Ferienkurs Experimentalphysik Musterlösung Probeklausur

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1 Ferienkurs Experimentalphysik Musterlösung Probeklausur 1. Atwoodshe Fallmashine Betrahten Sie die abgebildete Atwoodshe Fallmashine. Der die Massen m 1 und m 2 Abbildung 1: Atwoodshe Fallmashine verbindende masselose Faden läuft ohne zu rutshen und ohne Längenänderung über die reibungsfrei drehbare Rolle mit Radius R und Trägheitsmoment I. Berehnen Sie die Winkelbeshleunigung der Rolle. Es bezeihnen x 1 bzw. x 2 die Abstände der beiden Massen von der Aufhängung (nah unten positiv) und T 1 bzw. T 2 die Spannungen der Fäden. Dann gelten für die Massen die Bewegungsgleihungen: m 1 ẍ 1 = m 1 g T 1 m 2 ẍ 2 = m 2 g T 2 Da der Faden niht rutshen soll, gibt es einen Zusammenhang zwishen der Winkelgeshwindigkeit ω der Rolle (positiv im Uhrzeigersinn) und den Geshwindigkeiten der beiden Massen: Rω = ẋ 2 1

2 Rω = ẋ 1 Als letzte Gleihung hat man noh die Bewegungsgleihung der Rolle: I ω = R(T 2 T 1 ) (vorzeihenrihtig). Dies sind nun 5 Gleihungen mit 5 Unbekannten. Als erstes eliminiert man ẍ 1 und ẍ 2 durh ω. Dadurh ergeben sih die folgenden Gleihungen m 1 R ω = m 1 g T 1 m 2 R ω = m 2 g T 2 I ω = R(T 2 T 1 ) Dann liefert Einsetzen der beiden ersten Gleihungen in die dritte eine Gleihung für ω: also I ω = R ((m 2 g m 2 R ω) (m 1 g + m 1 R ω)) und (I + (m 1 + m 2 )R 2 ) ω = gr(m 2 m 1 ) ω = gr(m 2 m 1 ) I + (m 1 + m 2 )R 2 2. Wasserführendes Rohr Betrahten Sie ein gerades wasserführendes Rohr, das sih vom Radius r 1 auf den Radius r 2 verengt und auf beiden Seiten mit beweglihen Kolben vershlossen ist (s. Abbildung). Auf den linken Kolben wird zusätzlih zum Atmosphärendruk p 0 die Kraft F 1 ausgeübt, auf den rehten Kolben wirkt von außen nur der Atmosphärendruk. Das System befinde sih in einem stationären Zustand. Betrahten Sie das Wasser als inkompressibel und reibungsfrei. 2

3 a) Wie groß ist der Druk im Wasser vor der Verengung (p 1 ) und nah der Verengung (p 2 )? b) Wie groß sind die Geshwindigkeiten v 1 und v 2 der beiden Kolben? ) Mit welher Kraft F 2 wird der rehte Kolben aus dem Rohr herausgedrükt? d) Was geshieht im Fall r 1 = r 2? a) Für die stationäre Strömung gelten die Kontinuitätsgleihung v 1 A 1 = v 2 A 2 mit den Quershnittflähen A 1 = πr 2 1 und A 2 = πr 2 2, sowie die Bernoulli-Gleihung p ρv2 1 = p ρv2 2. Da das System stationär sein soll, muss an beiden Kolben Kräftegleihgewiht herrshen, d.h. p 1 = p 0 + F 1 A 1 und p 2 = p 0. Von innen wirkt auf beide Kolben tatsählih nur der jeweilige statishe Druk des Wassers, da an der Berührungsflähe Wasser-Kolben das Wasser relativ zum Kolben ruht. b) Mit dem Ergebnis aus a) kann man nun das System aus Kontinuitätsgleihung und Bernoulli-Gleihung nah den Geshwindigkeiten auflösen. Es ergibt sih p 0 + F A 1 2 ρv2 1 = p ρv2 2 F A 1 2 ρ(v2 1 v2) 2 = 0 F 1 A ρ F 1 ( v1 2 A2 1 v A ) = 0 1 A 1 2 ρa2 1 A 2 2 v1 2 = 0 A 2 2 3

4 v 1 = v 2 = 2F 1 ρ 2F 1 ρ Beide Ausdrüke sind reell für A 2 < A 1. A 2 A1 (A 2 1 A 2 2) A 1 A1 (A 2 1 A 2 2) ) Die Drüke p 1 und p 2 sind bereits oben bestimmt worden. Die Kraft mit der der rehte Kolben herausgedrükt wird, ist F 2 = A 2 p 2 = A 2 p 0. d) Für r 1 = r 2, also A 1 = A 2 werden die Geshwindigkeiten v 1 und v 2 für ein niht vershwindendes F 1 singulär. Das bedeutet, dass sih kein stationärer Zustand einstellen wird, was physikalish reht plausibel ist. 3. Antarktis-Park In der Antarktis gibt es einen Antarktis-Park, ein beliebter Zeitvertreib für Pinguine. Eine besondere Attraktion ist eine sheibenförmige Eissholle (Flähe A, Eisdike D, Eisdihte ρ E ), die im Meer shwimmt (Wasserdihte ρ W ). a) Welher Volumenanteil des Eises befindet sih oberhalb der Wasseroberflähe? b) Mit größtem Vergnügen springen Pinguine auf der Eissholle so auf und ab, dass die Sholle anfängt zu shwingen. Stellen Sie die Bewegungsgleihung des Systems auf und lösen Sie diese allgemein. Mit welher Periode T müssten die Pinguine springen, um die Sholle in der Resonanzfrequenz anzuregen (Masse der Pinguine und Reibung werden vernahlässigt)? ) Wie groß müsste die Gesamtmasse der Pinguine auf der Eissholle sein, damit ihr Gewiht die Sholle völlig untertauht? (Wir nehmen an, dass sie ershöpft sind und niht mehr springen.) d) Aufgrund der globalen Erwärmung shmilzt die Eissholle. Wie ändert sih dadurh der Wasserspiegel des Meeres? Begründen Sie Ihre Antwort. Die Temperatur des Meerwassers wird als unverändert angenommen. (Die Pinguine werden für diesen Teil der Aufgabe niht berüksihtigt. Sie haben sih längst aus dem Staub (aus dem Shnee?) gemaht.) a) Die Masse des Eises beträgt M E = ρ E AD. Die Masse des verdrängten Wassers beträgt M W = ρ W A(D x), wobei x die Höhe der Eisshiht ist, die aus dem 4

5 Wasser ragt. Da sih das System im Gleihgewiht befindet muss die Gewihtskraft des Eises der Auftriebskraft durh das verdrängte Wasser entsprehen. Es gilt also M E g = M W g woraus x D = V E oberhalb = 1 ρ E V E ρ W folgt. b) Die x-ahse zeige nah oben. Die einwirkenden Kräfte sind die Auftriebskraft durh das verdrängte Wasser nah oben und die Gewihtskraft des Eises nah unten. Die Bewegungsgleihung lautet also M E ẍ = ρ W Ag(D x) ρ E AgD, welhe der DGL der gedämpften Shwingung ẍ + ρ WAg M E x = ρ W ρ E ADg = g M E ( ) ρw 1 ρ E entspriht. Die Shwingungsfrequenz lässt sih wie immer direkt ablesen ρw Ag ρw g ω = = M E ρ E D. Die Lösung der homogenen DGL ist die bekannte Shwingungsfunktion x h (t) = A sin(ωt) + B os(ωt). Da die Inhomogenität hier nur eine Konstante ist, wählen wir als Ansatz ebenfalls eine konstante Funktion x p (t) = C. Eingesetzt in die DGL ergibt sih ( ) ρ g W ρ E 1 x p (t) = C = = M E(ρ W ρ E ). ω 2 Aρ W ρ E Die allgemeine Lösung lautet also ( ) ρw g x(t) = x h (t) + x p (t) = A sin ρ E D t ( ) ρw g + B os ρ E D t + M E(ρ W ρ E ). Aρ W ρ E Die Eigenfrequenz ω des Systems ist die Resonanzfrequenz mit der die Pinguine die Eissholle anregen müssten. Sie müssten also mit der Periode T = 2π ω = 2π ρ E D ρ W g auf und ab springen. ) Nun muss die Gewihtskraft der Eissholle inklusive der Pinguine gerade gleih der 5

6 Auftriebskraft durh das verdrängte Wasser sein. Es gilt also ρ E ADg + mg = ρ W ADg. Man erhält somit für die Masse der Pinguine m = (ρ W ρ E )AD. d) Nah dem Shmelzen nimmt das Eis folgendes Volumen ein V = M E ρ W = ρ E ρ W AD. Dies ist das Wasservolumen, das die Eissholle verdrängt hat. Somit ändert sih der Meeresspiegel beim Shmelzen niht. 4. Meteor Ein großer Meteor (Masse m 1, Geshwindigkeit v 1 ) stoße zentral und völlig inelastish mit einem Planeten (Masse m 2, Geshwindigkeit v 2 ) zusammen. Die Eigenrotation der beiden Himmelskörper ist vernahlässigbar klein. (a) Berehnen Sie die Geshwindigkeit v des Planeten nah dem Stoß, wenn v 1 und v 2 parallel bzw. antiparallel gerihtet waren. (b) Der Stoß erfolge nun niht zentral, so dass der Planet nah dem Stoß rotiert, d.h. Drehimpuls L 0. Hatte das System bereits vor dem Zusammenstoß den Drehimpuls L? Geben Sie eine kurze Erklärung! () Ändert sih die Geshwindigkeit v bei b) verglihen mit a) gesetzt den Fall, dass auh bei b) der Zusammenstoß vollkommen inelastish sei? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Da der Stoß inelastish erfolgt, gilt natürlih die Impulserhaltung: m 1 v 1 + m 2 v 2 = (m 1 + m 2 ) v Daher gilt für den Fall, dass v 1 und v 2 parallel sind: v = m 1v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 6

7 und für den Fall, dass v 1 und v 2 antiparallel sind: v = m 1v 1 m 2 v 2 m 1 + m 2 (b) Beide Körper drehen sih zwar niht vor dem Stoß, aber das Gesamtsystem hat einen vom Koordinatensystem abhängigen Drehimpuls. Dieser Drehimpuls bleibt erhalten. () Der Impulserhaltungssatz gilt unabhängig vom Drehimpuls. Daher bleibt v gleih, auh wenn der Stoß niht zentral erfolgt. 5. Lihtimpuls In einem Inertialsystem S ruht bei x = 0 ein Sender, der zum Zeitpunkt t = τ einen Lihtimpuls in positive x-rihtung ausstrahlt. Das Inertialsystem S bewege sih relativ zu S mit der Geshwindigkeit v in positive x-rihtung. In S ruht bei x = 0 ein Empfänger. a) Zeigen Sie: Wenn der Lihtimpuls empfangen wird, hat der Empfänger bezüglih S den Ort x = vτ 1 v und die Uhr von S zeigt die Zeit t = τ 1 v b) Benutzen Sie das Ergebnis von Teilaufgabe a) um die Ankunftszeit des Lihtimpulses bezüglih S zu berehnen. a) Vom System S aus wird die Bewegung des Lihtimpulses durh x = (t τ) und die des Empfängers durh x = vt beshrieben. Gleihsetzen und Auflösen nah t ergibt t = τ 1 v und daraus folgt x zu x = vτ 1 v 7

8 b) Mit Hilfe der Lorentz-Transformation ergibt sih t = γ (t v ) ( τ x = γ 2 1 v v ) ( ) vτ 1 v v = γ 2 1 v τ = ( = γ 1 + v ) 1 ( τ = (1 ) ( ) 1 + v ) 1 + v τ = v 1 + v 1 v τ 6. Shiefe Ebene Ein Klotz mit einem Gewiht von 500g liegt auf einer shiefen Ebene. Der Haftreibungskoeffizient zwishen Klotz und Ebene beträgt 0, 75, der Gleitreibungskoeffizient 0, 5. Wie groß muss der Neigungswinkel der Ebene mindestens sein, damit sih der Klotz in Bewegung setzt? Auf einer Ebene mit einem Neigungswinkel von 60 würde er sih also in Bewegung setzen. Der Klotz wird nun in einer (vertikalen) Hohe von 50m losgelassen, rutsht die shiefe Ebene hinunter und auf der Horizontalen weiter, bis er von allein zum Stillstand kommt. Berehnen Sie den Ort, an dem der Klotz zur Ruhe kommt. (Eventuelle Probleme beim Übergang von der Shräge in die Horizontale sollen dabei vernahlässigt werden!) 8