Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner

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1 Sytemtheorie eil A - Zeitkontinuierliche Signale und Syteme - Muterlöungen Manfred Strohrmann Urban Brunner

2 Inhalt Inhalt... Muterlöung Zeitkontinuierliche Signale.... echloene Dartellung tückweie definierter Funktionen.... Verallgemeinerte Ableitung Rechnen mit Sprungfunktionen Umwandlung von Winkelfunktionen Dartellung abchnittweie definierter Funktionen Näherung einer Rechteckfunktion durch abchnittweie definierte Funktionen Komplexe Exponentialfunktion Umrechnen komplexer Exponentialfunktionen Dartellung und Integration von Signalen mit Sprüngen Muterlöungen Zeitkontinuierliche Syteme im Zeitbereich. 3. Nachwei der Linearität Prüfung der Linearität eine Sytem mit leitreibung Sytemantwort eine RL-Netzwerk Aufheizvorgang eine ranitor Einchwingverhalten eine Feder-Mae-Sytem Lineare Differentialgleichungen und Übergangbedingungen Faltung von Signalen rafiche Faltung von Signalen Berechnung de Augangignal durch Faltung Stabilitätbewertung linearer, zeitinvarianter Syteme Bechreibung von Sytemen mit Blockchaltbildern... Muterlöungen Laplace-ranformation zeitkontinuierlicher Signale Berechnung der Laplace-ranformierten über die Definitiongleichung Laplace-ranformierte geometricher Signale Laplace-ranformierte einer abklingenden Schwingung Laplace-ranformierte einer tückweie definierten Funktion Approximation einer Rechteckfunktion über renzwertbetrachtungen Rücktranformation in Zeitbereich Impul- und Sprungantwort im Zeit- und Laplace-Bereich Interpretation von Laplace-ranformierten Muterlöungen Syteme im Laplace-Bereich Löen einer homogenen linearen Differentialgleichung Löen eine linearen Differentialgleichung mit der Laplace-ranformation Augangignal eine RC-lied bei Anregung mit rechteckförmigem Signal Impul- und Sprungantwort eine Sytem Impul- und Sprungantwort eine zuammengeetzten Sytem Umchaltverhalten einer RLC-Schaltung Einchwingverhalten einer Piezo-Keramik Auwertung kapazitiver Senoren Operationvertärker mit RC-Bechaltung... 3

3 6 Muterlöungen Spektrum von Signalen Approximation eine periodichen Signal mit einer Fourier-Reihe Fourier-ranformation geometricher Signale Fourier-ranformation einer zeitlich begrenzten harmonichen Schwingung Betimmung de Spektrum eine Signal über Rechenregeln Betrag und Phae der Fourier-ranformierten Invere Fourier-ranformation Invere Fourier-ranformation mit einer abchnittweie definierten Funktion Zuammenhang Fourier-Reihe und Fourier-ranformation Unchärfeprinzip der Fourier-ranformation Spektrum der periodichen Impulfunktion Betimmung de Klirrfaktor eine Meytem Spektrum de auß-impule Muterlöungen Frequenzgang von Sytemen Berechnung de Frequenzgang Amplitudengang und Filtereigenchaften Analye eine Frequenzgange Spektrum und Impulantwort Frequenzgang eine tabilen Sytem Parametriierung eine Sytem Anpaung eine atkopf Frequenzgang eine Filter RLC-Schaltung mit periodicher Anregung Muterlöungen rundlagen de Filterentwurf Entwurf eine paiven Filter mit kriticher Dämpfung Entwurf eine aktiven Beel-iefpae Entwurf eine Butterworth-iefpae Vergleich paiver Filter Entwurf und Implementierung eine aktiven Butterworth-Hochpae ranformation paiver RLC-Filter Muterlöungen Übertragungglieder der Regelungtechnik 8 9. Parallelchaltung zweier Übertragungglieder Reihenchaltung zweier Übertragungglieder Analye eine Sytem Vereinfachen eine Strukturbild Differentialgleichung und Strukturbild Bode-Diagramm einer Operationvertärkerchaltung Parameteridentifikation für ein P-lied Kenngrößen eine P-lied im periodichen Fall Analye eine Feder-Mae-Dämpfer-Sytem... 9

4 Muterlöung Zeitkontinuierliche Signale. echloene Dartellung tückweie definierter Funktionen a) Dartellung der Funktionen mit Sprungfunktionen A x t t t t t 6 t 6 Ableitung unter Berückichtigung der Produktregel. dx A t t t t t 6 t 6 t 6 t t t 6 b) Dartellung der Funktionen mit Sprungfunktionen xb t t t t 6 t 8 Ableitung unter Berückichtigung der Produktregel. dx B t t t 6 t 8 c) Dartellung der Funktionen mit Sprungfunktionen xc t t t 3 t t t 6 t 6 t 6 Ableitung unter Berückichtigung der Produktregel. dx c t t 3 t t t t 6 t 6 t 6 t 6 t t 3 t t 6 t 6 d) Dartellung der Funktionen mit Sprungfunktionen xd t t t t 3 t t t 3 t 3 Ableitung unter Berückichtigung der Produktregel. dx D t t t t 3 t t 3 t t 3 t 3 t 3 t t 3 t t 3 Die Ableitungen der Signale x A (t) x D (t) it in folgender Abbildung rot eingezeichnet.

5 Signal x (t) Signal x (t) Ableitung C Ableitung D Ableitung A Ableitung B Zeit t Zeit t Zeit t - 6 Zeit t. Verallgemeinerte Ableitung a) Die Ableitung der kaualen Exponentialfunktion kann al Produkt von zwei Zeitfunktionen aufgefat werden. Mit der Produktregel ergibt ich dx t t e t e t b) Die getauchte Sprungfunktion wird nach der Kettenregel abgeleitet dx a a t.3 Rechnen mit Sprungfunktionen a) Skizze der Signale und ihrer Ableitungen Signal Ableitung Zeit t Zeit t

6 Signal x (t) Signal x (t) b) Berechnung der Ableitungen Für die Funktion x kann die Ableitung direkt angegeben werden: dx t t t 3 Für die Funktion x wird zunächt eine Umformung durchgeführt, um auf Audrücke der Form (t t )(t t ) zu kommen. x t t t t t t t t t t t t Damit ergibt ich die Ableitung dx t t t t t t t t t t t t Die Löungen au a) und b) ind erwartunggemäß identich.. Umwandlung von Winkelfunktionen a) rafiche Dartellung der Funktionen Zeit t - 8 Zeit t Dartellung der Signale al Summe von Winkelfunktionen ohne Nullphaenwinkel x t 3 in t t 3 in t co co t in t 3 in t t x t co t.5 t co t co.5 in t in.5 t.755 co t.959 in t t b) Dartellung der Signale al Summe komplexe Exponentialfunktionen j.5t j.5t j.5t j.5t 3 3 x t 3 in.5 t t e e t e e t j j jt.5 jt.5 jt.5 jt.5 x t co t.5 t e e t e e t

7 Signal u(t).5 Dartellung abchnittweie definierter Funktionen Die abchnittweie definierte Funktion kann bechrieben werden al x t co t t t 3 co t t co t t 3 Bei der Laplace- und Fourier-ranformation it e wichtig, da alle Funktionen innerhalb eine Produkte daelbe Zeitargument aufweien. Wegen der Periodizität der Koinufunktion kann der Audruck umgeformt werden zu x t co t t co t t 3 co t t co t 3 3 t 3 co t t co t 3 t 3.6 Näherung einer Rechteckfunktion durch abchnittweie definierte Funktionen a) Die Funktion kann al Approximation einer Rechteckfunktion aufgefat werden, die Funktion it in dem folgenden Bild dargetellt. U Zeit t b) Da abchnittweie definierte Signal u(t) kann mit Sprungfunktionen dargetellt werden al t u t U co t t U t t 3 t U co t 3 t Wie in der Aufgabe zuvor wird verucht, Zeitfunktionen mit demelben Zeitargument zu erhalten. Wegen der Periodizität der Koinufunktion ergibt ich U t U t u t co t co t U t U t 3 U t U t 3 co t 3 co t

8 Signal e Signal f Signal c Signal d Signal a Signal b.7 Komplexe Exponentialfunktion Au dem Diagramm laen ich die Parameter und betimmen zu Aufgabe a -5 b -3 c - d e f Dadurch können die Funktionen direkt kizziert werden. 5 Zeit 5 Zeit 5 Zeit - 5 Zeit 5 Zeit 5 Zeit.8 Umrechnen komplexer Exponentialfunktionen Die erte Funktion kann al Summe komplexer Exponentialfunktionen dargetellt werden.5t.5t jt jt.5 j t.5 j t x t e co t e e e e e Sie beitzt die beiden komplexen Koeffizienten,i.5 j

9 Signal h(t) Imaginärteil Für die zweite Funktion ergibt ich x t e in t e e e e e j j. t. t jt jt. jt. jt mit den beiden komplexen Koeffizienten,i. j Schließlich ergibt ich für die dritte Funktion 3 x t e t mit dem Koeffizienten 3 Die Lage der Koeffizienten in der komplexen Ebene it in der folgenden Abbildung dargetellt. Signal x (t) Signal x (t) Signal x 3 (t) - - Realteil.9 Dartellung und Integration von Signalen mit Sprüngen a) Da Signal g(t) kann in gechloener Form dargetellt werden al gt t t 3 t 3 t b) Da Signal kann grafich integriert werden, e ergibt ich folgende Diagramm: Zeit t

10 3 Muterlöungen Zeitkontinuierliche Syteme im Zeitbereich 3. Nachwei der Linearität a) Zur Prüfung der Funktion 3 y t u t auf Linearität wird zunächt die Vertärkungeigenchaft geprüft. Für da Signal u (t) gilt 3 y t u t Für ein Signal u (t) mit x t u t ergibt ich da Augangignal y t u t u t u t Für ein lineare Sytem müte die zugehörige Reaktion auch um den Faktor vertärkt werden. Da Sytem it damit nicht linear. b) Für die Eingangignale u, (t) ergeben ich die Augangignale y t in 3 t u t und y t in 3 t u t Für die Linearkombination der Eingangignale u t u t u t. ergibt ich da Augangignal y t in 3 t u t in 3 t u t u t in 3 t u t in 3 t u t y t y t Da Sytem it demnach linear. 3. Prüfung der Linearität eine Sytem mit leitreibung Wenn e ich bei dem Feder-Mae-Dämpfer-Sytem mit leitreibung um ein lineare Sytem handelt, mu für die Summe von Eingangignalen F t F t F t E E E da Sytem mit der entprechenden Summe von Aulenkungen antworten x t x t x t.

11 E wird davon augegangen, da die Differentialgleichungen d x dx E F t m gn c x t und d x dx E F t m gn c x t erfüllt ind. Damit gilt für die Summe der Kräfte F t F t F t E E E d x dx d x dx m gn c x t m gn c x t d x d x dx dx m m gn gn c x t c x t d x d x dx dx m gn gn c xt x t Die Signum-Funktion kann nicht weiter zuammengefat werden, da ie elbt nichtlinear it. Damit auch da Sytem nichtlinear. Aufgrund der kontanten Koeffizienten m, und c it da Sytem zeitinvariant. 3.3 Sytemantwort eine RL-Netzwerk a) Induktivität und Widertand ind von demelben Strom durchfloen. Mit Machenregel und den Bauelementgleichungen für Induktivität und Widertand ergibt ich: di ue t ul t ur t L R i t Durch Subtitution de Strome durch da ohmche eetz it ua t R ergibt ich L R du A A A u t u t b) Die Differentialgleichung wird in der Vier-Schritt-Methode gelöt. Im erten Schritt wird die homogene Differentialgleichung gelöt L R du AH AH u t Mit dem Exponentialanatz für die homogene Löung AH t u t U e A ergibt ich die leichung L U t t A e U A e R

12 Sprungantwort h(t) Augangpannung u A (t) Die Löung U A = wird augechloen, oda durch U A und die Exponentialfunktion gekürzt werden darf. L R Diee leichung kann nach aufgelöt werden, oda ich die homogene Löung ergibt zu t AH A A R t L u t U e U e Im zweiten Schritt wird eine partikuläre Löung betimmt. Eine partikuläre Löung dieer Differentialgleichung it bei Anregung mit einer kontanten Spannung eine kontante Spannung U P. Einetzen der kontanten Spannung in die Differentialgleichung führt zu L U U P E R Die geuchte partikuläre Löung it demnach U P = U E. Beide Löungen werden überlagert zu A E A R t L u t U U e Die Kontante U a ergibt ich au der Bedingung, da u a (t=) = it. u U U A E A Damit beträgt U A U A U E Da Sytem antwortet zum Zeitpunkt t =, oda die volltändige Löung lautet: R t L ua t UE e t Die Sprungantwort it im folgenden Bild dargetellt..5. Sprungantwort. Sprungantwort Augangignal Zeit t Zeit t

13 c) Da Rechteck kann al Summe zweier Sprünge dargetellt werden. E u t V t t Auf den erten Sprung antwortet da Sytem zum Zeitpunkt t = mit der oben berechneten Sprungantwort R t L ua t V e t Auf den zweiten Sprung antwortet da Sytem zum Zeitpunkt t = mit der verchobenen Sprungantwort R t L ua t V e t Damit lautet die Löung R R t t L L ua t V e t V e t Sie it bereit im Bild oben dargetellt. 3. Aufheizvorgang eine ranitor a) Die homogene Differentialgleichung lautet dh RH CH H t Einetzen der Exponentialfunktion al Löunganatz t t H e führt mit h zu der charakteritichen leichung R C H H mit der Löung R H C H Damit ergibt ich die Löung der homogenen Differentialgleichung zu H RHC H t e H t Die Kontante H it zunächt unbekannt, ie wird päter über die Anfangbedingungen de Sytem betimmt. b) Zur Berechnung der Sytemreaktion auf ein kontante Eingangignal der röße P wird in die Differentialgleichung d R C t R P P H H P H eine Kontante p al Anatz für die partikuläre Löung eingeetzt. Ihre Ableitung it null. Einetzen in die Differentialgleichung führt zu

14 emperaturdifferenz (t) / K RH CH P RH P und e ergibt ich die partikuläre Löung zu R P P H c) Bei dem Aufheizvorgang ergibt ich die Löung au der Summe von homogener und partikulärer Löung RH CH t t e R P t H P H H Mit der Anfangbedingung () = ergibt ich RH CH e R P R P H H H H und die Kontante H errechnet ich zu R P H H Darau ergibt ich der emperaturverlauf (t) zu t RH CH t RH P e d) Der emperaturverlauf entpricht dem typichen Verhalten eine RC-lied mit der Zeitkontante R th C th und der Sprunghöhe P R th. Der emperaturverlauf it in dem folgenden Bild dargetellt. Aufgabe d) Aufgabe e) Zeit t / e) Da die Wärmekapazität verdoppelt und der thermiche Widertand halbiert wird, ändert ich die Zeitkontante R H C H nicht. Die Sprunghöhe halbiert ich wegen de halbierten thermichen Widertand R H.

15 3.5 Einchwingverhalten eine Feder-Mae-Sytem Zunächt wird die Löung der homogenen Differentialgleichung berechnet. d xh dxh m D c x H t Mit dem Anatz t x t x e H geht die homogene Differentialgleichung über in m x e D x e c x e t t t Mit x ergibt ich nach Kürzen die charakteritiche leichung und mit den Parametern m =, D = owie c = Löen der quadratichen leichung führt zu, j Damit lautet die allgemeine homogene Löung j t jt H x t x e x e Da die beiden komplexen Exponentialfunktionen konjugiert komplex zueinander ein müen, gilt: j jt j jt H x t x e e x e e Für die partikulären Löung wird bei kontanter Anregung F E = eine Kontante x P (t) = x P gewählt. Einetzen in die Differentialgleichung führt zu m D c xp und mit dem Parameter c = ergibt ich x P Damit lautet die Löung der Differentialgleichung j jt j jt xt xh t xp t x e e x e e Die beiden unbekannten röße x und müen über Anfangbedingungen betimmt werden: j j x x e x e x co Die Ableitung berechnet ich zu dx j x e e j x e e und für t = gilt j jt j jt

16 dx t 3 3 j j j j j j j x e j x e e x e e x e 3 3 j j 3 x e x e x co Mit x gilt 3 co Die Bedingung it zum Beipiel für erfüllt. Damit berechnet ich x zu x co und da Einchwingverhalten ergibt ich zu j j jt jt t xt e e e e e co t

17 3.6 Lineare Differentialgleichungen und Übergangbedingungen a) Die homogene Differentialgleichung dy H H 6 y t wird mit dem Anatz H t y t Y e H gelöt. Über t t YH e 6 YH e ergibt ich die charakteritiche leichung 6 Sie beitzt die Löung = - 6. Damit lautet die allgemeine homogene Löung H 6t y t Y e H Da da Eingangignal u E (t) = U für t > kontant it, it y P (t) = Y P eine partikuläre Löung. Einetzen in die Differentialgleichung führt zu 6 YP U beziehungweie Y U 6 P Damit lautet die Löung der Differentialgleichung 6t yt y t y t Y e U 6 H P H Da Eingangignal u(t) it an der Stelle t = nicht tetig, e pringt. Damit mu auch da Augangignal y(t) oder deren Ableitungen pringen. dy 6 y t u t Würde y(t) pringen, wäre dy/ ein Impul. Dieer Impul hat kein entprechende Pendant auf der Eingangeite. Dehalb mu dy/ an der Stelle t = pringen, y(t) it damit eine tetige Funktion. Da da Augangignal tetig it und nicht pringt, gilt nach Integration von dy/: y y beziehungweie unter Berückichtigung von y( - ) = y y Mit dieen Anfangwerten wird die Unbekannte Y H betimmt. y YH U 6 Die Kontante Y H errechnet ich zu

18 Y U 6 H und die Löung der Differentialgleichung lautet für t > y t U e 6 6t b) An der Löung der homogenen Differentialgleichung ändert ich nicht. Da da Eingangignal u E (t) = U für t > kontant it, it die Abgleitung null und y P (t) = eine partikuläre Löung. Damit lautet die Löung der Differentialgleichung 6 t 6 t y t y t y t Y e Y e H P H H Die Kontante Y H mu in dieem Fall über Anfang- und Übergangbedingungen betimmt werden. Die Ableitung de Sprung vom Eingangignal an der Stelle t = entpricht einem Impul. Damit die Differentialgleichung erfüllt it, mu die höchte Ableitung de Augangignal ebenfall eine Impulfunktion aufweien. Um deren ewichte zu berechnen, wird die Differentialgleichung integriert. t t dy du 6 y t t t Für die renzen t = - und t = + werden die Zeitpunkte kurz vor und kurz nach dem Sprung de Eingangignal eingeetzt. Damit ergibt ich dy du 6 y t und y y 6 y t u u Da Integral über da pringende und endlich große Augangignal y(t) it wieder unendlich chmal, dehalb it der Wert null. Da Eingangignal macht einen Sprung von null auf U. Damit gilt y y u u U beziehungweie y U y U Mit dieem Wert wird die Unbekannte Y H betimmt y YH U und die Löung der Differentialgleichung lautet für t > 6t y t U e c) Im erten Schritt wird die homogene Differentialgleichung gelöt. d yh dy H 5 6 yh t Mit dem Anatz H t y t Y e H

19 ergibt ich über e 5 Y e 6 Y e t t t H H die charakteritiche leichung 5 6 Sie beitzt die Löungen = - und = - 3. Damit lautet die allgemeine homogene Löung t 3 t y t Y e Y e H Eine partikuläre Löung it y P (t) =, denn durch da Ableiten der kontanten Einganggröße u(t) gilt: 5 6 Durch die Ableitung de Sprung auf der Eingangeite entteht eine Impulfunktion. Sie erfordert ein Pendant auf der Augangeite. Dehalb mu die höchte Ableitung de Augangignal eine Impulfunktion ein. Die Ableitung dy/ pringt damit und y(t) it tetig. Die Integration der Differentialgleichung führt zu t t d y dy du 5 6 y t t t Für die renzen t = - und t = + werden die Zeitpunkte kurz vor und kurz nach dem Sprung de Eingangignal eingeetzt. Damit ergibt ich über d y dy du 5 6 y t der Zuammenhang dy dy 5 y 5 y 6 y t u u t t Da Eingangignal u(t) macht einen Sprung der Höhe U, y(t) it au den oben genannten ründen tetig. Da Integral über die endliche Auganggröße y(t) it unendlich chmal und dehalb wieder null. Nach der Integration gilt dehalb: dy dy u u U t t beziehungweie dy dy U U t t Mit der allgemeinen Löung t 3 t y t Y e Y e und deren Ableitung dy Y e 3 Y e t 3t owie den gegebenen Anfangbedingungen ergibt ich folgende leichungytem: Y Y

20 U Y 3 Y E beitzt die Löung U Y 3 Y Y 3 Y Y Y Y U Damit lautet die volltändige Löung der Differentialgleichung für t > t 3t y t U e e d) Die homogene Löung timmt mit der in Aufgabenteil c) überein. Eine partikuläre Löung für da kontante Eingangignal u E (t) = U it y P (t) = Y P. Einetzen in die Differentialgleichung ergibt 5 6 YP U und die Kontante Y P errechnet ich zu Y U 6 P Damit lautet die Löung der Differentialgleichung t 3t y t Y e Y e U 6 Durch die Ableitung de Sprung auf der Eingangeite entteht eine Impulfunktion. Sie erfordert ein Pendant auf der Augangeite. Dehalb mu die höchte Ableitung de Augangignal eine Impulfunktion ein. Die Ableitung dy/ pringt damit und y(t) it tetig. Die Integration der Differentialgleichung führt zu t t d y dy du 5 6 y t ut t t Für die renzen t = - und t = + werden die Zeitpunkte kurz vor und kurz nach dem Sprung de Eingangignal eingeetzt. Damit ergibt ich über d y dy du 5 6 y t ut der Zuammenhang dy dy 5 y 5 y 6 y t u u ut t t Da Eingangignal u(t) macht einen Sprung der Höhe U, y(t) it au den oben genannten ründen tetig. Da Integral über die endliche Auganggröße y(t) it unendlich chmal und dehalb wieder null. Nach der Integration gilt dehalb: dy dy u u U t t beziehungweie dy dy U U t t Mit der allgemeinen Löung

21 t 3t y t Y e Y e U 6 und deren Ableitung dy Y e 3 Y e t 3t owie den gegebenen Anfangbedingungen ergibt ich folgende leichungytem: Y Y U 6 U Y 3 Y E beitzt die Löung. Y U 3 Y U Y U U 5 U Damit lautet die volltändige Löung der Differentialgleichung für t > 5 t 3t yt U e U e U 6 6 6

22 Augangignal y(t) Augangignal y(t) Augangignal y(t) 3.7 Faltung von Signalen Die einzelnen Signale y i (t) laen ich über die Faltung folgender Signale dartellen: y t x t x t y t x t x t y t x t x t y t x t x t y t x t x t y t x t x t y t x t x t y t x t x t y t x t x t rafiche Faltung von Signalen a) Faltung zweier Rechtecke 8 6 b) Faltung tückweie kontanter Signale Zeit t Zeit t c) Faltung mit Impulkamm 3-8 Zeit t

23 Augangignal y(t) 3.9 Berechnung de Augangignal durch Faltung a) Die Signale können über Sprungfunktionen dargetellt werden: g t t t t t (t) t t t ut t t b) Die grafiche Faltung führt zu dem Augangignal y(t)..5 - Zeit t c) Die einzelnen Funktionwerte für y(t) ergeben ich, au der unterchiedlich großen Überlappung von u(t - ) und g(). E ergeben ich die in der abelle aufgeführten Werte. Die Werte entprechen den Angaben in der rafik. t = t =.5 t 3 = t =.5 t 5 = d) Zur Berechnung de Faltungintegral wird davon augegangen, da die Impulantwort an der Ache = gepiegelt und dann um t nach recht verchoben wird. E müen unterchiedliche Integrationgrenzen berückichtigt werden: Zeitbereich t < und t > Für t < und für t > überlappen die beiden Funktionen nicht, da Augangignal it y(t) Zeitbereich t < Die untere Integrationgrenze it, die obere Integrationgrenze it t. t o t yt d t Zeitbereich t < Die untere Integrationgrenze it t -, die obere Integrationgrenze it. y t d t t t

24 3. Stabilitätbewertung linearer, zeitinvarianter Syteme a) Die Sytemreaktion errechnet ich für t > / über / / j t j t yt u gt d co t d e e d / / j t / j j t j j t j j t e e j e e d e e d e e j j j t j t j j j t j t e e e e j e e j j / in t b) Die Sytemantwort chwingt mit einer kontanten Amplitude. Da Sytem it damit grenztabil. 3. Bechreibung von Sytemen mit Blockchaltbildern a) Zur Dartellung der leichung d y dy du a a a y t b b u t mit Integrierern wir die leichung zweimal integriert. t t t t a y t a y d a y d d b u d b u d d Diviion durch a und Auflöen nach y(t) führt zu t t t t b b a a y t u d u d d d y d d a a a a b a b a a a a a t u y u y d d mit der Dartellung al Blockchaltbild ut + / a yt + a b + a b

25 Muterlöungen Laplace-ranformation zeitkontinuierlicher Signale. Berechnung der Laplace-ranformierten über die Definitiongleichung Durch Einetzen der Funktion in da Laplace-Integral ergibt ich t X U in t e Die Sinu-Funktion kann mithilfe der Eulerchen Formel umgeformt werden in t e e j j t j t Damit folgt für die Laplace-ranformierte jt j t U jt jt t U jt j t U e e X e e e e e j j j j j j j j j U e e U e e e e j j j j j j U e e U j j e j j j j U e. Laplace-ranformierte geometricher Signale a) Dartellung der Signale x i (t) al gechloenen Audruck mit Sprungfunktionen xt t t t t 3 x t t t t 3 t 3 x t t t t t t t 3 t t 3 t t t t t (t 3) t 3 t t x t t t t t t t t t t 3 3 t t t t 3 t t 3 3 t t t t 5 t b) Alle Signale ind kaual, da ie für t < den Wert null aufweien.

26 c) Die zugehörige Laplace-ranformierte X i () ergeben ich au den Korrepondenzen und den Rechenregeln zu X e e e 3 X e e e e 3 X3 e e e X e 5 e ² ².3 Laplace-ranformierte einer abklingenden Schwingung Die Zeitfunktion wird in die Definitiongleichung der Laplace-ranformation eingeetzt X x t e e co t (t) e t t t Mithilfe der Eulerchen Formel kann die Koinu-Funktion über Exponentialfunktionen augedrückt werden. Damit ergibt ich t j t j t t j t j t X e e e e e e e e j j j t j t Damit da Integral für t konvergiert, mu der Realteil de Argumente der Exponentialfunktion negativ ein. Re Mit dieer Bedingung ergibt ich die Laplace-ranformierte zu X j j j j j j

27 . Laplace-ranformierte einer tückweie definierten Funktion Die Funktion kann mithilfe von Sprungfunktionen al gechloener Audruck dargetellt werden. U t x t co t t U t U t 3 U t co t 3 t U t U t co t co t U t U t 3 U t co U t t 3 co t Um bei den Koinu-und Sprungfunktionen zu denelben Zeitargumenten zu kommen, wird von dem folgender Zuammenhang genutzt: t t t t co co co co Damit ergibt ich für die Funktion x(t): U t U t x t co t co t U t U t 3 U t U t 3 co t 3 co t Mit der Laplace-ranformierten t L co t ergibt ich die Laplace-ranformierte der Funktion x(t) zu U U X e U e U U U e e e 3 3 U U e e e e e e 3 3

28 Signal x(t).5 Approximation einer Rechteckfunktion über renzwertbetrachtungen a) Da Signal it für = und für Aufgabenteil d auch für =. in folgendem Diagramm dargetellt. = =. b) Da Signal kann dargetellt werden al xt in t t t t t in t t t c) Für die Anwendung der Laplace-ranformation mu da Signal zerlegt werden: x t in t t t t t in t t t t t in t t in t t t t t t in t t in t t 3 5 Zeit t

29 Während die Sprungfunktionen direkt tranformiert werden können, müen die Sinufunktionen o umgeformt werden, da ich dieelben Zeitargumente für Sinu- und Sprungfunktion ergeben. Au dem Hinwei ergibt ich in t co t co t co t beziehungweie in t co t co t co t in t co t co t co t in t co t co t co t Damit lät ich da Signal dartellen al x t t t co t t co t t t t t t co t t co t t Anwendung der Laplace-ranformation führt mit der Korrepondenztafel und der Verchiebungregel zu X e e e e e e e e e e d) Für den renzübergang wird der Übergang immer teiler, im renzwert unendlich teil. Damit nähert ich da Signal einer Rechteckfunktion xt t t Dieer renzwert kann auch im Laplace-Bereich betimmt werden. Für ergibt ich die Laplace- ranformierte

30 X e e e e e e lim e e e e e e Die Sinufunktion hat in dem Fall eine unendlich hohe Frequenz. Damit zeigt die Aufgabe, da zur Erzeugung unendlich teiler Flanken harmoniche Funktionen mit unendlich hoher Frequenz benötigt werden..6 Rücktranformation in Zeitbereich a) Zur Rücktranformation der Laplace-ranformierten müen zunächt die Pole berechnet werden. Nulletzen de Nenner führt zu den Polen / j Damit können zwei Verfahren durchgeführt werden, nämlich Durchführung einer Partialbruchzerlegung mit Rücktranformation der Partialbrüche oder die direkte Anwendung der Korrepondenzen 9 und/oder. Beide Verfahren werden hier vorgetellt. Bei der Partialbruchzerlegung ergibt ich der Anatz A A j j mit den Koeffizienten A und A j j j j j j j j Die Rücktranformation der Partialbruch-Dartellung j j ergibt die Zeitfunktion g(t) g t e e t e e e t e co t t e co t t ( j) t ( j) t t jt jt t t Die direkte Anwendung der Korrepondenz mit = - und = direkt zu

31 g t e e t e e e t e co t t e co t t ( j) t ( j) t t jt jt t t Der Weg über die Korrepondenzen 9 und/oder ind damit erheblich effizienter, bei einigen Herleitungen it jedoch die Berechnung über die komplexen Partialbrüche erforderlich. b) Zunächt werden die Nulltellen de Nenner berechnet. 3 Der Pol bei = - kann gezielt erraten werden. Um die weiteren Nulltellen berechnen zu können, wird der Nenner durch den bekannten Linearfaktor dividiert: 3 : ( ) Die Nulltellen de quadratichen Faktor ind 3,3 j, Damit ergibt ich für die Partialbruchzerlegung der Anatz 3 ( ) ( ) 3 A A B. X Die Kontanten A, A und B können durch Einetzen pezieller -Werte betimmt werden. Au der Identität r b b 3 folgt durch Multiplikation mit ( 3 + ) A A B Durch Einetzen der Werte = -, = und = ergeben ich durch Koeffizientenvergleich A =, A = und B = Durch Einetzen der Koeffizienten und die quadratiche Ergänzung im Nenner de zweiten Partialbruch ergibt ich die Laplace-ranformierte 3 3 X Mit der Korrepondenztabelle ergibt ich die Zeitfunktion t t 3 xt e e in t t 3

32 Impulantwort g(t) Sprungantwort h(t).7 Impul- und Sprungantwort im Zeit- und Laplace-Bereich a) Da Signal g(t) kann in gechloener Form dargetellt werden al gt t t 3 t 3 t b) Da Signal kann grafich integriert werden, e ergibt ich da folgende Diagramm: Zeit t 3 5 Zeit t c) Die Laplace-ranformierte de Signal g(t) ergibt ich zu e e 3 e e e 3 e e e 3 3 Die Laplace-ranformierte de Signal h(t) kann entweder einzeln au den ermen im Zeitbereich betimmt werden oder direkt über die Beziehung H e 3 e e e 3 Ein Vergleich mit der Zeitfunktion betätigt da Ergebni. d) Der tationäre Endwert de Signal h(t) ergibt ich unmittelbar au dem Diagramm zu t lim h t.8 Interpretation von Laplace-ranformierten a) Die Pole ergeben ich au den Nulltellen de Nennerpolynom, die Nulltellen au den Nulltellen de Zählerpolynom. E ergibt ich: Signal A B Laplace-ranformierte X A () 65 X B() 89 Nulltelle A B Pole A, 65 j 8 A, j 8 Pole und Nulltellen können in der komplexen Ebene dargetellt werden.

33 Imaginärteil normiert Signal x(t) B A Signal Signal 5.5 A,B B A Realteil normiert - Zeit t b) Die beiden Laplace-ranformierten haben identiche Imaginärteile. Die Schwingungfrequenz ergibt ich au dem Imaginärteil de Pol. Die Impulantworten chwingen dehalb mit derelben Frequenz = 8. Die Realteile ind eine Maß für da Abklingverhalten de Signal. Sytem B ( B = - 5) hat gegenüber Sytem A ( A = - ) eine um einen Faktor 5 größeren Dämpfungfaktor und klingt dehalb chneller ab. c) Die Laplace-ranformierte hat die Ordnung und konjugiert komplexe Pole. Damit kann die Laplace-ranformierten dargetellt werden al X A Da Signal x A (t) ergibt ich mithilfe der Korrepondenztafel zu xa t e co 8 t t e in 8 t t 8 t t d) Da Integral hat die Laplace-ranformierte YA XA Damit ergibt ich die Zeitfunktion y A (t) durch Rücktranformation zu ya t e in 8 t t 8 t e) Der Faltung im Zeitbereich entpricht da Produkt der jeweiligen Laplace-ranformierten im Laplace-Bereich. YA XA Damit ergibt ich dieelbe Zeitfunktion wie in Aufgabenteil d), nämlich ya t e in 8 t t 8 t f) Die Faltung der Signale x A (t) und (t) entpricht dem Integral der Funktion x A (t) in dem Bereich von bi t.

34 Imaginärteil normiert 5 Muterlöungen Syteme im Laplace-Bereich 5. Löen einer homogenen linearen Differentialgleichung a) Die Differentialgleichung d 3 u d u du u 3 t kann allgemein in den Laplace-Bereich tranformiert werden 3 U u u u U u u U u U Mit den vorgegebenen Anfangbedingungen ergibt ich die leichung 3 U U U U Auflöen ergibt den Audruck für U() von U 3 b) Zur Berechnung der Pollagen wird der erte Pol = - erraten. Über Polynomdiviion und Löen der quadratichen leichung ergeben ich die beiden übrigen Pole = j und 3 = - j. Die Pole können in einem Pol-Nulltellen-Diagramm dargetellt werden. - Der reelle Pol gehört zu einer abklingenden Exponentialfunktion mit reellem Argument. Die Pole,3 = j ind konjugiert komplex zueinander. Sie repräentieren eine harmoniche Schwingung mit kontanter Amplitude. Da die harmoniche Schwingung eine kontante Amplitude beitzt, beitzt da Signal keinen tationären Endwert c) Zur Rücktranformation wird eine Partialbruchzerlegung durchgeführt. U A B C 3 Koeffizientenvergleich ergibt A =, B = und C =. Damit ergibt ich die Laplace-ranformierte U 3 und die Zeitfunktion lautet t u t e in t t Realteil normiert

35 5. Löen eine linearen Differentialgleichung mit der Laplace-ranformation a) Die Differentialgleichung d y dy 3 y t kann allgemein in den Laplace-Bereich tranformiert werden 3 Y 3 y 3 y Y y Y Mit den gegebenen Anfangbedingungen ergibt ich die leichung 3 Y 3 Y Y Auflöen ergibt den Audruck für Y() von 3 3 Y b) Zur Rücktranformation wird da Nennerpolynom von Y() zu null geetzt 3 3 und die Pole betimmt., j Da die Pole konjugiert komplex ind, kann Y() dargetellt werden al Y und mit Korrepondenz 9 ergibt ich 6 t 6 yt e in t t 36 c) Um die Laplace-ranformierte Y() zu berechnen, mu zunächt U() betimmt werden. U 3 e Damit ergibt ich die Differentialgleichung im Laplace-Bereich zu 3 Y 3 Y Y 3 e Die leichung wird nach Y() aufgelöt 3 3 e 3 Y e Die Exponentialfunktion tellt eine Verchiebung um t = nach recht dar, oda y(t) mit Aufgabenteil b) dargetellt werden kann al

36 t 6 t 6 6 y t e in t t e in t t 5.3 Augangignal eine RC-lied bei Anregung mit rechteckförmigem Signal a) Da Eingangignal u(t) kann dargetellt werden al u t t t b) Die Übertragungfunktion de RC-lied ergibt ich mit Korrepondenz zu c) Die Sytemantwort Y() ergibt ich durch Multiplikation von () und U(). Dazu mu zunächt U() betimmt werden. U e Damit ergibt ich Y() zu Y U e d) Für Zeiten t it da Faltungintegral null, da keine Überlappung zwichen den beiden Zeitfunktionen beteht. Die Berechnung für t > über da Faltungintegral mu wegen unterchiedlicher Integrationgrenzen in zwei Bereiche aufgeteilt werden: Bereich < t : In dem Bereich berechnet ich y(t) über da Faltungintegral zu t t t t t yt ut g d e d e e e Bereich t > : t t t t t t y t u t g d e d e e e e e t t t 5. Impul- und Sprungantwort eine Sytem a) Die Pole der Übertragungfunktion ergeben ich au der quadratichen leichung 5 zu, 5 j b) Die Pole haben einen negativen Realteil, da Sytem it alo tabil. Außerdem ind die Pole konjugiert komplex, e handelt ich demnach um ein tabile, chwingungfähige Sytem. c) Für die Partialbruchzerlegung ergibt ich der Anatz

37 * A A j j Mit dem Reiduenatz wird der Koeffizient A betimmt zu 3 j 3 j A j j j j j j und A* ergibt ich zu A * 3 j 3 j j j j j j j Erwartunggemäß it A* konjugiert komplex zu A. Damit ergibt ich die Übertragungfunktion () zu j j j j und die Impulantwort lautet gt j e j e t e e e e e t ( j) t (j) t t j / jt j / jt t j / jt j / jt t j (t /) j (t /) e e e e e t e e e t t e co t t d) Durch eine quadratiche Ergänzung können entprechende Korrepondenzen au der Korrepondenztabelle verwendet werden: 3 5 Damit ergibt ich die Impulantwort zu g t e co t in t t e co t t t t e) Die Sprungantwort h(t) hat für t einen renzwert, da g(t) t gegen null geht. Er errechnet ich nach dem renzwertatz der Laplace-ranformation zu 3 lim ht t 5 Zur Verifikation zeigt folgende Diagramm da Ergebni einer MALAB-Simulation.

38 Impulantwort g(t) Sprungantwort h(t) Zeit t Zeit t 5.5 Impul- und Sprungantwort eine zuammengeetzten Sytem a) Berechnung der eil-übertragungfunktion (): k t h t e t k mit der Laplace-ranformierten H k k Darau ergibt ich die Übertragungfunktion () zu k k b) Berechnung der Übertragungfunktion: k k k k k k k k k k k k k k k k k Umrechnung der Übertragungfunktion auf Standard-Form: k k k k k k k k ( k ) k k (k ) k k k ( k k ) k (k k k k ) k k 3 c) Berechnung de tationären Endwerte der Sprungantwort mithilfe de Endwertatze: k h lim ht lim t k k k d) Stabilität liegt vor, wenn alle Pole der Übertragungfunktion in der linken Halbebene liegen. Darau folgt für die k > und k >. e) Die Parameterkombination von k und k, die beide Bedingung erfüllt lautet

39 h k Damit it die Löung k = / und k >. 5.6 Umchaltverhalten einer RLC-Schaltung a) Wenn alle Einchwingvorgänge abgechloen ind, fließt durch den Kondenator C kein Strom und an den Spulen fällt keine Spannung ab. Der Strom durch die Bauelemente R und L beträgt I L U IR R Der Strom durch den Widertand R beträgt I R U R und für I L ergibt ich U U IL IR IR R R An dem Kondenator C fällt die Spannung U ab. b) Für den Fall de geöffneten Schalter ergibt ich da Eratzchaltbild U R L I L C UA L Die Augangpannung ergibt ich unter Berückichtigung der Zählpfeilrichtungen mit dem Superpoitionprinzip.. L R U C U L I L R L R C C A L L C R C U L I L C R C L C R C L c) Mit den Bauelementen ergibt ich folgende charakteritiche leichung: L C R C. H.5 µf 5.5 µf ec.5 ec Diviion durch den Koeffizient vor ² ergibt die quadratiche leichung

40 5 ec ec mit den Nulltellen 6 6 / ec, ec ec ec ec ec / ec Beide Poltellen ind reell, da Sytem it nicht chwingungfähig. Signal c cheidet au. Die Zeitkontanten liegen bei = m und =.5 m. Da Signal a it zu langam und cheidet dehalb au. Signal b it da richtige Signal. 5.7 Einchwingverhalten einer Piezo-Keramik a) Nachdem die tationären Einchwingvorgänge abgechloen ind, fließt durch die beiden Kondenatoren kein Strom. Damit fällt an den Spulen und Widertänden keine Spannung ab, die Kondenatoren haben damit gleich große Anfangpannungen U UC UCP Der Strom durch die Spule it wegen der Argumentation oben IL b) Zur Berechnung der Augangpannung wird da Eratzchaltbild nach Öffnen de Schalter gezeichnet. C R P LP CP U UA U Die Spannungen U C und U CP ind gleich groß, oda die Differenz null beträgt. Dadurch kann in dem Stromkrei kein Strom fließen, die Kondenatoren werden nicht entladen und die Spannung am Kondenator C bleibt kontant. UA UC U c) Die Argumentation von Aufgabenteil a) it weiter gültig, allerding fließt jetzt zuätzlich ein Strom über den Widertand R. Damit ergibt ich die Anfangpannung für U C und U CP nach dem Spannungteiler-Prinzip zu R U C U CP U R R I d) Zur Berechnung der Augangpannung U A wird wieder da Eratzchaltbild nach Öffnen de Schalter gezeichnet.

41 C R p Lp Cp U C UA R Die Parallelchaltung von R mit C und Spannungquelle U C / mu in eine Reihenchaltung überführt werden. Durch den Satz der Eratzquelle ergibt ich ein neue Eratzchaltbild. Z R P LP CP U UA U C Die Impedanz Z() beträgt R Z R C R C und die Spannungquelle U() berechnet ich zu U R U R C R C U R C R C R C C C C U Die Bauelemente R P, C P und L P können zu einer Impedanz Z P () zuammengefat werden ZP RP LP C P Die Augangpannung ergibt damit nach dem Superpoitionprinzip zu P P Z Z U UA U Z Z Z Z Cp P RP L R P CP R C UC R C U R R C R R L R L C R C C R C P P P P P R C L C R C U C R U P P P P C P CP R C L C R C R C P P P P P RP CP LP CP R C UC R Cp UCP 3 L C R C L C R C R C R C R C R C P P P P P P P P P P CP

42 5.8 Auwertung kapazitiver Senoren a) Sind die Schalter in Poition, ergibt ich folgende Eratzchaltbild: R S U CREF UCREF U CP CP RP U Die Kapazität C REF it parallel zur Spannungquelle U gechaltet. U U CREF Die Senor-Kapazität C S wird über einen Spannungteiler au R S und R P aufgeladen. Aufgrund der unterchiedlichen Zählpfeilrichtungen it die Spannung U CP negativ. U R U P CP RP RS b) Zum Zeitpunkt t = werden die Schalter in Poition S gechaltet. Mit den berechneten Anfangbedingungen ergibt ich folgende Eratzchaltbild. C REF R S U CREF UA CP RP U CP C P c) Durch Quellenwandlung kann der rechte eil der Schaltung in eine lineare Quelle mit Innenimpedanz gewandelt werden. C REF Z ERS U CREF UA UERS Dabei ergeben ich die Spannung U ERS () und die Impedanz Z ERS () zu U ERS UCP RP CP UCP RP CP () R C R C P P P P P S P S P P Z R Z R ERS S P S R R R R R C R C R C P P P P Mit dieen Vorüberlegungen ergibt ich die Augangpannung U A () durch Superpoition zu

43 Z U C Z Z ERS CREF REF UA UERS ERS ERS CREF CREF RS RP RS RP CP RP CP U RS RP RS RP CP C R C REF P P C R C R R R R R C R C R R R C C REF P P P S P S P P P P P P P P REF RS RP RS RP CP CREF U R C R R R R C C P P S P S P P REF R C R R R R R C C R C R R P P P S P S P P REF P P P S RP RS RS RP RS RP CP CREF RP CP RP U R C R R R R C C R R P P S P S P P REF P S d) Wenn für die Bauelemente die Näherungwerte R S = und R P gelten, ergibt ich die Augangpannung - ganz ohne Sytemtheorie - au einer Ladungbetrachtung. Die Ladung de Referenzkapazität und Senorkapazität berechnen ich zu Q C U und REF REF QP CP U Nach dem Umchalten ind beide Kapazitäten parallel gechaltet. Die Ladung gleicht ich au. Q Q Q C U C U C C U REF P REF P REF P Die Spannung an der eamtkapazität ergibt ich au Q CREF Cp U U C C C ES REF p U U 5.9 Operationvertärker mit RC-Bechaltung a) Bei der Schaltung handelt e ich um einen invertierenden Vertärker mit der Übertragungfunktion () und einen nachgechalteten Hochpa mit der Übertragungfunktion (). Die Übertragungfunktion de invertierenden Vertärker ergibt ich zu R C R R Z C R C R Z R R R R C Der Hochpa hat eine Übertragungfunktion von

44 Augangignal u A (t) Augangignal u A (t) R R C R3 C3 R3 C 3 Damit lautet die Übertragungfunktion der Schaltung 3 3 R R C R R C R C 3 3 b) Die Sprungantwort errechnet ich im Laplace-Bereich zu H.. Die Pole ergeben ich zu = - und = -.. Damit kann die Übertragungfunktion in Partialbrüche zerlegt werden. A B H ( ).. Die Faktoren A und B ergeben ich au den leichungen A..9 9 und B.9 9. Damit ergibt ich die Sprungantwort im Laplace-Bereich zu H ( ). 9. und im Zeitbereich zu h t e e t 9. t t c) Die Löung entpricht dem Signal u A (t), wie ich zum Beipiel an dem Wert für t = zeigen lät. In der Abbildung für u A (t) ind beide Signale überlagert dargetellt. Simulation Rechnung Laplace Zeit 5 5 Zeit

45 d) Die beiden Löungen ind rechnerich kompatibel zueinander, da ich in beiden Fällen da Produkt der Übertragungfunktionen zu der Übertragungfunktion () ergibt..... Bei numerichen Rechnungen it aber die Reihenfolge weentlich. Im Modell wird zunächt differenziert. Bei Berechnung einer Sprungantwort führt die Differentiation zu unendlich großen Werten, wa rechentechnich nicht realiiert werden kann. Im Modell wird die Differentiation nach dem iefpa durchgeführt. Die Sprungantwort de iefpae it aber endlich teil, oda auch die Differentiation endlich wird. e) Da die richtige Sytemantwort u A (t) it, mu mit der Begründung au Aufgabenteil d) da Signal u A (t) zu Modell und u A (t) zu Modell gehören. f) Nein, weil da Rampenignal ebenfall eine endliche Steilheit aufweit und die Ableitung damit endlich wird und im Rechner abgebildet werden kann.

46 Signal 6 Muterlöungen Spektrum von Signalen 6. Approximation eine periodichen Signal mit einer Fourier-Reihe a) Dartellung de Schaubild von x(t) in dem Intervall t = -. Funktion Approximation N = 5 - b) Die approximierte Fourier-Reihe ergibt ich au der endlichen Summe 5 5 j n t j n t j n t x t A e A A e A e 5 n n n n5 n mit den Fourier-Koeffizienten / jn t An x t e / Au der Periodendauer = folgt die rundchwingung mit der Kreifrequenz Da die Funktion x(t) tückweie definiert it, mu da Integral für die Fourier-Koeffizienten in zwei Integrale aufgetrennt werden. jnt jnt jnt jnt An e e e e j n j n j n j n j n j n jn jn e e j j con j n j n n n jn jn e e co n co n j j n n n Für n = it der Bruch nicht definiert, oda da Integral eparat berechnet werden mu. A - - Zeit

47 Damit können die Koeffizienten betimmt werden zu n 3 5 A n j j 3 j 5 Mit den berechneten und den dazu konjugiert komplexen Fourier-Koeffizienten ergibt ich die approximierte Fourier-Reihe zu x t A e j e e j e e j e e jn t j t j t j3t j3t j5t j5t 5 n n5 in t in 3 t in 5 t 3 5 c) Da Ergebni it bereit in da Bild au eilaufgabe a) eingezeichnet. 6. Fourier-ranformation geometricher Signale a) Da Signal A kann gechloen dargetellt werden al A x t t t 3 Mit der Definitiongleichung der Fourier-ranformation ergibt ich die Fourier-ranformierte zu jt XA xa t e 3 3 jt jt j3 j e e e e j j j in e e e e j j j j j b) Da Signal B kann gechloen dargetellt werden al xb t t t t t t Die Berechnung der Fourier-ranformierten mit der Definitiongleichung ergibt jt jt jt B B j t X x t e t e t e e jt j j j j j e e e c) Da Signal C kann gechloen dargetellt werden al xc t t t t Zur Berechnung der Fourier-ranformierten wird da Fourier-Integral in eilbereiche zerlegt

48 jt jt jt jt jt C XC x t e e e e e j j e e e e j j j j j j j j j j j j j j e e e e e j e e e e j j j j j j 3 in in e 5 j 6.3 Fourier-ranformation einer zeitlich begrenzten harmonichen Schwingung a) Da Signal kann gechloen dargetellt werden al xt co t t t b) Die Berechnung de Spektrum über die Definitiongleichung der Fourier-ranformation ergibt / j t jt X x t e co e jt j j / e j co t in t 6 e j co in 6 e j co in 6 j 6 in j j e e 6 c) Alternativ ergibt die angegebene Korrepondenz / / in in in X 6

49 6. Betimmung de Spektrum eine Signal über Rechenregeln Um die Rechenregeln der Fourier-ranformation anwenden zu können, mu da Signal y(t) umgeformt werden. y t in t x t co t x t x t co t x t Mit dieer Umrechnung kann da Spektrum Y() mithilfe der Linearität-, Modulation- und Faltungregel berechnet werden zu Y X Die Faltung eine Spektrum mit einem Impul verchiebt da Spektrum an die Stelle de Impule. Damit ergibt ich da geuchte Spektrum Y() zu Y X X X X X X 6.5 Betrag und Phae der Fourier-ranformierten Die Funktion y t in t t hat die Fourier-ranformierte Y Mit der Verchiebungregel ergibt ich für die Zeitfunktion x t in t t die Fourier-ranformierte X e j Sie hat denelben Betrag wie die nicht verchobene Funktion, aber eine andere Phae. Betrag und Phae owie Real- und Imaginärteil ind in dem folgenden Bild dargetellt.

50 Realteil Imaginärteil Betrag Phae Kreifrequenz / Kreifrequenz / Kreifrequenz / Kreifrequenz / 6.6 Invere Fourier-ranformation a) Die Laplace-ranformierte X hat ein konjugiert komplexe Polpaar mit dem Realteil -. Damit liegt die imaginäre Ache im Konvergenzbereich der Laplace-ranformierten, oda die Fourier-ranformierte X 5 j 5 j j 7 dieelbe Zeitfunktion hat wie die Laplace-ranformierte, nämlich die Funktion mit t x (t) 5e co( t) t b) Die Fourier-ranformierte X in kann auf bekannte Korrepondenzen zurückgeführt werden. Ihr entpricht im Zeitbereich die Funktion x t t t c) Die Fourier-ranformierte X 3 in

51 Spektrum X() kann dargetellt werden al da Produkt von zwei Fourier-ranformierten X 3 in in Ein Produkt im Frequenzbereich entpricht der Faltung im Zeitbereich, oda ich folgende Zeitfunktion ergibt: t für - t x3 t t t t t t für t 6 ont 6.7 Invere Fourier-ranformation mit einer abchnittweie definierten Funktion Da Spektrum it in folgendem Bild dargetellt. Mit der Definitiongleichung der inveren Fourier-ranformation und der Stammfunktion ax ax e x e dx 3 a x a x a ergibt ich -3 3 Kreifrequenz jt jt jt jt x t X e d e d e d e d jt 3 e 3 t j t 9 j t 3 e jt jt 3 3 j3t j3t e e 3 9 t 6 j t 9 3 t 6 j t e e 9 j t j t j t j t 6 j t j 3 t j3t 9 t e e e e e e e e 3 j 9 t j t j 3 t j 3 t j 3 t j 3 t j 3 t j 3 t j 3 t j 3 t in 3 t co 3 t in 3 t in 3 t 3 t 3 t 9 t t in 3 t co 3 t 3 9 t 3 t

52 Signal x(t) Zur Veranchaulichung it der Signalverlauf x(t) im folgenden Bild dargetellt. - - Zeit t 6.8 Zuammenhang Fourier-Reihe und Fourier-ranformation a) Die Fourier-ranformierte it definiert über da Integral jt X x t e In dieem Fall ergibt ich X x t e e e e j j jt jt jt j j j j j e e e e in j b) Der Betrag ergibt ich für den hier benötigten Bereich von au X in c) Die Periodendauer de Signal y(t) it =. Damit ergeben ich die komplexen Fourier- Koeffizienten für n zu n n j t j t n n j t j t An y t e y t e e j e n j n j n j n j n j n j j n e e e e e in n n n Der Koeffizient A ergibt ich au dem zeitlichen Mittelwert und beträgt A Die Frequenzen n, für die die Koeffizienten A n gelten, ergeben ich au n n n d) Der Betrag der Fourier-Koeffizienten A n errechnet ich analog zu Aufgabenteil b) zu

53 Betrag A n n in n In den dargetellten Frequenzbereich fallen die Frequenzen. Die Frequenzen und die zugehörigen Beträge der Fourier-Koeffizienten lauten: n 3 n / 3/ A n A n e) An den Stelle n berechnet ich der Betrag der Fourier-ranformierten zu n n n n Xn in in in in n n n n Die Fourier-Koeffizienten A n der periodichen Funktion x(t) entprechen an den Stelle n bi auf einen Faktor / dem Spektrum X( n ) der nicht periodichen Funktion. In dem folgenden Bild ind die Beträge der beiden Spektren dargetellt. Fourtier-ranformierte Fourier-Koeffizienten. Fourier-Koeffizienten.5 / 3/ Kreifrequenz 6.9 Unchärfeprinzip der Fourier-ranformation a) Mit der inveren Fourier-ranformation ergibt ich x t X e j t d e j t d Um die Aublendeigenchaft der Fourier-ranformation anwenden zu können, wird da Integral aufgeteilt. j t jt x t e d e d jt jt e d e d e e co t jt jt

54 b) Die zeitlich begrenzte Beobachtung kann im Zeitbereich mit Sprungfunktionen bechrieben werden. t t xw t xt w t xt t t Dieer Vorgang wird al Fenterung (Windowing) bezeichnet. c) Eine Multiplikation im Zeitbereich entpricht im Frequenzbereich der Faltung. Die Faltung de Spektrum W() der Fenterfunktion mit den beiden Impulen de Spektrum X() führt zu einer Verchiebung de Spektrum W() an die Stelle der Impule. Damit ergibt ich für da gefenterte Signal X W W W W W Mit dem Spektrum der Fenterfunktion t in t W t ergibt ich t t in in t XW t t t t in in t t t d) Da zeitlich begrenzte Signal x W (t) weit höhere Signalanteile auf, da durch da Auchneiden Signalflanken enttehen, die unendlich teil ind und damit unendlich hohe Frequenzen beitzt. e) Da zeitlich begrenzte Signal, da über die Summe zweier harmonicher Schwingungen bechrieben wird, weit wegen der Linearität der Fourier-ranformation folgende Spektrum auf X W t t t t in in in in t t t t t f) Die Maxima liegen nicht an den Stelle = und =, da ich die unterchiedlichen Summanden überlagern und die in(x)/x-funktion nicht chnell genug abklingt, um benachbarte Maxima nicht zu beeinfluen. Mit teigender Beobachtungzeit t klingt die in(x)/x-funktion chneller ab, die benachbarten Maxima werden weniger verfälcht. g) eilaufgabe f) bechreibt weitgehend da Unchärfeprinzip. Mit teigender Beobachtungzeit nimmt die in(x)/x-funktion chneller ab, die uncharfe Abbildung de Impule an den Stellen beziehungweie wird zunehmend chärfer. Für genaue Auagen im Frequenzbereich mu ein Signal demnach lange beobachtet werden.

55 6. Spektrum der periodichen Impulfunktion Die Funktion x(t) it ein periodiche Signal mit der Periodendauer. x t t n n Da Signal kann damit al Fourier-Reihe dargetellt werden. Die Fourier-Koeffizienten ergeben ich zu / jn t An t e / Wegen der Aublendeigenchaft der Impulfunktion gilt: / / jnt jn An t e e t / / Da Spektrum it damit an allen Stellen null A() =, nur an den Stellen n weit e den Wert / auf. Der Zuammenhang zwichen den Fourier-Koeffizienten A n und der Fourier-ranformierten X(n ) ergibt ich au X n A n Damit kann da Spektrum der idealen Abtatfunktion dargetellt werden al X n n n n 6. Betimmung de Klirrfaktor eine Meytem a) Wird da Eingangignal u(t) in die leichung für da Augangignal y(t) eingeetzt, ergibt ich nach Umrechnung mit Additiontheorem für Winkelfunktionen y t co t. co t co t. co t.5 co t.5 co t Durch Anwendung der Eulerchen Formel kann der Audruck in eine komplexe Fourier-Reihe überführt werden. y t co t co t e e e e jt jt jt jt e e e e jt jt jt jt b) Um den Klirrfaktor zu berechnen, werden die Leitungen der Oberchwingungen zur Leitung der eamtchwingungen in Verhältni geetzt. K A A... 3 A A A... 3 In dieem Beipiel ergibt ich mit den oben berechneten Werten

56 .5 K.99.5 Oft wird der Klirrfaktor in Prozent angegeben. Der berechnete Klirrfaktor entpricht einem Wert von K =.99 %. E gibt viele Möglichkeiten nichtlineare Verzerrungen beziehungweie üte von Sytemen zu bechreiben. Neben dem Klirrfaktor wird in der Literatur auch der Kennwert otal Harmonic Ditortion (HD) dikutiert. Im Audioektor wird meiten der Klirrfaktor zur Bewertung der Nichtlinearität von Sytemen verwendet, da ich dieer hitorich gefetigt hat. Allerding it der Klirrfaktor al alleinige Angabe über den kompletten Frequenzbereich eine Vertärker eine chlechte Angabe. Da da menchliche ehör im niederfrequenten Bereich gegenüber dem Brillanzbereich von khz bi khz für Verzerrungen nicht o empfindlich it. Im Brillanzbereich ind unter betimmten Bedingungen Verzerrungen unter K =.5 % noch hörbar. Daher wird im HiFi-Sektor zum Klirrfaktor oder dem HD-Kennwert meit der Frequenzbereich angegeben. 6. Spektrum de auß-impule a) eucht wird da Spektrum der Funktion x t e t Für die ranformation diee Signal wird die Ableitung der Zeitfunktion gebildet. E ergibt ich die Differentialgleichung dx t t e t x t Diee leichung kann mit den Rechenregeln der Fourier-ranformation in den Frequenzbereich tranformiert werden. d j X j X d Eine rennung der Veränderlichen owie eine Integration führt zu In X k beziehungweie X e e k Die Kontante lät ich betimmen über: k t X e x t e Damit mu k = ein, und e ergibt ich die Fourier-ranformierte X e b) Bei dem auß-impul handelt e ich um ein Signal, da im Zeit- und Frequenzbereich den gleichen Funktionverlauf aufweit.