24. März Korrektur

Transkript

1 Intitut für Techniche und Num Mechani Machinendynami Prof P berhard / r-ing leißner WS 2014/15 P 1 24 März 2015 Prüfung in Machinendynami Nachname, Vorname -Mail-dree (ngabe freiwillig) ufgabe 1 (5 Punte) etimmen Sie für die folgenden ebenen Syteme die nzahl der reiheitgrade Geben Sie einen Satz geeigneter verallgemeinerter Koordinaten an und zeichnen Sie diee in die Zeichnung ein a) f Matr-Nummer achrichtung 1 ie Prüfung umfat 8 ufgaben auf 6 lättern 2 Nur vorgelegte ragen beantworten, eine Zwichenrechnungen eintragen 3 lle rgebnie ind grundätzlich in den gegebenen Größen auzudrücen 4 ie lätter der Prüfung dürfen nicht getrennt werden 5 l Hilfmittel ind auchließlich 6 Seiten ormelammlung (entpricht 3 lättern IN-4 doppeleitig) zugelaen letroniche Geräte ind audrüclich nicht zugelaen 6 earbeitungzeit: 90 Minuten 7 Unterchreiben Sie die Prüfung ert beim intragen Ihre Namen in die Sitzlite b) f (Unterchrift) Punte Korretur

2 ufgabe 2 (10 Punte) in Karuell beteht au einer Plattform und einem chwenbaren rm, auf dem ich eine Gondel dreht ie Plattform rotiert mit der Winelgechwindigeit α er rm wird durch einen Hydraulizylinder bewegt ieer rm bewegt ich gegenüber der Plattform mit der Winelgechwindigeit ie Gondel dreht ich mit der Winelgechwindigeit γ Plattform x z rm x z γ y Gondel y d) etimmen Sie die Winelgechwindigeit de chwenbaren rm im Inertialytem I x, y, z au der nchauung, e) erechnen Sie die Winelgechwindigeit der Gondel im plattformfeten Koordinatenytem K x,y,z!," # co (α) a) Wie viele reiheitgrade hat da Geamtytem f x α y ufgabe 3 (5 Punte) Wie bezeichnet man die folgenden Zwangbedingungen eachte: Ω,L ind ontant, die Zeit wird durch t bechrieben und alle anderen Größen ind implizit zeitabhängig b) u welchen lementardrehungen etzt ich die Rotation der Gondel gegenüber dem Inertialytem zuammen 1 rehung um x-che y-che z-che geometrich inematich holonom nichtholonom leronom rheonom 2 rehung um x -che y -che z -che Ωt 0 3 rehung um x -che y -che z -che r 1 /L 2 r 2 2 c) Wie bezeichnet man die rehwinel α,, γ bei dieer rehreihenfolge γ 1 f(t,) x inψ y coψ α Ω in 0

3 ufgabe 4 (6 Punte) Welche Kräftearten treten bei den folgenden Teilytemen auf und wie lautet da Kraftgeetz Vervolltändigen Sie die Tabelle d d Reationraft eingeprägte Kraft nichtideale - ideale - Kraftgeetz ufgabe 5 (12 Punte) a) ewerten Sie folgende uagen wahr falch ie nzahl der unterchiedlichen igenfrequenzen ann leiner ein al die nzahl der reiheitgrade ie allgemeine Löung de linearen Schwingungytem ergibt ich au der Linearombination der igenlöungen ie Spalten der undamental-matrix =(t) ind nicht identich mit den igenvetoren de Sytem rehmatrizen ind orthogonale Matrizen und haben die eterminante -1 ür jeden beliebigen Starrörper exitiert ein Hauptachenytem, in dem deen Trägheittenor iagonalgetalt hat ine Reonanzercheinung ann nur bei ungedämpften Sytemen auftreten eim uftreten einer Scheinreonanz bleibt die mplitude trotz der rfüllung der Reonanzbedingung endlich b) Welche Stabilitäteigenchaften haben die folgenden linearen Syteme Sytem aymptotich tabil grenztabil intabil eine uage möglich μ λ 1, =±3, λ = 2, λ =0 λ 1, =0, λ, = 1±, d 1, =1 p(λ)=λ 4λ5 λ 1 =03, λ, = 1±4, λ = 3 λ 1, =0, λ, = 2±8

4 ufgabe 6 (18 Punte) a mechaniche Modell eine Mehrörperytem beteht au einem chlanen, homogenen rm (Schwerpunt 1, Mae m 1, Länge 2L), einer reiförmigen Scheibe (Schwerpunt, Mae m, Radiu R) und einem vertial beweglichen Schwinger (Schwerpunt, Mae m ) er rm ann al dünner Stab angenommen werden und it durch eine rehfeder (ederteifigeit M, ungepannt für 0) an die Umgebung geoppelt ie Scheibe it am nde de rm gelagert und dreht ich mit der ontanten Winelgechwindigeit Ω relativ zu dieem er Schwinger it mit einer eder (ederteifigeit, ungepannte ederlänge u O ) an den rm geoppelt l Vetor der verallgemeinerten Koordinaten wird P uq gewählt,m R V Scheibe V 1 Ωt g L rm 1 a) Wie lauten die Trägheitmomente de rm und der Scheibe bezüglich ihrer Schwerpunte I 1,R, I,R b) Vervolltändigen Sie die Ortvetoren zu den Körperchwerpunten 1, und a2lcorco'ωt( S 1, S blinrin'ωt(, 0 a m 1 M b L Schwinger u m S c) erechnen Sie die tranlatorichen und rotatorichen Gechwindigeiten X 1 X X 1 Y, d) etimmen Sie die echleunigungen de rm Z 1 [ \1 ]

5 e) Wie lauten die auf den rm wirenden eingeprägten Kräfte und Momente ^1R =, _ R 1 = f) Ordnen Sie folgende Vetoren- und Matrizenbezeichnungen den Teilen der Newton-uler-Gleichungen zu () [ () ab () cd R () globale Verteilungmatrix der Reationräfte/-momente () Vetor der verallgemeinerte Zwangräfte/-momente () Vetor der orioli- und Zentrifugalräfte m 1e Y Y Y Y m e Y Y Y [ \1 m 1 Zg 1 [ \ m Zg ^1 R j 1 ^R j m e Y Y[ \ ] m Zg = ^R j l ym f 1 Y [ 71 f 1 hd 1 i 1 f 1 R 1 _ 1 1 f [ 7 f hd i f _ R g) Mit welchem Vorgehen laen ich nun die Lagerreationräfte berechnen Zunächt müen für die erechnung der Verteilungmatrix, die Newton- uler-gleichungen lineariiert werden nchließend ergeben ich die Lagerreationen durch da analytiche Löen der ifferentialgleichungen ie Reationräfte önnen nun diret au den Reationgleichungen berechnet werden, die ich durch Linmultipliation mit Qd \ Mb o1 ergeben urch die Linmultipliation mit J \ laen ich nun die ewegunggleichungen herleiten, die den gewünchten Vetor der Lagerreationräfte beinhalten Zunächt müen die ewegunggleichungen hergeleitet werden u dieen ann der zeitliche Verlauf der verallgemeinerten Koordinaten ermittelt werden, die für die erechnung der Lagerräfte in den Reationgleichungen benötigt werden ufgabe 7 (8 Punte) ie ewegunggleichungen eine ungedämpften Zweimaenchwinger ergeben ich zu 1 0 qr 0 1 ] = f Oco(Ωt) qttrtt qtttrttt 0 a u v a) Wie lautet die charateritiche Gleichung q(λ)= = b) urch die Subtitution μ =λ ergeben ich die Nulltellen μ 1 = 3 5, μ = c) Wie lauten omit die igenreifrequenzen ω 1 =, ω = d) erechnen Sie die beiden linear unabhängigen igenvetoren { 1 = 1 }, { = 1 /{ a{ e) ie maennormierte Modalmatrix ~=Pg 1,g Q ergibt ich mit g 1 { Wie lauten nun die modal tranformierten ewegunggleichungen in den Normaloordinaten ƒ=~ o1 ] qttttttrtttttt ~ a~ qttttttttrtttttttt ~ u~ } = vˆ ~ v

6 ufgabe 8 (11 Punte) u einem vereinfachen Modell de recht abgebildeten ontainer-greiftapler wurden die folgenden nichtlinearen ewegunggleichungen berechnet, 3L m 3m L b m inα L b m inα b m, t α L b! coα L b α! coα % Mtαα ( ) L g m 2m coα Mt ) b m gin $,!,t,,!,t ie ewegunggleichungen ollen für leine ulenungen, Gechwindigeiten und echleunigungen um die Gleichgewichtlage - % / 02,!-%30 04, -%30 04 lineariiert werden gilt % 0-5, wobei 5 den Vetor der linearen verallgemeinerten Koordinaten dartellt Hinwei: Im llgemeinen lautet die lineare orm der oben dargetellten ewegunggleichungen: α m g Mt m 6,t7 5 9 $ ;, ; <!! 5! 9 ; $ ;, ; < 5 %,6,!,t7$6,!,t76,t7 8t,!,!,!,! t =t >t a) Geben Sie die lineare Maenmatrix 8, die Matrix der gechwindigeitabhängigen Kräfte =, die Matrix der lageabhängigen Kräfte > owie den rregervetor an 8 % >%, %, =% b) erechnen Sie die Winelpoition α ( der ungepannten rehfeder, oda ich da lineare Sytem für Mt%0 in der oben genannten Ruhelage befindet, α ( %