6 Mechanische Schwingungen und Wellen

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1 6 Mechaniche Schwingungen und Wellen 6.1 Schwingungen Enttehung von Schwingungen und ihre Eigenchaften VERSUCH 1 Ein Gewichttück it an einer Schraubenfeder aufgehängt. Zieht an e au der Ruhelage eine Strecke nach unten und gibt e dort frei, o führt e eine vertikale Schwingung au. VERSUCH Einen ähnlichen Vorgang beobachtet an an einer Stahlkugel, die an eine Faden al Pendel aufgehängt it. Bewegt an ie au der Ruhelage nach der Seite und lät ie lo, o führt ie eine eitliche Pendelchwingung au. Bei beiden Experienten klingt die Schwingung it der Zeit ab. Diee Däpfung wird zunächt vernachläigt. F r1 F r0 =0 F r Abb. 1 F F1 FG F F0 F G F F F G 1 Ruhelage Rücktreibende Kraft bei einer Feder- und Pendelbewegung % Auwertung Beide Veruche laen eine Vorauetzung erkennen, die für da Enttehen einer Schwingung erfüllt ein u. Bei erten Veruch (Abb. 1) it in der Ruhelage die Feder o weit gedehnt, da die nach oben ziehende Federkraft F F und die Gewichtkraft F G i Gleichgewicht tehen F F0 F G = 0. Bei Dehnen der Feder wächt die Federkraft und e entteht F r F G F die reultierende Kraft F r =F F F G nach oben. Oberhalb der Ruhelage it dagegen die Federkraft kleiner al in der Ruhelage und wir haben eine nach unten gerichtete, negative Reultierende F r1 =F F1 F G < 0. Da Gewichttück teht alo in beiden Fällen unter de Einflu einer zur Ruhelage hin gerichteten rücktreibenden Kraft F r. Auch bei der Stahlkugel zeigt eine Kräftezerlegung der Gewichtkraft, da die Koponente F it der Spannkraft de Faden i Gleichgewicht teht und die Koponente F r ier zur Ruhelage hin gerichtet it. Auch die Stahlkugel teht alo unter de Einflu einer rücktreibenden Kraft. Die rücktreibende Kraft bechleunigt den Körper zur Ruhelage, oda er dort eine größte Gechwindigkeit erreicht. Infolge einer rägheit kann er dort nicht zu Stilltand koen und bewegt ich über die Ruhelage hinau. Weil er ich dann entgegen der rücktreibenden Kraft bewegt, nit eine Gechwindigkeit ab, bi er eine Bewegungrichtung ukehrt und ich wieder in Richtung Ruhelage bewegt. Diee Vorgänge wiederholen ich periodich und e entteht eine Schwingung. Jeder träge Körper, der unter Einflu einer rücktreibenden Kraft teht, kann zu Schwingungen angeregt werden. Der Bewegungablauf it davon abhängig, nach welcher Geetzäßigkeit ich die rücktreibende Kraft it der Entfernung von der Ruhelage ändert. Befolgt ie, wie z. B. bei einer Feder, da Hooke che Geetz (Abchnitt ), o it die Kraft F r proportional zur Elongation oder Aulenkung. Da die rücktreibende Kraft F r der Aulenkung tet entgegengeetzt gerichtet it, gilt da Kraftgeetz: F r = D Die hier eingeführte Größe D entpricht bei einer Feder der chon in Abchnitt eingeführten Richtgröße; bei Schwingungen wird diee Bezeichnung allgeein für den Quotienten D = F r / verwendet. Eine bei diee Kraftgeetz enttehende Schwingung nennt an eine haroniche Schwingung. 185

2 6.1.1 Enttehung von Schwingungen und ihre Eigenchaften Die Dauer einer vollen Auf- und Abwärtbewegung bzw. einer volltändigen Hin- und Herbewegung it die Schwingung- oder Periodendauer. Sie ändert ich it der Mae de chwingenden Gewichttücke und bei erten Veruch auch it der Richtgröße der Feder. Die folgenden Veruche unteruchen dieen Zuaenhang etwa genauer. VERSUCH 3 An eine Feder it der Richtgröße D = 0,08 N/c = 8 N/ werden nacheinander verchiedene Gewichttücke it der Mae angehängt. Zur Erhöhung der Genauigkeit een wir it einer Stoppuhr die Zeitdauer von zehn Schwingungen und berechnen darau die Schwingungdauer. % Auwertung Au der nachtehenden Wertetabelle erkennt an da Anwachen der Schwingungdauer bei zunehender Mae. Da ich jedoch ert verdoppelt, wenn eine vierfache Mae angehängt wird, bilden wir nicht den Quotienten /, ondern / ;ll und tragen den erhaltenen Zahlenwert in die fünfte Spalte ein. (Sechte Spalte iehe unten unter Zuaenfaung.) VERSUCH Bei der gleichen Veruchanordnung laen wir jetzt da angehängte Gewichttück it der Mae = 0, kg unverändert und benützen Federn it unterchiedlichen Richtgrößen D. Auch bei den hier enttehenden Schwingungen een wir die Periodendauer. % Anwendung Bei diee Veruch nit die Schwingungdauer it zunehender Richtgröße ab und zwar halbiert ich die Schwingungdauer bei einer vieral größeren Richtgröße. Dehalb tragen wir in die fünfte Spalte ;ll D ein. (Sechte Spalte iehe unter Zuaenfaung.) Wertetabelle Wertetabelle D 10 / ;ll ; llll D ; llll D 10 / ;ll D ; llll D 0,1 kg 8 N/ 7,1 0,71,5 6,35 0, kg 8 N/ 9,9 0,99,1 6,6 0, kg 8 N/ 1,1 1,1,3 6,31 Die Schwingungdauer it proportional zu ;ll, alo d ;ll 0, kg N/ 1, 1,,8 6,35 0, kg 8 N/ 9,9 0,99,80 6,6 0, kg 16 N/ 7,1 0,71,8 6,35 Die Schwingungdauer it ugekehrt proportional zu ;ll D, alo d 1/ ;ll D VERSUCHE 3 UND % Zuaenfaung Die beiden Ergebnie d ;ll und d 1/ ;ll D laen ich zuaenfaen: d ; llll D Zur Prüfung tragen wir bei beiden Veruchen in einer echten Spalte den Wert de Audruck / = D ein. D ; llll ; llll ; llll I ; lllllll ; lllllllll Dieer Audruck hat die Einheit: D = N/ = kg =1; ;llll D it alo eine reine Zahl. kg kg D Der Audruck ; llll hat bei allen eilveruchen nahezu den Wert 6,3. E ergibt ich denach: ; llll D llll 6,3 6,3 ; D 186

3 Enttehung von Schwingungen und ihre Eigenchaften Den genauen Wert de bei der Wurzel tehenden Faktor findet an theoretich au de Vergleich einer Schwingung it einer gleichförigen Kreibewegung: VERSUCH 5 Man erhält dann: F = r w /r = w. Sowohl F r wie auch F ind alo proportional zur Entfernung von der Ruhelage, wobei der Richtgröße D da kontante Produkt w entpricht: D = w oder w = ;lll D Schattenbild rotierende Scheibe it Stift und Motorantrieb Projektionlape einige Meter Bildchir Da bei der Gültigkeit de gleichen Kraftgeetze auch die gleiche Bewegung enttehen u, ergibt ich hierau, da eine haroniche Schwingung al Projektion einer gleichförigen Kreibewegung betrachtet werden kann. v 0 f v Abb. Schwingung und Kreibewegung F p F Ein Experientierotor trägt eine Scheibe, an der ein Stift befetigt it (Abb. ). Daneben it eine Mae an einer Schraubenfeder aufgehängt. Man reguliert nun die Drehfrequenz de Motor o, da die Ulaufzeit genau der Periodendauer der Mae entpricht, und regt diee o zu Schwingungen an, da bei der Projektion auf den Bildchir der ulaufende Stift und die chwingende Mae ich u die gleiche Strecke auf und ab bewegen. Dann tien die beiden Bewegungen nicht nur in der Periode und ihrer größten Aulenkung überein, ondern ie bewegen ich während de ganzen Ablauf auf de Bildchir exakt nebeneinander. Eine haroniche Schwingung kann an al Projektion einer gleichförigen Kreibewegung auffaen. Diee Ergebni folgt auch au de Vergleich der Kraftgeetze von Schwingung und Drehbewegung. Für die chwingende Mae gilt da Hooke che Geetz F r = D. Die gleichförige Kreibewegung it eine Folge der kontanten Zentripetalkraft F p = r w (Abchnitt 1.9.3). Für die Projektion der Kreibewegung auf die -Ache der Abb. 3 benötigt an auch nur die -Koponente der Zentripetalkraft. Man erhält ie durch Multiplikation it de in f =/r. Da die Kraftkoponente und tet entgegengerichtet ind, it ein negative Vorzeichen zu berückichtigen. Abb. 3 f= w t Projektionrichtung =r ˆ Schwingung al Projektion einer gleichförigen Kreibewegung Die Projektion der Kreibewegung erhält an nach Abb. 3, inde an den Radiu r it de Sinu de it der Winkelgechwindigkeit w wachenden Winkel f = w t ultipliziert: =r in f =r in (w t). Diee Gleichung gilt auch für eine Schwingung, bei der zu Zeitpunkt t = 0 die Aulenkung =0 it. Bei Federpendel wird eine olche Schwingung dadurch angeregt, da an der Mae in der Ruhelage einen Stoß nach oben veretzt. Der Kreiradiu r tellt für die Schwingung den größten Wert der Aulenkung dar, den an al Aplitude oder Schwingungweite ŝ (lie - Dach) bezeichnet. Der Winkel f = w t wächt bei der Kreibewegung gleichäßig it der Zeit; er wird Phaenwinkel genannt. Dait erhält an die Gleichung für die Aulenkung der Schwingung it den Anfangbedingungen = 0 und v >0: Weg-Zeit-Geetz einer haronichen Schwingung =ŝ in (w t) Die Ulaufgechwindigkeit bei der Kreibewegung hat den kontanten Wert v =r w (Abchnitt 1.9.3). Da ie tangential gerichtet it, erhält an ihre Projektion auf die x-ache durch Multiplika- 187

4 6.1.1 Enttehung von Schwingungen und ihre Eigenchaften tion it co f = co (w t); eretzt an auch noch r durch, o erhält an: Gechwindigkeit-Zeit-Geetz einer haronichen Schwingung v =ŝ w co (w t)=vˆ co (w t) 188 Elongation ŝ x Gechwindigkeit v ŝw Abb. = inwt ˆ 3 v=w cowt ˆ 3 Ablauf einer haronichen Schwingung Zeit t Zeit t Abb. zeigt die Zeitabhängigkeit der Elongation und der Gechwindigkeit in graficher Dartellung. Man erkennt den periodichen Wechel der beiden Größen nach einer Sinu- bzw. Coinufunktion und die atache, da die Gechwindigkeit bei Durchgang durch die Ruhelage a größten it. Die Dauer einer vollen Hin- und Herbewegung it die Schwingung- oder Periodendauer. Sie entpricht der Zeit für einen Ulauf bei der Kreibewegung. Ihr reziproker Wert it die Frequenz f. f = 1 [ f ]= 1 =Hz Für die SI-Einheit der Frequenz [ f ]= 1 wird bei Schwingungen eit die Bezeichnung Hertz (Hz) verwendet: 1 Hz = 1 1. Der Zahlenwert von f gibt an, wie oft in 1 enthalten it. f it alo die Anzahl der Schwingungen in 1 und entpricht der Drehfrequenz n bei der Kreibewegung (Abchnitt 1..3). Weil bei der Kreibewegung der Ufang r p it der Gechwindigkeit r w in der Zeit zurückgelegt wird, erhält an noch folgende Beziehungen: = r p = p f = 1 = r w w w p Setzt an w =p / in die in Veruch 5 abgeleitete Beziehung D = w ein, o erhält an: Schwingungdauer einer haronichen Schwingung =p ; llll D Die Schwingungdauer einer haronichen Schwingung it alo proportional zur Wurzel au der Mae und ugekehrt proportional zur Wurzel au der Richtgröße; ie it dagegen unabhängig von der Aplitude der Schwingungen. Während der Schwingung wandelt ich it de periodichen Wechel de Orte und der Gechwindigkeit auch kinetiche Energie in potentielle u und ugekehrt. Bei Durchgang durch die Ruhelage hat die potentielle Energie ihren geringten und die kinetiche ihren größten Wert. Mit teigender Elongation u die rücktreibende Kraft überwunden werden; folglich nit die potentielle Energie zu. An den Ukehrpunkten hat ie ihr Maxiu, die kinetiche Energie it Null. Mit der in Abchnitt 1.7. angegebenen Forel W pot = 1 / D owie =ŝ in (w t) und v =vˆ co (w t) gilt allgeein: W pot = 1 D = 1 D ŝ in (w t) W kin = 1 v = 1 ŝ w co (w t)= = 1 vˆ co (w t) Für die Sue beider Energiearten erhält an unter Berückichtigung von D = w : W pot +W kin = 1 D ŝ in (w t)+ + 1 ŝ w co (w t) = = 1 D ŝ [in (w t) + co (w t)] = = 1 D ŝ = 1 vˆ Die Sue beider Energiearten it alo während der ganzen Schwingung kontant; e tritt nur eine gegeneitige Uwandlung auf. Diee Ergebni betätigt auch hier die Gültigkeit de Satze von der Erhaltung der Energie. Eine echaniche Schwingung tellt einen periodichen Wechel zwichen potentieller und kineticher Energie dar.

5 Enttehung von Schwingungen und ihre Eigenchaften Pendel 6.1. Die gefundenen Foreln gelten für alle Schwingungen von elatichen Körpern, wenn die chwingende Mae und D die Richtgröße, nälich der kontante Quotient D = F r / au der rücktreibenden Kraft und der Elongation it. E Nennen Sie die Vorauetzungen und Eigenchaften einer haronichen Schwingung. R Waru können alle elatichen Körper haroniche Schwingungen auführen? BEISPIEL Eine Schraubenfeder verlängert ich bei Anhängen der Mae 3,6 kg u 1. Die Mae befindet ich zunächt in der Ruhelage =0 und wird durch einen Stoß nach oben zu Längchwingungen angeregt. Welche Periodendauer hat die Schwingung, zu der die Mae angeregt werden kann? Welche Elongation und welche Gechwindigkeit beitzt ie 0,1 nach de Durchgang durch die Ruhelage, wenn ihre Schwingung eine Aplitude ŝ = 0 c beitzt? Die Richtgröße D it die Federkontante: D = F = 3,6 kg 9,81 / = 35,3 kg 1 ; llll ; lllllllllllllllll =p 3,6 kg =p = D 35,3 kg/ 6.1. Pendel Die einfachte For eine Pendel it eine Stahlkugel an eine dünnen Faden. Sie it nahezu die Verwirklichung eine atheatichen Pendel au eine chweren Maepunkt an eine aeloen Faden. Die Abhängigkeit der Schwingungdauer von der Mae, der Aplitude und der Länge de Pendel erkennt an au Veruchen. VERSUCH 1 w = p = 3,1 1 Phaenwinkel nach 0,1 : f = w t=3,1 1 0,1=0,31= = 0, =18 p =ŝ in (w t) = 0 c in 18 = 1,36 c v =ŝ w co (w t)= = 0 c 3,1 1 co 18 = 119,5 c/ AUFGABEN Q Die Mae = kg, die ich zwichen einer Druckfeder (D 1 = 0,6 N /c) und einer Zugfeder (D = 0,18 N/c) befindet, wird in Schwingungen veretzt. Berechnen Sie die Periodendauer. W Welche Richtgröße hat eine Feder, wenn eine an ihr aufgehängte Mae = 1,6 kg eine Schwingung it der Schwingungdauer 0,8 auführt? Wie groß it die rücktreibende Kraft i Ukehrpunkt bei einer Aplitude von 5 c? Abb. 1 Schwingungdauer und Mae bei eine Fadenpendel Eine Stahl- und eine gleich große Aluiniukugel werden an gleich langen Fäden al Pendel aufgehängt (Abb. 1). Lät an beide Kugeln außerhalb der Ruhelage frei, o entteht eine Schwingung. Dabei zeigt ich aber kein Unterchied in der Schwingungdauer, obwohl beide Kugeln tark unterchiedliche Maen beitzen. Die Schwingungdauer eine atheatichen Pendel it unabhängig von einer Mae. 189

6 9..1 Radioaktivität 9. Kernphyik 9..1 Radioaktivität I Jahre 1896 fand der franzöiche Phyiker Becquerel, da von der Pechblende, eine uranhaltigen Mineral, ununterbrochen eine Strahlung augeht, ohne da Energie zugeführt werden u und ohne da ich an de Mineral eine Veränderung erkennen lät. Zwei Jahre päter entdeckte da Ehepaar Curie 1 da Eleent Radiu, da neben de Uran in der Pechblende enthalten it. E endet eine noch viel intenivere Strahlung au al da Uran und war wegen einer außerordentlich geringen Konzentration zunächt nicht beerkt worden. Auch bei einigen wenigen anderen in der Natur vorkoenden Eleenten tritt eine ähnliche Strahlung auf; ie erhielt den Naen Radioaktivität. U weitere Eigenchaften der radioaktiven Strahlung zu erkennen, it ein Elektrokop zu wenig epfindlich. Ein beere Nachweigerät für diee Strahlen it da Geiger-Müller-Zählrohr (Abb. ). Folie Zentralelektrode Mantelelektrode zu Zählgenerator + VERSUCH 1 Abb. Geiger-Müller-Zählrohr Abb. 1 Zu Veruch 1 (Abb. 1): Ein Elektrokop wird durch Anlegen einer Spannung geladen. Da Blättchen preizt ich weit vo Bügel ab und verbleibt in dieer Stellung, weil e ich in trockener Luft nicht entladen kann. Bringt an ein radioaktive Präparat in die Nähe, o fällt da Blättchen an kurzer Zeit herunter. 33 radioaktive Präparat Elektrokop Von eine radioaktiven Präparat gehen Strahlen au, welche die Luft leitend achen. Sie erzeugen in ihr bewegliche Ladungträger, alo Ionen und Elektronen. E beteht au eine Metallzylinder, der auf der einen Seite durch eine dünne, gadichte Folie abgechloen it, die von radioaktiven Strahlen durchdrungen werden kann. A anderen Ende befindet ich eine iolierende Platte, durch die eine zentrale Elektrode geführt it. Zwichen Elektrode und Zylinderantel wird eine Spannung zwichen 00 V und 1500 V gelegt. Der Innenrau it it eine Füllga it eine Druck von etwa 00 bar gefüllt. Erzeugt eindringende radioaktive Strahlung i Zylinder Ladungträger, o werden diee in de elektrichen Feld o tark bechleunigt, da ie bei Zuaentoß it eine Molekül de Füllgae neue Ladungträger erzeugen. Auch diee können bald weitere Ladungträger erzeugen, oda der Vorgang lawinenartig anteigt. Die Ladungträger achen da Füllga leitend, oda eine Entladung die Spannung zwichen den beiden Elektroden für kurze Zeit, eit weniger al 0,0001 zuaenbrechen lät. Die Entladung tellt einen Stro dar, der vertärkt und in einen Spannungipul ugeetzt wird. Ein elektronicher Zähler regitriert die Ipule und errechnet die Anzahl der Ipule pro Zeit, die Pulrate. Mit eine Geiger-Müller-Zählrohr kann an daher alle radioaktiven Strahlen zählen, die in ih indeten ein Paar von Ladungträgern erzeugt haben. 1 Pierre und Marie Curie entdeckten in Pari die Eleente Radiu und Poloniu. Marie Curie, 1867 bi 193, geb. in Warchau.

7 Radioaktivität 9..1 Mit eine olchen Zählrohr führen wir weitere Veruche au: VERSUCH Wir bringen da Geiger-Müller-Zählrohr in die Nähe eine Poloniupräparate. E zählt in kurzer Zeit auende von radioaktiven Strahlen. Wird die Entfernung zwichen Zählrohr und Präparat auf einen Wert über 10 c vergrößert, o hört da Zählen plötzlich fat ganz auf. Auch ein Blatt Papier, da zwichen Zählrohr und da Präparat gehalten wird, chirt die Strahlung ab. Dann eretzen wir da Poloniu durch ein Präparat it radioaktive halliu. Auch bei ih kann an eine tarke Strahlung fettellen. Sie nit it zunehender Entfernung zwichen Präparat und Zählrohr allählich ab, hat aber eine größere Reichweite al die Strahlung von Poloniu. Zur Abchirung braucht an einen dicken Karton. Schließlich verwenden wir ein Cobalt-Präparat. Da Zählrohr zeigt eine geringere Anzahl von Ioniierungen, die it zunehender Entfernung noch weiter abnit. Ert bei dicken Platten z. B. au Blei it eine Schwächung fettellbar. Von verchiedenen radioaktiven Präparaten gehen ehr verchiedene Strahlen au. Man bezeichnet die de Poloniu al a-strahlen, die de halliu al b-strahlen und die de Cobalt al g-strahlen. Schickt an die Strahlung eine geichten Präparat durch eine Blende (Abb. 3) und danach in ein tarke Magnetfeld, o werden die a-strah- len geringfügig wie poitiv geladene eilchen, b-strahlen tark wie negativ geladene eilchen, g-strahlen aber überhaupt nicht abgelenkt. Weitere Unteruchungen führten zu de Ergebni: Die radioaktive Strahlung enthält drei unterchiedliche Betandteile. In eine elektrichen oder agnetichen Feld wird ie in Koponenten aufgepalten, die an al a-, b- und g-strahlen bezeichnet. Die a-strahlen betehen au zweifach poitiv geladenen Heliuionen. In Luft beitzen ie bei jede radioaktiven Eleent eine charakteritiche Reichweite von einigen c. Von feten Stoffen werden ie chon in ehr dünnen Schichten volltändig aborbiert. Die b-strahlen ind Elektronen, die nahezu it Lichtgechwindigkeit augetrahlt werden. Zur Aborption ind Materialchichten von einigen Dicke erforderlich. Die g-strahlen ind eine elektroagnetiche Strahlung, ähnlich wie die Röntgentrahlen. I elektrichen oder agnetichen Feld werden ie nicht abgelenkt. Ihr Durchdringungverögen it größer al da der Röntgentrahlen. Ert dicke Schichten, z. B. ehrere c Blei, können ie erklich chwächen. Die Atokerne, von denen die Strahlen taen, werden durch die Strahlungeiion verändert. So entteht au de Uran nach einigen Zwichentufen da Radiu und au ih chließlich tabile Blei. Dabei zerfällt in gleichen Zeiten tet der gleiche Bruchteil der Augangenge, die Radioaktivität nit alo nicht linear, ondern exponentiell it der Zeit ab (Abb. ). g a 0 b Bleiblende radioaktive Präparat Abb. 3 a-, b- und g-strahlen in eine Magnetfeld Abb. t h t h t h t Zerfallkurve eine radioaktiven Stoffe 333