Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung " Elektrotechnik 1" 1etv44-3

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Anna Graf
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1 Prf. Dr.-Ing. Herzig Vrleung " Elektrtechnik 1" 51 F q v ( ) m v Fz ( ) R m v q v R m v R ( ) q Die Umlaufzeit T U einer vllen Kreibahn im Magnetfeld ergibt ich au der kntanten Gechwindigkeit π R v ( ) Tu π m Tu (4.4.11) q Aufgabe Ein Elektrn (m kg; e A) wird mit der Gechwindigkeit v km/ enkrecht zur ldrichtung in ein hmgene Magnetfeld der Dichte 1mT gechen. erechnen Sie den Radiu der Flugbahn im Magnetfeld! b) Kräfte auf Ströme der trmdurchflene Leiter Die Kräfte auf trmdurchflene Leiter im Magnetfeld laen ich au der Lrentzkraft betimmen, da der Strmflu die ewegung vn Ladungen im Leiter it. Wir betrachten einen Leiter nach Abb , durch den der Strm i fließt. df dq i dt i dq d P α d v dt Abb Kraft auf trmdurchflenen Leiter Im Punkt P de Leiter hat da Magnetfeld die Dichte. Auf da differenzielle Leitertück d im Punkt P, in dem ich zur Zeit dt die Ladung dq befindet wirkt die Kraft df dq (v x) ( )

2 Prf. Dr.-Ing. Herzig Vrleung " Elektrtechnik 1" 5 Mit dq d i und v wird Gl.( ) dt dt d dq df dq ( x) (dx) i (dx) dt dt Der Wegelementvektr d it richtunggleich mit der Ladungbewegung v und zeigt damit in Richtung de Strme. Die Geamtkraft auf einen Leiter der Länge ergibt ich au der Summierung der differenziellen Kräfte durch Integratin: F df i dx F i ( d)x i (x) ( ) Für einen geraden trmdurchflenen Leiter der Länge in einem Magnetfeld der Dichte, da läng de Leiter kntant it, wird ( ) it Vektr mit dem etrag und der Richtung der pitiven Strmrichtung im Leiter. eipiel : Zu berechnen it die Kraft zwichen zwei parallelen geraden trmdurchflenen Leitern. a a i 1 i F 1 i 1 i 1 F Abb Kräfte zwichen trmdurchflenen Leitern In Abb ind die Verhältnie dargetellt. Der vm Strm i durchflene Leiter erfährt im Magnetfeld de vm Strm i 1 durchflenen Leiter nach Gl die Kraft F. F i 1 inα mit α 90 inα 1

3 Prf. Dr.-Ing. Herzig Vrleung " Elektrtechnik 1" 53 Nach Gl.(4.4.33) und (4.4.03) it da ld außerhalb eine geraden trmdurchflen Leiter µ i1 1 µ H1 π a F i i l µ π a 1 Analg ergeben ich die Verhältnie, wenn der Leiter mit dem Strm i felderzeugend und der Leiter mit dem Strm i 1 die Kraft erfährt. i1 i l µ F1 F π a Die Kraftrichtung ergibt ich au Abb Fließen die Ströme wie in Abb in entgegengeetzter Richtung, erflgt Abtßung der Leiter. Leiter mit in gleicher Richtung fließenden Strömen ziehen ich an. eipiel : Zu berechnen it die Kraft auf trmdurchflene Leiter im Luftpaltfeld eine Elektrmtr mit D 10cm; 15cm; 1T. In Abb ind die Verhältnie chematich dargetellt. Der Läufer it ein drehbar gelagerter Stahlzylinder mit dem Durchmeer D und der Länge. Auf der Läuferberfläche befindet ich axial der trmdurchflene Leiter im Luftpaltfeld der Dichte. Nach Gl teht der Fludichtevektr im Luftpalt enkrecht auf der Eienberfläche. Für den Winkel zwichen und gilt: ; 90 Der etrag der Kraft auf den Leiter wird damit nach Gl F I ( ) F D n, M, I Die Kraftrichtung wird nach Abb betimmt und wirkt immer tangential am Läuferumfang. An der Läuferwelle wirkt da Drehmment D D M F I ( ) Abb Kraft auf trmdurchflenen Leiter in elektricher Machine Am Läuferumfang ind z vm Strm I durchflene Leiter angerdnet, da ich da Geamtdrehmment M g au der Summe der Leiterdrehmmente errechnet. D ( ) Mg M zi

4 Prf. Dr.-Ing. Herzig Vrleung " Elektrtechnik 1" 54 Die thermiche elatung eine Elektrmtr wird durch die pezifiche elatunggröße Ankertrmbelag A charakteriiert zi A ( ) D π Mit Gl.( ) wird da Drehmment D Mg A π In nrmal gekühlten Elektrmtren it A 00A/cm. Damit wird da Drehmment ( ) D 00A π 15cm 1V 0.1m Mg A π 47.1Nm cm m c) Kräfte auf Trennflächen Da im Magnetkrei praktich nur Trennflächen Eien Luft auftreten, ind diee Kräfte immer unabhängig vn der ldrichtung und in Richtung der Verkleinerung de Luftpalte gerichtet. In einem Magnetkrei mit Luftpalt it wegen H die 0 H magnetiche Energie fat auchließlich im Luftpalt gepeichert. Au der Luftpaltverkleinerung reultiert damit die mechaniche Kraftwirkung. In Abb it der Luftpalt eine magnetichen Kreie dargetellt. Der rechte Pl ei beweglich angerdnet. Im Luftpalt it bei der Induktin die magnetiche Energiedichte w vrhanden. Wird der rechte Teil de Magnetkreie um da Wegelement d verrückt, ergibt ich die mechaniche Arbeit au dem differenziellen Vlumen dv: m N df dv da d da S d Abb Kraft auf Trennfläche df d wm dv wm da d (4.4.10) Die Geamtkraft erhält man durch Integratin der Teilkräfte. Mit Gl.( ) und (4.4.10) it die Geamtkraft F df wm da da (4.4.11) µ In hmgenen ldern it kntant. Damit it da Integral in Gl.(4.4.11) einfach zu A löen. F da µ (4.4.1) µ µ A

5 Prf. Dr.-Ing. Herzig Vrleung " Elektrtechnik 1" 55 eipiel : Zu berechnen it die Trennflächenkraft, wenn im Luftpalt die Fludichte 1T beträgt und die Luftpaltfläche A 100 cm it 4 1V Am m F 3979N 4 6 m 0.4π 10 V Wegen der quadratichen Abhängigkeit vn der Fludichte it die Kraftrichtung unabhängig vn der Magnetfeldrichtung. Dehalb können Elektrmagnete auch mit Wecheltrm erregt werden. Eine geplte Kraftwirkung it möglich, wenn dem Wechelteuerflu ein kntanter Gleichflu überlagert wird. S V F k k ( + ) k ( + + v) v v (4.4.13) In Gl.(4.4.13) it der Term v vm Vrzeichen de Steuerflue abhängig. Vn dieer Möglichkeit macht man Anwendung in plariierten Relai und im Telefnhörer Abb Gebrauch. Ohne Gleichflu würde die Stahlmembran mit der dppelten Frequenz de Erregerwecheltrme chwingen. Stahlmembran N S Abb Telefnhörer d) Kräfte auf Magnete Magnete werden durch ihre magnetiche Pltärke gekennzeichnet. Magnetiche Pltärke it der am Pl in den Magneten eintretenden bzw. autretende magnetiche Flu. Magnete erfahren im Magnetfeld eine Kraftwirkung. Sie werden im Magnetfeld augerichtet. In Abb it ein Magnet der Pltärke in einem Magnetfeld der ldtärke H drehbar gelagert. F N H H α M S Abb Kraft auf Magneten F

6 Prf. Dr.-Ing. Herzig Vrleung " Elektrtechnik 1" 56 Im Magnetfeld der ldtärke H wird auf einen Magnet mit der Pltärke flgende Kraft augeübt. F H (4.4.14) H it dabei die vr dem Einbringen de Magneten vrhandene ldtärke. Der Magnet kann entweder ein Dauermagnet der eine gleichtrmerregte Spule ein, für die ich der Plflu nach Gl.(4.4.15) ergibt IN µ A (4.4.15) Auf den drehbar gelagerten Magneten wirkt ein Drehmment, lange der Magnet nicht in ldrichtung teht. Gleichnamige Ple tßen ich ab, ungleichnamige ziehen ich an. Da Drehmment berechnet ich dabei au den Kmpnenten der Kraft in tangentialer Richtung. M F c(90 α ) H inα (4.4.16) Zuammenfaung Magnetiche ld Magnetiche Größen magnetiche ldtärke H [H] 1A/m magnetiche Fludichte (Induktin) [] 1V/m 1T magnetiche Durchflutung Θ [Θ] 1A magnetiche Spannung V [V] 1A magneticher Flu [] 1V 1Wb magneticher Widertand R m [R m ] 1A/V magneticher Leitwert Λ [Λ] 1V/A ldberechnung I H da d da µ H Θ Hd Θ Iν I N wenn H läng kntant: H Θ d Richtung: Rechtwirbel i Θ;H

7 Prf. Dr.-Ing. Herzig Vrleung " Elektrtechnik 1" ldtärke 57 Gerader Leiter Ir R r R: Hi R Ringpule: (Trridpule) Zylinderpule: π IN H π r IN D: Hi r I r R: Ha π Genauer Wert in der Mitte der Spulenache: IN 1 H D 1+ Magnetiche Kreie (hmgene ld) 0 magn. Kntenatz Θ I V magn. Machenatz 1 A µ A V H A µ H Λ R V H m Unverzweigter magneticher Krei mit Luftpalt A A ϕ MKL H H µ Θ H + H δ I N I IN µ µ δ ϕ δ ϕ H + µ N δ ϕ Eienfüllfaktr H f(h ) (MKL) grafiche Löung I A δ ( 0) A A f(h ) MKL IN µ µ 0 0 δ ϕ δ ϕ H m H A H ( 0) H

8 Prf. Dr.-Ing. Herzig Vrleung " Elektrtechnik 1" 58 Lrentzkraft F Q (vx) F Q v inα α v; F v F Q α v Kräfte auf trmdurchflene Leiter F I (x) Fludichte it über Leiterlänge kntant Leiter hat kntanten Winkel zum Fludichtevektr parallele Leiter mit Abtand a in Luft: I1 I µ 0 F π a Kraft auf trmdurchflenen Leiter in elektricher Machine: F I D Drehmment (Durchmeerpule): M N I Kraft auf Trennflächen A F wm A µ µ A 0 0 Kraft auf Magnete F H Pltärke de Magneten H ldtärke de lde vr dem Einbringen de Magneten

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