1. Überlege, ob die gegebenen Körper mit einem geometrischen Grundkörper

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1 1 Anwendungsaufgaen Geh ei Anwendungsaufgaen zu Körpererehnungen folgendermaßen vor: 1. Üerlege, o die gegeenen Körper mit einem geometrishen Grundkörper üereinstimmen.. Findest du keine Üereinstimmung, kann der gegeene Körper oft in geometrishe Grundkörper zerlegt oder sinnvoll zu einem Grundkörper ergänzt werden. Während ei Zerlegungen die Teilkörper addiert werden, muss ei Ergänzungen natürlih sutrahiert werden. Die Wahl zwishen Ergänzung und Zerlegung hängt auh oft davon a, welhe Maße zur Verfügung stehen. Das Pantheon in Rom esteht aus einem Zylinder mit aufgesetzter Halkugel. Der esonders harmonishe Raumeindruk wird unter anderem dadurh erzeugt, dass Durhmesser und Höhe dieses zusammengesetzten Körpers gleih groß (nämlih 4, m) sind. Welhes Volumen hat das Geäude? V = V Z + 0,5 V K = p (1,6 m) 1,6 m + _ p (1,6 m) = _ 5 p (1,6 m) 5766,7 m Der Rauminhalt des Pantheons umfasst etwa 5, 10 4 m. 1. Welhes Volumen und welhe Oerflähe hat der Rotationskörper, der durh die Rotation der age ildeten Figur um die gestrihelte Ahse erzeugt wird? 7 m m 6 m

2 . Ein Regenwasserehälter esteht aus einem Kreiskegel mit aufgesetztem oen offenem Zylinder. Der Zylinder hat eine Höhe von 1,4 m, die Gesamthöhe des Gefäßes eträgt,5 m. Die Mantellinie (der Umfang) des Gefäßes ist 4,4 m lang. Die Wanddike des Gefäßes kann für die Rehnung vernahlässigt werden. a) Wie hoh steht das Wasser in diesem Gefäß, wenn 600 Liter darin enthalten sind? ) Die Innenflähen müssen einen wasserdihten Anstrih erhalten. Mit welhen Kosten muss man rehnen, wenn eine Dose mit 500 ml Fare 5 kostet und für 4 m ausreiht? ) Der randvolle Behälter wird durh eine Pumpe entleert, die je Minute 150 Liter fördert. Wie lange dauert es, is der Behälter zu 90 % geleert ist? d) Welhen Radius müsste ein kugelförmiger Behälter mit gleihem Fassungsvermögen haen?. Wie viel Prozent des ursprünglihen Holzzylinders sind nah der Herstellung des ageildeten Körpers noh vorhanden? 0,1 h d h = d 4. Ein zylindrisher Messeher mit einem (Innen-) Durhmesser von 10 m ist zur Hälfte mit Wasser gefüllt. Tauht man 5 gleih große Kugeln in das Wasser, so steigt der Wasserspiegel um 6 m. Wie groß ist der Kugeldurhmesser? 5. Welhen Rauminhalt hat das ageildete Zelt? 1,5 m 0,4 m 0,4 m 1,8 m

3 15 Winkelerehnung im rehtwinkligen Dreiek In einem rehtwinkligen Dreiek legt das Verhältnis der Seitenlängen die Größe der Winkel fest. Man kann daher die Winkel üer diese Seitenverhält nisse erehnen. Dafür verwendet man trigonometrishe Winkelfunktionen. A a Ankathete zu α = Gegenkathete zu β α C Hypotenuse Gegenkathete zu α = Ankathete zu β Für jedes rehtwinklige Dreiek Für ein Dreiek mit γ = 90 ist definiert: erhält man daher Sinus: sin(ϕ) = Gegenkathete }} Hypotenuse Kosinus: os(ϕ) = Ankathete } Hypotenuse Tangens: tan(ϕ) = Gegenkathete }} Ankathete sin(a) = a } ; sin () = } os(a) = } ; os () = a } tan(a) = } a ; tan () = } a Die Gegenkathete liegt daei dem etrahteten Winkel gegenüer, die Ankathete liegt an dem etrahteten Winkel an. β B Ein rehtwinkliges Dreiek hat die Seitenlängen a = 5 m, = 4 m und = m. Bestimme alle Winkel dieses Dreieks. Die längste Seite des Dreieks und damit die Hypotenuse ist a, der rehte Winkel liegt ihr gegenüer, also ist a = 90. Ferner gilt: sin() = } a = 4 } 5 = 0,8. Den zugehörigen Winkel erehnest du mit dem Tashenrehner meistens mit der Tastenkomination inv+sin 0.8 oder shift+sin 0.8. Du erhältst: = 5,1. γ kannst du nun mit der Winkelsumme errehnen oder mit os (γ) = } a = 0,8. Der Tashenrehner erehnet damit γ = 6, Berehne alle Winkel folgender rehtwinkliger Dreieke. a) a = 10 dm; = 7,5 dm; = 1,5 dm ) a = 10 m; = 8 m; = 6 m ) a = 4,8 m; = 14 dm; = 90

4 . Im rehtwinkligen Dreiek ABC (rehter Winkel ei C) sind gegeen: h =,90 m und q = 6,1 m. Berehne die Größen a,, a,,, p. 5. Vor einem in Not geratenen Flugzeug ersheint eine Insel, die von Ufer zu Ufer vollständig een und als Notlandeahn geeignet ist. Das Flugzeug hat eine Höhe von 100 m üer dem Boden, die eiden Ufer der Insel ersheinen in Flugrihtung unter einem Tiefenwinkel von a = 17,8 und = 5,. Diese Daten verwertet der Bordomputer in Bruhteilen von Sekunden zu einer Berehnung der Länge der Landeahn. Reiht die Länge aus, wenn das Flugzeug ei günstigen Bedingungen β α aus dieser Position 100 m Landeahn Rollweg rauht? 4. Ein Graen soll mit Platten agedekt werden. Bei einer Tiefe von 1,7 m hat der Graen die in der Skizze vorgegeenen Maße. Berehne die notwendige Breite () der Platten. 4,0 m 5 5. Die Cheopspyramide hat ei einer quadratishen Grundflähe mit der Seitenlänge 7 m eine Höhe h von 16 m. Unter welhem Winkel a steigen die Kanten und unter welhem Winkel die Seitenflähen an? 6. Zeihne in ein Koordinatensystem die Gerade mit der Gleihung y =. a) Welhe Steigungswinkel hat diese Gerade gegenüer der -Ahse? ) Gi allgemein eine Formel für den Steigungswinkel a ei gegeener Steigung m an. ) Unter welhem Winkel steigt eine Straße mit der Steigung 15 %? 7. Ein Beoahter sieht eine Kirhturmkugel mit 4 m Durhmesser unter einem Sehwinkel von a = 4,5. Welhe Entfernung hat er zur Kugel? 4,5

5 Halkugel: Volumen: V HK = } π (6 m) 45,9 m Oerflähe: O HK = π (6 m) 6,19 m Summe: V ges = 6,89 m + 9,9 m + 45,9 m = 1055,57 m O ges = 17,78 m + 11,10 m + 6,19 m = 51,07 m 9 zu den Seiten /. a) Zunähst muss aus dem Umfang (Mantellinie) der Radius erehnet werden: r = } U ϖ = } 4,4 m 0,7 m ϖ V Kegel = = ϖ (0,7 m) 1,1 m }} 0,56 m = 560 dm = 560 l In dem aufgesetzten Zylinder sind also noh 40 l Wasser enthalten. Für die Füllhöhe ergit sih: h = } V ϖ r = 40 } ϖ (7 dm) 0,6 dm =,6 m ) Mantellinie s: s = Ï }}} r + h = Ï }}}}}}}} (0,7 m) + (1,1 m) 1, m Kegelmantel: M Ke = π 0,7 m 1, m,86 m Zylindermantel: M Z = π 0,7 m 1,4 m 6,16 m Gesamtflähe: M Ke + M Z = 9,0 m Man enötigt Dosen Fare und muss mit 75 Kosten rehnen. ) Zylindervolumen: V Z = (7 dm) π 14 dm 155,1 dm Füllvolumen 0,9 (V Z + V K ) = 0,9 715,1 dm 44,6 Liter Die Pumpe enötigt 44,6 : 150 = 16, Minuten für die Leerung von 90 % des Gesamtvolumens. d) 715,1 dm = 4 } p r r = Ï }}}}} 715,1 dm } 1,7 dm 1,7 m 4 ϖ. Zylindervolumen: V Z = 1 1 } d π d = } ϖ 4 d Halkugelvolumen: V HK = } π 1 1 } d = ϖ } 6 d Kegelvolumen: V Ke = ϖ 1 1 } d } 5 d } = } ϖ 0 d Restvolumen: V Rest = 1 } ϖ 4 ϖ } 6 ϖ } 0 d = } ϖ 15 d Restanteil: V Rest : V Z = 4 : 15 = 0,5 = 6 } % 4. Volumen des verdrängten Wassers: π (5 m) 6 m 471,4 m Volumen einer Kugel: 471,4 m : 5 94,5 m Radius einer Kugel: r = Ï }}}}} 94,5 m },8 m 4 ϖ Kugeldurhmesser: d = 5,64 m 5. Kegelvolumen: V Ke = ϖ (0,4) 1,5 m }} 0,5 m Prismenvolumen: V P = 0,5 g h D h P = 0,5 0,8 m 1,5 m 1,8 m = 1,08 m Gesamtvolumen: V Ke + V P = 1, m

6 zu den Seiten 4 / Winkelerehnung im rehtwinkligen Dreiek 1. a) ist die Hypotenuse, also g = 90 sin a = a : = 10 : 1,5 = 0,8 a = 5,1 = ,1 = 6,87 ) a ist die Hypotenuse, also a = 90 sin g = : a = 6 : 10 = 0,6 g = 6,87 = ,87 = 5,1 ) ist die Hypotenuse, also = Ï }}}} a + = Ï }}}}} = 50 dm sin a = a : = 48 : 50 = 0,96 a = 7,74 g = ,74 = 16,6. C h a A α q p β B tan a = h : q =,9 : 6,1 = 0,64 a =,47 = ,47 = 57,5 sin = h : a a = h : sin =,9 : sin (57,5 ) = 4,6 m os = p : a p = a os = 4,6 m os (57,5 ) =,48 m = p + q = 8,61 m = h + q = Ï }}}}}},9 + 6,1 = 7,7 m. Die gesuhte Länge der Landeahn ist hier mit ezeihnet. Die Figur wird durh Einzeihnen der Höhe zu zwei rehtwinkligen Dreieken ergänzt. In dem Dreiek mit der lauen Hypotenuse ist g 1 = 90 = 64,8. Damit lässt sih y erehnen: 1 γ h y y 1 β α 4 tan g 1 = y : h y = h tan a = 100 m tan (64,8 ) = 550,1 m Für das Dreiek mit der roten Hypotenuse ergit sih: g = 90 a = 7, Damit lässt sih + y erehnen: tan g = ( + y) : h + y = h tan g + y = 77,56 m = 77,56 m 550,1 m = 1187,4 m Die Landeahn ist etwa 1 m zu kurz. Das kann man wohl noh riskieren

7 4. Zweimaliges Einzeihnen der Tiefe h liefert die Aufteilung der Breite in die Teile, y und z sowie zwei rehtwinklige Dreieke. y z h h α 5 4,0 m 95 In diesen gilt: tan = h : = 1,7 m : tan =,6 m; a = 90 5 = 65 tan a = z : h z = h tan a =,65 m; =,6 m + 4, m +,65 m = 10,47 m Die notwendige Breite der Platten eträgt a. 10,50 m. zu den Seiten 4 / 5 5. Diagonalenlänge des Quadrats: d = Ï } 7 m = 1,0 m tan a = h : 1 } d = 16 : 160,51 = 0,847 a = 40,7 tan = h : 1 } a = 16 : 11,5 = 1,198 = 50,15 6. a) Einzeihnen eines Steigungsdreieks mit 1 Längeneinheit als horizontaler Streke liefert ein rehtwinkliges Dreiek mit dem Steigungswinkel a. Darin gilt: tan a = : 1 = a = 71,57 ) Allgemein gilt mit dieser Methode: tan a = m ) tan a = 15 : 100 = 0,15 a = 8, y α 1 y = 4 7. Die Radiuslinie steht senkreht zur Tangente. Verlängert man die Astandslinie um r, so erhält man zwei rehtwinklige Dreieke. Es gilt: tan a } = r :(r + ) r + = r : tan 1 a } = m : tan (,5 ) m = 48,9 m Der Beoahter steht knapp 49 m von der Kirhturmkugel entfernt. 16 Sinus und Kosinus am Einheitskreis 6 / 7 1. a sin (a) os (a) a sin (a) os (a) 40 0,64 0, ,4 0, ,5 0, ,77 0,64