Aufgaben zur Förderung grundlegender Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten

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1 Ausgewählte Aufgaben zur Aufgaben zur Förderung grundlegender Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten Lehrplanabschnitt M 9.6 Fortführung der Raumgeometrie Ausführliche Hinweise zur Verwendung der folgenden Aufgaben bietet der Abschnitt 5. Aufgaben zur Förderung grundlegender Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten des zentralen Dokuments, das unter Gymnasium Fächer Mathematik Materialien zum Download bereitsteht. Auch an dieser Stelle sei jedoch ausdrücklich darauf hingewiesen, dass das Angebot der Aufgaben zu einem Lehrplanabschnitt nicht dahingehend missverstanden werden darf, dass alle Aufgaben in einer Unterrichtsstunde zu Beginn der Behandlung dieses Lehrplanabschnitts bearbeitet werden sollen. Im Sinne einer nachhaltigen Förderung grundlegender Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten ist es wesentlich effektiver, die angebotenen Aufgaben jeweils einzeln gleichmäßig verteilt auf die Zeit vor und während der Behandlung des jeweiligen Lehrplanabschnitts einzusetzen. Für den Einsatz einer Aufgabe können beispielsweise die ersten Minuten einer Unterrichtsstunde genutzt werden. Das Symbol kennzeichnet Aufgaben, für deren Bearbeitung bewusst die Verwendung eines Taschenrechners ausgeschlossen werden sollte, da bei diesen von Schülerinnen und Schülern zu fordernde elementare Rechenfertigkeiten im Vordergrund stehen. Weitere vielfältige Beispiele zur Förderung grundlegender Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten liefern die Aufgaben der Bayerischen Mathematik-Tests (BMT) der letzten Jahre. 1 Aufgaben mit unmittelbarem Bezug zum Lehrplanabschnitt Aufgabe 1 Die Abbildungen zeigen ein Quadrat, ein gleichseitiges Dreieck und ein reguläres Sechseck. Bestimme die folgenden Größen jeweils in Abhängigkeit von der Seitenlänge a. a) Länge einer Diagonale des Quadrats Länge einer Höhe des gleichseitigen Dreiecks (Ergebnis: a ) c) Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks (Ergebnis: 4 a ) d) Flächeninhalt des regulären Sechsecks

2 Aufgabe Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt ein gleichschenkliges Dreieck. a) Berechne die Länge c der Basis für s 8 und γ 4. Berechne die Größe des Winkels β für c 6 und s 5. c) Berechne die Länge s der beiden Schenkel für c 1 und α 5. Aufgabe Berechne jeweils den Flächeninhalt des grau markierten Kreisteils. Die zugehörigen Kreise haben jeweils den Mittelpunkt M und, sofern nicht anders angegeben, den Radius,5. Gib die Ergebnisse jeweils als Vielfaches von π an (z. B. π ). a) c) d) Aufgabe 4 Aus einem Blatt Papier im Format DIN A4 lässt sich auf zwei Arten ein Zylinder herstellen entweder werden die beiden langen Seiten des Rechtecks zusammengefügt oder die beiden kurzen. Berechne für beide Zylinder jeweils den Radius der Grundfläche, wenn kein Klebefalz berücksichtigt werden muss. Aufgabe 5 Die Abbildung zeigt eine Pyramide mit Spitze S und quadratischer Grundfläche ABCD. Die Pyramide wird von einer Ebene, die parallel zur Grundfläche ist, im Viereck KLMN geschnitten. Der Flächeninhalt des Vierecks ABCD wird mit F bezeichnet, der Flächeninhalt des Vierecks KLMN mit f. a) Zeige für h 1 H, dass f 1 gilt. F 9 Bestimme h in Abhängigkeit von H so, dass 0,04 gilt. f F

3 Aufgabe 6 Die Abbildung zeigt einen Sektor eines Kreises mit dem Radius 5. Werden die beiden Schenkel des Sektors zusammengefügt, so entsteht ein Kegel. Bestimme für die Mittelpunktswinkel φ 180, φ 70 und φ 6 jeweils den Umfang U und den Radius r der Grundfläche des Kegels. Aufgabe 7 Löse die folgenden Formeln jeweils nach der fett markierten Variablen auf. Alle Variablen stehen für positive reelle Zahlen. a) O rπ r m Aufgabe 8 1 V r πh c) m r h a) Gib an, wie sich das Volumen eines Quaders ändert, wenn man die Längen aller Kanten verdreifacht. Gib an, wie sich das Volumen eines Quaders ändert, wenn man die Längen aller Kanten halbiert. c) Die Längen aller Kanten eines Quaders sollen mit dem gleichen Faktor multipliziert werden. Wie muss man diesen Faktor wählen, damit sich das Volumen des Quaders versechsfacht? Begründe Deine Antwort. Aufgabe 9 Der nicht maßstabsgetreu abgebildete Quader mit quadratischer Grundfläche hat ein Volumen von 6m. a) Gib für die angegebenen möglichen Werte von s jeweils den zugehörigen Wert von h an. s in m 1 4 h in m Gib den Term hs an, der die Höhe des Quaders in Abhängigkeit von der Seitenlänge der Grundfläche beschreibt. c) Gib für die angegebenen möglichen Werte von h jeweils den zugehörigen Wert von s an. h in m 1 4 s in m d) Gib den Term sh an, der die Seitenlänge der Grundfläche des Quaders in Abhängigkeit von dessen Höhe beschreibt.

4 Aufgabe 10 Bestimme jeweils alle Lösungen der Gleichung. a) 1 4a 1, a IR b 15 17, b IR c) tanγ 1,4, γ 0 ;90 d) 7 sinδ 5, δ0 ;90 Aufgabe 11 Die folgenden Rechnungen enthalten Fehler. Gib die Fehler an und korrigiere sie jeweils in geeigneter Form. a) cosε 0,5, ε IR ε 60 φ sin 0,45 sinφ 0,9, φ0 ;180 φ 64, p c) p p p 0,5p, p IR 0 Aufgaben ohne unmittelbaren Bezug zum Lehrplanabschnitt Aufgabe 1 Einer der folgenden Terme besitzt keinen Wert. Mache plausibel, warum dieser keinen Wert hat, und gib für die anderen Terme den jeweiligen Wert an. a) 0 1 c) 0 : d) :1 e) 0 f) : 0 g) 1 h) : 1 i) 0 Aufgabe 1 Ergänze die Lücken sinnvoll. a) c) d) 450dm 1m cm mm 88,4m 88400, m 4

5 jährlicher Gasverbrauch in Kubikmeter Mathematikunterricht am Gymnasium Aufgabe 14 Familie Müller wohnt in einem Haus mit Gasheizung. Herr Müller hat ein Diagramm erstellt, das für die Jahre 006 bis 008 den jährlichen Gasverbrauch in m zeigt. Erläutere, warum bei diesem Säulendiagramm leicht der Eindruck entstehen kann, dass der Gasverbrauch in den Jahren von 006 bis 008 stärker gesunken ist, als es in Wirklichkeit der Fall war (aus BMT8 009, Gruppe A, Aufgabe a) Aufgabe 15 Der Preis eines Schreibtisches ist um 0 % reduziert. Herr Harrig handelt aber noch einmal 15 % Rabatt auf den neuen Preis heraus. Erläutere anhand einer Beispielrechnung mit realistischen Zahlen, warum der Preis für das Möbelstück damit nicht um insgesamt 5 % reduziert ist. Aufgabe 16 Die Gerade g verläuft durch die Punkte A 5 und B4 1. a) Bestimme die Gleichung der Geraden g. Untersuche durch Rechnung, ob der Punkt C,7 11 auf g liegt. Aufgabe 17 Gib jeweils die größtmögliche Definitionsmenge des Terms an und vereinfache ihn so weit wie möglich. a) x 5x 15 x 5x s s s 5