Hinweis: Erfolgt die Bewegung aus der Ruhelage heraus, ist in den Gleichungen die Anfangsgeschwindigkeit. ν ν ν ν s. t 0. 2 t.

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1 Dynaik. Geichäßi becheunite einie Beweun Hinwei: Erfot die Beweun au der Ruheae herau, it in den Geichunen die Anfanechwindikeit 0 0 zu etzen. Die Fäche unter der -Linie it dann ein Dreieck. Die Geichunen eten it a 9,8 / (Fabecheuniun) auch für den freien Fa. Becheuniun Endechwindikeit t 0 t 0 a t a t 0 + a t t t eabchnitt 0+ t a( t) 0+ t 0 a t Zeitabchnitt t ± + a a a a 0 t t t. Geichäßi erzöerte einie Beweun Hinwei: ird die Beweun bi zur Ruheae erzöert, it in den Geichunen die Endechwindikeit t 0 zu etzen. Die Fäche unter der -Linie it dann ein Dreieck. Die Geichunen eten it a 9,8 / (Fabecheuniun) auch für den enkrechten urf nach oben. Verzöerun 0 t 0 t a Endechwindikeit eabchnitt Zeitabchnitt t 0 0 a t 0 a 0+ t a( t) 0 0 t a 0 t 0 0 ± a a a a t t 0 t 0 t 0 t Spriner Fachedien iebaden 05 A. Böe,. Böe, Foren und abeen zur echnichen Mechanik, DOI 0.007/ _ 3

2 Dynaik.3 Geichförie Kreibeweun inkeechwindikeit, n Drehzah bzw. Udrehunfrequenz, ϕ Drehwinke, u Ufanechwindikeit, r Radiu, z Anzah der Udrehunen, Zeitabchnitt ϕ z n u rn r Grundeichun der eichförien Drehbeweun ϕ z n u n 30.4 Geichäßi becheunite Kreibeweun n in 57,3 o o 0,075 Zahenwerteichun Hinwei: Erfot die Beweun au der Ruheae herau, it in den Geichunen die Anfanwinkeechwindikeit 0 0 zu etzen. Die Fäche unter der -Linie it dann ein Dreieck. inkebecheuniun anentiabecheuniun t 0 t 0 ϕ u a r r Endwinkeechwindikeit t ϕ 0 + t t 0 t Drehwinke Zeitabchnitt t 0 + ϕ 0+ t ( t) t 0 t 0 t+ ϕ t ϕ ± + t ϕ t 0 t.5 Geichäßi erzöerte Kreibeweun Hinwei: ird die Beweun bi zur Ruheae erzöert, it in den Geichunen die Endwinkeechwindikeit t 0 zu etzen. Die Fäche unter der -Linie it dann ein Dreieck. inkeerzöerun anentiaerzöerun 0 t 0 t ϕ u a r r 0 ϕ 0 + t t Endwinkeechwindikeit t 0 0 t 0 ϕ 0 t Drehwinke Zeitabchnitt 0+ t ( t) 0 t ϕ 0 0 t 0 0 ϕ ± 0 0 ϕ 0 t 4

3 Dynaik.6 aaerechter urf (ohne Luftwidertand).7 Schräer urf h k x x 0 Geichun der urfbahn h Fahöhe x 0 arctan t 0 Richtunwinke x 0 urfweite h r 0 + ( t) Gechwindikeit nach der urfzeit t h Fahöhe, Fabecheuniun, x urfweite, k / 0 Kontante 0 horizontae Gechwindikeit, r Gechwindikeit nach der urfzeit t, Richtunwinke der Gechwindikeit h k k x tan x x x co Geichun der urfbahn in ax rößte urfweite in hax Scheitehöhe.8 Schnittechwindikeit dn d n dn 000 in in in Schnittechwindikeit an Drehachinen, Fräachinen uw. Schnittechwindikeit für Scheifcheiben k tan k 0 co in urfzeit in Steizeit d n in.9 Überetzun d eikrei- z d b Grundkrei- d co n d a Kopfkrei- d + d f Fußkrei- d,5 p eiun + w π Modu p/π (enort nach DIN 780 on 0, 70 ) Herte-Einriffwinke (0 ) Zahndicke p/ w Lückenweite p/ h a Zahnkopfhöhe h f Zahnfußhöhe,5 EL Einriffinie in n d z i n d z n i i i i... i n an e 3 nab Anzah Udrehunen z n Zeitabchnitt 5

4 Dynaik.0 Kreuzchubkurbeetriebe (Kreuzcheife) Drehwinke ϕ i Zeitabchnitt Schieberwe (Auenkun) Gechwindikeit (Hin- und Rückwe) ϕ r ( co ϕ) u in ϕ r in ϕ in Mitteteun Becheuniun a (Hin- und Rückwe) ax u r u a coϕ r coϕ r aax u r r n 30 u r ϕ, r, u, ax a, a ax n in. Schubkurbeetriebe Drehwinke ϕ i Zeitabchnitt Schubtanenerhätni λ ϕ Kurbeiu r r λ Schubtanenäne Kobenwe r ( co ϕ ± 0,5 λin ϕ) (+) für Hinan, ( ) für Rückan Kobenechwindikeit r (in ϕ ± 0,5 λ in ϕ) ax r (+ 0,5 λ ) n 30 u r Becheuniun a a r (coϕ± λco ϕ) aax r ( + λ) ϕ, r, u, ax a, a ax n in 6

5 Dynaik. Dynaiche Grundeetz für ranation reutierende Mae Becheuniun a Kraft F re G Fre a F re a FG Dynaiche k Grundeetz N k Dynaiche Grundeetz für Gewichtkräfte F Gn n Norewichtkraft n 9,80665 / Norfabecheuniun.3 Dichte.4 Gewichtkraft Mae Dichte r Vouen V FG Vr A r.5 Ipu Fre ( t t) ( ) Krafttoß Ipuänderun r V.6 Mechaniche Arbeit und Leitun bei ranation F h FGh h F R R R R N µ R F r V A F G k 3 k 3 N k / kontant Ipuerhatunatz R f ( ) Arbeit Hubarbeit Reibunarbeit Federarbeit Federrate P F Gewicht- Mae Fabecheuniun kraft F Moentaneitun P t Mittere Leitun während der Zeit t k oue () N k N att() k 3 N Federkraft F R Federwe.7 irkun P F, F G, h R t η N N N k N Nutzarbeit n η < aufewendete Arbeit a n Pn P η < a Pa P Pab P e 3 n < Pan P η η η η... η Geatwirkun Beipiee für irkune: irkun Geitaer η 0,98 (98 %) Verzahnun η 0,98 (98 %) E-Motor η 0,9 (90 %) Ottootor η 0,36 (36 %) 7

6 Dynaik.8 Dynaiche Grundeetz für Rotation reutierende räheit- inke- Drehoent M re oent becheuniun 0 + Verchiebeatz Mre M re, 0, t k N k k red red Eratzae r (reduzierte Mae) ( ) ( ) Mre t t it für M re kontant Moententoß Drehipuänderun kontant Ipuerhatunatz für Drehun i i räheitiu auf die Schwerache bezoene räheitoent Mae.9 Geichunen für räheitoente (Maenoente. Ge) Körperfor Kreizyinder Hohzyinder räheitoent ( x u die x-ache; z u die z-ache) x 4 r d r d h r r4h 8 3 z 4 4 d + h r d h d + h x R ( + r) D ( + d) r hd ( 4 d4) 8 3 x r hr ( 4 r4 ) z 4 R + r + h D + d + h Kue und Habkue x 5 8 r d r d r r Rin z 3 3 R + r D + d z 3 3 d r Dd D + d D D 8

7 Dynaik.0 Mechaniche Arbeit, Leitun und irkun bei Rotation rot Prot F u F Mϕ Rotationeitun Rotationarbeit Prot M M n rot P rot F M, r ϕ u n N N N N U P rot M n P rot M n Zahenwerteichunen M P rot n M η N k U in M i in irkun M Abtrieboent M Antrieboent. Enerie bei ranation. Geer zentricher Stoß potenziee Enerie E E F h h pot G h h E h ( ) pot pot Hubarbeit h eaticher Stoß: potenziee Enerie (Höhenenerie) Änderun der potenzieen Enerie Spannunenerie E E F R Spannunenerie F+ F R f ( ) E Änderun der Spannunenerie E kin f c + + c ( ) + + c ( ) + + Federarbeit uneaticher Stoß: kinetiche Enerie (Beweunenerie) a ( ) E kin Änderun der kinetichen Enerie EE EA + zu ab Enerieerhatunatz E ( ) + Gechwindikeiten beider Körper nach de Stoß Enerieabnahe bei uneatichen Stoß η η irkun bei Schieden wirkicher Stoß: E k k ( ) ( ) + c c Stoßzah k k 0 k 0,35 k 0,7 c + ( ) k + c + + ( ) k + irkun bei Raen Enerieerut bei wirkichen Stoß eaticher Stoß uneaticher Stoß Stah bei 00 C Stah bei 0 C Gechwindikeit beider Körper a Ende de erten Stoßabchnitt Becheuniun- arbeit a kinetiche Enerie Ekin Gechwindikeiten nach de wirkichen Stoß 9

8 Dynaik.3 Enerie bei Rotation.4 Zentripetabecheuniun und Zentripetakraft Becheuniun- arbeit Rotationenerie Erot a z u r r Zentripetabecheuniun E rot Rotationenerie E rot, u Fz az r Zentripetakraft N k r k ( ) Erot N Änderun der Rotationenerie F z a z r u k Hinwei: Der Radiu r it der Abtand de Körperchwerpunkt on der Drehache..5 Geenüberteun der tranatorichen und rotatorichen Größen (Anaoiechu) Geinie (tranatoriche) Beweun Drehende (rotatoriche) Beweun Größe Definitioneichun Einheit Größe Definitioneichun Einheit Zeit t Bairöße Zeit t Bairöße Verchiebewe Bairöße Drehwinke ϕ Mae Bairöße k räheitoent b ϕ r b it der Boen de inke ϕ,. S. 53 Σ r k Gechwindikeit ( kontant) inkeechwindikeit ϕ t Arbeit F Dreharbeit rot rot M ϕ F r ϕ Leitun P Becheuniun a Becheuniunkraft F re rot P F Dreheitun P t rot Prot M t a F re a N inkebecheuniun Becheuniunoent M re t M re N kinetiche Enerie E kin E kin Rotationenerie E rot E rot F re (t t ) ( ) Krafttoß Ipuänderun M re (t t ) ( ) Moententoß Drehipuänderun 0

9 .6 Haroniche Schwinun Dynaik, t z f ϕ y, y a y, F R M R D, R R d Hz N N Zeitabchnitt Periodendauer Anzah der Perioden z z f Anzah der Perioden z z Frequenz f f Zeitabchnitt Phaenwinke ϕ und Kreifrequenz Auenkun y (A Apitude y ax ) ϕ π z π f π y A in ϕ A in ( t) A in ( π f t) y A in N N z f k k Moentanechwindikeit y y A co ϕ A co ( t) A co ( π f t) y A co Moentanbecheuniun a y a y A in ϕ A in ( t) A in ( π f t) A in a y y Schwinunbeinn bei Phaenwinke ϕ 0 y A in (ϕ + ϕ 0 ) A in (t + ϕ 0 ) Rücktekraft F R F R D y R y D Richtröße (Federrate R) und Rückteoent M R M R R ϕ R Federrate der orionfeder Periodendauer R (Schraubenfeder) Periodendauer (Schwerepende) R (orionfeder) (Füikeitäue) 4 R D räheitoent R Federrate der orionfeder Pendeäne und Läne der Füikeitäue Überaerun bei f f und A A y re A in ϕ + A eribt wieder eine haroniche Schwinun Überaerun bei f f und A A y re A in ϕ + A in ϕ eribt keine haroniche Schwinun Schwebunfrequenz f f f f

10 Dynaik.7 Pendeeichunen F R, F G M R,, y, A R F R ϕ 0 0 N N k N N k Schwerepende Schraubenfederpende orionpende Pendeart Rücktekraft F R Rückteoent M R F R F G in in F R D 4 F R R F y y M R R ϕ Richtröße D Federrate R F, R D 4 R F R M R Ip G ϕ (G Schubodu, I p poare Fächenoent. Ge) Periodendauer D π axiae Gechwindikeit 0 axiae inkeechwindikeit 0 experientee Betiun de räheitoent eine Körper 0 ( co ax ) it bi ax < 4 eeene Schwinun bei Körper aein π bei Körper und zuaen RF R F π R räheitoent R 0 A 0 ϕ räheitoent bekannte räheitoent unbekannte räheitoent d Prüfkörper K it unbekannte h Körper K r

11 Dynaik.8 Haroniche ee Aubreitunechwindikeit c der ee λ c λ f λ eenäne Geichun der haronichen ee Moentanbid der ee zur Zeit t 0 Auenkun eine Oziator der ee zur beiebien Zeit t Bedinun für die rößtöiche Vertärkun der ee y Ain t x λ y A in t 0 x λ y A in t x 0 λ λ x ± n n natüriche Zah c, B, E λ, A, y,, x, x 0, t, t 0 f, f 0, f Bedinun für die rößtöiche Schwächun der ee x ± ( n ) λ n natüriche Zah Bedinun für die Auöchun der ee, wenn zueich A A it. Brechuneetz λ x ± ( n ) n natüriche Zah in in c β Einfawinke c β Brechunwinke Dopper-Effekt bei ti tehende Erreer und bewete Beobachter ( B ) Dopper-Effekt bei bewete Erreer ( E ) und ti tehende Beobachter Grundfrequenz f 0 (tehende ee auf eine räer der Läne ) Überaerun tehender een ( f f ; A A ) f f B 0 ± c f f 0 E c f 0 c räer it zwei feten Enden t x y re A in co λ + Beobachter bewet ich auf den Erreer zu Beobachter entfernt ich o Erreer Erreer bewet ich auf den Beobachter zu + Erreer entfernt ich o Beobachter f 0 4 c räer it eine feten und eine oen Ende 3