist Zeigen Sie, dass die Aussage dasliht nimmt denweg mit der minimalen Laufzeit äquivalent zu folgenden Gesetzen der geometrishen Optik ist: (a) (b) s y α 1 s 1 s y 1 y α 1 α y 1 α 1 s 1 1 (a) Bei der Refleion von Liht ist der Einfallswinkel gleih dem Refleionswinkel (b) Bei der Brehung von Liht an Grenzflähen gilt sinα 1 sinα n n 1 Lösung: (a) t s 1 +s 1 +y 1 + (l 1 ) +y 0 dt 1 sinα 1 sinα d 1 s 1 s (b) t s 1n 1 + s n n 1 1 +y 1 α 1 α + n (l 1 ) +y 0 dt n 1 1 n n 1sinα 1 n sinα d 1 s 1 s n 1 n sinα sinα 1 3 Zerlegen Sie 15 so in eine Summe, dass das Produkt maimal ist Lösung: p() (15 ) p () ,5 Maimum, da der Graph von p() eine nah unten geöffnete Parabel ist 4 Aus einem Draht der Länge 10 m wird das Kantenmodell eines Quaders hergestell Die Seite b ist doppelt so lang wie die Seite Wie groß muss die Länge der Seite gewählt werden, damit das Volumen des Quaders maimal wird Lösung: b,a 30 3 V() (30 3) V () , Maimum, da V (6) > 0 und V (7) < 0

3 5 DiePunkte ( f())aufdemgraphender Funktionf() 4 +1erzeugen mit den Punkten X( 0), Y(0 f()) und dem Koordinatenursprung O(0 0) ein Rehtek der Flähe A() (a) Berehnen Sie die Punkte des Graphen der Funktion f() mit waagrehter Tangente (b) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f() und zeihnen Sie für einen Punkt das zugehörige Rehtek ein () Geben Sie die Koordinaten des Punktes P an, bei dem die Flähe des Rehteks maimal ist Lösung: (a) f () , /3 ±1 (b) () A () ( f()) / 1 10 (6± 36 0) 1 10 (6±4) 1 1, A () 0 3 1, A (1) > 0, also Minimum A ( 1 5 ) ( < 0, also Maimum Also: P 1 ) 5 5 0,64 6 Betrahten Sie ein Dreiek mit den Eken A( a b), B(a b) und C(0 1), dessen Eken auf dem Einheitskreis mit Mittelpunkt M(0 0) und Radius 1 liegen (a 0) Lösung: (a) (a) Zeihnen Sie die Dreieke für a 0,; 0,5; 0,7 (1 5m) (b) Berehnen Sie allgemein die Flähe A(ϕ) des Dreieks Verwenden Sie zur Beshreibung den Winkel ϕ zwishen MB und der -Ahse (ϕ < 0, wenn B oberhalb der -Ahse) () Für welhen Winkel ist die Flähe des Dreieks maimal? TIP: Verwenden Sie os ϕ 1 sin ϕ und den Satz von Vieta! (b) A(ϕ) osϕ (1+sinϕ), ϕ [ 90 ;90 ] () A (ϕ) sinϕ (1+sinϕ)+os ϕ sinϕ sin ϕ+1 sin ϕ 1 sinϕ sin ϕ (1 sinϕ)(1+sinϕ) 0 1 Fall: sinϕ 1 Für sinϕ 1 folgt A(ϕ) 0, also kein Maimum! Fall: sinϕ 1 ( ϕ 30!) Bei ϕ 30 liegt ein Maimum vor, da A(0 ) 1, A(90 ) 0 und A(30 ) ,99 7 Aus einem Baumstamm mit kreisförmiger Quershnittsflähe (Durhmesser d, Länge l) soll ein Balken (Breite b, Höhe h, Länge l) (a) mit maimalem Volumen herausgeshnitten werden Welher Prozentsatz des Balkens wird genutzt? 3

4 (b) mit maimaler Tragfähigkeit herausgeshnitten werden Die Tragfähigkeit eines Balkens ist proportionalzubh Welher Prozentsatz desbalkens wirdgenutzt? Lösung: (a) b +h d V(b) b d b l Da das Volumen immer positiv ist, ist V(b) genau dann maimal, wenn V (b) b (d b ) l maimal ist b 1 d 64% des Baumes werden genutzt (b) bh b (d b ) ist maimal, wenn b 1 3 d 60% des Baumes werden genutzt 8 Shwerpunkt einer Limonadendose (a) Wo liegt der Shwerpunkt einer vollen und einer leeren Dose? (b) Bis zu welher Höhe muss man die Dose austrinken, damit der Shwerpunkt möglihst niedrig liegt und daher die Dose am besten stehen bleibt () Welher Wert ergibt sih für die Shwerpunktshöhe, wenn die Dose eine Höhe von 16m und eine Masse von 100g hat Die ganze Limonade soll eine Masse von 500g haben Lösung: (a) Shwerpunkt jeweils bei H (H: Dosenhöhe) (b) S(h) m D H +m L h H h m D +m L H h m DH +m L h m D H +m L h S (h) 0 m L h +m D Hh m D H 0 h 1 m L ( m D H ±H ) m D (m D +m L ) Da der Term unter der Wurzel größer als m D ist und für h nur positive Werte sinnvoll sind, folgt h 1 ( m D H +H ) m D (m D +m L ) m L () h 0,8989H 4,6m 9 (a) Wann wird das Produkt zweier Zahlen mit konstanter Summe maimal? (b) Wann wird die Summe zweier Zahlen mit konstantem Produkt minimal? Lösung: (a) a+b konst a b a a f(a) 1 Lösungsweg: f (a) a 0 a 1, f (a) < 0 Also: Produkt maimal für a 1 Lösungsweg: f(a) ist eine nah unten geöffnete Parabel f(a) maimal am Sheitel ( ) (b) a b konst a+b a+ a f(a) f (a) 1 a 0 a ±, f (a) a 3 1 Fall: > 0, d h a und b haben gleihes Vorzeihen Für a,b > 0 ist f (a) > 0 und damit erhält man für a b ein Minimum Für a,b < 0 ist f (a) < 0 und damit erhält man für a b ein Maimum Fall: < 0 f (a) > 1, also kein Etremum 4

5 10 Legen Sie die Punkte M und N auf den Shenkeln eines Winkels α mit Sheitel S so fest, dass bei konstanter Flähe des Dreieks SMN die Länge MN minimal ist Lösung: Mit m SM > 0 und n SN > 0 folgt A 1 mnsinα mn A sinα und m A nsinα MN m +n mnosα 4A n sin α +n 4A f (n) 0 n 4 4A sin α n A sinα, m tanα f(n) A sinα 11 Wie muss man einen Stab der Länge l in zwei Stüke zerbrehen, damit das aus den Teilstüken gebildete Dreiek maimale Flähe hat? Lösung: l a + b Die Dreieksflähe A absinα ist bei festem a und b maimal, wenn die Teilstüke einen Winkel von 90 einshließen A(a) ab al a 1 Lösungsweg: A (a) l a 0 a 1 l, A (a) < 0, also Maimum für a b 1 l Lösungsweg: A(a) ist eine nah unten geöffnete Parabel Damit wird das Maimum am Sheitel ( 1 l 1 4 l ) angenommen 3 Lösungsweg: Das Produkt zweier Zahlen mit konstanter Summe ist maimal, wenn die zwei Zahlen gleih groß sind 1 In welhem Rehtek mit gegebenem Fläheninhalt A hat die Diagonale minimale Länge? Lösung: Seitenlängen des Rehteks: a, b A ab d (a) a + A a Minimum von d bei ( A,A) Minimum für a b A, dh Quadrat 13 Welher Punkt des Graphen der Funktion f() minimalen Abstand? 1+ 1 hat vom Punkt P(0 3) Lösung: ( ) d() (0 ) gibt den Abstand eines Punktes A( f()) von P an d() und damit auh d() (da d() 0) hat nur ein Minimum bei P(0 1) 5

6 14 Wie muss ein kegelförmiges Sektglas gestaltet werden, damit bei gegebenem Volumen V möglihst wenig Material benötigt wird? Lösung: Mantelflähe: A(r) rsπ r 4 π + 9V r A(r) minimal g(r) r 4 π + 9V r minimal g (r) 4π r 3 18V 3V r 3 0 r r 0 3 π g (r) 1π r + 54V h 0 3V r0 π r 0 r 4 > 0 A hat bei r 0 ein Minimum 15 Zwei Kanäle mit den Breiten a und b stoßen rehtwinklig zusammen Wir suhen die maimale Länge L, die ein Baumstamm haben kann, damit er gerade noh um die Eke gebraht werden kann Wir rehnen mit einem idealisierten Stamm der Dike null a A p (a) Drüken Sie r AB p+q durh aus und berehnen Sie L y q (b) Berehnen Sie L speziell für die Fälle a b, a b und b a () Zeihnen Sie r() für a 1 und b Beweisen Sie für diesen Fall, dass g() + eine Asymptote von r() ist b B Lösung: (a) r() ( 1+ b ) a +, r () 3 ba a + r () 0 0 a 3 b 1 3 r () < 0 für < 0 und r () > 0 für > 0 rel Min von r bei 0 L r( 0 ) ( )3 a 3 +b 3 (b) a b L a () r() a b L b b a L 4,16a ( 1+ ) 1+ (+)

7 lim [r() (+)] lim lim [ Hospital lim (+) ( )] (+) In einer Gemeinde gilt aus gestalterishen und wärmetehnishen Gründen für die Maße eines Hauses folgende Verordnung (siehe Abbildung): V sei das Volumen des Hauses (umbauter Raum ohne Keller) und Adie gesamte Oberflähe einshließlih Dah aber ohne die Grundflähe Die Breite, die Wandhöhe h, die Giebelhöhe g und die Länge y müssen so gewählt werden, dass h s g g 3 8 ; h 5 8 und A bei gegebenem V minimal ist y (a) Drüken Sie V durh und y aus und lösen Sie das Ergebnis nah V auf Drüken Sie s durh aus und beweisen Sie dann mit einer detaillierten Rehnung folgende Beziehung: A() V 13 (b) Für welhes, ausgedrükt durh V, ist die Bauordnung erfüllt? Nahweis der ArtdesEtremums niht vergessen! Berehnen SieauhdasVerhältnis k y für ein Haus, das den Forderungen der Bauordnung genügt () Berehnen Sie, y, h und g für ein der Bauordnung genügendes Haus mit dem Volumen V 540,8m 3 und zeihnen Sie die Vorderfront des Hauses im Maßstab 1 : 00 Lösung: (a) V y, y 16V 13, s 5 8 7

8 (b) A () V V A () , k y () 8m, y 10,4m, h 5m und g 3m 17 Wir betrahten alle möglihen Quader mit den Kantenlängen, y und z und dem konstanten Volumen V Gesuht ist der Quader mit der kleinsten Oberflähe (a) Drüken Sie die Oberflähe A eines Quaders durh, y und V aus (b) A kann als Funktion von mit dem Parameter y aufgefasst werden, dh A A y () Für welhes y ist A y () minimal? () Die Funktion F(y) ist definiert durh F(y) A y ( y ) F(y) ist also die Oberflähe des Quaders mit der Kante y, dessen Oberflähe minimal ist Den Quader mit der insgesamt kleinsten Oberflähe bei gegebenem Volumen V findet man durh Minimieren von F Um welhen Quader handelt es sih dabei? Lösung: (a) A y () [ y + V y + V ] (b) A y () [ y V ] 0 y () F(y) A y ( y ) F (y) [ V y + V ] y V y [ V y V y ] 0 y 3 V Damit gilt auh y 3 V und z V y 3 V, Würfel!! Pa / Ki 8