Übungsaufgaben zur Vorlesung. Lineare Algebra II. Komplex VI: Vektoren, Vektorräume und Lineare Unabhängigkeit

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1 Übungaufgaben zur Vorleung Lineare Algebra II Komplex VI: Vektoren, Vektorräume und Lineare Unabhängigkeit. Seien p = (, k) und q = (, ). Man betimme k o, daß p und q (a) parallel ind. (b) orthogonal ind. (c) den Winkel π einchließen. (d) den Winkel π einchließen.. Beweien Sie: (a) a = b (a + b) (a b) = (b) a + b = a b a b =. Gegeben ind die Vektoren a = Berechnen Sie: (a) a (b c) (b) (a d) (c b) (c) (a b) (c d) (d) ((a b) c) d, b =, c =. Seien u = (,, ), v = (,, ) und w = (,, 7). Berechnen Sie: (a) u w (b) u (v w) (c) (u v) w (d) (u v) (v w) (e) u (v w) (f) (u v) w. Berechnen Sie (a + b) (a b) und deuten Sie da Ergebni geometrich.. Warum it der Audruck u v w falch? und d = 7. Berechnen Sie den Flächeninhalt eine Dreieck mit den folgenden Eckpunkten. (a) A(,, ), B(,, ), C(,, ) (b) A(,, ), B(,, ), C(,, ).

2 8. Berechnen Sie den Flächeninhalt de von u und v aufgepannten Parallelogramm. (a) u = (,, ), v = (,, ) (b) u = (,, ), v = (,, ) (c) u = (,, ), v = (,, 8) 9. Berchnen Sie da Volumen eine Tetraeder mit den Eckpunkten P, Q, R und S. (a) P (,, ), Q(,, ), R(,, ), S(,, ) (b) P (,, ), Q(,, ), R(,, ), S(,, ). Wie groß it die Oberfläche eine Tetraeder mit den Eckpunkten A(,, ), B(,, ), C(,, ), D(,, )?. Berechnen Sie da Volumen eine Spat, der von den folgenden Vektoren aufgepannt wird. (a) a =, b =, c = (b) a =, b =, c =. Berechnen Sie da Spatprodukt u (v w). (a) u = (,, ), v = (,, ), v = (,, ) (b) u = (,, ), v = (,, ), v = (,, ). Unteruchen Sie folgende Vektoren auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit. Bei linearer Abhängigkeit telle man einen der Vektoren al Linearkombination der anderen dar. 7 (a) a =, a =, a = 7 9 (b) a = (c) a =, a =, a =, a =, a = (d) a =, a =, a = 9 (e) a =, a =, a = 8, a =, a = 8, a =

3 (f) a =, a =, a = (g) a =, a =, a =, a =. Für welche R ind folgende Vektoren linear abhängig (komplanar)? (a) a =, a =, a = (b) a = (c) a = (d) a = (e) a =, a =, a =, a =, a = + 7, a =, a = + +, a =, a =. Überprüfen Sie die folgenden Vektoren de R auf lineare Unabhängigkeit. (a) (,, ), (,, ) (b) (,, ), (,, ), (,, ) (c) (8,, ), (,, ) (d) (,, ), (,, ), (,, ), (7,, ). Für welche λ ind die folgenden Vektoren linear abhängig? v = (λ,, ), v = (, λ, ), v = (,, λ) 7. Liegen die Punkte P (,, ), P (,, ), P (,, ) und P (,, ) in einer Ebene? 8. Die Vektoren a, b, c R n mit n ind linear unabhängig. Zeigen Sie: (a) a + b c, a + b c, b + c ind linear abhängig. (b) a + b c, a b c, a + c ind linear unabhängig. 9. Zeigen Sie, daß die Funktionen, x, in(x), co(x) im reellen Vektorraum V aller Funktionen f : R R linear unabhängig ind.

4 . Zeigen Sie: (a) Die Vektoren a, a,..., a n ind linear abhängig, wenn einer dieer Vektoren der Nullvektor it. (b) Sind die Vektoren a, a,..., a n linear unabhängig, o it auch jede Teilmenge dieer Vektoren linear unabhängig.. Welche der folgenden Mengen ind Baen de R? (a) M = {(, ), (, )} (b) M = {(, ), ( 7, 8)} (c) M = {(, ), (, )} (d) M = {(, 9), (, )}. Welche der folgenden Mengen ind Baen de R? (a) M = {(,, ), (,, ), (,, )} (b) M = {(,, ), (,, ), (,, 8)} (c) M = {(,, ), (,, ), (, 7, )} (d) M = {(,, ), (,, ), (,, )}. Beweien Sie: Die Vektoren a, a, a und a bilden eine Bai de R. Berechnen Sie die Koordinaten de Vektor b bezüglich dieer Bai. (a) a =, a =, a =, b = 7 (b) a =, a =, a =, a =, b =. Betimmen Sie den Koordinatenvektor von w bezüglich der Bai S = {u, u }. (a) u = (, ), u = (, ), w = (, 7) (b) u = (, ), u = (, 8), w = (, ) (c) u = (, ), u = (, ), w = (a, b). Zeigen Sie, daß die Vektoren a = b + b, a = b + b, a = b + b eine Bai de R bilden, wenn die für die Vektoren b, b, b gilt. Stellen Sie die alten Baivektoren b, b, b durch die neuen Baivektoren a, a, a dar.. Sei {v, v, v } eine Bai eine -dimenionalen R-Vektorraum V. Zeigen Sie, daß dann auch die Menge {c, c, c } eine Bai it mit: c = v + v + v, c = v + v + v, c = v + v + v.

5 7. (a) Zeigen Sie, daß die Menge B = {(,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, )} eine Bai de Vektorraum R it. (b) Ergänzen Sie die Menge {(,,, 9), (,,, )} durch Vektoren au B zu einer Bai von R. 8. Im Folgenden werden jeweil einige Vektoren de Vektorraum V = R angegeben. Entcheiden Sie, ob e Vektoren von R gibt, die nicht im Erzeugni der angegebenen Vektoren liegen und geben Sie gegebenenfall einen olchen Vektor an. (a) (,, ), (,, ) (b) (,, ), (,, ), (,, ) (c) (,, ), (,, ), (,, ) (d) (,, 7), (,, ), (,, ), (, 8, ) (e) (π, e, ), (e, π, ), (, π, e) 9. Berechnen Sie die Orthogonalprojektion von u auf a. (a) u = (, ), a = (, 9) (b) u = (, ), a = (, ) (c) u = (,, 7), a = (,, ) (d) u = (,, ), a = (,, 8). Wie können Addition und kalare Multiplikation definiert werden, o daß die folgenden Mengen zu Vektorräumen werden? (a) V = {(x, x,..., x n ): x i R} (b) V = {(x, x,..., x n ): x i {, }} (c) V = {f : f tetige Abbildung auf (a, b)}. Welche der folgenden Teilmengen U von R n it ein Vektorraum? (a) U = {(x, x,..., x n ) R n : x = x =... = x n } (b) U = {(x, x,..., x n ) R n : x = } (c) U = {(x, x,..., x n ) R n : x = } (d) U = {(x, x,..., x n ) R n : x = } (e) U = {(x, x,..., x n ) R n : x x = }. Zeigen Sie: (a) It g eine Gerade der euklidichen Ebene R durch den Nullpunkt, o it g ein Vektorraum. (b) Sei E eine Ebene de R durch den Nullpunkt. Dann it E ein Vektorraum.. Zeigen Sie: It g eine Gerade der euklidichen Ebene R, die nicht durch den Nullpunkt geht, o it g kein Vektorraum.

6 . Wir tellen un eine Balkenwaage vor, die man an drei Stellen mit Gewichten belaten kann; diee Stellen eien cm link vom Aufhängungpunkt und bzw. cm recht vom Aufhängungpunkt. (a) Geben Sie zwei Gewichtätze an, bei denen die Waage im Gleichgewicht it. (b) Zeigen Sie, daß die Menge aller Gewichtätze, bei denen die Waage im Gleichgewicht it, bezüglich komponentenweier Verknüpfungen ein reeller Vektorraum it. (Dabei muß man allerding auch negative Gewichte zulaen.) (c) Welche Dimenion hat dieer Vektorraum?. Sei V ein K-Vektorraum. Beweien Sie folgende Auagen. (a) Für alle k K, v V gilt: k = und ( k) v = (k v) = k ( v). (Überlegen Sie zunächt, in welchen Strukturen da Minuzeichen wa bedeutet.) (b) Für alle k, k K und alle v V mit v gilt: k v = k v k = k. Sei V die Menge aller Abbildungen von R nach R. (a) Zeigen Sie: Wenn man eine Addition und eine kalare Multiplikation auf V wie folgt definiert: (f + g)(r) = f(r) + g(r), (a f)(r) = a f(r) a, r R; f, g V o wird V zu einem R-Vektorraum. (b) Wir definieren: W = {f V : f() =, f( ) = } Zeigen Sie: W it ein Unterraum von V. 7. Seien U und U Unterräume eine K-Vektorraum V. (a) Zeigen Sie: Die Menge U + U = {u + u : u U, u U } (Die Summe von U und U ) it ein Unterraum von V. (b) Gilt U + U = U, U? 8. Zeigen Sie: Der Durchchnitt beliebig vieler Unterräume eine Vektorraum V it wieder ein Unterraum von V. 9. Sind folgende Mengen U Untervektorräume de Vektorraum R n? Gegebenenfall betimme man die Dimenion und eine Bai von U. (a) U = { (b) U = { (c) U = { x. x n x. x n x. x n : x = x =... = x n x, x,..., x n R} : x + x x n = x, x,..., x n R} : x x = x, x,..., x n R}

7 . Sei V = R. (a) Zeigen Sie, daß die Menge U = {(x, y, z): x, y, z R x + y z = } ein Unterraum von V it. (b) Geben Sie eine Bai von U an. (c) Ergänzen Sie diee Bai zu einer Bai von V.. Welche Dimenion hat der von den Vektoren (,, t + ), (, t +, t) und (, t, ) erzeugte Unterraum von R (t R)? 7