Note: Klausur eingesehen am: Unterschrift des Prüfers: Nachname: Vorname: Matrikelnummer:

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1 Sytemtheorie und Regelungtechnik Abchluklauur Prof. Dr. Moritz Diehl und Jochem De Schutter, IMTEK, Univerität Freiburg 6. März 7, 4:-6:3, Freiburg, George-Koehler-Allee Raum /4 Seite Summe Punkte auf Seite (max) Erreichte Punkte Zwichenumme Zwichenumme (max) Note: Klauur eingeehen am: Unterchrift de Prüfer: Nachname: Vorname: Matrikelnummer: Fach: Studiengang: Bachelor Mater Lehramt Sontige Unterchrift: Tragen Sie bitte Ihren Namen und die anderen Angaben oben ein. Geben Sie die Antworten direkt unter den Fragen an oder nutzen Sie bei Bedarf nach Möglichkeit die Rückeite deelben Blatte (oder, fall diee bereit voll it, die leere Seite am Ende) für Ergebnie, die in die Korrektur einfließen ollen; verweien Sie zudem direkt bei der Frage im Hauptteil auf die entprechende Seite. Sie können zudem weitere weiße Papier für Zwichenrechnungen verwenden, aber bitte geben Sie diee Extrapapier nicht ab. Al Hilfmittel it neben Schreibmaterial und einem Tachenrechner auch ein doppeleitige Blatt mit Formelammlung und Notizen erlaubt; einige juritiche Hinweie finden ich in einer Fußnote. Machen Sie bei den Multiple-Choice Fragen jeweil genau ein Kreuz bei der richtigen Antwort.. Ein Sytem in Eingang-Augangform it durch die Dartellung y(t) = t g(τ)(u(t τ)) dτ bechrieben. It da Sytem linear und/oder zeitinvariant? keine von beiden nur zeitinvariant nur linear linear und zeitinvariant { te t + für t. Ein LTI-Sytem hat die Sprungantwort h(t) =. Wie lautet die Impulantwort g(t) de Sytem für t R? für t < δ(t) + e t te t e t te t e t δ(t) + e t 3. Welche der folgenden Auagen trifft auf ein Sytem mit der Impulantwort g(t) = ( + t) zu? Da Sytem it nicht BIBO-tabil. Da Sytem it zutandtabil. Da Sytem it aymptotich tabil. Da Sytem it BIBO-tabil. PRÜFUNGSUNFÄHIGKEIT: Durch den Antritt dieer Prüfung erklären Sie ich für prüfungfähig. Sollten Sie ich während der Prüfung nicht prüfungfähig fühlen, können Sie au geundheitlichen Gründen auch während der Prüfung von dieer zurücktreten. Gemäß den Prüfungordnungen ind Sie verpflichtet, die für den Rücktritt oder da Veräumni geltend gemachten Gründe unverzüglich (innerhalb von 3 Tagen) dem Prüfungamt durch ein Attet mit der Angabe der Symptome chriftlich anzuzeigen und glaubhaft zu machen. Weitere Informationen: TÄUSCHUNG/STÖRUNG: Sofern Sie veruchen, während der Prüfung da Ergebni ihrer Prüfungleitung durch Täuchung (Abchreiben von Kommilitonen...) oder Benutzung nicht zugelaener Hilfmittel (Skript, Buch, Mobiltelefon,...) zu beeinfluen, wird die betreffende Prüfungleitung mit " nicht aureichend" (5,) und dem Vermerk " Täuchung" bewertet. Al Veruch gilt bei chriftlichen Prüfungen und Studienleitungen bereit der Beitz nicht zugelaener Hilfmittel während und nach der Augabe der Prüfungaufgaben. Sollten Sie den ordnunggemäßen Ablauf der Prüfung tören, werden Sie vom Prüfer/Aufichtführenden von der Fortetzung der Prüfung augechloen. Die Prüfung wird mit " nicht aureichend" (5,) mit dem Vermerk Störung bewertet. Punkte auf Seite 3

2 4. Die beiden LTI-Syteme ẏ (t) + y (t) = u(t) und ÿ (t) + ẏ (t) + y (t) = u(t) werden parallel gechaltet und die Augänge addiert. Wie lautet die ich ergebende Geamtübertragungfunktion G() = Y () U()? (+)( ++) (+)( ++) 5. Der Bode-Amplitudenplot eine PT-Gliede G() = -6 db/dek -4 db/dek - db/dek - db/dek +T +T hat für hohe Frequenzen die folgende Steigung (in db pro Dekade = db/dek): 6. Hintereinanderchaltung von G () = 6 und G() = reultiert in dem Sytem G() = Welche Übertragungfunktion G() hat da LTI-Sytem ẋ(t) = 4x(t) + u(t), y(t) = 3x(t) + u(t)? Welche der folgenden Syteme it tabil? ( )(+) 9. Die tatiche Vertärkung de Sytem G() = it: Welche Eigenchaften hat die Matrix K, die man durch da MATLAB Kommando K = place(a,b,p) erhält? (A R n n und B R n ) AK hat p reelle Eigenwerte au B A KB hat Eigenwerte au p B it Eigenvektor von AK mit AKB = pb A BK hat Eigenwerte au p. Ein Sytem it durch die Differentialgleichung ẏ(t) = a e b u(t) bechrieben, wobei a und b von Null verchiedene kontante Parameter ind. It da Sytem linear und/oder zeitinvariant? keine von beiden nur linear linear und zeitinvariant nur zeitinvariant Punkte auf Seite 9

3 . Betrachten Sie die folgende nichtlineare Differentialgleichung, die in etwa die Gechwindigkeit y(t) eine Auto mit Luftwidertand und regelbarer Stellung de Gapedal u(t) bechreibt: ẏ(t) = bu(t) y(t) c. Dabei ind b und c Kontanten. Berechnen Sie den Gleichgewichtzutand y, der ich bei kontanter Gapedaltellung u(t) u eintellt. Lineariieren Sie da Sytem im Punkt (u, y ), um eine lineare Differentialgleichung in den Variablen y(t) = y(t) y und u(t) = u(t) u zu erhalten. Berechnen Sie die Übertragungfunktion G() de lineariierten Sytem Auf welche Weie wird die Rückführmatrix L eine Luenberger-Beobachter berechnet? durch die Methode von Ziegler-Nichol durch Loop-Shaping durch Polvorgabe durch Minimierung de quadrierten Schätzfehler 4. Welche der folgenden Auagen it korrekt? Ein PI-Regler......orgt für einen kleinen Regelfehler für Signale im niederen Frequenzbereich....wird eingeetzt, wenn man hochfrequente Störungen beeitigen will....hat die Übertragungfunktion K PI() = K P ( + T I)....wird realiiert durch die Reihenchaltung eine phaenanhebenden und eine phaenenkenden Korrekturgliede 5. Welche der folgenden Auagen it korrekt? Da Kalmanfilter......it ein Tiefpafilter zweiter Ordnung....hat die gleiche dynamiche Struktur wie der Luenberger Beobachter...kann nur eingeetzt werden, wenn da Sytem teuerbar it....wird mithilfe der Methode der Polvorgabe parametriiert. Punkte auf Seite

4 6. Welche der folgenden Auagen it nicht korrekt? Ein tabile PT-Glied......hat immer eine kleinere Antiegzeit al ein PT- Glied...weit einen Überchwinger auf in der Sprungantwort wenn die Dämpfung d <....hat zwei interne Zutände....entpricht einen monoton fallenden Phaenverlauf. 7. Ein Sytem in Eingang-Augangform it durch die Dartellung... y 6ÿ+3y = u+8u bechrieben. Berechnen Sie die Matrizen A, B, C, D einer äquivalenten Zutanddartellung. 8. Ein LTI-Sytem wird durch die Zutandgleichung ẋ = Ax + Bu, y = Cx + Du bechrieben, 3 wobei A =, B =, C = [ ], D =. Berechnen Sie da charakteritiche Polynom p A(λ) de Sytem. Wenn da Sytem zum Zeitpunkt t = mit einem Sprung angeregt wird, welche Verhalten zeigt der Augang y(t) de Sytem für t? Der Augang... zeigt eine Dauerchwingung. geht gegen Null. geht gegen einen kontanten Wert ungleich Null. geht gegen unendlich. It e möglich, den Zutand de Sytem durch eine geeignete Wahl der Einganggröße u(t) au der Ruhelage x = [ ] in den Zutand x = [ π ] zu überführen? Begründen Sie Ihre Auage. Hinwei: E it nicht notwendig, den konkreten Verlauf von u(t) zu berechnen. 3 Punkte auf Seite 8

5 9. Skizzieren Sie da Bode-Diagramm de Sytem G() =. + ( +. ) Amplitude (db) Bode Diagramm Phae (Grad) Frequenz (rad/) 3. Wie lautet die Übertragungfunktion G() = Y () der folgenden Anordnung? U() U() Y () Punkte auf Seite 5

6 . Für ein BIBO-tabile LTI-Sytem G() wurde folgende Bode-Diagramm ermittelt. 5 Bode Diagram Magnitude (db) Phae (deg) Frequency (rad/) Wie hoch it die Durchtrittfrequenz de Sytem? Da Sytem hat keine Durchtrittfrequenz. ca. rad ca. rad ca. rad Wie hoch it der relative Grad (Polüberchu) de Sytem? 3 Wie hoch it die tatiche Vertärkung (DC-Gain) de Sytem? Welche der folgenden Auagen bezüglich der Phaenreerve Φ PR de Sytem it korrekt? Φ PR = 4 < Φ PR < 5 Φ PR = < Φ PR < (e) Welche Amplitudenreerve hat da Sytem (in db)? 4 (f) It da reultierende Sytem BIBO-tabil, wenn der Augang mit - multipliziert und auf den Eingang de Sytem gegeben wird? Keine Auage möglich, da da Sytem nicht minimalphaig it. Ja Keine Auage möglich, da da Bode-Diagramm Nein nur die tationäre Antwort zeigt. (g) Wa it der Steady-State Fehler de gechloenen Kreie, bei negativem Einheitfeedback, für den Eingang u(t) = σ(t)? % % % 5 Punkte auf Seite 7

7 . Gegeben it da auf der linken Seite gezeigte Nyquit-Diagramm (von Sytem A), und eine auf der rechten Seite gezeigte Sprungantwort (von Sytem B). Nyquit Diagram Step Repone 3 Imaginary Axi = Real Axi Amplitude Time (econd) Welche Amplitudenreerve hat Sytem A, abgebildet im Nyquit-Diagramm, in etwa? Welche Phaenreerve hat da Sytem A, abgebildet im Nyquit-Diagramm, in etwa? Betrachten Sie die Sprungantwort von Sytem B. Welcher Übertragungfunktion G() entpricht e? Begründen Sie Ihre Antwort mit 3 Argumenten. + + e e + +5 e e Welche der folgenden Auagen it korrekt?...sytem A und Sytem B ind gleich....der gechloene Krei von Sytem A mit negativem Einheitfeedback it intabil....sytem A hat eine kleinere tatiche Vertärkung al Sytem B....Sytem B it grenztabil. 6 Punkte auf Seite 6

8 3. Betrachten Sie da folgende Sytem ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) + D mit A =, B =, 3 5 C = [ ], D =. E wurde einen Zutandregler entworfen für diee Sytem, o da die Pole de gechloenen Kreie die Werte {,, 3}, annehmen. Jetzt zeigt ich aber, da die Zutände der Strecke nicht direkt gemeen werden können, ondern nur der Augang y(t). Dehalb möchten wir einen Luenberger-Beobachter entwerfen, um den Zutand zu chätzen. Zeigen Sie, da da Sytem über den Augang y(t) beobachtbar it. Schreiben Sie die generelle Differentialgleichung de Luenberger-Beobachter auf, welche die Entwicklung de gechätzten Zutand in Abhängigkeit der Meungen und der Stellgrößen bechreibt. E it nicht notwendig, die vorkommenden Matrizen der Gleichung zu berechnen. l Berechnen Sie die Luenberger gain Matrix L = l, o da die Sytemmatrix de Beobachter die drei Eigenwerte {,, 3} l beitzt. 4 7 Punkte auf Seite 7

9 4. Ein Gleichtrommotor wird durch eine Spannung u(t) geteuert. Er treibt eine gefederte Lat an, die bechrieben wird durch einen Federmoment τ l = kθ(t), wobei θ(t) die Poition de Rotor it. Die Lat (mit Rotor) hat ein Trägheitmoment J. Die Lager üben ein vikoe Reibungmoment τ c = c θ(t) auf den Rotor au. Wenn man induktive Effekte vernachläigt, kann man die Beziehung zwichen der Eingangpannung u(t) und dem Motormoment τ m annäherend bechreiben al: τ m(t) = a u(t) a θ(t), mit Kontanten a und a. Lat θ(t) τ l (t) J DC-motor τ c (t) τ m (t) u(t) Leiten Sie die Eingang-Auganggleichung de Gleichtrommotor mit Eingang u(t) und Augang y(t) = θ(t) her. Berückichtigen Sie dabei die Momenten τ l, τ c und τ m, owie die Rotationträgheit der Lat (mit Rotor), die mit Faktor J proportional zur Winkelbechleunigung θ(t) it. Stellen Sie die Übertragungfunktion G() de Sytem auf. Verwenden Sie die Werte J = kg m, c = kg m, k = 5Nm, a = Nm V oda die Bandbreite de gechloenen Kreie rad beträgt. kg m, a =, und entwerfen Sie einen P-Regler für G(), Hinwei: Die Bandbreite de gechloenen Kreie entpricht in guter Näherung der Durchtrittfrequenz der offenen Kette. Wie hoch it die tationäre Abweichung de gechloenen Kreie für ein prungförmige Referenzignal der Höhe R? 8 Punkte auf Seite 7

10 Leere Blatt für Zwichenrechnungen 9 Punkte auf Seite