Schwingungen und Wellen. ein unterrichtsbegleitendes Scriptum

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1 Schwingungen und Ween ein unterrichtbegeitende Scriptu Thoa Biederann Herannburg Januar 4

2 Inhatverzeichni. Schwingungen. Beipiee. Geeinakeiten.3 Phyikaiche Grundagen.3. Energiebianz.3. Energieuwandung Becheunigung 4.4 Matheatiche Behandung 4.4. Betrachtung augwähter Bahnpunkte 5.4. Während der Bewegung wirkende Kräfte Verageeinerung der Bewegunggeichungen Betien der Bewegunggeichung Exponentiafunktionen Trigonoetriche Funktionen 7.4.5Löen der iffernziageichung Trigonoetricher Anatz Anatz über Exponentiafunktion 9.6 Anwendungbeipiee zu Schwingungen.6. Fadenpende.6. U-Rohr-Schwingung.6.3 Feder-Mae-Pende 3.7 Graphiche arteung de Bewegungabaufe 5.8 Energiebianz während der Schwingung 5.9 Gedäpfte Schwingungen 6. Erzwungene Schwingungen 6. Eektricher Schwingkrei 7 Ween 9. Gekoppete Feder-Mae-Pende a echaniche Oziatorkette 9. Aubreitunggechwindigkeit einer Wee. Beipiee für Oziatorketten.. Ween auf einer Waeroberfäche.. Schaween in Luft..3 Schaween in Fetkörpern.3 Weenaubreitung bei periodicher Anregung.3. Weenänge.3. Weengeichung in Abhängigkeit von der Zeit.3.3 Weengeichung in Abhängigkeit vo Ort.3.4 Ageeine Weengeichung.4 Aubreitung von Ween.4. Punktförige Anregung.4. Überagerung von Ween Huygen che Prinzip 3.5 Eektroagnetiche Ween 4.5. Feder einer bewegten Ladung 4.5. Fed einer chwingenden Ladung Licht a eektroagnetiche Wee 5.6 Beugung und Interferenz 5.6. Beugung und Interferenz a oppepat 5.6. Beugung und Interferenz a Gitter 7.7 Anwendungbeipiee zu Ween 8.7. Schaween 8.7. CF-Zeitzeichenigna Gitterpektrograph 3 Index 3

3 Schwingungen und Ween Schwingungen Biang wurden in der Kineatik edigich Vorgänge behandet, bei denen ein Körper ruht, ich it kontanter Gechwindigkeit geichförig bewegt oder it einer kontanten Becheunigung eine Gechwindigkeit ändert. Bei aen anderen Bewegungabäufen it die Becheunigung nicht kontant, ondern ändert ich in Abhängigkeit von der Zeit. Eine beondere Gruppe von Bewegungen it nicht kontanter Becheunigung ind die, bei denen ich ein und derebe Bewegungabauf periodich wiederhot.. Beipiee Man bezeichnet einen Abauf a periodich, wenn ich ein betiter Abauf nach einer betiten Zeit auf die geiche Weie wiederhot, die dafür benötigte Zeit T nennt an Periodendauer. azu gehören z.b. - die Bewegung eine Uhrenpende (Abb. a) b) a) c) - die Bewegung einer zwichen zwei Federn aufgehängten Mae (Abb. b) - die Bewegung einer Füigkeitäue in eine U-Rohr (Abb. c) Abb. : Schwingungfähige Sytee. Geeinakeiten Ae drei Beipiee haben zunächt fogende Punkte geeina: - e gibt eine Mae, deren Gechwindigkeit ich fortaufend ändert - e gibt zwei Zeitpunkte, wo die Gechwindigkeit der Mae Nu it - e gibt zwei Zeitpunkte, wo der Betrag der Gechwindigkeit der Mae ein Maxiu aufweit Betrachtet an den Ort der Mae in Abhängigkeit von der Zeit, o ergeben ich weitere Geeinakeiten: - der Ort, an de die Gechwindigkeit ein Maxiu aufweit, it ier der geiche - e gibt zwei Orte, an denen der Betrag der Gechwindigkeit Nu it.3 Phyikaiche Grundagen a ich die Gechwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit dauernd ändert, u e nach der Grundgeichung der Mechanik F a () eine Kraft geben, die auf die Mae eine Becheunigung auübt. a die Gechwindigkeit it der Zeit owoh zu- a auch abnit, it diee Becheunigung nicht kontant, e git ao a a(t) () e iegt ao eine von der Zeit abhängige Becheunigung vor..3. Energiebianz Sieht an von der unvereidichen Reibung ab, o tet jede dieer drei Beipiee ein abgechoene Syte dar. Nach de Energieerhatungatz it aber die Sue aer Energien in eine abgechoenen Syte kontant. a ich die Gechwindigkeit fortwährend ändert, ändert ich auch die kinetiche Energie E kin der Mae. Fogich u e eine zweite Energiefor geben, dait der Energieerhatungatz erfüt it. ie kinetiche Energie u in diee zweite Energiefor überführt werden, außerde u e ögich ein, au dieer Energie die urprüngiche kinetiche Energie wieder zurückzugewinnen. Betrachtet an da Uhrenpende oder die Füigkeitäue, o tet an fet: - hat der Betrag der Gechwindigkeit ein Maxiu, o befindet ich die Mae in ihrer tieften Lage - it die Gechwindigkeit Nu, o befindet ich die Mae an eine von zwei höchten Punkten

4 Schwingungen und Ween a diee Schwingung i Schwerefed der Erde abäuft, kann an dieen beiden Poitionen jewei eine potenziee Energie zuordnen, die zweite benötigte Energiefor wäre hier ao die potenziee Energie E pot i Schwerefed der Erde. Entprechend findet an für die Mae zwichen den Federn: - hat der Betrag der Gechwindigkeit ein Maxiu, o ind die Federn weder gedehnt noch getaucht - it die Gechwindigkeit Nu, o it eine Feder axia getaucht und die andere axia gedehnt Hier ergibt ich die zweite Energiefor durch die eatiche Verforung der beiden Federn, die ebenfa a potenziee Energie E pot auftritt..3. Energieuwandung Ein weentiche Kriteriu für eine (echaniche) Schwingung it ao die fortwährende Uwandung von kineticher Energie in potenziee Energie und ugekehrt. a die Geatenergie zu jede Zeitpunkt kontant it, git ao E (t) + E (t) E cont (3) pot kin ge wobei E pot a auch E kin von der Zeit abhängig ind und ich tändig verändern. a ich die Gechwindigkeit it der Zeit verändert, git für die kinetiche Energie Ekin v(t) (4) entprechend git für die potenziee Energie E pot g (t) (5) w wobei der Index w angibt, da hier nicht der Ort der Mae an ich, ondern die wirkae Strecke anzugeben it, die zu einer Änderung der potenzieen Energie führt. Für die Füigkeitäue ind die Überegungen etwa chwieriger, führen aber zu äquivaenten Auagen..3.3 Becheunigung Keine der bechriebenen Maen führt einen freien Fa au, die zur tändigen Änderung der Gechwindigkeit führende Kraft hat ao eine andere Urache. A einfachten kann an da an der Mae zwichen den beiden Federn erkennen: wird eine Feder gedehnt, o it eine Kraft notwendig, die uo größer wird, deto größer die ehnung it. Nach de Hookchen Geetz git F() (6) wobei die Federkontante und die ehnung der Feder au der Ruheage angibt. Für die Stauchung git da geiche Geetz it ugedrehte Vorzeichen ( wird dann a negativ angenoen, wa zu einer entgegengeetzten Kraft führt).a die Feder da Betreben hat, wieder in ihre Augangage zurückzukehren, übt ie eine Kraft auf die Mae au. Nach () erhät an o für die Becheunigung F() a() (7) Entprechende git prinzipie auch für da Uhrenpende und die Füigkeitäue, hier ind die Überegungen etwa kopizierter und werden an päterer Stee erörtert..4 Matheatiche Behandung Für die arteung der prinzipieen Vorgehenweie wird i Fogenden zunächt die Schwingung eine Feder-Mae-Syte verwendet. Zur Vereinfachung wird dabei von edigich einer Feder augegangen, deren eine Ende fet eingepannt und an dere anderen Ende eine Mae befetigt it. er Einfu de Schwerefede de Laboryte wird vernachäigt (da Syte befinde ich i chwereoen Rau). ie Anordnung it in Abb. dargetet. ie Mae kann ich in Richtung der -Ache bewegen und befinde ich bei in ihrer Ruheage. Feder Mae Abb. : Feder-Mae-Syte

5 Schwingungen und Ween Betrachtung augwähter Bahnpunkte Zunächt wird die Mae durch Einwirken einer äußeren Kraft F u die Strecke au ihrer Ruheage augeenkt, dabei wird de Syte Energie zugeführt, die in der Feder gepeichert wird. Mit der Federkontanten git für die Kraft F (8) a die aufzuwendende Kraft it zurückgeegter Strecke zunit, u die aufzuwendende Arbeit über da Integra betit werden: W F()d (9) urch Einetzen von Geichung (8) in (9) und Löen de betiten Integra erhät an W ( )d d W () iee Arbeit wird a potenziee Energie in der Feder gepeichert. a ich die Mae noch nicht bewegt, oange an die Feder fethät, it die geichzeitig die Geatenergie de Syte: E () ge Zu Zeitpunkt t wird nun die Feder ogeaen. a die Feder zu diee Zeitpunkt noch gepannt it, übt ie nun eine Kraft auf die Mae au. Nach Gg. () führt diee Kraft zu einer Becheunigung der Mae. Zu Zeitpunkt t ergibt ich für darau die Anfangbecheunigung a zu F F a Abb. 3: Gepannte Feder urch die Becheunigung nit die Gechwindigkeit der Mae zu, außerde verändert ie ihren Ort, da ich die Feder entpannt. Zu eine päteren Zeitpunkt it die Feder ao weniger tark gepannt und die Kraft, it der die Mae becheunigt wird, nit ab. Hat die Mae zu Zeitpunkt t ihre Ruheage erreicht, it die Feder votändig entpannt und übt oit keine becheunigende Kraft ehr auf die Mae au. ie in de Zeitinterva [t ; t ] wirkende Kraft hat dabei die Mae auf eine betite Gechwindigkeit becheunigt, die nun a kinetiche Energie in der Mae gepeichert it, dabei it die geate potenziee Energie der Feder in kinetiche Energie ugewandet worden. E git ao unter Berückichtigung von Gg. () E kin E ge und an erhät für die Gechwindigkeit v, it der die Mae die Ruheage paiert: v v (3) Anchießend wird nun durch die Trägheit der Mae die Bewegung fortgeetzt. abei wird nun v die Feder gedehnt und e tritt wieder eine Kraft auf, die nun aber die Mae abbret (negativ - becheunigt). abei wird die Feder oange gedehnt, bi zu eine Zeitpunkt t die kinetiche Energie wieder votändig in potenziee Energie ugewandet worden it. ie Feder it nun u Abb. 4: Nudurchgang die Strecke in entgegengeetzter Richtung gedehnt worden, ao it -. Biang konnten nur Auagen über drei beondere Bahnpunkte geacht werden, bei denen jewei genau eine Energiefor auftrat. I Anfangzutand ät ich eine Auage über die potenziee Energie de Syte treffen, bei Paieren der Ruheage (Nudurchgang) über die kinetiche Energie, da die jewei andere Energiefor zu dieen beiden beonderen

6 Schwingungen und Ween Zeitpunkten Nu it. a ich die Becheunigung jedoch tändig ändert, it für eine votändige arteung der Bewegunggeichung ein anderer Anatz a über den Energieerhatungatz notwendig..4. Während der Bewegung wirkende Kräfte ie Mae it fet it de Ende der Feder verbunden, d.h., da die Sue der Kräfte zwichen Feder und Mae zu jede Zeitpunkt Nu ergeben üen: F (t) + F (t) (4) dabei it F die von der Feder auf die Mae augeübte Kraft und F die Trägheitkraft der Mae ( Trägheitgeetz). F ändert ich in Abhängigkeit vo Ort und dait auch in Abhängigkeit von der Zeit: (t) F (t) (5) Nach Gg. () it die Trägheitkraft von der ebenfa zeitabhängigen Becheunigung abhängig, e git: (t) F a(t) (6) x F F Abb. 5: Kräftegeichgewicht Setzt an diee beiden Beziehungen in Gg. (4) ein, o erhät an ao (t) + a(t) (7).4.3 Verageeinerung der Bewegunggeichungen Ändert ich der Ort eine Objekte in Abhängigkeit von der Zeit, o wird eine Bewegung durch die Funktion (t) bechrieben. Nach der efinition für die Gechwindigkeit git v t wobei edigich eine ittere Gechwindigkeit angegeben werden kann, da da Objekt in der Zeit t da Weginterva zurückgeegt hat. U die Moentangechwindigkeit zu erhaten, üen die Intervae beiebig kein gewäht werden und an erhät v i t t d dt ait erhät an die Moentangechwindigkeit zu eine betiten Zeitpunkt t durch Abeitung von (t) nach der Zeit d v (t) (t) (t) & (8) dt Anaog erhät an für die Becheunigung a Veränderung der Gechwindigkeit d a (t) v(t) v(t) & (9) dt ao it die Becheunigung die Abeitung der Gechwindigkeit nach der Zeit. Einetzen von (9) in (8) ergibt oit a (t) & (t) () Kennt an ao den funktionaen Zuaenhang zwichen de Ort und der Zeit t, o aen ich Gechwindigkeit und Becheunigung zu jede beiebiegen Zeitpunkt t dadurch betien, da an die erte oder zweite Abeitung von (t) bidet..4.4 Betien der Bewegunggeichung In Gg. (7) findet an eine Geichung, die owoh (t) a auch a(t) enthät. Wendet an Gg. () darauf an, erhät an (t) + & (t) () iee Geichung enthät owoh die Augangfunktion (t) a auch ihre. Abeitung & &(t ). Eine oche Geichung bezeichnet an a ifferenziageichung. a neben der Augangfunktion nur noch die. Abeitung auftritt, wird ie a

7 Schwingungen und Ween ifferenziageichung. Ordnung bezeichnet (würde z.b. neben der Augangfunktion nur die. Abeitung auftreten, wäre e eine iffernziageichung. Ordnung). a kein kontanter Ter vorhanden it, ondern die rechte Seite der Geichung Nu it, wird diee Geichung a hoogene ifferenziageichung (. Ordnung) bezeichnet. Einen Löunganatz zur Löung einer ochen iffernziageichung erhät an, wenn an die Geichung nach (t) auföt: (t) & (t) & () Unter Verwendung atheaticher Bezeichnungweien entpricht da de Audruck f (x) c f ' ' (x) Geucht it ao eine Funktion, deren. Abeitung bi auf einen kontanten Faktor c it der Augangfunktion übereintit. Betrachtet an die verchiedenen Funktionkaen o cheiden z.b. ae poynoichen Funktionen au, da ich hier bei der Abeitung der Grad de Poyno ändert. Unter den verbeibenden Funktionkaen bieten ich die Exponentiafunktionen und die trigonoetrichen Funktionen für eine nähere Anaye an Exponentiafunktionen Tritt in einer Exponentiafunktion die Variabe edigich in. Potenz i Exponenten auf, ändert ich bei der Abeitung nicht der Grad der Funktion, denn e git k x f (x) e Abeitung f '(x) k e Bidet an die. Abeitung, o erhät an f '(x) k e k x f' Abeitung '(x) k x k e k x k f(x) Hierit hätte an eine Funktion gefunden, die die oben angebene Bedingung erfüt, denn e git f (x) k f (x) Zur Löung von Geichung () koen ao Exponentiafunktionen it inearen Exponenten in Frage Trigonoetriche Funktionen a ich die vier trigonoetrichen Grundfunktionen durch die Additiontheoree auf eine Funktion zurückführen aen, genügt die Unteruchung z.b. der Funktion f(x) co(k x) und ihrer Abeitungen. E git f (x) co(k x) Abeitung f '(x) k in(k x) f '(x) k in(k x) f' Abeitung '(x) k co(k x) k f (x) Hier findet an für die. Abeitung den geuchten Zuaenhang f (x) k f(x) (an beachte i Vergeich zu den Exponentiafunktionen da hier auftretende Minuzeichen!). Auch diee Funktion it ao a Löunganatz geeignet..4.5 Löen der iffernziageichung Unter de Löen einer iffernziageichung verteht an die Auwah einer geeigneten Funktion und die Betiung der einzenen Koeffizienten, u die geuchte Augangfunktion votändig angeben zu können. ie in.4.4 vorgeteten Löunganätze ind prinzipie geichwertig, zunächt o hier jedoch der trigonoetriche verwendet werden, da ich dieer a eichteten nachvoziehen ät Trigonoetricher Anatz Für die geuchte Funktion (t) etzt an den ageeinten Ter für eine Coinufunktion an: (t) k co(k t) (3) (Löunganatz)

8 Schwingungen und Ween wobei k und k Paraeter ind, die i Weiteren näher zu betien ind. A nächte betit an die. Abeitung und erhät & (t) k co(k t) k (t) (4) Nun etzt an (4) in () ein und erhät (t) ( k (t)) (a) Auutipizieren der rechten Seite, iviion durch (t) und durch k owie anchießende Wurzeziehen iefert k k (5) ait it bereit ein Paraeter der Geichung betit. U den zweiten Paraeter zu erhaten, u der Zutand de Syte zu eine beiebigen Zeitpunkt bekannt ein. In unere Fa it bekannt, da zu Zeitpunkt t die Mae u die Strecke augeenkt it, ao git (t ) (6) (Randbedingung) Setzt an (5) und (6) in (3) ein, o erhät an k co k (7) da der Coinu von Nu geich Ein it. ait kennt an ae Paraeter de Löunganatze und kann die Bewegunggeichung angeben, e git: (t) co t (8) (Bewegunggeichung) ie Coinufunktion it periodich it der Periode π. U die Periodendauer T zu betien, u ao geten: T π (9) Auföen nach T ergibt für die Periodendauer T π (3) (Periodendauer) A Frequenz bezeichnet an die Anzah der Schwingungen pro Sekunde. Sie ergibt ich au der Periodendauer T zu f T π (3) (Frequenz) und wird in Hz (Hertz) geeen. er in Gg. (8) auftretende Wurzequotient wird auch a Kreifrequenz bezeichnet, da er angibt, wie oft pro Sekunde eine votändige Periode von π durchaufen wird. Man definiert ω : (3) (Kreifrequenz) Zwichen der Frequenz f und der Kreifrequenz ω beteht fogich die Beziehung ω π f I k-syte haben f und ω die geiche Einheit -, doch während die Frequenz it der Einheit Hz angegeben wird, gibt an die Kreifrequenz it der Einheit - an.

9 Schwingungen und Ween Zuaengefat die Ergebnie für da Feder-Mae-Syte: Schwingunggeichung Periodendauer Freuquenz Geatenergie (t) co t T π f π E ge.4.5. Anatz über Exponentiafunktion Anaog zur Vorgehenweie in.4.5. erhät an hier a Anatzgeichung (t) it der. Abeitung k t k e (3e) & (t) k k e k t k (t) (4e) Einetzen diee Audruck in die ifferenziageichung ergibt hier für den Paraeter k k (5e) a und beide Größen ind, die nicht negativ ein können, ergibt ich hier da Probe, die Wurze au einer negativen Zah ziehen zu üen, wa in der Menge der reeen Zahen nicht geht. Eine Erweiterung der reeen Zahen ind die ogenannten iaginären Zahen, wobei an definiert: i ait kann an unter Anwendung der Regen für Wurzen (5e) darteen a k i etzt an dieen Audruck in (t) ein, o ergibt ich a Zwichenergebni (t) k e i t Mit der efinition für die Kreifrequenz nach Gg. (3) erhät der Audruck die For (t) k e i ω t i Einetzen der Randbedingung (t ) ergibt auch hier für den Paraeter k (t i ) k e ω k Soit autet die votändige Bewegunggeichung (t) (7e) i ω t (8e) e Auf den erten Bick cheint die eine vöig andere Löung zu ein a die, die an auf trigonoetriche Wege findet. Ein vertiefte Vertändni kopexer Zahen zeigt jedoch, da diee Löung ich au zwei Anteien zuaenetzt, von denen der eine rein iaginär und der andere rein ree it. Betrachtet an eine kopexe Zah zuaengeetzt au zwei Koponenten eine ebenen orthogonaen Koordinatenyte, o findet an ae kopexen Zahen it geiche Betrag auf eine Krei j r c co j (iehe Abb. 6). Lät an in diee Krei einen Vektor rotieren, o wechet die reee Koponente periodich zwichen zwei Beträgen. Man ieht, da die reee Koponente durch da Produkt de Betrage und de Koinu de zwichen reeer Ache und Vektor eingechoenen Winke betit wird, wa it der trigonoetrichen Löung übereintit. c in j c Abb. 6: Zahen in der kopexen Zahenebene

10 Schwingungen und Ween Anwendungbeipiee zu Schwingungen I Fogenden oen für die drei in. angegebenen Beipiee die notwendigen Überegungen dargetet und die entprechenden Vorgehenweien it konkreten Zahenwerten angewendet werden..6. Fadenpende Eine Mae kg wird an eine a aeo anzuehenden Faden der Länge i Laboryte (g 9,8 /²) aufgehängt, eitich u die Strecke,5 augeenkt und zu Zeitpunkt t ogeaen. j Zu jede Zeitpunkt wirkt auf die Mae die unveränderiche Gewichtkraft F g. ie eitiche Auenkung erzeugt F r g zuätzich eine rückteende Kraft F r, die dafür orgt, da die Mae in Richtung ihrer urprüngichen Ruheage becheunigt wird, obad ie ogeaen wird. f j F F r Betrachtet an die Kräfte a Ort der augeenkten Mae genauer, o erkennt an, da e eine dritte Kraft F f gibt F g (in Abb. 7 nicht it eingezeichnet), die den Faden gepannt F g F g hät. ie drei Kräfte F g, F r und F f biden ein Kräfteparaeogra (Abb. 8). er Winke zwichen F f Abb. 7: Fadenpende und F g it genauo groß wie der Winke zwichen de Pendefaden in Abb. 8: Kräfte an der augeenkten Pendeae Ruheage und i augeenkten Zutand. ie für die Becheunigung in Richtung Ruheage wirkae Kraft F r ät ich anhand einfacher trigonoetricher Beziehungen angeben zu Fr Fg inϕ (33) er Winke ϕ findet ich ebenfa wieder in de reieck nach Abb. 9, hierbei it h die Höhe, u die die Mae bei der Auenkung angehoben wird, b der Bogen, auf de ich die Pendeae bewegt und die Sekante vo aktueen Ort de Pende P zur Ruheage P. Für die Bogenänge b git b ϕ (ϕ i Bogenaß!) (34) It die Auenkung hinreichend kein, o it die Länge der Sekante ungefähr geich der Bogenänge b, außerde geten dann die Näherungen γ ϕ in ϕ ϕ (35) Löt an (34) nach ϕ auf und verwendet in (33) die Näherung (35), o erhät an für die rückteende Kraft den Audruck A j Fr Fg (36) a von der Zeit t abhängt und F g und Kontanten ind, ergibt ich oit für die rückteende Kraft der Audruck Fg F (t) (t) (37) r Nach der bekannten Geichung für die Betiung der Gewichtkraft erhät an oit (t) F r g (t) (38) g P b Abb. 9: Streckenbeziehungen P h j P L

11 Schwingungen und Ween - - iee Kraft bidet zuaen it der Trägheitkraft F ein Kräftegeichgewicht (verg. Gg. (4)) und e ergibt ich g (t) + && (t) (39) iee iffernziageichung it nun wie in.4.5 bechrieben zu öen. Anatz: A einfachten ät ich der Anatz nach Gg. (3) verwenden, e git oit (t) k co(k t) und && (t) k (t) Eingeetzt in (39) erhät an o g (t) k (t) (4) Nach iviion durch (t) und auföen nach k erhät an darau g k (4) Randbedingung: Zu Zeitpunkt de Loaen it t und da Pende it axia u zur Seite augeenkt. Ao git g (t ) k co t (4) Für t it der Coinu geich Ein, ao erhät an auch hier k (43) ao autet die votändige Bewegunggeichung g (t) co t (44) Mit den angegebenen Größen erhät an darau konkrete Zahenwerte, die die Schwingung bechreiben: Kreifrequenz: ω 9,8 g 3,3 (45) Frequenz: ω 3,3 f,498hz (46) π π Periodendauer: T, (47) f,498hz Gechwindigkeit i Nudurchgang: Nach der Zeit T hat da Pende eine Anfangpoition (axiae Auenkung) wieder erreicht, nach der Häfte dieer Zeit den gegenüberiegenden Maxiapunkt und nach eine Vierte der Zeit voführt e den Nudurchgang. Nach den Gg (46) und (47) git oit T π π t Nu (48) 4 4f 4 ω ω

12 Schwingungen und Ween - - a ich die Gechwindigkeit au der. Abeitung von (t) ergibt (iehe Gg. (8)), git ao für die Gechwindigkeit i Nudurchgang π π ω ω v (tnu ) (t & Nu ) in ω in ω Einetzen der Zahenwerte ergibt v(t Nu ),5 3,3,57 Kinetiche Energie: ait erhät an für die kinetiche Energie i Nudurchgang Ekin (tnu ) v Nu kg (,57 ),J die it geichzeitig die Geatenergie, da zu diee Zeitpunkt die potenziee Energie Nu it ( verg..4.). Man ieht, da die Pendebewegung auchießich durch die Fadenänge und die Fabecheunigung betit wird, die Pendeae ebt piet keine Roe. In der Praxi wird an aerding die Pendeae o groß wie ögich wähen, u den Einfu der Luftreibung und der unvereidichen Fadenae zu iniieren. Wegen der in (36) verwendeten Näherung geten diee Angaben außerde nur für keine Pendeauchäge ( << )..6. U-Rohr-Schwingung ω Eine Füigkeit der ichte ρ kg/³ befinde ich ein eine U-förig gebogenen oben offenen Rohr it de urcheer d c. ie Länge der Füigkeitäue ei,5. Wird z.b. durch Einbaen in den einen Schenke de U-Rohre die Füigkeitäue u die Strecke,5 augeenkt, o führt ie anchießend Schwingungen u ihre Ruheage au. Zunächt it eine Auage über die rückteende Kraft F r zu treffen, die die Füigkeitäue in ihre Augangage zurück becheunigt. Wie an in Abb. entnehen kann, befindet ich zwichen den Punkten P und P ein Tei der Füigkeit, die auf die darunter iegende Säue eine Kraft auübt, i übrigen Tei der Füigkeit heben ich ae Kräfte gegeneitig auf. ie Gewichtkraft diee Säuenabchnitte erzeugt die rückteende Kraft. Für ie git P h P Abb. : Schwingende Füigkeitäue g F (t) g (49) r h wobei h die Mae der zugehörigen Säue it. Unter der Annahe eine kreiförigen Querchnitt erhät an V ρ (5) h h Mit der Fore zur Berechnung de Vouen eine Zyinder it der Höhe h und de Radiu r d / ergibt ich V π r h (5) h Zwichen h und de zeitabhängigen Ort (t) der Oberfäche der Füigkeitäue beteht die Beziehung h (t) (5) Einetzen von (5), (5) und (5) in (49) ergibt für die rückteende Kraft F (t) π r ρ g (t) (53) r iee wirkt becheunigend auf die Mae S der geate Füigkeitäue, für die anaog nach (5) git: π r ρ (54) S

13 Schwingungen und Ween ait erhät an für die Trägheitkraft F den Audruck F (t) π r ρ a(t) (55) Soit autet die ifferenziageichung π r ρ g (t) + π r ρ & (t) (56) In dieer Geichung kürzt ich der beiden Suanden geeinae Faktor g (t) + & (t) (56a) π r ρ herau, an erhät (t) & (t) (56b) g Mit de bereit bekannten Anatz ergibt ich (verg Gg. (39) - (4)) k g (57) k (58) oit autet die votändige Bewegunggeichung g (t) co( ω t) it ω (59) Einetzen der gegebenen Zahenwerte iefert 9,8 Kreifrequenz: ω 6,64,5 Frequenz: ω 6,64 f π π,997hz Periodendauer: Nudurchgang: T,3 f,997hz v Nu ω,5 6,64,33 Bewegte Mae: π r ρ π(,),5,57kg kg 3 Geatenergie: Ege v Nu,57kg,33 7,7J Man beachte, da hier die zeitabhängigen Größen von der ichte der Füigkeit und de urcheer der Säue unabhängig ind und edigich durch deren Länge und die Fabecheunigung betit werden..6.3 Feder-Mae-Pende An eine Feder i Laboryte (g 9,8 /²) werde eine Mae,5 kg angehängt, dabei dehnt ich die Feder u d, au. Anchießend wird ie au dieer Ruheage u,5 augeenkt und ogeaen (verg. Abb. ). Au der Audehnung d der Feder durch da Anhängen der Mae ät ich die Federkontante betien: g d - Fg g Fg d (6) Abb. : Feder-Mae-Pende d d

14 Schwingungen und Ween Für die rückteende Kraft git (t) F r (t) (6) oit erhät an die iffernziageichung (t) + & (t) (6) it de trigonoetrichen Anatz für (t) und der dazugehörigen. Abeitung (t) k co(k t) && (t) k k co(k t) k (t) ergibt ich darau durch Einetzen (t) k (t) (6a) iviion durch (t) und auföen nach k iefert k (63) Einetzen der Randbedingung (t ) ergibt für den zweiten Paraeter (t ) k co(k ) k (64) dait autet die Bewegunggeichung (t) co( ω t) it ω (65) Einetzen der gegebenen Zahenwerte iefert Federkontante:,5kg 9,8,,4 N N,4 Kreifrequenz: ω 9,4,5kg Frequenz: ω 9,4 f π π,439hz ω 9,4 f π π,439hz Periodendauer: Nudurchgang: Geatenergie: T,65 f,439hz v Nu ω,5 9,4,45 Ege v Nu,5kg,45 5,55J N Spannenergie: ESpann,4 (,5) 5,5J Man beachte, da außer für die Betiung der Federkontanten die Fabecheunigung g nicht benötigt wird und keinen Einfu auf die Schwingungdauer hat. ie Spannenergie der Feder, die durch eine von außen augeübte Kraft de Syte urprüngich zugeführt wurde, it (bi auf Rundungfeher) genauo groß wie die Geatenergie de Syte.

15 Schwingungen und Ween Graphiche arteung de Bewegungabaufe Nach.4.3 aen ich bei Kenntni von (t) auch Auagen über die Gechwindigkeit und die Becheunigung zu jede Zeitpunkt der Bewegung treffen. E git (t) co( ω t) (66) v(t) (t) & ω in( ω t) (67) a(t) & (t) ω co( ω t) (68) iee arteung nach Abb. trifft prinzipie auf jede Schwingung zu. (ie Hochache wurde hier nicht it einer Bechriftung verehen, da je nach Graph unterchiediche Einheiten / Skaierungen anzuwenden wären.) Eine oche Schwingung tet den Ideafa dar, wobei an davon augeht, da de Syte keine Energie durch Reibungverute o.ä. veroren geht. Ohne diee Verute hät die Schwingung beiebig ange an und die Apituden der einzenen Größen ind kontant. Sie wird dehab a ungedäpfte Schwingung bezeichnet. v(t) t Nu a(t) T t (t) Periode Abb. : Zeiticher Abauf der Bewegung.8 Energiebianz während der Schwingung Nach Kap..3. u die Sue von kineticher und potenzieer Energie zu jede Zeitpunkt kontant und geich der Geatenergie ein. Aen biher behandeten Schwingungen geeina it dabei da Voriegen eine inearen Kraftgeetze für die rückteende Kraft F r : Feder-Mae-Pende Fadenpende U-Rohr-Schwingung (t) F r g (t) F r (t) (t) F (t) π r ρ g (t) Ageein git dait für die potenziee Energie zu eine beiebigen Zeitpunkt ( kann entprechend ubtituiert werden) E pot (t) (t) (69) Für die kinetiche Energie git entprechend E & (7) kin (t) v(t) (t) urch Einetzen der entprechenden Funktion für (t) und & (t), Zuaenfaen und Aukaern erhät an oit E ge E pot (t) + E kin (t) ( ( ω ) + ( ω ) co t in ( ω ) + ( ω ) ( ω ) + ( ω ) E ge t r ( ) co t in t co t in t q.e.d.

16 Schwingungen und Ween Gedäpfte Schwingungen In der Reaität geht bei jeder Schwingung durch Reibungverute in jeder Periode ein betiter Prozentatz der Energie veroren, wei da Syte nun nicht ehr abgechoen it. Beträgt der Energieverut pro Periode p Prozent, o ergibt ich au der Anfangenergie E nach der. Periode die Geatenergie E zu E p E nach der. Periode erhät an E p E p E und entprechend ageein nach n Perioden E n n p E Grundätzich führt da dazu, da die Apitude der Schwingung exponentie abnit. ie Schwingunggeichung u nun ao korrigiert werden zu k t (t) e co( ω t) (7) k t wobei der Koeffizient e die Abnahe der Apitude betit. ie Kontante k wird a äpfungkontante bezeichnet. a der Energieverut von der Moentangechwindigkeit abhängt, ergibt ich a Anatz eine iffernziageichung der For (t) + R (t) & + & (t) (7) wobei R a Reibungkoeffizient bezeichnet wird. iee Geichung Abb. 3: Exponentiee Abnahe der Apitude bei einer gedäpften Schwingung kann nur noch über den exponentieen Anatz (verg..4.4.) geöt werden, wa hier jedoch zu weit führen würde. en zeitichen Verauf einer gedäpften Schwingung nach Gg. (7) zeigt Abb 3. ie beiden getricheten Einhüenden zeigen den exponentieen Abfa der Apitude. Eine oche Schwingung heitß gedäpfte Schwingung.. Erzwungene Schwingungen U trotz evt. Reibungverute eine kontinuieriche Schwingung aufrecht zu erhaten, u die pro Zeiteinheit verorene Energie de Syte wieder zugeführt werden. So, wie an eine auf einer Schauke itzenden Kind ier i richtigen Augenbick einen keinen Stoß gibt, u diee Energiezufuhr entweder zu eine geeigneten Zeitpunkt oder kontinuierich erfogen. Getatet an die Energiezufuhr durch einen Stoß a Ende jeder Periode, o it die o enttehende Schwingung nicht ehr haronich (verg. Abb 4), da ie keinen (co-) inu förigen Abb. 4: Periodiche, aber nicht haroniche Schwingung Verauf ehr hat. Sie it zwar nach wie vor periodich, aber nunehr nicht ehr haronich. bei punktueer Energiezufuhr a Ende jeder Periode ie Reibungverute ind proportiona zur Gechwindigkeit, dait git für den Energieverut E(t) k t E(t) ~ (t) & ω k e in( ω t) (73) er Energieverut it ao a größten, wenn die Schwingung einen Nudurchgang voführt, da dann auch die Gechwindigkeit a größten it, denn e git π in( ω t) co ω t (74),8,6,4, -, -,4 -,6 -,8 -

17 Schwingungen und Ween ait ao die Geatenergie der Schwingung zu jede Zeitpunkt kontant beibt, u die Anregung durch eine Schwingung erfogen, die der Geichung E E (t) in( ω t) (75) fogt (der Index E teht hier für Erreger), it ao gegenüber der tatächich abaufenden Schwingung u π / 9 phaenverchoben. Außerde u ie i Ideafa it der geichen Kreifrequenz ω erfogen. Weicht die Erregerfrequenz von der Kreifrequenz der Schwingung ab, erfogt die Energieübertragung nicht ehr optia, da heißt, die Apitude der erzwungenen Schwingung nit ab.geichzeitig verändert ich die Phaenbeziehung zwichen Erregerchwingung und erwzungener Schwingung. I weiteren wird it ω E die Erregerfrequenz und it ω die Frequenz der freien Schwingung bezeichnet, die da Syte ohne Frederregung auführen würde - diee Frequenz wird auch Eigenfrequenz de chwingungfähigen Syte genannt. Apitude It die Erregerfrequenz ω E keiner a ω, o nit der Phaenabtand von 9 (verg. Gg. (74)) bi auf ab (da Syte wird von de Erreger geführt ), it ie größer, o nit ie bi auf 8 zu, wobei die Apitude ier geringer wird. Je nach äpfung it die Reonanzüberhöhung unterchiedich groß: bei tarker äpfung veräuft die Kurve facher (Abb. 5, Kurve ), bei geringerer 3 äpfung it der Reonanzpeak teier (Abb. 5, Kurve ). It die von außen zugeführte Energie größer a der Energieverut durch die, w E / w äpfung, kot e zur ogenannten Reonanzkatatrophe: die Apitude Abb. 5: Reonanzkurven bei verchieden der Schwingung wird ier größer und zertört etztendich da chwingungfähige Syte (Abb. 5, Kurve tarker äpfung 3).. Eektricher Schwingkrei Abchießend o ein nicht-echaniche Beipie eine chwingungfähigen Syte vorgetet werden. ie biher verwendete Vorgehenweie it hier aber genauo anwendbar. azu benötigt an zwei Energiepeicher, die die Schwingungenergie jewei von einer For in die andere überführen können. Man verwendet hierbei einen Kondenator it der Kapazität C, der die Energie in eine S eektrichen Fed peichert, owie eine Spue it der Induktivität L, die ie i agnetichen Fed peichert. Kondenator und Spue werden parae gechatet. Ein definierter Anfangzutand wird hergetet, inde U C L an durch Schießen de Schater S den Kondenator it einer Spannung- quee Spannungquee verbindet und o it der Spannung U aufädt. ie Schwingkrei Oziokop Schwingung beginnt zu Zeitpunkt t nach Öffnen de Schater (verg. Abb. 6). ie Schwingung kann z.b. it eine Oziokop beobachtet Abb. 6: LC-Schwingkrei, betehend au Kondenator C und Induktivität L werden, der aber für die Vorgänge i Schwingkrei ignoriert werden kann. Nach Öffnen de Schater biden Spue und Kondenator eine Paraechatung, für die git, da die Spannung an aen Koponenten der Schatung zu jede Zeitpunkt t geich groß it.ait ergibt ich die Geichung U C (t) U L(t) (76) Für die Spannung an eine Kondenator git U C (t) Q(t) (77) C und für die Spannung an der Spue git nach de Induktiongeetz (t) U L L I(t) & (78)

18 Schwingungen und Ween ait erhät an durch Einetzen in Gg. (76) die Geichung Q(t) L I(t) & (79) C er eektriche Stro it definiert a tranportierte Ladung pro Zeiteinheit, ao git I (t) Q(t) & (8a) dait ergibt ich I &(t) Q(t) & (8b) Setzt an die in Gg. (79) ein und utipiziert beide Seiten der Geichung it C, o erhät an die iffernziageichung Q (t) Löunganatz: L C Q(t) & (8) Q (t) k co(k t) (8) Q& (t) k k in( k t) Q(t) & k k co(k t) k Q(t) (83) Einetzen von (83) in (8) ergibt Q(t) L C k Auföen nach k ergibt Q(t) k ω L C (84) Randbedingung: Zu Zeitpunkt t it der Kondenator auf die Spannung U aufgeaden, zu diee Zeitpunkt enthät er ao die Ladung Q U C Eingeetzt in Gg. (8) ergibt it t Q Q(t ) k co(k ) k ait autet die votändige Geichung für Q(t) Q(t) Q co( ω t) it ω (85) L C Mit konkreten Werte erhät an für U 5 V, C, µf und L H Kreifrequenz: ω 6 36 L C,H F Frequenz: ω 36 f π π 53Hz Periodendauer: T,987 f 53Hz Geatenergie: 6 Ege C U F (5V),5µJ er Höchtwert de Stroe ergibt ich nach Gg. (8a) au der. Abeitung von Q(t) (it in(w t) ) zu 6 Î Q U C ω 5V F 36 5,8A L C

19 Schwingungen und Ween Ween In Kapite wurden chwingungfähige Sytee behandet, die (bi auf Reibung) in ich abgechoen ind. Sie betehen au genau eine Objekt, da eine Schwingung auführt, ei e eine Mae bei den echanichen oder eine Ladung Q bei den eektrichen Schwingungen. Ein oche chwingungfähige Syte wird a Oziator (dtch.: Schwinger ) bezeichnet. Ordnet an ehrere oche Oziatoren nebeneinander an und orgt dafür, da von eine Oziator zu nächten ene Energieübertragung tattfinden kann, pricht an von einer Oziatorkette.. Gekoppete Feder-Mae-Pende a echaniche Oziatorkette Hängt an eine hanteförige Mae an eine Faden auf, entteht ein og. Torionpende, da vergeichbar it it eine Feder-Mae-Pende, wobei die beiden yetrich angeordneten Maen an ihre Ar die Mae und die Torionwirkung de Faden die Federkontante repräentieren. Wird der Ar eina au einer Ruheage augeenkt, führt er u eine Ruheage rehchwingungen au (verg. Abb. 7). Ruheage Anfangauenkung Torionchwingung Abb. 7: rehchwingung eine Torionpende Ordnet an an dieen Faden ehrere ocher Pende untereinander an und pannt den Faden oben und unten ein, o erhät an ein Syte von gekoppeten Penden. Wird nun da oberte Pende augeenkt, entteht durch den Faden eine Kraft, it der da darunter angeordnete Pende ebenfa augeenkt wird. abei orgt die Trägheit einer Mae für eine zeitich verzögerte Bewegung. a ich dadurch nun auch da zweite Pende bewegt, erfogt durch den Faden nun auch eine Kraft auf da dritte Pende uw. Je tärker der Faden gepannt wird, deto größer it die Kraftübertragung zwichen jewei zwei benachbarten Penden. a durch den Faden Energie übertragen wird, nit die Schwingungenergie de erten Pende genau in de Maße ab wie die de zweiten zunit. Nach einer gewien Zeit it eine geate Energie auf da zweite Pende übetragen worden und da erte Pende it in eine Ruheage zurückgekehrt. Geichzeitig hat da zweite Pende bereit einen Tei einer aufgenoenen Energie bereit an da dritte Pende weitergeeitet uw. ie a oberen Pendear zurgeführte Energie wird a an die darunter angeordneten Pende übetragen und geangt etztendich bi zu unterten Pende der Anordnung, während da obere wieder zur Ruhe gekoen it. ieer Proze tet ao einen Energietranport dar. Betrachtet an nur die Auenkung der einzenen Pende in Abhängigkeit von der Zeit, o ergibt ich da iagra nach Abb. 9.Man ieht, da die urpüngiche For der a erten Pende augeführten Bewegung nacheinander ae anderen Pende durchäuft. iee Aubreitung einer Bewegung durch eine Oziatorkette bezeichnet an a Wee. Abb. 8. Syte gekoppeter Pende in Ruheage (ink) und nach einaiger Energiezufuhr (recht) P P P3 P4 P5 P6 Abb. 9: Aubreitung einer Störung auf einer Oziatorkette t

20 Schwingungen und Ween - -. Aubreitunggechwindigkeit einer Wee Betrachtet an in Abb. 9 nur die erten beiden Oziatoren, o erkennt an, da der Verauf der Schwingung de zweiten Oziator de de erten geicht, aber zeitich veretzt it. Git für den zeitichen Verauf der Schwingung de erten Oziator die (nicht zwingend periodiche) Schwingungeichung A (t) A(t) (86) o autet wegen der zeitichen Verzögerung u t die Schwingunggeichung für den. Oziator (t) A A(t t) (87) er zweite Oziator befindet ich an eine anderen Ort a der erte, der Abtand zwichen den Oziatoren ei. ann git für die Aubreitunggechwindigkeit v c der Wee v c (88) t It die Aubreitunggechwindigkeit bekannt, kann an Gg. (88) in (87) einetzen und erhät A (t) A t (89) v c Betrachtet an nun einen biebigen Oziator in der Entfernung vo erten, ergibt ich au (89) die Geichung A (t) A t (9) v c iee enthät nun zwei Variaben: t gibt an, zu weche Zeitpunkt die Wee betrachtet wird und den Ort, an de die Apitude der Wee angegeben wird. ait erhät an die ageeine Weengeichung A(, t) A t v c (9). Beipiee für Oziatorketten Grundätzich kann jede Art von chwingungfähigen Gebiden (Oziatoren) zu einer Oziatorkette verbunden werden. Zuätzich zu den Oziatoren benötigt an dazu eine Koppeung der einzenen Oziatoren, oda eine Energieübertragung von eine Oziator zu nächten erfogen kann. Je ehr Energie dabei pro Zeiteinheit übertragen wird, deto enger it die Koppeung und uo größer it dait die Gechwindigkeit de Energietranport und dait die Aubreitunggechwindigkeit v c der Wee... Ween auf einer Waeroberfäche Jede Waeroekü tet einen Oziator dar, da durch Bindungkräfte it den benachbarten Waeroeküen gekoppet it. Wird ao ein Moekü in Schwingung veretzt, überträgt e eine Schwingungenergie an die benachbarten Moeküe und veretzt diee ihrereit in Schwingungen. Auf der Oberfäche breitet ich eine Wee au (Metzer S. 7)... Schaween in Luft In eine Ga befinden ich ebenfa Moeküe, die aber nicht fet an ihre Nachbaroeküen gekoppet ind. afür beitzen ie auf Grund der Gateperatur eine ittere kinetiche Energie, it der ie ich i Rau bewegen. Stoßen ie dabei an andere Moeküe, o übertragen ie dabei einen Tei ihrer kinetichen Energie und ändern ihre Bewegungrichtung. Je größer der ruck in eine Ga it, deto geringer ind die Abtände zwichen den Moeküen und die Häufigkeit von Stößen nit zu. Wird nun an einer Stee de Ga Energie zugeführt, werden dabei die Moeküe ae in einer Richtung becheunigt. abei enteht ein erhöhter gerichteter ruck, der die Moeküe veranat, häufiger Stöße it anderen Moeküen auzuführen, dabei nehen ie die Energie auf, wa ebenfa zu einer ruckerhöhung führt, während der ruck bei den toßenden Moeküen abnit. E entteht eine ruckwee, die ich i Ga aubreitet.

21 Schwingungen und Ween Schaween in Fetkörpern Auch hier handet e ich u die Aubreitung einer ruckwee wie bei Gaen, aerding it die Koppeung der einzenen Atoe i Fetkörper ehr vie enger, oit it die Aubreitunggechwindigkeit deutich höher a in Gaen..3 Weenaubreitung bei periodicher Anregung Statt de erten Oziator einer Oziatorkette nicht nur einaig Energie zuzuführen, kann an ihn auch durch eine entprechende Anregung ( erwzungene Schwingung) haronich chwingen aen. er zeitich verzögerte Energietranport bewirkt nun die Aubreitung einer Wee über die Oziatorkette, die ebenfa einen haronichen Verauf hat und dait ein periodiche Verhaten aufweit. er erte Oziator bewege ich nach der Schwingunggeichung A (t) A co( ω t) (9) wobei A die Maxiaauenkung (Apitude) und ω die Kreifrequenz der Schwingung ei. er nächte Oziator fogt dieer Schwingung zeitich veretzt, dait git für ihn die Schwingunggeichung A ( ω (t t) ) (t) A co (93) er Abtand zwichen de erten und de zweiten Oziator ei. ann git nach Gg. (89) ω A (t) A co t (94) vc.3. Weenänge Eine periodiche Schwingung it charakteriiert durch ihre Periodendauer T. Wenn ich eine Wee it der Gechwindigkeit v c aubreitet, die durch eine periodiche Schwingung erzeugt wurde, weit auch die Wee ebt eine Periodizität auf, inde ie in betiten Abtänden wieder die geiche Apitude aufweit. Nach v t erhät an eine charakteritiche Größe, die a Weenänge λ bezeichnet wird, e git λ v c T (95).3. Weengeichung in Abhängigkeit von der Zeit Betrachtet an nun eine Oziatorkette it ehr vieen Oziatoren, ergibt ich für die Schwingung eine beiebigen Oziator a Ort die Schwingunggeichung ω A (t) A co t (96) vc Auföen der Kaer ergibt ω ω A (t) A co t (97) vc wobei der zweite Suand eine Kontante it, die auchießich von ω, und v c abhängt und zu einer Phaenverchiebung ϕ führt: ϕ ω (98) vc ait erhät die Gg. (97) die For ( ω ϕ ) A (t) A co t (99) ie Schwingung eine räuich entfernten Oziator fogt ao de Verauf der urpüngichen Schwingung de Erreger, it aber u einen kontanten Phaenwinke verchoben.

22 Schwingungen und Ween Weengeichung in Abhängigkeit vo Ort Betrachtet an den Zutand aer Oziatoren der Oziatorkette zu eine betiten Zeitpunkt t, o ergibt ich anaog nach Gg. (95) die fogende Geichung, wobei ϕ t den Phaenwinke der Erregerchwingung zu Zeitpunkt t angibt: ω ω A t () A + ω + ϕ co t A co t () vc vc.3.4 Ageeine Weengeichung Werden owoh a auch t a Variabe aufgefat, o erhät an ω A(, t) A co ω t v () c Mit ω π f und f erhät an darau zunächt T ω A(, t) A co π t T v () c Ebeno kann an den zweiten Ter entprechend eretzen und erhät it ω π π v v T λ c c nach Aukaern de geeinaen Faktor π die ageeine Weengeichung t A(, t) A co π T λ (3) die e eraubt, die Aubreitung einer Wee owoh in Abhängigekit von der Zeit a auch de Ort votändig zu bechreiben, ofern die Weenänge der ich aubreitenden Wee und die Periodendauer der erzeugenden Schwingung bekannt ind..4 Aubreitung von Ween Je nach Kontruktion der Oziatorkette untercheidet an drei verchiedene Foren der Weenaubreitung: - Lineare Ween (z.b. ruckwee äng eine Stabe) - Ebene Ween (z. B. auf einer Waeroberfäche) - Räuiche Ween (z.b. in eine Ga) ie Vorgänge bei räuichen Ween aen ich auf die Vorgänge bei ebenen Ween zurückführen, dehab o da Beipie der ebenen Ween hier näher eräutert werden..4. Punktförige Anregung Wird einer Waeroberfäche an eine Punkt Energie zugeführt (z.b. durch Eintauchen eine Körper), breitet ich die Energie in aen Richtungen auf der Oberfäche it geicher Gechwindigkeit au. E erfogt eine kreiförige Aubreitung, t t t 3 wie ie in Abb. für drei verchiedene Zeitpunkte t, t und t 3 dargetet it. Findet die Anregung de erten Oziator durch eine periodiche Schwingung Abb. : Auubreitung einer ebenen Wee auf einer Oberfäche tatt, o entteht ein Syte von konzentrichen Kreien, wie in Abb. für einen betiten Zeitpunkt t 5 5 T (T Periodendauer) gezeigt it, wobei die Linien jewei einen Weenberg arkieren. Je änger die Anregung andauert, deto größer wird da Weenyte und die Anzah der einzenen Kreiween. Abb. : Weenyte

23 Schwingungen und Ween Überagerung von Ween Wird die Oberfäche an zwei verchiedenen Steen angeregt, enttehend fogich zwei Ween. a die Aubreitung der Energie gerichtet erfogt, können ich die beiden Ween durchdringen und überagern, ohne da dabei eine gegeneitige Beeinfuung tattfindet (Superpoitionprinzip), wie in Abb. für eine einaige Anregung zweier Punkte gezeigt. Anaog erhät an für eine periodiche Anregung an zwei Punkten der Oberfäche zwei Weenytee, die ich aber ebeno ungehindert durchdringen können, wie in Abb. 3 gezeigt. Betrachtet an einen beiebigen Punkt der Oberfäche, o wird der dort befindiche Oziator nun von zwei Ween zu Schwingungen angeregt. Für die Apitude a Punkt P git fogich A P + (t) A (t, ) A (t, ) (4) wobei und die Abtände de Punkte zu den beiden Erregerzentren ind. Beide Erregerzentren oen zur Vereinfachung der arteung it der geichen Frequenz und phaengeich angeregt werden. urch Einetzen der entprechenden Weengeichungen (verg Gg. (97)) erhät an oit ω ω + ω ω A P(t) A co t A co t vc vc (5) abei ind nun fogende Sonderfäe zu betrachten:. ie beiden Ween ind phaengeich. ie beiden Ween haben entgegengeetzte Phae ie Phaenverchiebung wir durch die Teitere ω und ω vc vc die Geichung () zu betit. Stien ie überein, o vereinfacht ich ( ω t ϕ) + A co( ω t ϕ) A co( ω ϕ) A P (t) A co t (6) ie reutierende Apitude it ao doppet o groß wie die Apitude einer einzenen Wee, wa an a kontruktive Überagerung bezeichnet. Haben die beiden Ween dagegen eine entgegengeetzte Phae, o git co( ϕ) co( ϕ + π) darau ergibt ich für die Apitude a Punkt P ( ω t ϕ) + A co( ω t ϕ + π) A co( ω t ϕ) A co( ω t ϕ) A (t) A co P die reutierende Apitude wird ao Nu, wa an a detruktive Überagerung bezeichnet. Bei aen anderen Phaenwinken entteht oit eine Apitude zwichen dieen beiden Extrea..4.3 Huygen che Prinzip t t t 3 Abb. : Überagerung zweier Ween Abb. 3: Überagerung zweier Weenytee Erhöht an die Anzah der Erregerzentren und ordnet an diee auf einer Linie an, o entteht ein Weenyte it ebenfa inearen Weenfronten (iehe Abb. 4)., wobei ich zwichen den Weenfronten die einzenen Ween gegeneitig auöchen und nur an den Fronten eine kontruktive Überagerung tattfindet. Bendet an ao au einer ochen inearen Weenfront einen einzenen Punkt au, o entteht wieder ein kreiförige Eeentarwee. er hoändiche Phyiker Chritian Huygen foruierte diee Erkenntni it de Satz: Jeder Punkt einer Weenfront it Augangpunkt einer (kreiförigen) Eeentarwee. a ich die Wee anchießend nicht ehr nur in Richtung der urprüngichen Weenfront, ondern in ae Richtungen weiter aubreitet, pricht an hier von Beugung. Nicht nur Spate, Weenfront Weenfront Weenfront Spatbende kreiförige Eeentarween Abb. 4: Aubidung einer inearen Weenfront bei vieen inear angeordneten Erregerzentren und augebendete Eeentarween

24 Schwingungen und Ween ondern auch Kanten oder Hindernie führen zur Beugung. iee findet bei aen Weenforen tatt, eien e Ween auf einer Waeroberfäche oder ruckween in Gaen. a auch da Licht Beugungercheinungen zeigt, it die ein erte Indiz dafür, da auch da Licht ein ich a Wee aubreitende Phänoen it..5 Eektroagnetiche Ween Eine beondere Art der Weenaubreitung ind die eektroagnetichen Ween, die ier dann enttehen, wenn ich eine Ladung bewegt. In der Ugebung einer jeden Ladung exitiert ein eektriche Fed in For eine Radiafede, da ich i geaten Rau u die Ladung ertreckt. Legt an eine Ebene durch die Ladung, o gibt e einen Fedvektor, der in Richtung einer der Koordinatenachen der Ebene iegt (in Abb. 5 hervorgehoben dargetet). Abb. 5: Eektriche Fed einer Ladung i Rau, hervorgehoben it der Fedvektor in einer Richtung der Ebene q E.5. Feder einer bewegten Ladung Wird die Ladung bewegt, o entteht durch den Stro I zuätzich zu eektrichen ein agnetiche Fed, deen Fedinien konzentriche Kreie in der Ebene enkrecht zur Bewegungrichtung biden (Abb. 6). Betrachtet an die drei hier auftretenden Vektoren, o biden diee da chon bekannte Orthogonayte, d.h.: die Vektoren für I, E und B tehen jewei enkrecht zueinander. Entfernt an ich hinreichend weit vo Ort der Ladung, wird ich die Richtung de eektrichen Fede bei einer Bewegung der Ladung nicht nennenwert verändern, oda anhand de eektrichen Fede aein keine Fetteung getroffen werden kann, ob ich die Ladung bewegt hat. a aber bei Bewegung der Ladung (und nur dann) zuätzich ein agnetiche Fed auftritt, ät ich au der Kobination beider Feder eine Inforation darüber darüber treffen, da ich eine Ladung bewegt haben u. Abb. 6: Eektriche und agnetiche Fed einer bewegten Ladung (eektriche Fed nur innerhab der Ebene und in einer Richtung gezeichnet) q q I E B.5. Fed einer chwingenden Ladung Veretzt an die Ladung in eine haroniche Schwingung, o entteht ein ich tändig verändernde agnetiche Fed. Eine Mögichkeit zur Erzeugung einer ochen Schwingung it da Anegen einer inuförigen Wechepannung an einen getreckten Leiter (ipo) wie in nebentehender Skizze. ie Wechepannungquee z.b. ädt den oberen Tei de ipo negativ und den unteren Tei poitiv auf (inke Häfte von Abb. 7). Nach einer haben Periode der Schwingung it die Poarität der Ladung auf den Teien de ipo vertaucht. Au größerer Entfernugn entpricht dieer Vorgang der Bewegung zweier Ladungen Q+ und Q-, wobei der Betrag beider Ladungen zwichen Nu und Q ax wechet (rechte Häfte von Abb. 7). Fat an die beiden Teie de ipo a einen Kondenator auf, o git für die Fedtärke zwichen den Patten de Kondenator in Abhängigkeit von der Spannung U(t) der Wechepannungquee U(t) C E(t) Q(t) (7) d d a darau reutierende Fed in hinreichend großer Entfernung ergibt ich au der Überagerung der beiden Feder von Q+ ~ - + Abb. 7: Erzeugen einer haronichen Schwingung in eine Leiter + -

25 Schwingungen und Ween und Q- und nit den in Abb. 8 (oben) gezeigten Verauf. Wenn die eektriche Fedtärke ein Maxiu erreicht hat, ind die Ladungen in Ruhe, bei eine Nudurchgang der Fedtärke haben die Ladungen die größte Gechwindigkeit, denn e git I (t) Q(t) & (8) E(t) B(t) t d.h. bei einer haronichen Anregung weit der Stro dann ein Maxiu auf und oit auch die agnetiche Fedtärke, die oit den in Abb. 8 (unten) gezeigten Verauf zeigt. ie Moentanapituden de eektrichen und de agnetichen Fede ind ao gegeneinander u 9 phaenverchoben, außerde tehen die Fedvektoren enkrecht aufeinander. Betrachtet an nun in eine beiebigen weit ernfernten Raupunkt die beiden Feder in ihrer räuichen Anordnung in Abhängigkeit von der Zeit, o ergibt ich eine arteung wie in Abb. 9 wiedergegeben. a eektriche und agnetiche Fed bei ihrer Aubreitung a Wee untrennbar iteinander verbunden ind, pricht an von einer eektroagnetichen Wee. Abb. 8: Verauf de eektrichen (oben) und de agnetichen Fede bei haronicher Anregung E(t) B(t) Abb. 9: Räuiche und zeitiche arteung de eektroagnetichen Fede t t.5.3 Licht a eektroagnetiche Wee Ohne näher auf die tiefergehende Probeatik einzugehen, o an dieer Stee kurz auf die Enttehung von Licht eingegangen werden. Geäß einer tark vereinfachten Vorteung kreit ein Eektron auf einer betiten Bahn u den Atokern. Auf dieer Bahn beitzt e eine definierte Energie, da e ich i Couobfed de Kern bewegt und dehab auf einer Kreibahn eine betite Gechwindigkeit haben u. Wird e von dieer Bahn auf eine weiter entfernte Bahn gehoben, u de Eektron Energie zugeführt werden. Kehrt e von dieer Bahn auf die vorherige zurück, gibt e diee Energie in For von Licht wieder ab. a e ich dazu bewegen u, entteht ein eektroagneticher Ipu, der ich a eektroagnetiche Wee i Rau aubreitet. W W W () () Abb. 3: Anregung () und Eiion von Licht () bei eine Ato.6 Beugung und Interferenz Nach de Huygen chen Prinzip breiten ich hinter einer Spatöffnung, die von einer Weenfront getroffen wird, kreiförige Eeentarween au. Gibt e ehr a eine Spatöffnung, o enttehen ehrere Weenytee, die ich gegeneitig überagern. Betrachtet an die Apitude der Ween an eine beiebigen Punkt in hinreichend große Abtand von den Spatöffnungen, o kann für dieen Punkt aufgrund der bekannten Abtände zu den Spatöffnungen angegeben werden, in wecher Weie ich die einzenen Weenapituden überagern, inbeondere, ob eine detruktive oder eine kontruktive Überagerung tattfindet. ie Überagerung zweier oder ehrerer Weenytee an eine Punkt bezeichnet an a Interferenz, anaog pricht an von detruktiver und kontruktiver Interferenz. Grundätzich geten die weiteren Überegungen für ae Foren von Ween, i Fogenden wird zur Vereinfachung der Sprechweie jedoch von Lichtween augegangen..6. Beugung und Interferenz a oppepat a a einfachten zu behandende Beugungyte it ein oppepat (verg. Abb. 3). ie charakteritiche Größe eine oppepate it der Spatabtand d, der übicherweie von Spatitte zu Spatitte geeen wird. ie Breite der Spate it zunächt ohne Beang. a Licht der an den Spatöffnungen enttehenden Weenytee fae auf einen Schir. Je nach Phaenage der auf den einzenen Punkten de Schir eintreffenden Ween enttehen dort Orte, d Abb. 3: oppepat