1. Aufgabe. 2. Theorie. Spiegelbild des Auges durch eine Linse betrachtet

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1 Spieelbild de Aue durch eine Line betrachtet Auabe Da eiene Aue oll durch eine Anordnun von Sammelline mit dahinter beindlichem ebenem Spieel betrachtet werden Herauzuinden it, unter welchen Bedinunen im Spieel ein Bild de Aue ichtbar wird Da Bild ollte verrößert ein, e dar aurecht tehen oder umekehrt ein Die Frae it auch, wo da Bild entteht und wie roß e it Um da eperimentell zu klären, benötit man nur ein paar Linen und den Spieel, vielleicht auch eine optiche Bank, au der man diee eeinet verchieben kann Der Auwand it nicht roß und verleitet zum wilden Probieren Dabei eht chnell der Überblick verloren Alo mu zunächt etwa Theorie her Theorie Strahlenoptik, Ort und röße de Bilde Im Unterchied zur normalen Benutzun einer Sammelline, z B al Lupe, beindet ich uner eentand vor der Line (und elbtvertändlich vor dem Spieel) Der eentand, da Aue, wird hinter der Line epieelt und ert nach erneutem Durchan durch die Line betrachtet Zur Kontruktion und Berechnun de Strahlenan kommen alo Linenormel und Releioneetz zur Anwendun Einen mölichen Strahlenan durch die Line-Spieel-Kombination zeit Abbildun Da Aue, uner eentand, wird al enkrechter Peil daretellt, der ich im Abtand (eentandweite) vor der Line beindet Seine Spitze habe die Höhe (eentandröße) Die Brennweite der Line bezeichnen wir wie üblich mit und der Abtand de Spieel von der Line werde enannt Abbildun Ein Aue, hier al Peil (eentand ) daretellt, betrachtet ich elbt in einem Spieel, vor dem ich eine Sammelline beindet Da Spieelbild B S (blau), kontruiert nach den eetzen der Strahlenoptik, it virtuell und umekehrt Ohne Spieel würde da Bild B (rot) enttehen da / >, it e reell und umekehrt Die Punkte Q, R, S, T, U, V und W werden bei der Herleitun der Formeln ür den Bildabtand und die Bildröße B S benutzt, iehe Tet

2 Zur Kontruktion de Bildpunkte der Peilpitze benutzen wir die drei Standard-Strahlen Parallel-, Brennpunkt- und Mittelpunkttrahl Bei der Releion am Spieel wird da eetz Releionwinkel leich Einallwinkel beachtet Unere Kontruktion eribt ür die ewählten Werte von und ein virtuelle, umekehrte Bild der Höhe B S, und zwar im Abtand hinter der Line (blauer Peil) In die Abbildun einezeichnet wurde auch da Bild B, da hinter der Line enttehen würde, wenn wir den Spieel enternen E it ween / > reell Sein Abtand von der Line werde b (Bildweite) enannt Für Bildweite b und Bildröße B elten die üblichen eetze der Strahlenoptik Da B S mit B verknüpt it, ehen Bildweite und Bildröße in die Rechnun ein Für b und B elten Linenormel (e wird eine dünne, ymmetriche Sammelline voraueetzt) () b und Abbilduneetz B b () Au der Linenormel olt b Da, eineetzt in die Abbildunleichun (), eribt (3) B Die Verknüpun der rößen und B S mit,, und B und dem Abtand de Spieel von der Line tellen die nacholenden leichunen her Zur beeren Übericht ind dazu in der Abbildun die Punkte Q, R, S, T, U, V und W markiert Dabei it QR, RT B, und au dem Releioneetz olt QS SU Bei der Herleitun machen wir von der Ähnlichkeit entprechender Dreiecke ebrauch Die Dreiecke, die der Brennpunkttrahl durch die Spitze von erzeut, ereben BS BS RT B Mit l (3) olt darau B (4) S Da nächte Ziel it e, den Quotienten B S / durch einen Term auzudrücken, der den Abtand de Spieel von der Line enthält Dazu betrachten wir den relektierten Paralleltrahl, der au der Rückreie durch die Line in die Richtun UV ebrochen wird Au der Strahlenoptik olt, da die Strahlen RV und WV parallel ind Dadurch enttehen die ähnlichen Dreiecke FRV und SWU, au denen man abliet FV FV, alo FV QS SU QS Au der Ähnlichkeit der Dreiecke QSW und QRF olt QS QS, alo QS QR

3 Damit wird FV Der Strahl VU erzeut zuammen mit der zur Ache parallelen eraden durch V Dreiecke, au deren Ähnlichkeit olt (5) VU FV B S Au Abbildun liet man ab QS FV QR QU VU Damit erhält man B S, alo B S oder B S Eretzen wir jetzt den Quotienten B S / durch den Term in l (4), olt (6) Au dieer leichun erhalten wir nach einier Rechnun (Übunauabe) ür den Abtand de Spieelbilde von der Line (7) Die röße de Bilde olt au l (4), indem dort der Audruck ür / eineetzt wird Da eribt (wieder eine Übunauabe) (8) B S Ein poitiver Wert von B S / entpricht einem umekehrten, ein neativer Wert einem aurechten Bild eentandweite und Abtand Spieel/Line leichun (7) zeit, da bei eebener Brennweite von der eentandweite und dem Abtand de Spieel von der Line abhänt Da it plauibel Wenier einichti it, da die Formel auch dann ilt, wenn da Bild B au derelben Seite wie der eentand liet, die Bildweite b alo neativ it (Anhan A) Abbildun zeit da Beipiel eine Strahlenan, bei dem die der Fall it Man beachte, da da Spieelbild B S dabei immer noch au der anderen Seite der Line liet al der eentand E it wie in Abbildun ein virtuelle Bild, im eenatz zu dieem aber aurecht

4 Für eine roße Anzahl von - und -Werten eribt l (7) ein neative Dieer Löun entpricht ein Spieelbild B S, da au derelben Seite liet wie der eentand E it reell ob aurecht oder umekehrt, hänt ab von den Werten de Paare (, ) Diee Bilder ollen nicht weiter betrachtet werden Abbildun Strahlenan ür den Fall / < Da Spieelbild B S (blau) it, wie in Abbildun, virtuell, teht aber aurecht Ohne Spieel eräbe ich da virtuelle Bild B (rot) Abbildun 3 zeit eine Karte der -Ebene mit den ebieten leichen Vorzeichen von Deren renzen werden ebildet einmal durch die Poltellen (Nulltellen de Nenner) von /, zum anderen durch die Nulltellen (de Zähler) Der Nenner wird Null ür (9) Die entprechende Ortlinie it die auezoene Kurve in der Abbildun Sie beteht au zwei 3,0,5 > 0 < 0,0 /,5,0 < 0 0,5 > 0 0,0 0,0 0,5,0,5,0,5 3,0 / Abbildun 3 ebiete leichen Vorzeichen von / Nur ür / > 0 enttehen virtuelle Bilder, die da Aue beim Blick durch die Line ieht Betrachtun mit entpanntem Aue it ür Wertepaare (,) entlan oder in der Nähe der auezoenen Kurve mölich Siehe auch den Tet in Abchnitt 3

5 hyperbel-ähnlichen Äten Der Zähler von / wird Null ür (0) Die zuehörie Ortkurve it in der Abbildun etrichelt ezeichnet Eine 3D-Dartellun der /- Landchat zeit Abbildun 4A Da Landchatproil entlan der Winkelhalbierenden / / it in Abbildun 4B daretellt Abtand Spieelbild-Line/Brennweite / Proil von / entlan der Winkelhalbierenden / / -4 0,0 0,5,0,5,0,5 3,0 Abtand Spieel-Line/Brennweite / Abbildun 4A 3D-Anicht de /-ebire Abbildun 4B Proil de /-ebire entlan der Winkelhalbierenden / / 3 Beobachtun mit entpanntem Aue, Verrößerun Für /, da heißt, bei Annäherun an die durch l (9) eebenen Kurven, wandert da Spieelbild nach Unendlich Dann ind die vom Bild B S auehenden Sehtrahlen parallel Da (normalichtie) Aue kann ie entpannt au der Netzhaut okuieren, mu alo nicht akkommodiert werden Die weiter unten bechriebenen Mereihen wurden in dieer Beobachtunart aueührt au oder zumindet in der Nähe der auezoenen Kurven in Abbildun 3 Wir erwarten, da ür / auch die Bildröße B S unendlich roß wird Da zeit ich, wenn wir den Term ür / in l (9) in die leichun ür B S, l (8), einetzen Beobachten wir, wie beabichtit, im ebiet poitiver Werte von /, beindet ich da Bild immer noch hinter dem Spieel E bleibt alo virtuell Au l (9) lät ich eine weitere Folerun ableiten: Da die eentandweite nicht Null oder neativ werden kann, können wir enerell ordern / > 0 Darau ereben ich die Bereiche von, ür die mit entpanntem Aue beobachtet werden kann Ween l (9) it / > 0 äquivalent zu > 0, alo > 0 > 0 < 0 < 0

6 Da vereinacht ich zu < > Die linke Klammer entpricht dem Kurvenat link unten in Abbildun 3, die rechte Klammer dem At recht oben Der Bereich poitiver Werte von / (virtuelle Bild) liet in beiden Fällen etwa unterhalb der Kurvenäte Wir erwarten daher, da ein virtuelle, mit entpanntem Aue beobachtbare Bild eitiert, wenn au der rechten Seite der Formel ür / ein Bruchteil ε << ubtrahiert wird: ε, ε << virtuell, Setzen wir dieen eenüber l (9) modiizierten Term in l (8) ein, erhalten wir BS virtuell, ε Für den Bereich / < / it B S damit neativ, ür / > poitiv Poitive B S bedeutet nach unerer Vorzeichenetleun ein umekehrte Bild, neative B S ein aurechte Bild Anhan B zeit entprechende Strahlenäne Die Verrößerun V deiniert man mit Hile der Sehwinkel, unter denen da Bild mit Line und der eentand ohne Line ercheinen Sei ϕ der Winkel mit Line und ϕ 0 der ohne Line, o ilt tan( ϕ) () V tan( ϕ 0 ) Für den Sehwinkel ϕ mit Line leen wir au Abbildun (oder Abbildun ) ab B S tan(ϕ ) Da wir mit entpanntem Aue beobachten wollen, ind die eentandweiten nach l (9) mit dem Abtand de Spieel von der Line verknüpt In dieem Fall ( ) wird () tan(ϕ ) Da (Spieel-)Bild ohne Line beindet ich im doppelten Abtand de Aue vom Spieel, alo im Abtand ( ) vom Aue Mit Hile von l (9) eribt ich (3) Für den Sehwinkel ϕ 0 ohne Line ilt daher prinzipiell tan( ϕ 0 ) ( ) Der Meun von ϕ 0 ind jedoch renzen eetzt, je nachdem, ob wir un au dem At der auezoenen Kurve link unten (/ < /) oder recht oben (/ > ) in Abbildun 3 beinden

7 Beobachten wir in der Nähe de Kurvenate recht oben (/ > ), it ( )/ im Bereich unerer Abtände Line-Spieel ( < / < 4) rößer al etwa 0 Für die Line, mit der V betimmt wurde ( 5 cm), reicht dieer Abtand au, um da Bild bei entpanntem Aue au der Netzhaut zu okuieren Daher ilt in dieem Fall tan( ϕ 0 ) ( ) Mit Hile von l (9) olt darau tan( ϕ 0) Die Verrößerun it damit (4) V Bei Beobachtun in der Nähe de Kurvenate link unten in Abbildun 3 ind eentandweite und Abtand nach l (3) o klein, da da (Spieel-)Bild ohne Line auch bei Akkommodation de Aue nicht au der Netzhaut abebildet wird Für / < / it nämlich <,7 Da Bild it alo wenier al da,-ache der Brennweite vom Aue enternt in unerem Fall ( 5 cm) ind da höchten 8 cm Die deutliche Sehweite beträt 0 5 cm Daher it e weni innvoll, in dieem Fall eine Verrößerun zu deinieren und eine olche zu meen Man könnte allenall den Sehwinkel ohne Line o deinieren, wie e im Fall der Lupe üblich it Da heißt, ür ϕ 0 den Wert anzuetzen, der ich bei Betrachtun de eentand in deutlicher Sehweite eribt Alo tan( ϕ 0) 0 mit 0 5 cm Dann olt mit Hile von l () ür die Verrößerun (5) V 0 Für / / ilt nach l () ür den Sehwinkel mit Line tan(ϕ) / enau o, al ob ich der eentand, wie bei der Betrachtun durch eine Lupe, in der Brennweite der Line beindet Folerichti eribt l (5) in dieem Fall die au der Literatur bekannte Verrößerun V 0 / der Lupe Da ändert aber nicht an der Tatache, da l (5) in unerem Fall eine hypothetiche Verrößerun deiniert 3 Eperiment Die Theorie it umanreicher eworden al anan edacht Die Prai ällt etwa becheidener au Unere Überleun in au von der Frae, unter welchen Bedinunen da Aue ein Spieelbild einer elbt ieht Wir bechränken un, wie chon erwähnt, bei den Eperimenten au den Fall virtueller Bilder, die mit entpanntem (au einetelltem) Aue beobachtet werden

8 Zunächt prüen wir, ob l (9) tatächlich die Bedinun ür eine Beobachtun mit entpanntem Aue it Die Dikuion im Abchnitt 3 let e nahe, die Fälle / < / und / > (Kurve link unten bzw Kurve recht oben in Abbildun 3) etrennt zu unteruchen Da Erebni ür den Fall / < / it in Anhan C, Tabelle zuammeneat E wurden jeweil drei verchiedene Linen ( 0, 5 und 0 cm) benutzt emeen wurde, in Abhänikeit von der Enternun der Line vom Spieel, der Abtand de Aue von der Line (eentandweite ), ür den ich bei entpanntem Aue ein chare Bild erab In Abbildun 5 it da entprechende al Funktion von auetraen Um die Mepunkte 0,6 oene Kreie 0 cm eentandweite/brennweite / 0,5 0,4 0,3 0, 0, / al Funktion von / ür / < 05 (lupenähnlich) beobachtet mit entpanntem Aue eüllte Kreie 5 cm Dreiecke 0 cm Sterne: Aue ehr nah an Line 0,0 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 Abtand Spieel-Line/Brennweite / Abbildun 5 eentandweite al Funktion de Abtand Spieel-Line ür / < / Beobachtun mit entpanntem Aue Kurve: / nach l(9) de Tete trotz der unterchiedlichen Linen in einem raphen darzutellen, wurden und in Einheiten der Brennweite umerechnet Die Punkte haben roße Fehlerbalken, da die Bedinun entpannte Aue nur mit einer ewien Unicherheit realiierbar it Die Theorie, da heißt l (9), lieert die auezoene Linie Die Mepunkte olen ihr in etwa, aber e ibt Abweichunen Vermutlich war da Aue nicht bei allen Beobachtunen vollkommen entpannt 4,5 Abtand Aue/Brennweite / 4,0 3,5 3,0,5,0,5,0 0,5 / al Funktion von / ür / > 0 beobachtet mit entpanntem Aue oene Kreie 0 cm eüllte Kreie 5 cm Dreiecke 0 cm Sterne 5 cm (007) Kurve: / ( - */)/(*( - /)) 0,0,0,5,0,5 3,0 3,5 4,0 Abtand Line-Spieel/Brennweite / Abbildun 6 eentandweite / und Abtand / bei Beobachtun mit entpanntem Aue Kurve: Theorie nach l (9) de Tete

9 Die Daten ür den Fall / > (Kurve recht oben in Abbildun 3) ind in Anhan C, Tabelle elitet Auch hier wurden Linen mit den oben aneebenen Brennweiten benutzt, und e wurde verucht, mit entpanntem Aue zu beobachten Abbildun 6 zeit, da die theoretiche Kurve den Verlau der Mepunkte in etwa wiederibt Die Abweichunen bei rößeren Werten von / könnten auch hier dadurch bedint ein, da nicht bei völli entpanntem Aue beobachtet wurde Verrößerun V Verrößerun V al Funktion de Abtand Spieel-Line Brennweite 5 cm / > 0,0,5,0,5 3,0 Abtand Spieel-Line/Brennweite / Abbildun 7 Verrößerun V ür / > Brennweite der Line 5 cm Die Verrößerun V lät ich, wie oben erläutert, nur ür / > meen Die Sehwinkel wurden ermittelt, indem der Durchmeer der Iri mit einer Schieblehre emeen wurde bei leicher Enternun vom Aue einmal mit, da andere Mal ohne Line Die Medaten ind in Anhan C, Tabelle 3 aueührt und in Abbildun 7 daretellt E zeit ich, da Eperiment und Theorie recht ut übereintimmen Anhan A (/ < ) Liet da Bild, da die Line ohne Spieel erzeut, ween / < au derelben Seite wie der eentand (Abbildun ), erzeut der Brennpunkttrahl durch die Spitze von ähnliche Dreiecke, au denen man abliet (A) B S Mit Hile der Punkte Q, R, S und T in derelben Abbildun (Bezeichnunen hier ander al in Abbildun ) eribt ich zunächt QR / oder QR / Dann olt au der Kontruktionvorchrit ür den Durchtoßpunkt de relektierten Brennpunkttrahl mit der Brennebene

10 ST QR /, und damit QR ST / Schließlich erzeut der relektierte Brennpunkttrahl (einchließlich einer rückwärtien Verlänerun bi zur Spitze von B S ) ähnliche Dreiecke, au denen olt (A) RT ST B S Mit QR RS olt ST RS RT Alo ilt B RT ST B S S Damit olt au l (A) B S oder B S Zuammen mit l (A) wird dann Multipliziert man beide Seiten mit ( ), olt, alo l (6) de Tete Anhan B (Beipiele von Strahlenänen ür / ) Wandert da Spieelbild nach Unendlich, ind die vom Bild B S auehenden Sehtrahlen parallel Beipiele entprechender Strahlenäne ür die beiden Fälle / < / und / > :

11 Strahlenan ür /, aurechte Spieelbild / < / Strahlenan ür /, umekehrte Spieelbild / > Anhan C (Tabellen der Medaten) Tabelle eentandweite al Funktion de Abtand de Spieel von der Line, / < / (03005) a) 0 cm /cm /cm / / 4,5 ±,0 0, 0,45 ± 0,0 4 0, 0, ,3 0,3 4,5 0,4 0,5 5 ± 0,5 0, ± 0,

12 b) 5 cm /cm /cm / / 7,5 0,067 0,5 5,5 0,33 0, ,00 0, ± 0,67 0,33 ± 0,07 5 4,5 0,333 0,3 6 4,5 0,400 0,3 7 4 ± 0,467 0,67 ± 0,07 c) 0 cm /cm /cm / / 0 0, 0,5 4 9,5 ± 0, 0,475 ± 0, ,3 0,35 8 6,5 ± 0,4 0,35 ± 0, ,5 0,3 d) 0, 5 und 0 cm, / < 0, (Aue nah an Line) /cm /cm / / 0 4 0,4 0,0 5 6,5 0,433 0,07 ± 0, ,45 0,05 Tabelle eentandweite al Funktion de Abtand de Spieel von der Line, / > (03005) a) 0 cm /cm /cm / / 5 9,5,9 0 4,0,4 5,5, 30 3,0, ,5,0 b) 5 cm /cm /cm / / 0 4,33,80 5 5,67,67 30,00, ,33,7 40 7,67,3 c) 0 cm /cm /cm / / 5 64,5 3, 30 40, ,75, ,00,5 45 7,5, ,50,5

13 d) 5 cm (007) /cm /cm / / 8 0,6 ± 0,04, 4,3 ± 0,7 0 0,4 ± 0,0,33,73 ± 0,3 5 0,4 ± 0,0,67,60 ± 0, ,0 ± 0,0,00,33 ± 0, ,9 ± 0,0,33,7 ± 0, ,7 ± 0,0,67,3 ± 0,07 Tabelle 3 Verrößerun V al Funktion de Abtand de Spieel von der Line, / > (007) 5 cm /cm / V 8, 3,38 ± 0,6 0,33 4,94 ± 0,55 5,67 0, ±,40 30,00 3,3 ±,53 35,33,8 ± 3,7 40,67 9,47 ± 6,09