Betrachtet wird ein endlicher Abschnitt des Stabes, der sich mit dem Stab mitbewegt: t = X 2. u X 2,

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1 .1 Bewegungsgleihung Homogener Stab: Dihte ρ, Quershnittsflähe A, Elastizitätsmodul E ρ, E, A, u Betrahtet wird ein endliher Abshnitt des Stabes, der sih mit dem Stab mitbewegt: Unverformt: Verformt: N( 1 ) N( ) X 1 X 1 (t) (t) Koordinaten: Vershiebung: u X,t 1 t= X 1 u X 1, t, t = X u X, t Die Bewegungsgleihung wird aus den Erhaltungssätzen für den betrahteten Abshnitt des Stabes gewonnen. Massenerhaltung: Die Masse im betrahteten Abshnitt ändert sih niht: X m= A d= X 1 t 1 t A d=onst. = dm dt = d t A d dt 1 t Die Quershnittsflähe wird als konstant vorausgesetzt. Die Dihte hängt von der Zeit ab: =t Für die zeitlihe Ableitung eines Integrals, dessen Grenzen von der Zeit abhängen, gilt: b d t dt a t bt f t, d= f at t db da t, d f t, b f t, a dt dt Begründung: Sei F t, eine Stammfunktion von f t, bezüglih, d.h. F / = f. Dann gilt: b t a t Ableiten t führt auf: f t, d=f t, bt F t,a t FH andshut -1 Prof. Dr. Wandinger

2 b d t dt a t f t, d= F t = F t F db t,b t t,b t dt F F da t,a t t,a t t dt F db da t, bt t, at f t,b f t,a t dt dt bt f db da t, d f t,b f t,a t dt dt = at Mit dieser Beziehung folgt: t = 1 t Mit u 1 u 1 = 1 t A d A ẋ A 1 ẋ 1 d u 1 u 1 = 1 t u d folgt shließlih: 1 u d= Da diese Beziehung für jedes beliebige Intervall [ 1, ] gelten muss, folgt: u = Impulserhaltung: Der Impuls des verformten Stababshnittes berehnet sih zu t pt= u A d. 1 t Die zeitlihe Änderung des Impulses ist gleih der Summe der angreifenden Kräfte: t d p dt = d dt 1 t u A d=n N 1 = A 1 Die Ableitung des Integrals berehnet sih zu Mit folgt: d t dt 1 t u A d= A 1 t u d A u u A 1 u 1 u 1 u 1 u 1 = 1 1 u d, 1 = 1 d t u u d= Diese Beziehung muss wieder für jedes beliebige Intervall gelten. Daher gilt: FH andshut - Prof. Dr. Wandinger

3 u t u = Ausdifferenzieren führt auf uü u u u u = u [ u u ü u ] =. Unter Benutzung der Massenerhaltung folgt daraus: u ü u = inearisierung: Die Vershiebung u und die Geshwindigkeit u werden als klein vorausgesetzt. Dann können Produkte dieser Größen vernahlässigt werden. Für die Dihte gilt:,t =, t Dabei ist die als konstant angenommene Dihte des Stabes in der Ruhe. Die Dihtestörung wird als klein angenommen. Einsetzen in die Massenerhaltung liefert: t u u = Der letzte Summand ist klein von. Ordnung und kann daher gegenüber den ersten beiden Summanden vernahlässigt werden. Damit folgt die linearisierte Kontinuitätsgleihung: u t = Aus dem Impulssatz folgt: üü u u u u = Vernahlässigung von Termen. und höherer Ordnung führt auf den linearisierten Impulssatz: ü= Materialgesetz: Für kleine Vershiebungen gilt für die Dehnung: = u Für kleine elastishe Dehnungen gilt: =E Einsetzen in den linearisierten Impulssatz führt auf: FH andshut -3 Prof. Dr. Wandinger

4 Die Gleihung ü= E u = E u u u u t = E = wird als Wellengleihung bezeihnet. Sie beshreibt die Ausbreitung kleiner Störungen im Stab. Die Konstante = E hat die Dimension einer Geshwindigkeit. Sie wird als Wellenfortpflanzungsgeshwindigkeit bezeihnet. Typishe Werte der Wellenfortpflanzungsgeshwindigkeit: Werkstoff E ρ Stahl 6 7,85 51 Aluminium 76, Holz 981, N/m 1 3 kg/m 3 m/s. Wellenausbreitung Die Bewegung des Stabes wird durh die Wellengleihung u u t = beshrieben. Für die eindeutige ösung müssen noh Anfangsbedingungen und Randbedingungen angegeben werden. Anfangsbedingungen: Anfangsbedingungen geben Vershiebung und Geshwindigkeit des Stabes zu Beginn der Bewegung (t = ) an: u,=u, u,=v Randbedingungen: Randbedingungen definieren die Verhältnisse an den Rändern des Stabes..1 Die d'alembertshe ösung Eine elementare ösung der Wellengleihung ist die Funktion,t=t. FH andshut -4 Prof. Dr. Wandinger

5 Nahweis: =, t = Für die zusammengesetzte Funktion gilt: u,t = f, t t = u t = d f d t = d f d, u d f t =, d Einsetzen in die Wellengleihung führt auf: f d f d d = d Die Wellengleihung ist also für eine beliebige Funktion Durh = =±,t = ±t u,t = f 1 t f t u = d f d = d f d, u = d f d f erfüllt, wenn gilt: mit zwei beliebigen Funktionen f 1 und f ist also eine allgemeine ösung der Wellengleihung gegeben. Sie wird als d'alembertshe ösung bezeihnet. Eigenshaften der d'alembertshen ösung: Für ein beliebiges Zeitinkrement t gilt: f 1 t= f 1 t t t= f 1 t tt Am Ort t hat die Funktion f 1 also zum Zeitpunkt tt den gleihen Wert wie am Ort zum Zeitpunkt t. Sie beshreibt eine Welle, die mit der konstanten Geshwindigkeit ohne Änderung der Form in positive -Rihtung läuft. Entsprehend beshreibt die Funktion f eine Welle, die mit konstanter Geshwindigkeit in negative -Rihtung läuft. Δt Δt f 1 f FH andshut -5 Prof. Dr. Wandinger

6 .. Anfangsbedingungen Bei einem unendlih langen Stab werden die Funktionen f 1 und f durh die Anfangsbedingungen festgelegt: u =u,= f 1 f v = u,= f 1 ' f ' Integration der zweiten Gleihung führt auf 1 v d = f 1 f f 1 f. Dabei ist ein beliebiger Punkt. Addition der Anfangsbedingung für die Vershiebung und der integrierten Anfangsbedingung für die Geshwindigkeit ergibt u 1 v d = f f 1 f f = 1 u 1 f 1 =u f = 1 u 1 v d f 1 f Aus der Anfangsbedingung für die Vershiebung folgt damit v d f 1 f. Damit lautet die ösung: u,t = f 1 t f t = 1 [ u tu t 1 t = 1 [ u tu t 1 t t v d t v d = 1 [ u tu t 1 ] t v d t ] v d ] v d Für einen Stab endliher änge beshreibt diese ösung das Verhalten rihtig, bis die Wellen auf die Ränder treffen. Beispiel: Betrahtet wird ein unendlih langer Stab mit den Anfangsbedingungen u ={U 1os,,, v =. FH andshut -6 Prof. Dr. Wandinger

7 Die ösung lautet u,t = 1 [ u tu t ]...3 Randbedingungen Bei einem Stab endliher änge müssen an den Rändern die Randbedingungen erfüllt sein. Feste Einspannung: An einem fest eingespannten Rand muss die Vershiebung Null sein. Für den am linken Ende fest eingespannten Stab gilt: u, t= Um diese Randbedingung zu gewährleisten, wird der nah links laufenden Welle ein nah rehts laufende reflektierte Welle mit umgekehrtem Vorzeihen überlagert: t 1 u t 3 u t u t 4 u FH andshut -7 Prof. Dr. Wandinger

8 Bevor die nah links laufende Welle die Einspannung erreiht, gilt: u,t = f t Ab dem Zeitpunkt, zu dem die Welle die Einspannung trifft, wird eine nah rehts laufende reflektierte Welle überlagert. Dann gilt: Die Funktion u,t = f t g t g y wird so bestimmt, dass die Randbedingung erfüllt ist: u, t= f t g t= Damit lautet die ösung: u,t = f t f t g y= f y Für einen am rehten Ende fest eingespannten Stab gilt entsprehend: u,t = Jetzt wird der nah rehts laufenden Welle eine nah links laufende reflektierte Welle überlagert: u,t = f t g t Die Randbedingung lautet: u,t = f t g t= Diese Gleihung ist erfüllt für g t= f t. g t= f t Das ist eine nah links laufende Welle, die zum Zeitpunkt t = an der Stelle startet. Freies Ende: Am freien Ende muss die Spannung Null sein. Aus =E = u folgt, dass am freien Ende die Ableitung der Vershiebung nah vershwindet. Für ein freies rehtes Ende gilt also: u,t = = Diese Randbedingung lässt sih erfüllen, indem der nah rehts laufenden Welle eine nah links laufende Welle mit gleihem Vorzeihen überlagert wird. Bevor die Welle das freie Ende erreiht, gilt: u,t = f t Nahdem die Welle das freie Ende erreiht hat, muss eine nah links laufende Welle überlagert werden: u,t = f tg t Die Randbedingung erfordert u,t = f ' tg ' t=. FH andshut -8 Prof. Dr. Wandinger

9 Sie ist erfüllt für g t= f t. u u t 1 t 3 t u t 4 u Entsprehend gilt für eine freies Ende am linken Rand: u,t = f t f t Vorgegebene Kraft: Am rehten Ende gilt: Daraus folgt: F t =,t=e,t A u F t,t = EA Aus dieser Randbedingung kann bei gegebenen Anfangsbedingungen die Funktion f y bestimmt werden. F(t) Beispiel: Auf einen am linken Ende fest eingespannten Stab aus Aluminium trifft am rehten Ende ein Shlag. Daten: änge = m Quershnittsflähe A = m Wellenfortpflanzungsgeshwindigkeit = 5m/s Elastizitätsmodul E = N/m Anfangsbedingung: Der Stab ist am Anfang in Ruhe und niht ausgelenkt: u,= und v,= FH andshut -9 Prof. Dr. Wandinger

10 Randbedingungen: Feste Einspannung am linke Ende: u, t= Vorgegebene Kraft am rehten Ende: mit t={ 1 : t T : tt F t = F t, F = 1N, T =,1s Zunähst läuft eine Welle von rehts nah links. Bis zum Auftreffen auf den linken Rand vergeht die Zeit t 1 = = m 5m/s =,4 s. Für den Zeitraum t t 1 Die Funktion u,t = f t. hat die ösung die Form f y wird aus der Randbedingung am rehten Rand bestimmt: F t EA = F u t=,t= f ' t EA Mit der Substitution y =t folgt: df y = F dy EA t = F EA y Integration ergibt: f y = F EA y C Dabei ist t={ : t t : t T T : tt eine Stammfunktion von t und C eine Integrationskonstante. Die Integrationskonstante wird aus der Anfangsbedingung bestimmt: =u,= f = F EA C=C C= Einsetzen von y=t anstelle von y liefert die ösung: u,t = F EA t Wenn die Welle den linken Rand erreiht, muss die an der linken festen Einspannung reflektierte Welle überlagert werden. Diese ösung gilt, bis die reflektierte Welle zum Zeitpunkt t = t 1 den rehten Rand erreiht. Für den Zeitraum t 1 t t lautet die ösung: FH andshut -1 Prof. Dr. Wandinger

11 u,t = F EA [ t t ] Wenn die reflektierte Welle den rehten Rand erreiht, muss die am rehten freien Ende überlagerte Welle überlagert werden. Die erste nah links laufende Welle ist aus dem Bereih des Stabes herausgelaufen. Die so erhaltene ösung ist gültig, bis die am freien Ende reflektierte Welle zum Zeitpunkt t 3 =3t 1 wieder den linken Rand erreiht. Für den Zeitraum t t t 3 u,t = F lautet die ösung: EA [ t t EA [ t t 3 = F ] ] t t 1 : t 1 t t : t t t 3 : FH andshut -11 Prof. Dr. Wandinger

12 .3 Freie ängsshwingungen Wenn die Antwort für einen längeren Zeitraum ermittelt werden soll und während dieser Zeit viele Reflektionen auftreten, wird die d'alembertshe Methode unhandlih. Dann ist die Methode von Daniel Bernouilli besser geeignet, bei der die Antwort durh Überlagerung von Eigenshwingungen ermittelt wird..3.1 Die Bernouillishe ösung Für die ösung der Wellengleihung wird ein Separationsansatz gemaht: u,t =U t Die Ableitungen lauten: U u = d d t=u ' ', Einsetzen in die Wellengleihung ergibt U t = U ' ' t. Division durh U t führt auf t U ' ' t = U. u d =U =U t t d Da die linke Seite dieser Gleihung nur von der Zeit t abhängt und die rehte Seite nur vom Ort, müssen beide Seiten konstant sein: t U ' ' t = U =onst.= Daraus folgen zwei gewöhnlihe Differentialgleihungen: t t= U ' ' / U = Mit der Wellenzahl k =/ lautet die zweite Gleihung: U ' ' k U = Die allgemeinen ösungen dieser beiden Differentialgleihungen lauten: t= sin tos t, U =C sin k D os k Die Funktion t beshreibt eine harmonishe Shwingung mit der Kreisfrequenz und der Periode T =/, d.h. es gilt tt =t. Die Funktion U beshreibt eine harmonishe Welle mit der Wellenzahl k und der Wellenlänge =/k, d.h. es gilt U =U. Zwishen der Wellenlänge und der Periode besteht der Zusammenhang = k = = T = T = f. FH andshut -1 Prof. Dr. Wandinger

13 .3. Eigenshwingungen Eigenshwingungen beshreiben die Bewegung des Stabes, wenn keine äußeren Kräfte auf ihn einwirkten und die Dämpfung vernahlässigt wird. Sie hängen von den Randbedingungen ab. Einseitig eingespannter Stab: inker Rand: = Rehter Rand: u, t= U = =,t= U ' = Aus der Randbedingung am linken Rand folgt unmittelbar: D= Damit lautet die erste Ableitung der Wellenfunktion: U ' =C k os k Die Randbedingung am rehten Rand verlangt: =k C os k Nihttriviale ösungen eistieren nur für os k =. Diese Gleihung ist die harakteristishe Gleihung für den einseitig eingespannten Stab. Sie hat die ösungen k = 1, =1,,. Die zugehörigen Funktionen U =sin k =sin 1, =1,, heißen Eigenfunktionen. Sie entsprehen den Eigenvektoren bei diskreten Systemen. Die Eigenfrequenzen berehnen sih aus = k. Beidseitig eingespannter Stab: Die Randbedingungen lauten u, t= U = und u,t = U =. Daraus folgt D= und C sin k =. Die harakteristishe Gleihung lautet: sin k = FH andshut -13 Prof. Dr. Wandinger

14 Sie hat die ösungen k =, =1,,. Damit gilt für die Eigenfunktionen: U =sin, =1,, u, t=,,t= U =, U ' = k = 1, f = 1 4 U =sin k, =1,, u, t=, u,t = U =, U = k =, f =, =1,, U =sin k,t =,, t= U ' =, U ' = k =, f =, =,, U =os k FH andshut -14 Prof. Dr. Wandinger

15 Beidseitig freier Stab: Die Randbedingungen lauten und Mit,t = U ' =,t= U ' =. U ' =k C os k D sin k folgt C = und sin k = Ihre ösungen sind D sin k =. Die harakteristishe Gleihung lautet: k =, =,,. Dazu gehören die Eigenfunktionen U =os, =,,. Die erste Eigenfunktion ( = ) stellt eine Starrkörpervershiebung des Stabes dar..3.3 Eigenshaften der Eigenfunktionen Die harakteristishe ösung hat unendlih viele ösungen. Es gibt also unendlih viele Eigenfrequenzen und unendlih viele Eigenfunktionen. Die erste Eigenshwingung mit einer von Null vershiedenen Eigenfrequenz wird als Grundshwingung bezeihnet. Die zugehörige Eigenfrequenz ist die Grundfrequenz. Die höheren Eigenshwingungen heißen Obershwingungen. Die zugehörigen Eigenfrequenzen sind die Oberfrequenzen. Wie die Eigenvektoren können auh die Eigenfunktionen beliebig skaliert werden, d.h. mit U ist auh a U eine Eigenfunktion. Für zwei vershiedene Eigenfunktionen gilt U U d= für. Diese Eigenshaft wird als Orthogonalität bezeihnet und gilt allgemein für Eigenfunktionen zu vershiedenen Eigenwerten. Für den Stab lässt sih die Orthogonalität der Eigenfunktionen leiht elementar nahweisen. Für den einseitig oder beidseitig fest eingespannten Stab lauten die Eigenfunktionen Für gilt: U =sin k. sin k sin k d=[ sin k k sink k k k k k ] = sink k sin k k k k k k. FH andshut -15 Prof. Dr. Wandinger

16 Für den einseitig eingespannten Stab gilt k k = 1 1 = und Damit folgt k k = 1 1 = 1. sink k =sin = und sink k =sin 1=. Für den beidseitig eingespannten Stab gilt Damit folgt k k = und k k =. sink k =sin = und sink k =sin=, Entsprehend lässt sih die Orthogonalität für den beidseitig freien Stab nahweisen. Der Betrag U einer Eigenfunktion ist definiert durh U = U d. Er wird auh als Norm bezeihnet. Für den einseitig oder beidseitig eingespannten Stab gilt: U d = sin k d=[ 1 Für den beidseitig freien Stab gilt: U d= os k d =[ 1 = sin k = 4 k ] = os k 4 k = ] Für die Eigenfunktionen mit / skalierten Eigenfunktionen U =/ U gilt also: für U U d={ 1 für =.3.4 Rayleigh-Quotient Die Eigenfunktionen sind ösungen der Differentialgleihung d U d U =. FH andshut -16 Prof. Dr. Wandinger

17 Mit = E folgt daraus: E d U = d U Multiplikation mit U und anshließende Integration ergibt E d U d U d = U d. Partielle Integration des linken Integrals führt auf E d U U d d = =[ E du E d U d E d d du = d U ]= d U d E du d d E du d d An den Rändern = und = gilt entweder U = (Feste Einspannung) oder du /d= (freier Rand). Daher gilt U d= E du d. Damit ist gezeigt: E du d d= U d d Für eine gegebene Eigenfunktion U lässt sih also die Eigenkreisfrequenz aus = E du d d U d berehnen. Dieser Ausdruk lässt sih aber für eine beliebige Funktion v ausrehnen. Für Funktionen v, die die Randbedingungen erfüllen, wird der Ausdruk E dv d d R v= v d, v erfüllt die Randbedingungen, als Rayleigh-Quotient bezeihnet. Wie bei diskreten Systemen lässt sih zeigen, dass der Rayleigh-Quotient ein Minimum annimmt, wenn für die Funktion v die Eigenfunktion der Grundshwingung eingesetzt wird. Mit dem Rayleigh-Quotient kann daher die Eigenkreisfrequenz der Grundshwingung abgeshätzt werden. Beispiel: Betrahtet wird ein am linken Ende fest eingespannter und am rehten Ende freier Stab. FH andshut -17 Prof. Dr. Wandinger

18 aus Aluminium. Seine änge ist =5 m/s. = m. Die Wellenfortpflanzungsgeshwindigkeit ist Daraus berehnet sih die Wellenzahl der Grundshwingung zu k 1 = 1 =, m. Die Kreisfrequenz der Grundshwingung ist 1 = k 1 =5m/s,7854 m 1 =39,71 s 1. Für die zugehörige Eigenfunktion U 1 =sin berehnet sih der Rayleigh-Quotient zu RU 1 = E os sin d d = k 1 = 1 Zur Abshätzung der Grundfrequenz wird die Funktion v = gewählt. Ihre Ableitung ist dv d =. Sie erfüllt also die Randbedingungen Mit und v ' d=4 d=4[ 1 3 v d = =[ 5 lautet der Rayleigh-Quotient R v= E d =. v= und ] = = 5 8 =1565 s = 4 3] d dv d =. Daraus folgt für die Kreisfrequenz der Grundshwingung die Abshätzung 1 Rv=395,3 s 1. FH andshut -18 Prof. Dr. Wandinger

19 v die tat- Die Abweihung vom eakten Wert ist deshalb so gering, weil die Funktion sählihe Eigenfunktion U 1 sehr gut approimiert..3.5 Superposition Jede Eigenfunktion erfüllt die Randbedingungen. Daher erfüllt auh jede Überlagerung von Eigenfunktionen die Randbedingungen. Da die Wellengleihung linear ist, ist jede Überlagerung von Eigenshwingungen eine ösung der Wellengleihung. Die allgemeine ösung der Wellengleihung hat also die Form mit = k. u,t = C sin k D os k sin t os t =1 Für jeden festen Zeitpunkt t ist das eine Fourier-Reihe mit den Koeffizienten t=c t, d t=d t. Ein allgemeiner mathematisher Satz besagt, dass jede auf einem Intervall definierte beshränkte Funktion als Fourier-Reihe dargestellt werden kann. Daher lässt sih jede Vershiebung des Stabes als Superposition der unendlih vielen Eigenfunktionen darstellen. Systeme von Funktionen, die diese Eigenshaft besitzen, werden als vollständige Funktionensysteme bezeihnet. Die Eigenfunktionen sind ein vollständiges Funktionensystem. Die Koeffizienten der Superposition werden durh die Randbedingungen und die Anfangsbedingungen festgelegt. Beispiel: Ein am linken Ende fest eingespannter Stab wird am rehten freien Ende durh eine sta- FH andshut -19 Prof. Dr. Wandinger

20 tishe Zugkraft belastet, unter der sih dort eine statishe Vershiebung U s einstellt. Gesuht ist die Bewegung, die sih einstellt, wenn die Zugkraft shlagartig weggenommen wird. Die Anfangsbedingungen lauten u,=u =U s, u,=. Mit den Eigenfunktionen U =sin k, k = 1 lautet der ösungsansatz u,t = sin k sin t os t, = k. =1 Die zeitlihe Ableitung ist u,t = sink os t sin t. =1 Die Anfangsbedingung für die Geshwindigkeit ist = u,= sin k. =1 Daraus folgt sofort: =, =1,, Die Anfangsbedingungen für die Vershiebungen ist u =u,= sin k. =1 Daraus lassen sih die Koeffizienten unter Ausnutzung der Orthogonalität der Eigenfunktionen berehnen. Wird die Gleihung mit sin k n multipliziert und über den Stab integriert, so folgt: u sin k n d= n. Für die Koeffizienten gilt also: = U s sin k d= U s [ sin k os k k Damit lautet die Reihenentwiklung der ösung: u,t sin k = U s =1 k sin k os t k ] =U s sin k k Für eine änge = m, eine Quershnittsflähe A = m, eine Wellenfortpflanzungsgeshwindigkeit = 5m/s und einen Elastizitätsmodul E = N/m berehnet sih die statishe Auslenkung zu U s = m. Die folgenden Bilder zeigen die Vershiebung in Abhängigkeit vom Ort und der Zeit t. FH andshut - Prof. Dr. Wandinger

21 .4 Erzwungene ängsshwingungen Zur Untersuhung der erzwungenen ängsshwingungen wird beispielhaft ein Stab betrahtet, der am linken Ende fest eingespannt ist und an dessen rehtem Ende eine Kraft mit einem harmonishen Zeitverlauf angreift. Gesuht werden Vershiebungen und Spannungen im eingeshwungenen Zustand in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz. An diesem Beispiel werden die gängigen Verfahren der Frequenzganganalyse vorgestellt. E, A, ρ F(t) Gegeben: F t =F os t Gesuht: u,t,,,t,.4.1 Direkte ösung Zu lösen ist die Wellengleihung u u t = mit den Randbedingungen u, t=, A, t= F os t und der Anfangsbedingung u,=u. Die allgemeine ösung hat die Form u,t,=u h,tu p,t,. Dabei ist u h,t, eine ösung des homogenen Problems und u p, t, eine partikuläre ösung des inhomogenen Problems. Das homogene Problem hat die Randbedingungen FH andshut -1 Prof. Dr. Wandinger

22 u h,t =, h,t = u h,t=. Jede Überlagerung von Eigenfunktionen ist eine ösung des homogenen Problems. Die allgemeine ösung des homogenen Problems lautet daher u h,t= mit k = 1 =1 sin k sin t os t, = k, =1,,. Die Koeffizienten und werden so festgelegt, dass die gesamte ösung u,t, die Anfangsbedingungen erfüllt. Die bei realen Systemen immer vorhandene Dämpfung führt dazu, dass die homogene ösung mit der Zeit abklingt. Nah hinreihend langer Zeit kann die homogene ösung daher vernahlässigt werden, so dass nur noh die partikuläre ösung bleibt. Der sih nah diesem Einshwingvorgang einstellende Zustand wird als eingeshwungener Zustand bezeihnet. Da die Anfangsbedingungen nur den Einshwingvorgang beeinflussen, muss die partikuläre ösung nur die Wellengleihung und die inhomogenen Randbedingungen erfüllen. Wird der Ansatz u p, t,=u, ost in die Wellengleihung eingesetzt, so folgt U,= d U d,, d.h. die Amplitude U, muss die gewöhnlihe Differentialgleihung d U d, U, = erfüllen. Diese Differentialgleihung hat die allgemeine ösung U,=C 1 os C sin. Damit lautet die partikuläre ösung u p, t,= [ C 1 os C sin ] os t. Die Funktionen C 1 und C werden durh die Randbedingungen festgelegt. Aus u p,t,= folgt C 1 =. Die Randbedingung am rehten Rand lautet F os t= A, t,=ea u p, t,=ea C os ost. FH andshut - Prof. Dr. Wandinger

23 Daraus folgt C = F EA 1 / os / Mit der statishen Vershiebung U s =u s = F EA am rehten Rand lautet die partikuläre ösung shließlih sin u p, t,=u s os t. os Für die Vershiebungsamplitude U, gilt sin U, =. U s os Die Vershiebungsamplitude wird unendlih groß für os =,. d.h. wenn die Erregerfrequenz mit einer Eigenfrequenz übereinstimmt. Bei realen Systemen wird die Vershiebungsamplitude sehr groß, wenn die Erregerfrequenz mit einer Eigenfrequenz übereinstimmt, bleibt aber wegen der immer vorhandenen Dämpfung endlih. Für gilt sin U,=U s lim =U s, d.h. die Vershiebungsamplitude strebt gegen die statishe ösung. Für die Vershiebung am rehten Ende gilt U, = U s sin os = tan. FH andshut -3 Prof. Dr. Wandinger

24 .4. Modale Superposition Bei der Methode der modalen Superposition wird die Vershiebungsamplitude für den eingeshwungenen Zustand als Überlagerung der Eigenfunktionen dargestellt. Die Beziehungen für die modalen Koeffizienten, mit denen die Eigenfunktionen multipliziert werden müssen, lassen sih am einfahsten aus der sogenannten shwahen Formulierung der Differentialgleihung für die Vershiebungsamplitude gewinnen. Shwahe Formulierung Die Differentialgleihung für die Vershiebungsamplitude lautet d U d U =. U multi- Wird diese Differentialgleihung mit einer zunähst beliebigen Funktion pliziert und das Produkt über die änge des Stabs integriert, so folgt U d U d U U d=. Partielle Integration des ersten Integrals ergibt d d = U d U d d U du d d Nun wird gefordert, dass die Funktion U =. Mit folgt: Also gilt: du d == E = F EA U F EA d U d du d U d du d d d d d U d du d [ d = U du d ] d U d du d d. U am linken Rand vershwindet, d.h. U U d=. U U d= U F EA für alle U mit U = Diese Gleihung wird als shwahe Formulierung der Differentialgleihung bezeihnet. Jede zweimal stetig differenzierbare ösung der shwahen Formulierung erfüllt auh die Differentialgleihung. Da die shwahe Formulierung auh für Funktionen, die nur einmal differenzierbar sind, mathematish sinnvoll bleibt, ist sie für numerishe ösungsverfahren geeigneter als die Differentialgleihung. Sie bildet unter anderem die Grundlage für die Methode der Finiten Elemente. Für die Eigenshwingungen lautet die shwahe Formulierung d U d du d d U U d = für alle U mit U =. FH andshut -4 Prof. Dr. Wandinger

25 Die Eigenfunktionen U erfüllen die Randbedingung U =. Es ist also zulässig, in der shwahen Formulierung U =U zu setzen. Da die Eigenfunktionen ösungen der Differentialgleihung und daher auh ihrer shwahen Formulierung sind, gilt du d du d d U U d =. Aus der Orthogonalität der Eigenfunktionen folgt daraus und du d du d d = du d d= Modale Superposition U U d = für U d=k. Jede Vershiebungsamplitude U mit U = kann als Überlagerung von Eigenfunktionen dargestellt werden: U = =1 Die Koeffizienten q Wegen q U mit U =sin k, k = 1 U = gilt ebenso U = q U =1, =1,, werden als modale Koeffizienten bezeihnet. mit beliebig wählbaren modalen Koeffizienten q. Einsetzen in die shwahe Formulierung für die Amplitude der erzwungenen Shwingung ergibt [ q q =1 =1 du d du d d ] U U d = F q EA U =1 für alle q, =1,, Wegen der Orthogonalität der Eigenfunktionen sind in der doppelten Summe alle Glieder mit Null. Dadurh vereinfaht sih die doppelte Summe zu du d d [ q q =1 ] U d = F q EA U. =1 Mit den oben angegebenen Werten für die Integrale folgt daraus q q =1 [ ] F = EA q U. =1 Da diese Gleihung für beliebige Koeffizienten q gelten muss, müssen die einzelnen. FH andshut -5 Prof. Dr. Wandinger

26 Glieder der Summen übereinstimmen. Es gilt also [ q ] F = EA U. Daraus folgt für die modalen Koeffizienten q q = F EA U. Mit dem Frequenzverhältnis =/ q = F EA U Für = folgt daraus q =q s = F EA sin k k =U s zunähst folgt weiter: 1 1 = F sin k 1 EA k 1 sin k k. Das sind aber genau die in Abshnitt.3.5 hergeleiteten Entwiklungskoeffizienten der statishen ösung u s = F EA =U s. Mit dem dynamishen Überhöhungsfaktor V 1 = 1 1 lassen sih die Entwiklungskoeffizienten der Vershiebungsamplitude also wie im Falle diskreter Systeme aus berehnen. q =q s V 1 E, A, ρ F t =F os t F(t) Im eingeshwungenen Zustand gilt: u p, t,=u,os t mit U,= =1 q s =U s sin k k q s V 1 U, U s= F EA =, V 1 = 1 1 k = 1, =1,,, U =sin k FH andshut -6 Prof. Dr. Wandinger

27 Modale Dämpfung Modale Dämpfung kann wie bei diskreten Systemen mit Hilfe von ehrshen Dämpfungsmaßen D berüksihtigt werden. Dabei ist es zwekmäßig, mit kompleen Größen zu rehnen. Die kompleen modalen Koeffizienten berehnen sih aus zu mit i D q = q =q s H F EA U 1 H = 1i D = 1 i D 1. 4 D Die komplee Vershiebungsamplitude U ergibt sih durh Summation über die Beiträge aller Eigenfunktionen zu U = q s H U. =1 Aus der kompleen Vershiebungsamplitude lassen sih dann Amplitude und Phase der reellen Vershiebungen ermitteln. Modale Partizipationsfaktoren Die komplee Vershiebungsamplitude U an einer festen Stelle berehnet sih zu U = =1 Die Summanden q s H U = P. =1 P =q s H U werden als modale Partizipationsfaktoren bezeihnet. Sie geben die Beiträge der einzelnen Eigenfunktionen zur Gesamtvershiebung an. Aus ihrer Darstellung in der kompleen Zahlenebene lässt sih leiht entnehmen, welhe Eigenfunktionen wesentlih zur Gesamtvershiebung beitragen. Für eine zahlenmäßige Auswertung ist es zwekmäßig, die modalen Partizipationsfaktoren durh die Gesamtvershiebung zu dividieren: p = P U Diese kompleen Quotienten werden als normierte modale Partizipationsfaktoren bezeihnet. FH andshut -7 Prof. Dr. Wandinger

28 Für die Summe der normierten modalen Partizipationsfaktoren gilt: p = 1 P =1 U =1 =1 Die Summe der Realteile ergibt also 1, während die Summe der Imaginärteile ergibt. Positive Realteile zeigen an, dass die Eigenfunktion einen Beitrag liefert, der in Phase mit der Gesamtvershiebung ist. Aus den in der nebenstehenden Tabelle aufgeführten normierten modalen Partizipationsfaktoren lässt sih entnehmen, dass die ersten beiden Eigenfunktionen den größten Beitrag liefern..4.3 Modale Reduktion Die unendlihe Reihe stimmt mit der direkten ösung überein, d.h. sin q s V 1 U =U s os t. =1 os Die im Beispiel des vorigen Abshnitts angegebenen modalen Partizipationsfaktoren zeigen, dass die Beiträge der einzelnen Eigenfunktionen mit zunehmendem Inde ν rash abnehmen. Das lässt vermuten, dass sih bereits mit einer relativ geringen Anzahl von Reihengliedern eine brauhbare Näherungslösung N U, U N,= q s V 1 U =1 gewinnen lässt. Dieses Verfahren wird als modale Reduktion bezeihnet. Die Genauigkeit der Näherungslösung hängt von der Anzahl N der berüksihtigten Reihenglieder ab. Die Genauigkeit wird zunähst anhand eines Beispiels untersuht, bevor eine genaue Fehleranalyse durhgeführt wird. Beispiel Der am linken Ende eingespannte Stab wird am rehten Ende durh eine harmonishe Kraft angeregt. Seine änge beträgt m, und die Wellenfortpflanzungsgeshwindigkeit hat einen Wert von 5m/s. Mit diesen Zahlenwerten folgt für die Eigenkreisfrequenzen 1 =15 s 1, =375 1, 3 =65 s 1,. Realteil Imaginärteil i i i i i i i i i i Die Antwort wird für die beiden Erregerfrequenzen 1 =3 s 1 und =1 s 1 für vershiedene Anzahlen von Reihengliedern ermittelt und mit der direkten ösung verglihen. Verglihen werden jeweils die Vershiebungen und die Spannungen. Die Spannungen berehnen sih aus FH andshut -8 Prof. Dr. Wandinger

29 =E du d = E U os s für die direkte ösung und aus N =E =1 für die Näherungslösung. Vershiebung u/u s : os = s os os mit s =E U s q q s V 1 k os k = s s V =1 U 1 k os k s 1 =3 s 1 : =1 s 1 : Vershiebungsfehler e U = U U N U ma : 1 =3 s 1 : =1 s 1 : FH andshut -9 Prof. Dr. Wandinger

30 Damit der Vershiebungsfehler kleiner als 1% ist, müssen für die Erregerfrequenz 1 mindestens 3 Reihenglieder und für die Erregerfrequenz mindestens 9 Reihenglieder berüksihtigt werden. Für das Verhältnis der höhsten berüksihtigten Resonanzfrequenz zur Erregerfrequenz gilt 3 1 = 65 3 =,8 bzw. 9 = 15 1 =,16. Für beide Erregerfrequenzen tritt der größte Vershiebungsfehler in der Nähe der Krafteinleitung auf. Spannung / s : 1 =3 s 1 : =1 s 1 : Spannungsfehler e = N ma : 1 =3 s 1 : =1 s 1 : FH andshut -3 Prof. Dr. Wandinger

31 Die Spannungen konvergieren wegen des Faktors k, mit dem die einzelnen Reihenglieder multipliziert werden, shlehter als die Vershiebungen. Daher ist der Fehler in den Spannungen bei gleiher Anzahl von Reihengliedern größer als der Fehler in den Vershiebungen. Am rehten Rand ist die Spannung unabhängig von der Anzahl der Reihenglieder immer Null. Die Summe der Ableitungen konvergiert hier niht gegen die Ableitung des Grenzwerts der Reihe..4.4 Fehleranalyse der modalen Reduktion Bei Berüksihtigung von N Reihenglieder gilt für den Fehler in den Vershiebungen E N =U U N = =N 1 q s V 1 U. Um den Fehler abshätzen und bewerten zu können, wird ein Fehlermaß benötigt, das klein ist, wenn der Fehler für die Vershiebungen und die Spannungen klein ist. Für eine beliebige im Intervall [, ] differenzierbare Funktion f lässt sih eine Norm f 1 = df d d definieren, die im Folgenden als Energienorm bezeihnet wird. Für den Fehler in den Vershiebungen lautet die Energienorm E N 1= q s V 1 du =N 1 d d. Um die Energienorm nah oben abzushätzen, wird zunähst vorausgesetzt, dass N so groß ist, dass die Eigenfrequenzen aller niht berüksihtigten Eigenshwingungen größer als die Erregerfrequenz sind. Dann gilt 1, =N 1,,. Da der dynamishe Überhöhungsfaktor für 1 mit zunehmendem zunimmt und bei fester Erregerfrequenz mit zunehmendem Inde abnimmt, folgt V 1 V 1 N, =N 1,,. Für den Fehler in den Vershiebungen gilt also q s du d d. E N 1 V 1 N =N 1 Die Reihe lässt sih mit Hilfe der statishen ösung berehnen. Die statishe ösung ergibt sih für =, d.h. für V 1 = zu u s = q s U. =1 Ihre Energienorm berehnet sih zu du s d d= q s u s 1 = =1 du d N d= =1 q s du d d =N 1 q s du d d. FH andshut -31 Prof. Dr. Wandinger

32 Daraus folgt =N 1 q du d d= du s d N d =1 q s du d d. Damit gilt für den Fehler in den Vershiebungen die Abshätzung [ E N 1 V 1 N du N s d d q s du d ] d. Das so definierte Fehlermaß hängt noh von der Größe der ast ab. Durh e N = en 1 u s V N N q s 1 u s =1 1 du d d =1 wird ein dimensionsloses Fehlermaß definiert, das niht von der Größe der ast abhängt. Mit zunehmender Anzahl N von Reihengliedern gilt V 1 N 1, während der Ausdruk in der Klammer gegen Null strebt. Das so definierte Fehlermaß strebt also für N gegen Null. Wenn das Fehlermaß klein gegenüber 1 ist, dann ist der Fehler in den Vershiebungen und in den Spannungen klein. Der Faktor V 1 N hängt nur vom Frequenzverhältnis ab, während der Ausdruk in der Klammer von den Eigenfunktionen abhängt. Die Norm u s 1 ist proportional zur statishen Dehnungsenergie. Die einzelnen Summanden sind proportional zu den Dehnungsenergien, die die einzelnen Eigenfunktionen zur gesamten Dehnungsenergie beitragen. Die Quotienten e s = q s du d d u s 1 geben also die Anteile der Dehnungsenergien der einzelnen Eigenfunktionen an der gesamten statishen Dehnungsenergie an. Sie werden daher als relative modale statishe Dehnungsenergien bezeihnet. Mit den relativen modalen statishen Dehnungsenergien berehnet sih das Fehlermaß zu N e N V 1 N 1 e s. =1 Für den am linken Ende fest eingespannten Stab, der am rehten Ende durh eine Kraft angeregt wird, lautet die statishe ösung Daraus folgt u s =U s. u s 1 = U s Mit q s =U s sin k k. und du d d=k FH andshut -3 Prof. Dr. Wandinger

33 lauten die relativen modalen statishen Dehnungsenergien e s = U 4 U sin k s k s k 4 Daraus folgt für das Fehlermaß [ N e N V 1 1 N =1 sin k k = sin k ]. k Die folgende Abbildung zeigt dieses Fehlermaß für zwei vershiedene Erregerfrequenzen in Abhängigkeit von der Anzahl N der Reihenglieder.. Mit dem Fehlermaß kann der mittlere Fehler in den Spannungen abgeshätzt werden. Zunähst gilt E N 1= U U N 1= du d du N d d= N d = N E d= N E Für die Energienorm der statishen ösung gilt u s 1 = du s d d= s d= Wenn der Elastizitätsmodul konstant ist, folgt N d s d = E N 1 u s =en V 1 N 1 s E d d. N 1 e s =1. FH andshut -33 Prof. Dr. Wandinger

34 .4.5 Statishe Korrektur Das in Abshnitt.4.3 betrahtete Beispiel zeigt, dass bei der modalen Reduktion der größte Fehler an der Stelle der asteinleitung auftritt und dass die Vershiebungen shneller konvergieren als die Spannungen. Insbesondere tritt an der Stelle der asteinleitung keine Konvergenz auf, da dort die Spannungen für alle Eigenfunktionen Null sind. Um eine verbesserte ösung zu finden, wird zunähst wieder die Differentialgleihung d U d = U mit den Randbedingungen U =, du d = F EA betrahtet. Nun wird auf der rehten Seite der Differentialgleihung die aus der modalen Reduktion gewonnene Näherungslösung U N eingesetzt. Die korrigierte ösung U N wird dann aus der einfah zu lösenden Differentialgleihung d U N d = U N mit den Randbedingungen U N =, du N d = F EA gewonnen. Für den statishen Fall, d.h. für =, stimmt die korrigierte ösung mit der eakten ösung überein. Mit N U N = =1 q s V 1 U = U s N =1 sin k V k 1 sink folgt für die allgemeine ösung der Differentialgleihung für die korrigierte ösung und du N d = U s N sin k V 1 os k =1 k 1 k N U = U s N sink =1 k Aus der Randbedingung U N = folgt =. V 1 sin k 1. k Aus der Randbedingung du N = F d EA =U s folgt mit os k = : 1 = U s FH andshut -34 Prof. Dr. Wandinger

35 Damit gilt: s N U =U N sin k =1 k s =U N =1 sink k Wegen V 1 = 1 = V 1 sink V 1 sink = 1 1 1=V 1 1 lässt sih die korrigierte ösung auh in der Form s N U =U N =1 sink V k 1 1 sink shreiben. Für = stimmt die korrigierte ösung mit der statishen ösung überein. Beispiel Für den bereits in Abshnitt.4.3 betrahteten Stab werden die Vershiebungen und die Spannungen mit modaler Reduktion mit statisher Korrektur berehnet und mit den Ergebnissen der direkten ösung und der modalen Reduktion ohne statishe Korrektur verglihen. Bei der modalen Reduktion wurden für die Erregerfrequenz 1 die Erregerfrequenz 14 Reihenglieder berüksihtigt. 5 Reihenglieder und für Es ist deutlih zu sehen, dass der Fehler in den Vershiebungen und in den Spannungen um etwa eine Zehnerpotenz kleiner ist als ohne Korrektur. Mit Korrektur sind die Spannungen an der Stelle der asteinleitung eakt. Erregerfrequenz 1 =3 s 1 : Vershiebung u/u s : Vershiebungsfehler e U : FH andshut -35 Prof. Dr. Wandinger

36 Spannung / s : Spannungsfehler e : Erregerfrequenz =1 s 1 : Vershiebung u/u s : Vershiebungsfehler e U : Spannung / s : Spannungsfehler e : FH andshut -36 Prof. Dr. Wandinger

37 Fehleranalyse Mit statisher Korrektur gilt für den Fehler in den Vershiebungen E N =U U N = =N 1 q s V 1 1 U. Wie in Abshnitt.4.4 folgt daraus für das Fehlermaß e N V 1 N 1 1 N =1 e s. Im Gegensatz zur einfahen modalen Reduktion streben nun beide Faktoren gegen Null. Die folgende Abbildung zeigt das Fehlermaß für die Erregerfrequenz =3 s 1 in Abhängigkeit von der Anzahl N der Reihenglieder für die modale Reduktion ohne und mit statisher Korrektur. FH andshut -37 Prof. Dr. Wandinger