Kugelstoßpendel ( Newtonsche Wiege )

Transkript

1 Kuetoßpende ( Newtonche Wiee Ein Kuetoßpende (Abb it eine Anordnun von hintereinander aufehänten Kuen eicher Mae und Pendeäne, wobei die Pendeabtände eich den Kuedurchmeern ind Die Wirkunen zwichen den Kuen wird meit mit Hife eaticher Stöße bechrieben, bei denen die kinetiche Enerie und der Impu erhaten beiben Abb Kuetoßpende ( Newtonche Wiee Geten diee ideaiierenden Bedinunen nicht exakt (z B unterchiediche Kuemaen oder Pendeabtände, verhät ich da Kuetoßpende ander Dann kann da Verhaten m H eine mathematichen Mode, deen Hereitun im oenden bechrieben wird, ermittet werden Mode Der Schritt: Die eometrichen Verhätnie für ein Kuetoßpende mit n Kuen zeit Abb Die Beweun wird zunächt a tranatoriche Annäherun bechrieben Die beim Auenken de Pende enttehenden Rückhokräfte infoe der Schwerkraft werden a ederkräfte RHi bechrieben: RHi = c 0 i i ( Die Materiadämpfun der Kuen wird zunächt vernachäit Der Luftwidertand der Kuen wird a Kraft LWi berückichtit

2 a a a 4 a n n ϕn ϕ ϕ ϕ m m m m n,v,v,v n,v n c 0 c 0 c 0 c 0n c c c c c c n c n d b b b 4 b n n d d d n Abb Aemeine Schema eine Kuetoßpende mit n Kuen bei vernachäiter Materiadämpfun der Kuen Die Kue (a Repräentant der inneren Pende Der und Schritt: Da Bockchatbid de und Schritte der Modeierun der Kue kann au Abb 4 entnommen werden Die Einanrößen ind hier die reutierenden ederkräfte und bei Berührun mit den benachbarten Kuen RH B m LW v Abb Bockchatbid de und Schritte der Modeierun der Kue Der 4 Schritt: Die Kue it über die edern mit den ederkontanten c, c, c und damit über die Wee, und mit den Kuen und verkoppet Da ich die Kuen nur zeitweie berühren, enttehen nichtineare unktionen der ederkräfte und Die nichtinearen Beziehunen auten: c für ( für, ( a c für ( für ( b Die ederkontanten c und c ind die Eratzfederkontanten der Reihenchatunen der beteiiten edern: c c c = ( c c + c

3 c c c = ( d c + c Die beim Auenken de Pende enttehenden Rückhokräfte infoe der Schwerkraft it emäß G (: RH = c0 Die ederkontante c 0 it in erter Näherun m c0 = ( (Hereitun: Da Rückhomoment it M RH = m inϕ Mit eribt ich G ( in ϕ = und RH = Der Luftwidertand eine beweten Körper wächt in erter Näherun quadratich mit der Gechwindikeit ( Abchn 4 E wird aneetzt: LW k v v Die WeWinkebeziehun autet: in( (4 ϕ = arcin (5 Da führt auf da Bockchatbid der Kue in Abb 4 M RH b RH B LW m m f(v v ϕ arcin( / b Abb 4 Bockchatbid der Kue Die meiten Kuetoßpende beitzen n = 5 Kuen Da aemeine Bockchatbid für die etroffenen Annahmen zeit Abb 5 oende Parameter werden für eine erte Simuation feteet (ie wurden teiweie für ein reae Pende ermittet, bei dem die Kuemaen erinfüi chwanken:

4 = 80 mm = 0,08 m, di = mm = 0,0 m, 0 m/², m = m = m 5 = 44 = 0,044 k = 0,044 N ²/m, m = m 4 = 4 = 0,04 k = 0,04 N ²/m, c j = N/m, b jj = 0 m, k = 0,0 N ²/m² Damit ind c mi 0,044 N ² / m 0 m / ² = = N m und c N m 0,5 m ij = / 0i / B LW RH m f(v m b v arcin( / ϕ B LW RH m f(v m b v arcin ( / ϕ B LW RH m f(v m b 4 v 4 arcin ( / ϕ 4 4 B4 LW4 RH4 m 4 f(v 4 m 4 b 45 v arcin 4 ( / ϕ B5 RH5 m 5 m 5 v 5 5 arcin( 5 / ϕ 5 LW5 f(v 5 Abb 5 Bockchatbid de Kuetoßpende mit n = 5 Kuen 4

5 Simuationerebnie Anfanwerte: = 0,05 m (ϕ 0,675, = = 5 = 0, ae v i = 0 Abb 6 Simuationerebnie de Mode azit: Die Vernachäiun der Materiadämpfun der Kuen führt dazu, da die Kuen nicht da im Experiment enttehende Verhaten zeien, da keinte Berührunen die ederkräfte unedämpft wirken aen Mode Der Schritt: Die Veränderunen bei berückichtiter Materiadämpfun der Kue (Repräentant zeit Abb m c,v c k c 0 k Abb 7 Schema der Kue bei berückichtiter Materiadämpfun der Kue 5

6 Da Bockchatbid de und Schritte der Modeierun der Kue entpricht der Abb Die Einanrößen ind hier keine ederkräfte, ondern aemeiner die Berührunkräfte und bei Berührun mit den benachbarten Kuen Der 4 Schritt: Die Bechreibun der ederkräfte und und der Rückhokraft RH erfot wie in Abchn Die Dämpfunkräfte D und D werden anao Abchn 4 modeiert D k für ( v v für, (6 a D k für ( v v für, (6 b k k k =, (6 c k + k k k k = (6 d k + k Die Berührunkräfte und ind unter der Annahme, da nur Druckkräfte auftreten, für + D + D für + D, (7 a für + D + D für + D (7 b Da Bockchatbid in Abb 4 ändert ich entprechend, e entteht Bockchatbid in Abb 8 Im Sinne der einfacheren Darteun werden die Gechwindikeiten au den Wedifferenzen berechnet (Differenziation bzw Mutipikation mit dem Differenziaoperator E it z B v v b = ( (8 b k π D RH B LW m m f(v v arcin( / b k π D ϕ Abb 8 Bockchatbid der Kue Da Geamtbockchatbid de Kuetoßpende mit n = 5 Kuen zeit Abb 9 6

7 Die hinzukommenden Parameter wie fot feteet: ki = N/m RH m B m LW v f(v arcin( / b k π D ϕ RH m B m LW v f(v arcin( / b k π D ϕ RH m B m LW v f(v arcin( / b k 4 4 π D ϕ 4 RH4 m 4 B4 m 4 LW4 v 4 f(v 4 arcin( 4 / 4 b k π D ϕ 4 45 RH5 m 5 B5 m 5 LW5 v 5 f(v 5 arcin( 5 / 5 ϕ 5 Abb 9 Bockchatbid de Kuetoßpende mit n = 5 Kuen 7

8 Simuationerebnie Anfanwerte: = 0,05 m (ϕ 0,675, = = 5 = 0, ae v i = 0 Abb 0 Simuationerebnie de Mode Da Verhaten de Mode kommt dem de reaen Pende nahe Mit dem Mode können nun viefätie Parametervariationen vorenommen werden, z B: Endiche Abtände b ij > 0 zwichen den Kuen Eine oder mehrere Kuen ind nicht au Stah, ondern au Patik 8

9 Modifikationen (weitere Simuationerebnie Anfanwerte: = = 0,05 m (ϕ ϕ 0,675, = = 5 = 0, ae v i = 0 Abb Verhaten de Mode in der Anfanphae, zwei Kuen aueenkt Anfanwerte: = 0,05 m (ϕ 0,675, = = 5 = 0, ae v i = 0, ae b ij = 0,006 m Abb Verhaten de Mode in der Anfanphae, ae b ij = 0,006 m Anfanwerte: = 0,05 m (ϕ 0,675, = = 5 = 0, ae v i = 0, Kue patich (c = c = 50 N/m, k = k = 500 N /m Abb Verhaten de Mode in der Anfanphae, Kue 5 patich (c 45 = 50 N/m, k 45 = 500 N /m 9