TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN Fakultät V Verkehrs- und Mashinensysteme Institut für Mehanik FG Systemdynamik und Reibungshysik Prof Dr rer nat V Poo wwwreibungshysikde Kontinuumsmehanik Vorlesungsnotizen WS 9/

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3 Kontinuumsmehanik / Prof Poo / Vorlesung Shwingungen on Kontinua: Die Saite, die Wellengleihung, d Alembertshe Lösung Literatur: GP Ostermeyer "Mehanik III" Hauger, Shnell und Groß Tehnishe Mehanik 4 ɺɺ Die Wellengleihung: w = w'' lineare, homogene, artielle DGL I Herleitung der Bewegungsdifferentialgleihung für eine gesannte Saite Gegeben sei ein orgesannter Faden, der keine Biegesteifigkeit besitzt Massenbelegung (Masse ro Längeneinheit) sei µ = A Zu bestimmen ist die Bewegungsgleihung für die Saite Wir shneiden ein infinitesimales Saitenelement mit der Länge ds frei Es gilt: α sinα tan α w' : α + dα = sin α + dα w' + dw' = w' + w'' d Die auf das Element wirkende Kraft ist gleih z sin ( α α ) sin ( α ) ( α α α ) α '' df = S + d S = = S + d = Sd = Sw d Das Newtonshe Gesetz für das Element: dm wɺɺ = df µ d wɺɺ = Sw'' d : µ wɺɺ = Sw'' oder z l = - µ Wellenfortflanzungsgeshwindigkeit Zur Lösung der Bewegungsdifferentialgleihung werden noh S die Anfangsbedingungen: w, w wɺ, = =, und die Randbedingungen: zb w(, t ) = ; w( l, t ) = benötigt II d Alembertshe Lösung der Wellengleihung Eine beliebige Funktion der Form w = f t = f ξ ξ = t, genügt der Wellengleihung Beweis: w w ξ w = = t ξ t ξ w w = =ɺɺ w t ξ w w ξ w = = ξ ξ : w w = ξ w ξ = w'' w ξ = gelungen! Eine beliebige Funktion der Form w = f + t = f ζ ζ = + t, ist auh eine Lösung der Wellengleihung Allgemeine Lösung: w, t = f t + f + t f t beshreibt eine Welle, die sih mit konstanter Geshwindigkeit ohne Änderung ihres Profils in ositie -Rihtung fortflanzt Beweis, dass dies eine allgemeine Lösung ist: ξ = t ; ζ = + t

4 = ( ξ + ζ ) ; t = ( ζ ξ ) w w w w w = ξ ζ + = + ξ ζ ξ ζ w w w w = + + ξ ξ ζ ζ w w w = t ζ ξ w w w w = + t ζ ζ ξ ξ Die Wellengleihung nimmt die Form w = an ξ ζ w Nah der ersten Integration: = g ( ζ ) ζ Nah der zweiten Integration: w = f ξ + f ζ = f t + f + t Bestimmung der Funktionen f und f aus Anfangsbedingungen + = ' ' f f w f + f = f + f = d f + f f, = w ± ( ) d t w(, t) = w ( t) ( ) d + + t + w ( + t) + ( ) d = + t = w ( t) + w ( + t ) + d t = Beisiel: w(, t) = w ( t) + w ( + t) Das ist eine rihtige Lösung nur solange die Wellen auf keine Ränder treffen Berüksihtigung der Randbedingungen Beisiel Fester Rand w () = Die Aufgabe besteht in der Bestimmung einer solhen Funktion, die bei (, ) (a) der Wellengleihung, (b) der Anfangsbedingung und () der Randbedingung genügt Zu diesem Zwek betrahten wir zunähst eine unendlihe Saite mit zwei symmetrishen Wellen mit ershiedenem Vorzeihen, die auf einander laufen Diese Welle genügt auf dem Interall (, ) den Bedingungen (a),(b) und () und ist somit die gesuhte Lösung (Bild (a) unten) Beisiel Freier Rand w '() = Wir betrahten wieder zunähst eine unendlihe Saite mit zwei symmetrishen Wellen mit gleihen Vorzeihen, die auf einander laufen Diese Welle genügt auf dem Interall (, ) den Bedingungen (a),(b) und () und ist somit die gesuhte Lösung (Bild (b) unten) Beisiel 3 Fester Rand beiderseitig Die Saite shwingt mit einer Shwingungsdauer T = l

5 Kontinuumsmehanik / Prof Poo / Vorlesung Bernoullishe Lösung der Wellengleihung Fourieranalyse Literatur: GP Ostermeyer "Mehanik III" Gross, Hauger, Shnell und Wriggers, Tehnishe Mehanik 4, Kaitel 43 Betrahtet wird eine gesannte Saite Ihre π π ω = und ω = = ω Dynamik wird durh die Wellengleihung l l beshrieben: wɺɺ = w'' Dazu kommen die Die gesamte Lösung bei einem bestimmten n: Randbedingungen Für beidseitig festgehaltene Saite: w(, t) sin π n n n an os π t bn sin π = + t l l l w, t = () w( l, t ) = () I Lösung nah D'Alembert II Lösungsansatz on Daniel Bernoulli (753) w(, t) = T ( t) V - Produktansatz T V '' TV = TV '' ɺɺ ɺɺ T = V = onst nur on t nur on ) onst = ω < T ɺɺ + ω T =, ω V '' + V = Die allgemeine Lösung der ersten Gleihung: T ( t) = a osωt + bsinωt = C os( ωt ϕ ) Die Konstante ω ist eine Kreisfrequenz der Shwingung Die allgemeine Lösung der zweiten Gleihung ω ω V = Aos + Bsin Aus den Randbedingungen () und () folgt: V = A =, ω ω ω V ( l) = Bsin l = sin l = l = π n ω π n π n = ω n = n l l n - eine beliebige ganze Zahl ω sind Eigenfrequenzen n Es gibt unendlih iele Eigenfrequenzen Die entsrehende Ortsfunktion V ( ) ist gleih Vn π n Vn = Bsin l sind Eigenformen III Wie kann man die Anfangsbedingungen erfüllen? Allgemein sind Anfangsauslenkungen und Anfangsgeshwindigkeiten des Stabes gegeben, die einer der Eigenformen niht entsrehen Die Lösung wird gegeben durh Suerositionsrinzi + Fourieranalyse Aus der Linearität der Wellengleihung folgt: Eine beliebige lineare Suerosition on gefundenen Lösungen ist auh eine Lösung der Wellengleihung π n π n π n w(, t) = sin an os t + bn sin t n= l l l Eine stärkere Behautung: Eine beliebige Lösung kann in Form π n π n π n w(, t ) = sin an os t + bn sin t n= l l l dargestellt werden Dieser Satz wurde als eine Hyothese on Bernoulli aufgestellt Er konnte sih aber gegen Euler und d`alembert niht durhsetzen, bis Fourier den Satz bewiesen hat Wie können die Rand- und Anfangsbedingungen erfüllt werden? Beisiel Die Seite mit festen Rändern und Anfangsbedingungen w, w wɺ, = =, Die ersten zwei Eigenfrequenzen sind gleih

6 Aus der allgemeinen Lösung folgt die folgende Anfangsbedingung: n w (,) = an sin π = w n= l π n π n wɺ (,) = bn sin = = n= l l Wir multilizieren beide Gleihungen mit sin kπ (wobei k eine ganze Zahl ist) l und integrieren über die Länge der Saite Mit l kπ nπ, k n sin sin d = l l l /, k = n erhält man l nπ an = w sin d l l l l bn = d = l π n In unserem Fall ist f l, a < < l w = f ( ) l, l < < l l 4 f l nπ nπ an = sin d sin d l l l l l l 8 f nπ = sin n π Somit π n 8 sin (, ) nπ π n w t = f sin os t π n= n l l Form am Anfang: und nah /4 Periode IV Ein Beisiel zur Bestimmung der Eigenfrequenzen und Eigenformen Sehr oft brauht man nur die Eigenfrequenzen und die Eigenformen, zb wenn Resonanz ermieden werden soll Beisiel Gegeben sei eine auf einem Rand festgehaltene Saite Zu bestimmen sind die Eigenfrequenzen und die Eigenfunktionen Lösung: Allgemeine Lösung für die Ortsfunktion lautet ω ω V = Aos + Bsin Die Randbedingungen lauten in diesem Fall: w( = ) =, w ( = l) = Randbedingungen liefern: V = A =, ω ωl V '( l ) = B os = Für niht triiale Lösungen muss gelten ω l ωl π os = = + π n n + π ωn =, n =,,, l Grundshwingung und die Obershwingung: π ω =, sin π V = B l l 3π 3π ω =, V = B sin l l Wie hängt die Frequenz on der Sannkraft S ab? π π S π S zb ω = S l = µ l = l µ V Zur Äquialenz der Lösungsmethoden on d'alembert und Bernoulli Beisiel: u(, t) = sin k( + t) + sin k( t) ist eine d'alembertshe Lösung der Wellengleihung Durh Umformen erhalten wir: u(, t) = sin k os kt Das ist aber eine Lösung nah Bernoulli! Für mathematish Interessierte: Genauso wie in der Shwingungstheorie benutzt man oft bei der Lösung on Wellengleihung komlee Eonenten: ik ikt ik ( + t) u(, t) = e e = e Dieser Ansatz ist gleihzeitig der d'alembertshe und der Bernoullishe! Bei Benutzung komleer Eonenten erliert sih der Untershied zwishen beiden Ansätzen

7 Kontinuumsmehanik / Prof Poo / Vorlesung 3 Longitudinalshwingungen on Stäben Erzwungene Shwingungen Literatur: GP Ostermeyer "Mehanik III", 4 Gross, Hauger, Shnell und Wriggers, Tehnishe Mehanik 4, Kaitel 4, 4 I Longitudinalshwingungen on Stäben u(,t) sei Vershiebung des Punktes des Stabes in Rihtung Wir betrahten ein infinitesimales kleines Element der Länge d Das NG für dieses Element lautet N N Ad uɺɺ = N + N + d = d () dm Aus dem Elastizitätsgesetz folgt l du N = σ A = Eε A = EA = EA = EAu ' () l d Einsetzen on () in () ergibt die Wellengleihung uɺɺ = Eu '' u u oder = mit = E / t ist die Wellenfortflangungsgeshwindigkeit ZB für Stahl: E = GPa =, N/m 3 3 = 7,8 kg/m, = 59m/s Beisiel Zu bestimmen ist die Stoßzeit einer Meter langen stählernen Stange mit einer festen Wand Lösung: Die Punkte am anderen Ende des Stabes "erfahren" om Zusammenstoß erst nah der Zeit t = l / Die Punkte im Stoßunkt "erfahren" on der Anwesenheit des freien Endes nah t = l / Der Stoß dauert t = t + t = l = = 4 / 38 s 38ms Aufgabe zum Überlegen: Was assiert beim Zusammenstoß (a) zweier gleihen Stangen, (b) zweier Stangen mit ershiedenen Längen? II Randbedingungen II Die einfahsten Randbedingungen - Bei einem fest gelagerten Rand u = (keine Vershiebung) - Bei einem freien Rand u ' = (keine Normalkraft) Beisiel Zu bestimmen sind die Eigenfrequenzen und Eigenformen für einen (a) beiderseitig festgelagerten (b) beiderseitig freien Stab Lösung: Bernoulli- Ansatz: u(, t) = T ( t) V Für U( ) erhalten wir die Gleihung ω V '' + V = oder V '' + k V = Die Zahl k = ω / heißt Wellenzahl Die allgemeine Lösung der obigen Gleihung ist V = A*os k + Bsin k Aus den Randbedingungen folgt u, t = A * = u ( l, t ) = Bsin kl = k n l = πn ωn = kn = π n l Die allgemeine Lösung ist dieselbe Aus den Randbedingungen folgt jedoh u' = B = u' l = sin kl = kl = π n, ωn = π n l Die Eigenfrequenzen sind dieselben wie im Fall (a), aber die Eigenformen sind ershieden! II Komliziertere Randbedingungen A Stab mit einer am Ende angehefteten Masse Das NG für die Masse muɺɺ l, t = N l, t = EAu' l, t ist die neue Randbedingung am rehten Rand! Aus der Randbedingung am linken Rand folgt A * = Aus der Randbedingung am mω u l = EAu' l oder rehten Rand: mω Bsin kl = EABk oskl m kl m ot kl = EA l = EAl λ mit λ = kl m me ot λ = λ EAl = λ E Al = ελ ε = m M, M - Stabmasse

8 Es gibt unendlih iele Wurzeln λ n = knl Daraus k = λ / l und ω = k = λ / l n π n n n n Grenzfall m = ; os( kl ) = ; B Gefedert gelagerter Stab Bernoulli-Ansatz: u(, t) = a os( k) + bsin( k) T( t) n knl = π Das Hooke she Gesetz für die Feder: N, t = * u, t oder λ 3 EAu (, t) = * u(, t) ist die Randbedingung am linken Rand Einsetzen on u (, t) = ak sin( k) + bk os( k) T ( t) = bkt ( t) und u(, t) = a os( k) + bsin( k) T ( t) = at ( t) in die Randbedingung am linken Rand ergibt EAkb = * a (3) Am rehten Rand u( l, t ) = : a os( kl) + bsin( kl) = (4) Eine niht triiale Lösung eistiert dann, wenn die Koeffizientendeterminante des Systems (3,4) gleih Null ist: *sin( kl) + EAk os( kl) = oder EA tan λ + λ = l * III Erzwungene Longitudinalshwingungen Am rehten Ende eines links fest gelagerten Stabes wirkt eine eriodishe Kraft F os Ω t Zu bestimmen ist Bewegung des Stabes Lösung: Die Randbedingungen lau- u, t = und ten: N l, t = EAu' l, t = F osω t Partikularlösung der Wellengleihung suhen wir in der Form u, t = U osω t Einsetzen in die Wellengleihung liefert U + Ω / U = Allgemeine Lösung für die Ortsfunktion ist U = B os Ω / + B sin Ω /, ( ) u, t = B os Ω / + B sin Ω / os Ωt Aus den Randbedingungen folgt: U, t = B = EAu ' l, t = F os Ω t Ω Ω F EAB os l = F B = Ω Ω EA os l Die Partikularlösung ist also gleih Ω sin Fl u(, t) = U os Ω t = os Ωt EA Ω Ω l os l ZB Amlitude der Shwingungen bei = l ist gleih F tan Ω U l = l (s Bild unten) EAΩ i EA λ l * λ bestimmen k = λ / l und diese die Eigenfrequenzen: ω i = ki i Aufgabe zum Überlegen: was assiert in Grenzfällen und? i π Die Amlitude wird unendlih bei allen Frequenzen, für welhe os Ω l / = Das sind genau die Eigenfrequenzen eines einseitig fest gelagerten Stabes! Wird die Erregerfrequenz gleih einer der Eigenfrequenzen des Systems, so wähst die Shwingungsamlitude unendlih (Resonanz)

9 Kontinuumsmehanik / Prof Poo / Vorlesung 4 Torsionsshwingungen Biegeshwingungen Lit: GP Ostermeyer "Mehanik III" Gross, Hauger, Shnell und Wriggers, Tehnishe Mehanik 4 I Torsionsshwingungen Gegeben sei ein elastisher Stab mit rundem Quershnitt (Bilda) Untersuht werden seine Torsionsbewegungen Jeder Quershnitt wird durh den Winkel θ harakterisiert, um welhen er sih bezüglih des "unerdrehten" Anfangszustandes gedreht hat Wir shneiden aus einem erdrehten Stab ein infinitesimal kleines Element zwishen und +d Der linke Rand ist gedreht um den Winkel θ, der rehte um θ ( + d ) = θ + dθ Das Torsionsmoment im Quershnitt ist gleih dθ M = GI = GI θ ( I ist das olare geometrishe d Trägheitsmoment des Quer- shnitts) Da es sih um Rotationsbewegung (um die Stabahse) handelt, benutzen wir den Drehimulssatz: M Θ ɺɺ θ = M + M ( + d) = d = M d Unter Berüksihtigung der Beziehung Θ = I d ( d ist die Flähenmassen- dihte), nimmt das NG für das Element die Form d I ɺɺ θ = GI θ ''d oder ɺɺ mit θ = θ Für Stahl 3m s = G / Die Form der Gleihung und die Wellenausbreitungsgeshwindigkeit hängen niht om Radius des Stabes ab! II Randbedingungen: Am fest gelagerten Ende: θ = Am freien Ende: M = GIθ ' = θ ' = 3 Wenn am Ende ein Kraftmoment M(t) angreift: GIθ ' = M ( t) III Übergangsbedingungen (am Beisiel on Torsionsshwingungen) Zu bestimmen ist die kleinste Eigenfrequenz on Torsionsshwingungen eines kreiszylindrishen Stabes wie im Bild Der Stab ist links und rehts fest gelagert r a Wellengleihung ist die gleihe in beiden Teilen Allgemeine Lösung im linken Teil (a): θ = A os k + B sin k, (, a) Allgemeine Lösung im rehten Teil (b): θ = A os k + B sin k, ( a, a + b) Randbedingungen: θ () = A = θ ( a + b) = A os k( a + b) + B sin k( a + b) = Übergangsbedingungen: 3 θ ( a) = θ ( a) : links rehts A oska + B sin ka = A oska + B sin ka 4 M ( a) = M ( a) : a b links rehts ( sin os ) ( sin + os ) GI A k ka + B k ka = GI A k ka B k ka Charakteristishe Determinante: os k( a + b) sin k( a + b) sin ka os ka sin ka = I os ka I sin ka I os ka a b b os k( a + b) sin k( a + b) sin ka oska sin ka I ka k a b I ka ka k a b b sin sin ( + ) a sin os os ( + ) + I ka k a + b + I ka ka k a + b = a os sin b sin os os = I I sin ka os ka os k( a + b) + b a a,g ( a b ) I os ka + I sin ka sin k( a + b) = Setzen wir folgende Werte ein: a = b, ra = rb / Mit Ia = Ib /6 folgt aus der letzten Gleihung: b r b

10 /6 sin ka oska os ka + os sin ka + ka sin ka = 6 Die Bedingung ist erfüllt, wenn eine der folgenden Gleihungen gilt: sin ka =, oska =, 3 5/6 os ka + os ka + sin ka = os ka sin ka sin ka os ka 6 Die dritte Gleihung ist nie erfüllt, also muss eine der die ersten beiden erfüllt sein Die kleinste Zahl k folgt aus der zweiten π Gleihung: k = Entsrehende Frequenz a π ω = k = ist die kleinste Eigenfrequenz a IV Biegeshwingungen eines elastishen Balkens Wir betrahten den inneren Bereih eines Balkens Die Befestigungsart ist zunähst ohne Bedeutung, da sie erst in den Randbedingungen auftritt Annahmen: Querauslenkungen und Neigungen sind sehr klein, Krümmungsradius ist sehr iel größer als die Dike des Balkens Wir shneiden ein infinitesimal kleines Element des Balkens frei Unter den oben gemahten Annahmen gilt: () Die Translationsbewegung erfolgt fast in der ertikalen Rihtung, () die Kräfte in der ertikalen Rihtung fallen fast mit den Querkräften zusammen, (3) die Neigungswinkel sind sehr klein und die Rotationsbewegung kann ernahlässigt werden Das Newtonshe Gesetz für die ertikale Bewegung des Elementes lautet Q Ad wɺɺ = Q ( ) + Q ( + d ) = d () dm Rotation gibt es niht, deshalb gelten für Momente dieselben Zusammenhänge, wie in der Statik: Q = M ' und M = EIw'', wobei I das geometrishe Trägheitsmoment des Quershnitts ist Einsetzen in () liefert 4 EI IV w EI w wɺɺ = w oder + = 4 A t A V Bernoullishe Lösung für Biegeshwingungen eines Balkens Zur Lösung dieser Gleihung ist die d'alembertshe Methode niht anwendbar Bernoulli-Ansatz ist aber an alle linearen Gleihungen anwendbar: w(, t) = W osωt 4 d W EI 4 d A ω W = 4 mit κ = ω A/ EI 4 d W 4 κ W 4 d = () Jede lineare gewöhnlihe Differentialgleihung kann mit einem Eonentialansatz gelöst werden: W = We λ 4 4 Nah Einsatz in (): λ = κ Das bedeutet λ κ λ = + κ, κ, + iκ, iκ = ± { } Allgemeine Lösung: iκ iκ κ κ W = Ae ɶ + Be ɶ + Ce ɶ + De ɶ oder κ κ κ κ * W = A os + Bsin + C osh + D sinh Beisiel für Biegeshwingungen Gegeben sei ein beidseitig drehbar gelagerter Balken Zu bestimmen sind die Eigenfrequenzen Die allgemeine Lösung ist oben angegeben Randbedingungen: Vershiebung w und Moment M = EIw'' an beiden Rändern sollen ershwinden * W () = : A + C = W ( l ) = : W ''() = : W ''( l ) = : A * osκl + Bsinκl + C oshκl + Dsinhκl = * A + C = A * osκl Bsinκl + C oshκl + Dsinhκl = Daraus: A * =C=D= Charakteristishe Gleihung reduziert sih auf sinκ l = κ l = πn / n κ = πn l ωn = κ n = π EI n EI A l A n

11 Kontinuumsmehanik / Prof Poo / Vorlesung 5 Biegeshwingungen on Balken Zweidimensionale Shwingungen Lit: GP Ostermeyer "Mehanik III" Gross, Hauger, Shnell und Wriggers, Tehnishe Mehanik 4 I Balkenshwingung Beisiel Gegeben sei ein links eingesannter Balken Zu bestimmen sind die Eigenfrequenzen und die Eigenformen der Shwingungen Lösung: Die allgemeine Lösung lautet κ κ κ κ Die Randbedingungen sind: Vershiebung links Null: W () = : A* + C = Neigung links Null: W '() = : B + D = Moment rehts Null: A * osκl Bsinκl W ''( l ) = : * W = A os + Bsin + C osh + D sinh + C oshκl + Dsinhκl = Kraft rehts Null: W '''( l ) = A * sinκl B osκl + C sinhκl + D oshκl = Die harakteristishe Gleihung (Determinante des Gleihungssystems gleih Null): oshκl osκ l + = oder osκl = oshκl osκ l / osh( κl) κ l = 8, κ l = 47 Um die Eigenformen zu bestimmen, erwenden wir drei der ier Gleihungen des homogenen Gleihungssystems osκl + oshκl C = A, B = D = A sinκl + sinhκl Die Eigenformen sind dann: Wn = A osκ n oshκ n osκ nl + oshκ nl ( sinκ n sinhκ n) sinκnl + sinhκ nl Die ersten zwei Eigenformen sind im Bild gezeigt II Erzwungene Shwingungen Beisiel Zu berehnen ist Amlitude der Shwingungen des Mittelunktes des gezeigten Balkens Lösung: Wir suhen die artikuläre Lösung in der Form w(, t) = W osωt Allgemeine Lösung bis zur Mitte des Balkens sei * W = A osκ + Bsinκ + C oshκ + Dsinhκ Randbedingungen: * * W () = A + C = A = W () = ( l ) * A + C = C = W / = (aus Symmetriegründen): A * sin κl / + B os κl / + C sinh κl / + D osh κl / = Q ( l / ) F / osω t = ; links w Q( l / ) = EIw (, t) = F(, t) / : F * A sin κl / B os κl / + C sinh κl / + D osh κl / = 3 κ EI Die Lösung lautet F D =, F B 3 3 4κ EI osh κl / = 4κ EI os κl / Die Ortsfunktion ist /l F sinκ sinhκ W = 3 + 4κ EI os κl / osh κl / Die Amlitude der Shwingungen bei = l / : F sin κl / sinh κl / W ( l / ) = 3 + 4κ EI os κl / osh κl / Sie wird unendlih wenn der Nenner Null wird

12 III Bewegungsgleihung für eine Membran Genauso wie eine Saite, hat eine Membran keine Biegesteifigkeit Sie wird erst durh eine Vorsannung elastish Betrahten wir eine in allen Rihtungen gleih gesannte Membran (Sannung σ ) Die Bewegungsgleihung lautet: w w w = + t y mit = σ / Zweidimensionale Wellengleihung Die Ableitungen auf der rehten Seite erkürzt man oft zu w w w = +, y = + y heißt Lalae-Oerator Die Wellengleihung kann dann auh in der Form ɺɺ w = w geshrieben werden IV Bernoulli-Ansatz Die zweidimensionale Wellengleihung kann immer mit dem Bernoulli-Ansatz gelöst werden: w(, y, t) = W (, y) osωt Das ist besonders sinnoll, wenn nah Eigenfrequenzen gefragt wird Einsatz in die Wellengleihung liefert für den Ortsteil des Ansatzes die folgende Gleihung W + k W = mit k = ω Helmholtz Gleihung Die Ortsfunktion W (, y ) suhen wir wiederum in Form eines Produktes W (, y) = X Y ( y) mit X = Aosα + Bsinα Y = C os β + Dsin β y Einsetzen in die Helmholtz-Gleihung ergibt α + β = k Jetzt benutzen wir die Randbedingungen: W (, y) = X () = A = W ( a, y) = X ( a) = B sinα a = W (,) = Y () = C = W (, b) = Y ( b) = D sin β b = Daraus folgt π m sinαa = αm = m =,, a π n sin βb = βm = n =,, b m n kmn = α m + β π n = + a b Eigenfrequenzen sind somit ω mn m n = kmn = π + a b Bild Verteilung on Eigenfrequenzen einer Membran bei a = b Eigenfunktionen sind: mπ nπ y Wmn = sin sin a b Die ersten ier Eigenshwingungsformen: V Eeriment: Eigenshwingungsformen einer Platte Beisiel 3 Gegeben ist eine Rehtekmembran mit fest gelagerten Rändern Zu finden sind die Eigenshwingungsformen und die Eigenfrequenzen, Lösung: Bernoulli-Ansatz: w(, y, t) = W (, y) osωt

13 Kontinuumsmehanik / Prof Poo / Vorlesung 6 I Bewegungsgleihung für eine Membran Genauso wie eine Saite, hat eine Membran keine Biegesteifigkeit Sie wird erst durh eine Vorsannung elastish Betrahten wir eine in allen Rihtungen gleih gesannte Membran (Sannung σ ) Zunähst betrahten wir eine Biegung, die nur on einer Koordinate y abhängt: w = w( y, t) und "shneiden" aus der Membran ein Streifen mit der Tiefe d w w Shwingungen on Membranen und Platten Die Ableitungen auf der rehten Seite erkürzt man oft zu w w w = +, wobei + - Lalae-Oerator ist Die Wellengleihung y y kann geshrie- dann auh in der Form ben werden ɺɺ = w w II Bernoulli-Ansatz Die zweidimensionale Wellengleihung kann immer mit dem Bernoulli-Ansatz gelöst werden: w(, y, t) = W (, y) osωt Das ist besonders sinnoll, wenn nah Eigenfrequenzen gefragt wird Einsatz in die Wellengleihung liefert für der Ortsteil des Ansatzes die folgende Gleihung W + k W = mit k = ω Helmholtz Gleihung Beisiel : Gegeben ist eine Rehtekmembran mit fest gelagerten Rändern Zu finden sind die Eigenshwingungsformen und die Eigenfrequenzen, w dm = S( w'( y + dy) w'( y)) t w w = S dy = dy [ σ dtm ] y y Daraus folgt w tm ddywɺɺ = σ tm ddy wɺɺ = σ y dm oder w = t w y mit = σ / Mit Berüksihtigung der Biegung in der - Rihtung: w w w = + t y mit Zweidimensionale Wellengleihung w y Lösung: Die Lösung in Form eines Bernoulli-Ansatzes lautet: w(, y, t) = W (, y) osωt Die Ortsfunktion W (, y ) suhen wir wiederum in Form eines Produktes W (, y) = X Y ( y) mit X = Aosα + Bsinα Y = C os β + Dsin β y Einsetzen in die Helmholtz-Gleihung ergibt α + β = k Jetzt benutzen wir die Randbedingungen: W (, y) = X () = A = W ( a, y) = X ( a) = B sinα a = W (,) = Y () = C = W (, b) = Y ( b) = D sin β b = Daraus folgt sinαa = αm = mπ m =,, a sin βb = βm = nπ n =,, b

14 m n kmn = α m + β π n = + a b Eigenfrequenzen sind somit ω mn m n = kmn = π + a b + + y y 4 4 = + + y y 4 4 Beisiel: zu bestimmen sind die Eigenfrequenzen einer am Rand frei drehbar gelagerter Platte Bild Verteilung on Eigenfrequenzen einer Membran bei a = b Bild Dasselbe bei b = a Eigenfunktionen sind : mπ nπ y Wmn = sin sin a b Die ersten ier Eigenshwingungsformen: y Eine weiterführende Bemerkung: Allgemeine Lösung der d-wellengleihung kann niht nur in der Form w = sin k, w = sin ky oder Produkt daraus gesuht, sondern auh in der allgemeineren Form w = sin( k + k y y) = sin( k r) Der Vektor k = ( k, k ) nennt man Wellenektor Wellenektor steht immer senkreht zu den Linien konstanten Phase Er gibt die Rihtung der Wellenausbreitung an III Plattenshwingungen w + D w = ; t h Eh D = 3 ( ), () h - Dike, E - Elastisher Modul, - Poisson-Zahl, - Dihte Der Oerator bedeutet zweimal nah einander angewendeter Lalae-Oerator: Benutzen wir gleih den Ansatz W (, yt) = F sinα sin β y os ωt, der die Randbedingungen bei = und y = erfüllt Einsetzen in die Gleihung () liefert D ω + ( α + β ) = Daraus h D ω = ( α + β ) h Aus den Randbedingungen folgt α π m m =, β π n a m =, somit b D m n ωn, m = π h + a b Die ersten Eigenformen sind dieselben, wie bei einer Membran, aber die Frequenzen sind ershieden Bild 3 Verteilung on Eigenfrequenzen einer Platte bei a = b Bild 4 Dasselbe bei b = a

15 Kontinuumsmehanik / Prof Poo / Vorlesung 7 Druk in einer ruhenden Flüssigkeit Lit: GP Ostermeyer "Mehanik III" 6 Gross, Hauger, Shnell und Wriggers, Tehnishe Mehanik 4, Kaitel, I Eigenshaften einer Flüssigkeit Die Hauteigenshaft on Flüssigkeiten: sie können Shubsannungen niht lange aushalten und beginnen zu fließen Im Gleihgewiht dürfen in einer Flüssigkeit in keinem Shnitt Shubsannungen auftreten II Druk in einer ruhenden Flüssigkeit In jedem Punkt ist Druk in allen Rihtungen gleih Beweis: Wir shneiden aus der Flüssigkeit einen kleinen Keil frei Anwendungen: Manometer Barometer Hydraulishe Presse Kräftegleihgewiht: : y z s z osα + f y z = y : y z s z sinα + f y y z = Da = ssinα, y = s osα, folgt = f /, = f y / y y Bei, y = y = Ähnlih in drei Dimensionen: = = = (Pasal, 63-66) y z Der Druk darf aber om Ort abhängen: = (, y, z,) Der Sannungstensor ist { σ ij} = III Abhängigkeit des Drukes in einer Flüssigkeit on der Höhe Kräftegleihgewiht für den gezeigten Ausshnitt: ( z) A Az A = ( z) = + gz Der Druk hängt nur on der Höhe ab Das hydrostatishe Paradoon: Die Kraft F auf den Boden ist in beiden Fällen gleih IV Drukerteilung bei einer beliebigen Volumenkraft Wir shneiden ein infinitesimal kleines Stük Flüssigkeit frei: Kräftegleihgewiht in -Rihtung: f ddydz + ( + d) dydz = d = f, = f y, = f z () y z f = grad = =,, y z = r Bei konseratien Kräften f = gradu (hier U ist Dihte der otentiellen Energie) grad = gradu = U + onst Die Flähen gleihen Druks sind Flähen konstanten Potentials Beisiel Zu bestimmen sind die Drukerteilung in der Flüssigkeit und ω die Form der freien Oberflähe der Flüssigkeit in einem rotierenden Gefäß Lösung: Im rotierenden Bezugssystem wirkt in radialer Rihtung Zentrifugalkraft r z f = rω ; in ertikaler r y () f y d f -(+d)

16 Rihtung Graitationskraft f z Nah () gilt = fr = rω r r z r z ( r, z) = gz + ψ ( r) (, ) = ω + ϕ = = g z ; f z = g ( r, z) = ω r + gz + C Aus = bei r=, z= folgt C= ( r, z) = + ω r + gz An der freien Oberflähe = z = ω r / g V Druk in der Atmoshäre Kräftegleihgewiht A A( h) = A( h + dh) dh + A dh g Daraus folgt d = g () dh h Bei einem Gas ist Dihte eine Funktion des Drukes Für den Druk in einem idealen Gas gilt: = nkt (3) n - Molekülkonzentration (Zahl der Moleküle ro Volumeneinheit), k - Boltzmann- Konstante, T - absolute Temeratur Für die Dihte gilt offenbar: = nm (4) m- Molekülmasse Aus (3) und (4) folgt: = kt / m = b ; b = kt / m Man kann zeigen, daß Konstante b 7, wobei die Shallgeshwindigkeit ist ZB für die Luft bei t= C =33 m/s und 4 b 76 m / s Gleihung () nimmt die folgende Form an: g h d g h = b H = e = e dh b H = b / g Für die Luft 4 76 m / s H = 77km 98 m / s VI Hydrostatishe Auftriebskraft (Arhimedishes Prinzi) Betrahten wir ein beliebiges Volumenelement innerhalb einer ruhenden Flüssigkeit Da dieses Element im Gleihgewiht ist, muss die Kraft, die auf das betrahtete Element seitens seiner Umgebung wirkt, gleih seinem Gewiht sein Diese Kraft würde sih niht ändern, wenn wir die Grenzflähe des Elementes durh eine feste Oberflähe ersetzen würden Das bedeutet, dass auf einen in eine Flüssigkeit getauhten Körer seitens der Flüssigkeit eine Kraft wirkt, die gleih dem Gewiht der erdrängten Flüssigkeit ist Diese Aussage ist als Arhimedishes Prinzi bekannt

17 Kontinuumsmehanik / Prof Poo / Vorlesung 8 Der shwimmende Körer Lit: GP Ostermeyer "Mehanik III" 6 Gross, Hauger, Shnell und Wriggers, Tehnishe Mehanik 4, Kaitel -5 I Der Auftrieb ist gleih dem Gewiht der erdrängten Flüssigkeit (das Arhimedishe Prinzi) II Der shwimmende Körer Stabilität z Seitenansiht Shwerekraft y Shwimmflähe Symmetrieahse der Shwimmflähe Auftrieb Shwerekraft Auftrieb Der Angriffsunkt der Shwerekraft des Shiffes dreht sih einfah mit Zur Berehnung des Angriffsunktes der Shwerekraft der erdrängten Flüssigkeit zerlegen wir das Volumen der erdrängten Flüssigkeit in eine symmetrishe Figur + einen Keil mit dem Volumen V α yddy Keil = Die statishe Auftriebskraft greift im Shwerunkt der Kräfte G und G' Die Kraft G' greift dabei im Shwereunkt des Keils mir der Koordinate: y S ydm y dv y α yddy = = = dm dv α yddy y α yddy αi = = α yddy V Keil I ist das geometrishe Trägheitsmoment der Shwimmflähe Der Angriffsunkt der gesamten Auftriebskraft liegt deshalb bei y (s Herleitung im Rahmen unten) Zur Berehnung des Angriffunktes des Auftriebs y S V Keil g y s α l G G' y α y lα l y y = Keil + S Keil G y m g G + m g Keil ys mkeilg G αi V g αi = = V Vg V Keil Weißer Punkt: Angriffsunkt der Shwerekraft des erdrängten Wassers (im nihtgeneigten Zustand) Shwarzer Punkt: Angriffsunkt der Shwerekraft des Shiffes Feststellung : Das Volumen der erdrängten Flüssigkeit ändert sih bei einer kleinen Drehung niht G V - Volumen der erdrängten Flüssigkeit Das Gleihgewiht ist stabil, wenn y > αl oder I l V >

18 Beisiel Gegeben ist ein in einer Flüssigkeit (Dihte F ) shwimmendes Brett (Länge l, Breite b, Höhe h, Dihte B ), das die Eintauhtiefe t hat Zu finden sind die Bedingungen für ein stabiles Gleihgewiht Lösung Aus dem Kräftegleihgewiht folgt: Ft = Bh Der Shwerunkt des Körers (gemessen on unterer Kante) liegt bei h /, der der Flüssigkeit bei t / Deren Abstand l = ( h t) / Das Trägheitsmoment der Shwimmflähe ist I 3 = lb / Das Volumen der erdrängten Flüssigkeit V = lbt 3 Stabilitätsbedingung: lb / > l bt oder b / > lt = ( h t) t / b > 6( h t) t ZB bei t = h / muss die Breite b 6 h / 4 h 3/ h > = III Drukkräfte und Momente in Flüssigkeiten In welhem Punkt greift diese Kraft an? Betrahten wir wieder eine rehtekige Platte Momentengleihgewiht: Drukmittelunkt z z z z Fz = zdf = z( z) ldz = D z z = l z( + gz) dz = l gl ( z z ) + ( z z ) g 3 3 ( z z ) + ( z z ) z 3 D = g ( z z) + ( z z ) Beisiel: =, z = Dann zd = ( / 3) z IV Kraft auf eine gekrümmte Oberflähe A Horizontale Kraftkomonente df = df osα da = da * / osα Daraus folgt df = da osα = * da osα = da osα * df = ( z) ldz = ( + gz) ldz Die Gesamtkraft ist z gl F = ( + gz) ldz = l( z z ) + z z z Betrahten wir jetzt eine Platte einer beliebigen Form, nehmen aber an, dass = da df = ( z) da = gzda Die Gesamtkraft F = g zda = zda = g = ( da) ( da ) = gaz = A s z s ist Koordinate des Shwerunktes der Flähe Die Drukkraft auf eine ertikale Flähe ist gleih dem Druk im Shwerunkt dieser Flähe mal Fläheninhalt s -Komonente der Kraft auf eine beliebige Flähe ist gleih der -Komonente der Kraft auf die ertikale Projektion dieser Flähe B Vertikale Kraftkomonente Die ertikale Komonente der Kraft ist gleih dem Gewiht der Flüssigkeit, welhe sih oberhalb der Flähe befindet

19 Kontinuumsmehanik / Prof Poo / Vorlesung 9 Kontinuitätsgleihung, Bernoullishe Gleihung Lit: GP Ostermeyer "Mehanik III", Gross, Hauger, Shnell und Wriggers, Tehnishe Mehanik 4 I Geshwindigkeitsfeld und Stromlinien in einer Flüssigkeit ZB im Graitationsfeld ( φ = gz) : gz onst + + = Beisiel Sih erjüngendes Rohr II Flüssigkeitsbewegung in einer Stromröhre A Kontinuitätsgleihung Stationäre Strömung Bei A fließt gleih iel Masse ein, wie bei A ausströmt: M = A t = A t Somit A = A oder A = onst (Kontinuitätsgleihung) Aus der Bernoulli-Gleihung folgt + = + Aus der Kontinuitätsgleihung > Deshalb < In Bereihen mit größerer Geshwindigkeit (in engeren Bereihen) ist der Druk kleiner! Beisiel a Ein Flügel B Die om Flüssigkeitsdruk geleistete Arbeit: Annahmen: keine iskosen Kräfte, inkomressible Flüssigkeit Die Arbeit, die an der bei A eintretenden Flüssigkeit geleistet wird, ist A t Die Arbeit an der bei A austretenden Flüssigkeit A t Die gesamte Arbeit ist gleih der Energiezunahme einer Masse M, die sih on A nah A bewegt: A t A t = E E E = M + φ kinetishe Energie ro Masseneinheit Nah Diidieren durh M : A t A t = + φ φ M M A t A t + + = + + oder φ φ otentielle Energie ro Masseneinheit (Potential) φ onst + + = (Bernoullishe Gleihung) Beisiel Die auf einen laminar umströmten (symmetrishen) Körer wirkende Kraft Die Drukerteilung ist symmetrish Die Gesamtkraft ist Null Beisiel 3 Messung des Volumenstroms Der Volumenstrom Q ist konstant im Rohr, deshalb = Q / A, = Q / A Einsetzen in () liefert Q = A A ( ) ( A A ) Beisiel 4 Messung der Strömungsgeshwindigkeit (Prandtl-Rohr)

20 Die Geshwindigkeit im Punkt A (Stauunkt) ist Null Die Bernoulli-Gleihung: = / l r = ( l r ) Beisiel 5 Ausfluss aus einem Gefäß mit einer Siegelgröße As und einer kleinen Öffnung A Bernoulli-Gleihung: + + gh = + + aus aus = gh (Ausflussformel on Torielli) Die Änderung der Siegelhöhe dh s = dt Die Kontinuitätsgleihung ergibt As s = Aaus s = Aaus / As Aus beiden Gleihungen A A dh = dt = gh dt As As Trennen der Veränderlihen und Integration liefern h t dh A h = A g dt h s t As ( ) t = h h g A = Γ ( ), Γ ( ) ( ) = d ( ) Die Bernoulli-Gleihung nimmt die Form + Γ ( ) + φ = onst an, oder d + + φ = onst ( ) Für Gas = / b, Γ ( ) = bln, Bernoulli-Gleihung: + φ + bln = onst Ausströmungsgeshwindigkeit eines Gases (s Beisiel 7) d b = b, F( ) = = bln bln b zb bei =, b = + ln ; = b (ln ) =,7, Beisiel 6 Ausströmgeshwindigkeit einer Flüssigkeit A F + = + = = F A III Komressible Medien Im allgemeinen Fall gilt für eine stationäre Strömung ( / t = ): + + φ = (entlang einer Stromlinie!) Für komressible Medien mit = ( )

21 Kontinuumsmehanik / Prof Poo / Vorlesung Imulssatz Lit: GP Ostermeyer "Mehanik III" 64 Gross, Hauger, Shnell und Wriggers, Tehnishe Mehanik 4, Kaitel 34 I Imulssatz Imulssatz für eine Strömungsröhre = = m ( ) Die auf die ausgewählte Flüssigkeitsmenge (Kontrollolumen) wirkende Kraft ist m F = = ( ) = J ( ) t t m = J = Massenstrom t II Anwendungsbeisiele Beisiel Zu berehnen ist die auf das Gefäß wirkende Kraft Lösung: Die auf das Wasser wirkende Kraft ist Kraft seitens des Strahls auf den Behälter ist F = J ( ) = A = A Auf den Behälter wirkt nah dem 3 NG betragsmäßig die gleihe aber entgegengesetzte Kraft A = gha Beisiel Zu berehnen ist die auf die Wand wirkende Kraft Lösung: Die auf den Strahl wirkende Kraft ist gleih J ( ) = A Die auf die Wand wirkende Kraft ist F = A Beisiel 3 Zu berehnen ist die auf ein gebogenes Rohr wirkende Kraft h Lösung Die auf das Kontrollolumen wirkende Kraft ist gleih F + F + K Sie erursaht die Änderung des Imulses der Flüssigkeit: J = F + K os 45 = A + K os 45 + J = F + K sin 45 = A + K sin 45 Daraus K ( A J) ( A A) = + = + ( ) K = A + ist hier der Überdruk in der Flüssigkeit Beisiel 4 Ein auf eine Wand fallender Wasserstrahl Zu bestimmen sind die Diken der Strahlarme, in die sih der Strahl teilt, entsrehende Strömungsgeshwindigkeiten und die auf die Wand wirkende Kraft Kontinuitätsgleihung: d = d + d Da der Druk überall konstant ist, folgt aus der Bernoulli-Gleihung = = Daher d = d + d In der -Rihtung wirken keine Kräfte (ideale Flüssigkeit!) Daher bleibt die -Komonente des Imulses erhalten: m osα = m m Da m d, m d und m d, folgt aus dem Imulserhaltungssatz d osα = d d Daraus folgt: os α d = d, sin α d = d In der y-rihtung bleibt der Imuls niht erhalten Hier gilt der Imulssatz: F = Jsinα = A sinα Der auf die Wand wirkende Druk ist F = sin A α ZB bei α = 9 und 3 5 = m / s ist = (gleih dem atmoshärishen Druk)

22 Beisiel 5 Kumulatier Strahl Auf eine starre Ebene fällt ein Strahl mit der Geshwindigkeit α sei der Winkel zwishen der Front des fallenden Wassers und der Ebene Zu bestimmen ist die Geshwindigkeit des entlang der Ebene strömenden Strahls Die Geshwindigkeit des Shnittunktes der Front mit der Ebene bezeihnen wir als Im Bezugssystem, das sih zusammen mit dem Shnittunkt mit der Geshwindigkeit bewegt, wird die Aufgabe auf die orige zurükgeführt: Der Strahl fällt auf die Ebene mit der Geshwindigkeit = und zerfällt in zwei Teile, die sih nah orne und nah hinten mit der Geshwindigkeit bewegen Aus dem Geshwindigkeitsdreiek folgt =, = sinα tanα Im Ursrünglihen Bezugssystem u = + = α ot sinα + tanα = Bei kleinen Winkeln u α Die Geshwindigkeit des gebildeten Strahls kann um Vielfahes größer sein, als die des fallenden! Beisiel 6 Durhshlag einer Panzerlatte Das oben beshriebene Phänomen wird zur Erzeugung on sehr shnellen Strahlen benutzt (zb für militärishe Anwendungen) Was assiert, wenn ein shneller Strahl auf eine metallishe Platte fällt? Metalle erhalten sih bei hohen Druken wie Flüssigkeiten Deshalb betrahten wir Aufrall eines Strahls mit der Dihte auf eine Flüssigkeit mit der Dihte Der Strahl ertieft sih in das Volumen der Flüssigkeit mit = der Geshwindigkeit, die noh zu bestimmen ist Im Bezugssystem, das sih mit der Geshwindigkeit bewegt, haben wir eine stationäre Strömung: on links mit der Geshwindigkeit ( ), on rehts mit der Geshwindigkeit Der Druk im Stauunkt, berehnet auf zwei zusammentreffenden Stromlinien, ist Dar- aus = + / ZB bei gleihen Dihten = /, dh die "Durhshlaggeshwindigkeit" ist gleih der Hälfte der Strömungsgeshwindigkeit im Strahl Der Strahl wird in die Flüssigkeit so lange eindringen, bis seine ganze Länge den Punkt O assiert hat Dafür ist die Zeit τ = l / ( ) = l / notwendig In dieser Zeit wird der Strahl die Wassershiht mit der Dike L = τ = l "durhshlagen" Die Dike ist gleih der Länge des Strahls! Nah dem Durhshlag bewegt sih der Rest des Strahls mit der ursrünglihen Geshwindigkeit! Beisiel 7 Leistung eines auf eine Shaufel fallenden Strahls Die Shaufel bewege sih mit der Geshwindigkeit Lösung: Im Bezugssystem, das sih mit der Shaufel bewegt, ist die Strahl- Geshwindigkeit ( ) Der Strahl wirkt auf die Shaufel mit der Kraft F = A ( ) Die Leistung dieser Kraft (jetzt wieder im ursrünglihen Bezugssystem) ist P = F = A Sie erreiht ein Maimum, wenn dp / d = ; Daraus folgt = / 3: Um die maimale Leistung zu erzielen, muß die Geshwindigkeit der Shaufel /3 der Strahlgeshwindigkeit sein

23 Kontinuumsmehanik / Prof Poo / Vorlesung Lit: Gross, Hauger, Shnell und Wriggers, Tehnishe Mehanik 4, Kaitel 33, 333, 334 I Viskosität Betrahten wir eine flüssige Shiht zwishen zwei ebenen, arallelen Platten Die obere bewege sih horizontal mit der Geshwindigkeit Viskose Flüssigkeiten haften an festen Oberflähen Deshalb ist die Geshwindigkeit der Flüssigkeit an der unteren Platte Null und an der oberen Die auf die obere Platte wirkende Tangentialkraft F ist roortional zum Geshwindigkeitsgradienten / y : F = η A = η A y y = (,,) Dasselbe gilt für die Shubsannung F τ = = η A y η heißt dynamishe Viskosität der Flüssigkeit II Strömung einer iskosen Flüssigkeit in einem kreiszylindrishen Rohr Zu bestimmen sind Zusammenhänge zwishen Volumenstrom und der Drukdifferenz für eine stationäre Strömung einer iskosen Flüssigkeit in einem Rohr mit Radius R = r Lösung: Aus der Symmetrie folgt Gemäß der Newtonshen Regel gilt für die ( r) Tangentialsannung τ ( r) = η r Wir shneiden einen koaialen Zylinder mit dem Radius r und Länge l frei und berehnen die auf ihn wirkenden Kräfte: iskose Kraft Fisk = τ A = η π r l und Drukkraftπ r π r Da die Flüssigkeit sih r mit konstanter Geshwindigkeit bewegt, muß die auf das gewählte Element wirkende Kraft Viskose Flüssigkeiten ershwinden: π r π r + π r l η = r r Daraus folgt = r = r η l η l Unbestimmte Integration über r ergibt ( r) = r + C 4η l Randbedingung: ( R) = C = R ; 4η l R 4η l = ( r / R) r Volumenstrom Q π R 4 π R = r r dr = 8η l Falls das Rohr geneigt ist, muß man statt ɶ = + g h benutzen III Strömung in offenen Gerinnen In einem geneigten Kanal (Breite h) fließt eine iskose Flüssigkeit Zu bestimmen ist die Dike der flüssigen Shiht für gegebenen Volumenstrom Q Lösung: Kräftegleihgewiht (-Rihtung) lautet g sin α + η = Daraus folgt y g = sinα y η Zweifahe Integration: g y = sinα + Cy + D η = ; y t = y = Randbedingungen: g C = sinα t, η g y ( y) = sinα ty η Volumenstrom: t 3 g Q = ( y) hdy = t h sinα 3 η Tiefe der Strömung: 3 Qη t = ghsinα Randbed bei y = 3

24 IV Modifizierte Bernoulli-Gleihung für iskose Strömungen Für iskose Strömungen gilt der Energieerhaltungssatz niht mehr Solange man die Strömung als annährend ideal betrahten kann, nimmt der Arbeitssatz (Bernoulli- Gleihung) die folgende Form an: + gz + = + gz + + heißt Drukerlust Bezogen auf den Staudruk nennt man ihn Drukerlustzahl: ς = / V Carnotsher Stoßerlust Verlustzahl kann man manhmal relati einfah mit Hilfe des Imulssatzes abshätzen Betrahten wir die Strömung einer Flüssigkeit in einem horizontalen Rohr, dessen Quershnittsflähe sih lötzlih on A auf A ergrößert Zu bestimmen ist der Drukerlust und die Verlustzahl Lösung: Wir nehmen an, daß die Flüssigkeit unmittelbar "um die Eke" ruht (weiß man aus Erfahrung) Dann ist der Druk um die Eke auh (Aus der Gleihgewihtsbedingung in ertikaler Rihtung) Aus der Kontinuität: A = A Der Imulssatz angewendet an das markierte Kontrollolumen lautet A A = A A Daraus = A / A ς = Die Verlustzahl ( A / A ) VI Dynamishe Gleihung für eine ebene Strömung einer iskosen Flüssigkeit Nehmen wir an, daß eine Viskose Flüssigkeit an der Oberflähe zu einer eriodishen Bewegung angeregt wird Falls keine turbulente Strömung entsteht, wird die Geshwindigkeit überall in der Flüssigkeit nur die -Komonente haben und diese wird nur on y abhängen: = (,,), = ( y, t) Wir betrahten Bewegung eines infinitesimal kleinen Volumenelementes Das NG für das gezeigte Volumenelement lautet: m = ( F F ), wobei m = y z, t F = τ y + y A = τ y + y z, τ F = y z τ F F = ( τ ( y + y) τ ( y) ) z = y z y τ = = η t y y VII Abklingtiefe einer eriodishen Strömung Eine auf der Oberflähe einer Flüssigkeit liegende Platte wird tangential mit der Geshwindigkeit y = = osωt bewegt Zu bestimmen ist die Strömungsge- y, t shwindigkeit Lösung: Bewegungsdifferentialgleihung: = η t y Partikuläre Lösung wird in der Form ɶ = ɶ e( iωt + λ y) gesuht Einsetzen in die Bewegungsgleihung ergibt iω = ηλ Daraus ω ω λ = ± i ( i) κ ( i) η = ± η + = ± + κ = ω / η Allgemeine artikuläre Lösung κ ( i) y κ ( i) y ɶ = Ae Be + Da ɶ für y, gilt B = : i y i t ɶ = Ae κ + + ω i y+ i t κ y κ ω = Reɶ = A e Re e = ( κ ω ) κ y = Ae os y + t Bei y = ist = A osωt A = κ y = e os( κ y + ωt) Die Abklingtiefe h = / κ = η / ω

25 Kontinuumsmehanik / Prof Poo / Vorlesung Beisiele aus der Hydrostatik und Hydrodynamik Lit: Gross, Hauger, Shnell und Wriggers, Tehnishe Mehanik 4, Kaitel 33, 333, 334 I Kaitation Tritt in einer Flüssigkeit ein Druk kleiner als der gesättigter Damfdruk bei gegebener Temeratur auf, so beginnt sie zu sieden und es bilden sih Damfblasen Mehanish gesehen bedeutet das, daß die Kontinuitätsbedingung erletzt wird und die Wassersäule "zerreißt" Daraus folgt: In ruhender Flüssigkeit darf der Druk an keinem Ort unter den gesättigten Damfdruk fallen D Für Temeraturen iel kleiner als die Siedetemeratur kann der Damfdruk annähernd als Null angenommen werden Unter dieser Annahme darf der Druk in einer Flüssigkeit nie einen negatien Wert annehmen Durh Kaitation erursahter Vershleiß Wird der Druk wieder größer, fallen die Blasen zusammen Dabei entstehen nah dem Mehanismus on einem "kumulatien Strahl" die sogenannten "miro jets", mit der Geshwindigkeit in der Größenordnung der Shallgeshwindigkeit Beim Treffen on Mikrojets auf eine feste Oberflähe entwikelt sih ein Druk on a Für Wasser Shlag Shlag 3 6 Pa = MPa Solhe Druke führen zum shnellen Vershleiß on festen Oberflähen II Kolbenume Wie hoh kann das Wasser dem Kolben in einer einfahen Kolbenume folgen? Lösung: Im statishen h Gleihgewiht gilt: = + gh Vom rein mehanishen Gesihtsunkt kann h beliebig groß sein Der Druk unter dem Kolben = gh wird aber bei 5 h > / g = m negati Deshalb 3 kann das Wasser mit der og Pume niht höher als auf m geumt werden Beisiel Wie hoh kann das Wasser beim normalen atmoshärishen Druk und t= C geumt werden? III Heber Wie groß ist die Wasseraustrittsgeshwindigkeit? Wie groß ist der Druk im Punkt? Lösung: Betrahten wir eine Stromlinie -- Die Bernoulli-Gleihung (für Punkte und ) lautet + + gh = + gh Daraus folgt g ( H h) = + Bernoulli-Gleihung (für Punkte und ) + + gh = + + gh Aus der Kontinuitätsbedingung folgt = Für den Druk ergibt sih = g h + H Der Heber funktioniert nur solange dieser Druk großer als gesättigter Damfdruk ist Ein Beisiel zum Imulssatz Zu berehnen ist die Leistung eines auf eine Shaufel fallenden Strahls Die Shaufel bewegt sih mit der Geshwindigkeit Lösung: Im Bezugssystem, das sih mit der Shaufel bewegt, ist die Strahl- Geshwindigkeit ( ) Der Strahl wirkt auf die Shaufel mit der Kraft F = A ( ) Die Leistung dieser Kraft (jetzt wieder im ursrünglihen Bezugssystem) ist D P = F = A Sie erreiht ein Maimum, wenn dp / d = ; Daraus folgt = / 3: Die Geshwindigkeit der Shaufel muß /3 der Strahlgeshwindigkeit sein

26 IV Tsunami-Welle h h In einem ebenen Wasserbeken breitet sih eine Welle in Form einer Stufe aus Wie groß ist ihre Geshwindigkeit? Die Reibungskräfte können ernahlässigt werden Lösung Wir gehen in ein Bezugssystem, das sih zusammen mit der Welle bewegt, über V Shubumkehr (Ein Verfahren zum Abbremsen eines Flugzeugs am Boden) Nah dem Aufsetzen werden bei großen Flugzeugen oft zwei Shilde hinter dem Strahltriebwerk ausgefahren, die den austretenden Strahl in zwei Teilstrahlen aufsalten und diese um den Winkel π β umlenken Zu berehnen ist die Verzögerung des Flugzeugs h h In diesem System ist die Strömung stationär Das Wasser fließt on rehts mit der Geshwindigkeit ein und fließt mit der Geshwindigkeit = aus Betrahten wir eine Stromlinie, die rehts auf der Höhe z läuft und links auf der Höhe z Die Bernoulli-Gleihung für diese Stromlinie lautet + gz + = + gz + Da der Aussendruk überall der gleihe ist, gilt = + g( h z), = + g( h z) Einsetzen in die Bernoulli-Gleihung ergibt gh + = gh + () Daraus ist im Übrigen ersihtlih, dass die Geshwindigkeit on der Höhe niht abhängt: Wir haben es mit einer homogenen Strömung zu tun Kontinuitätsgleihung ergibt h = h () Lösung on () und () gh / ( h h ) = + Wenn die Höhe der Stufe klein ist, = gh Bei h 6m ist = 6 45 m/ s 88 km/ h Die Geshwindigkeit der Strömung = = h / h = h / h Bei einer Meter hohen Stufe 45/ 6 4 m/ s In einem mit dem Flugzeug erbundenen Bezugssystem erhalten wir für die auf das Flugzeug wirkende Kraft: F = aaa os β A Daraus folgt für die Beshleunigung a a os β A a = m

27 Kontinuumsmehanik / Prof Poo / Vorlesung 3 Ausgewählte Kaitel aus der Kontinuumsmehanik I Strömung zwishen zwei konzentrish rotierenden Zylindern (zb hydrodynamish geshmiertes Gleitlager) Viskose Sannungen entstehen in einer Flüssigkeit nur dann, wenn sie niht als Ganzes eine Translationsoder Rotationsbewegung ausführt Bezeihnen wir die tangentiale Komonente der Geshwindigkeit als ( r) Die iskose ϕ = Sannung berehnet sih als ( r + dr) ( r) ( + dr / r) τ = η = η dr r r Dieser Ausdruk zeigt, daß nur eine Abweihung der Geshwindigkeit on einem Wert, den die Flüssigkeit bei einer starren Rotation hätte, eine Rolle sielt Das auf eine Zylinderflähe mit dem Radius r wirkende Kraftmoment ist gleih M = τ π rl r = π l η r r r Bei einer stationären Bewegung muß dieses Moment konstant bleiben: r = konst r r Diese Gleihung ist erfüllt entweder wenn r oder wenn / r Die allgemeine Lösung ist C = Cr + r Aus den Randbedingungen ( R ) = ωr und ( R ) = ωr folgt ωr ωr ( ω ω ) R R C =, C = R R R R Das Kraftmoment berehnet sih zu M = π l η r = 4π lηc oder r r ( ω ω ) R R M = 4π lη R R II Stationäre Strömung zwishen einer rotierenden Sheibe und einer festen Wand (Viskosimeter) Im Abstand r on der Ahse ist die Tangentialsannung gleih τ = η Ω Das gesamte r h auf die Ahse wirkende Moment ist gleih R R 3 M ( r) rdr r r dr πη R = τ π = πη Ω = Ω h h Aus dem Moment kann die Viskosität berehnet werden III Strom in einem geneigten Rohr Zu bestimmen ist der Volumenstrom in einem geneigten Rohr ohne Drukdifferenz (Viskosität der Flüssigkeit sei η ) Gemäß der Newtonshen Regel gilt für die ( r) Tangentialsannung τ ( r) = η r Wir shneiden einen koaialen Zylinder mit dem Radius r und Länge l frei und berehnen die auf ihn wirkenden Kräfte (in - Rihtung): iskose Kraft Fisk = τ A = η π r l und Shwerekraft r Fs = gπ r l sinα Da die Flüssigkeit sih mit konstanter Geshwindigkeit bewegt, muß die auf das gewählte Element wirkende Kraft ershwinden: 4

28 4 π R g sinα = r r dr = 8η η r l g r l sin r π + π α = gr sinα Daraus folgt = r η Unbestimmte Integration über r ergibt g sinα ( r) = r + C 4η Randbedingung: g sinα ( R) = C = R ; 4η g sinα ( r) = R ( r / R) 4η Volumenstrom Q π R IV Druk in einem mit Sand gefüllten Zylinder (Radius R) Der Reibungskoeffizient des Sandes mit der Wand sei µ Falls er niht zu groß ist, ist der Druk im Sand "fast isotro" (wie in einer Flüssigkeit) Betrahten wir das Kräftegleihgewiht an einem infinitesimalen Ausshnitt aus der Sandsäule: gπ R dz + ( ( z) ( z + dz) ) π R df R = oder d gπ R dz dz π R dfr = dz Die Reibungskraft ergibt sih aus dem Coulombshen Gesetz: dfr = µ π Rdz Aus den beiden Gleihungen erhält man d µ g = dz Trennung der Variablen R dz = d / ( g µ R) und Integration ergeben µ z gr R = e µ Bei großen z erreiht der Druk den Sättigungswert = gr / µ V Seilreibung Bisher haben wir Kontinua unter Berüksihtigung entweder elastisher Kräfte oder iskoser Reibung betrahtet Im nähsten Beisiel diskutieren wir Einfluss on Coulombsher Reibung Ein Seil wird um einen kreisförmigen Poller geshlungen Der Kontaktwinkel zwishen Seil und Poller betrage α = ϕ ϕ Das Seil wird in Rihtung F gezogen Zu bestimmen ist die Kraft F, die notwendig ist, um es on der Bewegung abzuhalten Lösung: Betrahten wir ein infinitesimal kleines Element des Seils Das Kräftegleihgewiht in der Längsrihtung des Elementes lautet F( ϕ + dϕ) F( ϕ) df R = oder R df d ϕ dfr = dϕ In der senkrehten dazu Rihtung gilt dn Fdϕ = Hier sind: dn die auf das Element wirkende Reaktionskraft; df R die auf es wirkende Reibungskraft Das Seil gleitet gerade noh niht, wenn die Reibungskraft ihren Maimalwert df = µ dn erreiht Aus diesen drei Gleihungen ergibt sih df µ F dϕ = Nah der Trennung der Variablen df F und Integration erhalten wir F ln ( ) F F = µ ϕ ϕ = µα F = F e µα Beisiel: µ =, 4, α = π F F = µ dϕ

29 Kontinuumsmehanik / Prof Poo / Vorlesung 4 I Wellengleihung Die Ursahe für die Shallausbreitung ist die Abhängigkeit = ( ) des Drukes on der Dihte: eine heterogene Vershiebung erursaht eine Änderung der Dihte Diese erursaht eine niht homogene Drukerteilung Diese bewirkt Bewegung Die Drukänderungen bei Shallausbreitung sind meistens sehr klein: Einem starken Shall mit der Intensität 6db entsriht eine Drukamlitude on 7 bar Für die kleinen Drukänderungen gilt d ( + ) = ( ) + d ( ) + = ( ) + κ, = κ Betrahten wir ein ebene Welle, die sih in Rihtung der -Ahse ausbreitet und innerhalb der ein infinitesimal kleines Volumenelement mit der Länge d und der Flähe A (,t) (+d,t) Shall in Flüssigkeiten und Gasen II Shallgeshwindigkeit Berehnung on Newton (niht korrekt!) kt Für Gase gilt = nkt = Aus der kinetishen Gastheorie ist bekannt, dass m kt = m Somit = 3 3 = / = / 3 Korrekte Berehnung In Wirklihkeit erwärmt sih das Gas beim Komrimieren und deshalb gilt γ = onst Für Moleküle, die aus zwei Atomen bestehen, ist γ = 4 Das heißt d = γ γ d = = 3 Die Shallgeshwindigkeit ist γ 3 = 7 III Eigenfrequenzen L +d Die Vershiebung aus dem Gleihgewihtszustand bezeihnen wir durh u(, t ) Wegen der Masseerhaltung gilt u = ( t) + = u u ( + ) + = + + u Daraus folgt = Die Bewegungsgleihung lautet dm uɺɺ = A( ( + d) ) = A d oder uɺɺ = u uɺɺ = = κ = κ u u oder = κ t Das ist eine Wellengleihung mit der Ausbreitungsgeshwindigkeit = κ = / Zu bestimmen sind die Eigenfrequenzen eines an beiden Seiten geshlossenen Rohres Lösung Wir lösen die Wellengleihung u u = t mit den Randbedingungen u(, t ) =, u( L, t ) = mit Hilfe des Bernoulli-Ansatzes u(, t) = Aosωt sin( k), wobei die Randbedingung am linken Rand bereits berüksihtigt wurde Das Einsetzen in die Bewegungsgleihung liefert ω = k Die zweite Randbedingung liefert sin( kl ) = kl = π n k = π n / L ω = πn / L IV Zu bestimmen sind die Eigenfrequenzen eines auf einer Seite offenen Rohres Lösung Am offenen Ende des Rohres ist der Druk ungefähr gleih dem atmoshärishen Druk und der Überdruk Null Aus u = folgt u = ` = L Die gleihe Aufgabe wie oben ist nun mit einer geänderten Randbedingung zu lösen os( kl ) =, kl = π / + π n