Reglerentwurf mit Wurzelortskurven

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1 Hochchule aenburg-weingarten Labor egelungtechnik. Veruch r. 2 3/27 eglerentwurf mit Wurzelortkuren Einführung In dieem Veruch geht e um den theoretichen eglerentwurf mit Hilfe on Wurzelortkuren und die praktiche Erprobung der ermittelten egler an einer orgegebenen egeltrecke: Berechnung on Wurzelortkuren Unteruchung der Eigenchaften de egelkreie unter Verwendung erchiedener eglertypen eglereintellungen mit Hilfe der Wurzelortkure und Vergleich mit eigenen Tetwerten Zuammenhang zwichen Wurzelortkuren und dem dynamichen Verhalten on egelkreien 2. Veruchanordnung egeben it ein egelkrei nach Abb. mit einer egeltrecke 3. Ordnung. Die egeltrecke it al Analogrechnerchaltung realiiert, al egler fungiert eine MOELLE Eay Compact-SPS mit wahlweie eintellbaren P-, PI- und PID-eglern. Abb. : Schema der PT3-egeltrecke Übertragungfunktion der Strecke: Führungübertragungfunktion: Abb. 2: ; T ec ( + T ) 3 S X () W () W ( ) + S S () Aufbau eine egelkreie mit PT3-Strecke und MOELLE Compact-SPS al PID-egler V2_Veruchbechreibung_er9.doc / letzte Aktualiierung: 3. März 27 (A. Bol)

2 aenburg-weingarten Veruch r. 2 3/27 Labor egelungtechnik 2.. Die eglereinheit eglerentwurf mit Wurzelortkuren Die komplette MOELLE Compact-SPS wurde auf eine Aluminiumplatte montiert, die nach hinten abgewinkelt it und al Standfuß agiert. Alle Ein- u. Augänge wurden nach orne auf 4mm Buchen gelegt. Abb. 3: Aufgebaute eglereinheit mit MOELLE Eay egler und Anchlubuchen 2.2. Bedienung der MOELLE Eay eglereinheit Die MOELLE Eay eglereinheit, eine Compact-SPS, hat je nach Make pezielle Taten, die e ermöglichen ich durch die Maken durchzuhangeln Startbildchirm Abb. 4: Startbildchirm der MOELLE EASY eglereinheit Wird die Compact-SPS getartet, o meldet ie ich mit dem Startbildchirm. Die rote LED recht on dem Diplay ignaliiert, da der egler augechaltet it. Um in da nächte Menü (Allgemein) zugelangen wird die Pfeiltate nach recht gedrückt. 2 V2_Veruchbechreibung_er9.doc / letzte Aktualiierung: 3. März 27 (A. Bol)

3 aenburg-weingarten Veruch r. 2 3/27 Labor egelungtechnik Menü Allgemein (Betrieb) eglerentwurf mit Wurzelortkuren Im Menü Allgemein werden die wichtigten Informationen angezeigt: zum einen wird der Statu de egler und eglertyp angezeigt, owie die Führunggröße und die egelgröße Abb. 5: Erklärung und Tatenbezeichnung on Menü Allgemein Über die Taten können die egler zu- und abgechaltet werden, owie in da Menü Eintellungen gewechelt werden. Die gechieht durch die Pfeiltate nach oben Menü Eintellungen Abb. 6: Menü Eintellungen In dieem Menü werden die Eintellungen für den egler getätigt. Um die Eintellungen ändern zu können, wird die OK -Tate gedrückt und ein chwarzer Balken blinkt über einem Wert. Durch die Pfeiltaten nach oben und unten kann der blinkende Curor an die richtige Stelle gelenkt werden. Durch ein erneute Drücken der OK -Tate kommt man in den Eingabe-Modu. Um die Stelle auzuwählen werden die Pfeiltaten nach link oder recht gedrückt. Der Wert wird über die Pfeiltaten nach oben oder unten geändert. Mit einem abchließendem Betätigen der OK -Tate wird der Wert in die Compact-SPS übernommen. Um diee Menü zu erlaen, drücken Sie die ESC -Tate und gelangen wieder zum Allgemeinen Menü Software zur Bedienung der eglereinheit SPS Programm Da SPS-Programm beinhaltet im Weentlichen den PID-egler, owie die für die Viualiierung releanten Maken. Da Programm wurde o einfach wie möglich gehalten. Alle weentlichen Variablen ind in Merkern hinterlegt. Die Bedienung erfolgt über Softkey und kann auch über einen PC erfolgen. V2_Veruchbechreibung_er9.doc / letzte Aktualiierung: 3. März 27 (A. Bol) 3

4 aenburg-weingarten Veruch r. 2 3/27 Labor egelungtechnik Linienchreiber eglerentwurf mit Wurzelortkuren Der Linienchreiber it Freeware on MOELLE und it auf die Compact-SPS zugechnitten. Mit dieem Programm können zwei Arten on eglern aufgezeichnet werden, der Zweipunktregler und der für dieen Veruch intereantere PID-egler. Die Verbindung zum PC erfolgt über da Programmierkabel. Die Merker werden zyklich augeleen und bei Bedarf gechrieben. Abb. 7: Linienchreiber on MOELLE (Autor: Paul Knodel, Moderator de MOELLE Forum Beim erten Start der Software, werden die Schnitttellenparameter überprüft. Unter dem Menüleiteneintrag Kommunikation Schnitttelle können Sie die Kommunikationchnitttelle auwählen mit der da Programm Kontakt mit der Compact-SPS aufnehmen kann. un it der Linienchreiber einatzbereit. Mit dem Button Online wird die Kommunikation zur Compact-SPS aufgebaut. Mittel der Eingabefelder link om Katen DC können die Parameter KP, T und TV direkt geändert werden. Diee Werte werden im nächten Zyklu der Compact-SPS übernommen. Zu beachten it die Skalierung der Werte. E gelten folgende Skalierungen: Proportionalertärkung Kp [%], der Wert entpricht einem KP(Faktor) on, achtellzeit Tn [. ], Wertebereich 65535, d.h. entpricht., max , Vorhaltezeit T [. ], Wertebereich 65535, iehe Tn. Mit der -Tate können Sie die Aufzeichnung tarten und mit der -Tate wieder toppen. Wird erneut die Aufzeichnung getartet, o fragt da Programm nach, ob Sie einen neuen raphen aufzeichnen möchten oder weiter aufzeichnen. 4 V2_Veruchbechreibung_er9.doc / letzte Aktualiierung: 3. März 27 (A. Bol)

5 aenburg-weingarten Veruch r. 2 3/27 Labor egelungtechnik eglerentwurf mit Wurzelortkuren Abb. 8: Linienchreiber mit Eingabefenter der eglerparameter und Diagrammen Export nach MS-Excel Unter dem Menüpunkt Datei, gl. Abb. 8, findet ich al weitere Option, Export nach MS-Excel. Damit it e möglich, einen oder mehrere aufgezeichnete raphen nach MS-Excel zu exportieren und ein Diagramm zu ertellen. Abb. 9: Mewerte und Diagramm unter Excel Für die Dartellung der Diagramme unter MS Excel it wichtig, da eine Zeitache definiert wird. Da in den Eintellungen fetgelget it, da 4 Meungen pro Sekunde erfolgen, mu in der Excel-Tabelle manuell eine Spalte eingefügt werden, in der Zeitwerte im.25 -Abtand eingetragen werden. Diee relatie Zeitache erleichtert die Auwertung der Meergebnie deutlich. V2_Veruchbechreibung_er9.doc / letzte Aktualiierung: 3. März 27 (A. Bol) 5

6 aenburg-weingarten Veruch r. 2 3/27 Labor egelungtechnik 3. Theoretiche rundlagen eglerentwurf mit Wurzelortkuren Unteruchung de Stabilitäterhalten on egelkreien anhand der Wurzeln der charakteritichen leichung bzw. der Pole der Führungübertragungfunktion. Abb. : Signalfluplan de kompletten egelkreie Führungübertragungfunktion: W ( ) X ( ) ( ) S ( ) W ( ) + ( ) ( ) () S Für lineare Syteme mit konzentrierten Speichern it w () eine gebrochen rationale Funktion on W () X() W() b a + b + a leichung (2) umgechrieben ergibt: b + a m n n m Z ( ) ( ) n m (a + a +... a n ) X() (b + b +... b m ) W() Zähler enner mit a, b, reell; m n Diee leichung in den Zeitbereich tranformiert (Differentiationatz) ergibt eine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit kontanten Koeffizienten. (n) & (3) a x(t) + a x(t) +...a x(t) b w(t) + b w(t) & m +... b Die linke Seite dieer homogenen Differentialgleichung bechreibt da Eigenerhalten (Eigenchwingung) de Sytem, alo da Sytemerhalten ohne Anregung durch ein Eingangignal. m (m) (d.h. w, w &,... ) w(t) (2) Ein Sytem (egelkrei) it tabil, wenn der Aulauforgang abklingt. Hierunter erteht man da Einchwingen de Sytem ohne Anregung on einer Anfangaulenkung in die uhelage. Die Löung einer homogenen Differentialgleichung mit kontanten Koeffizienten it gegeben durch den folgenden Löunganatz, fall keine "Doppel-Wurzeln" auftreten: x(t) n ν C e t mit + jω ; Da charakteritiche Polynom it in dieem Falle gegeben durch den Audruck: a n + a +...a n () : Wurzeln de charakteritichen Polynom und it identich mit dem "ennerpolynom" () der Führungübertragungfunktion w (), iehe (2). Da charakteritiche Polynom kann auch in Produktchreibweie angegeben werden: an ( - )( - 2 )(...)...( - n ) mit, 2,... n : Wurzeln de charakteritichen Polynom bzw. Pole on w 6 V2_Veruchbechreibung_er9.doc / letzte Aktualiierung: 3. März 27 (A. Bol)

7 aenburg-weingarten Veruch r. 2 3/27 Labor egelungtechnik eglerentwurf mit Wurzelortkuren Da die Koeffizienten a der homogenen Differentialgleichung reell ind, müen die Wurzeln reell oder konjugiert komplex ein. Fall : reell ergibt Löunganteil: ω x (t) C e t Fall 2: konjugiert komplex ergibt Löunganteil: + jω + - jω ω ω x (t)+ x + (t) C 2 C e t e + C e t t co( ω ϕ t + ϕ ) ω Die Eigenchwingung klingt nur dann ab (d.h. da Sytem it tabil), wenn alle negati ind, d.h. alle Pole on w in der linken Halbebene der -Ebene liegen. Bei mehreren Polen betimmt der Pol bzw. da Polpaar mit dem kleinten ealteil ( ) den Augleichorgang (dominante Pole). 4. Vorbereitung auf da Kolloquium Aufgabe : rundlagenwien zu Wurzelortkuren und deren Verwendung in der egelungtechnik: a.) Definieren Sie bitte den Begriff Wurzelortkure (WOK). b.) Welche olle pielen die ulltellen und die Pole de offenen egelkreie? 5. Theoretiche Vorunteruchungen Aufgabe 2: eglerentwurf anhand der Wurzelortkure mit Hilfe de rltool unter MATLAB. Die folgenden egler, P-, PI- und PID-egler ind zu dimenionieren, d.h. wenn orhanden, die Zeitkontanten T und T V zu berechnen, owie die eglerertärkungen K für die gegebenen Bedingungen zu ermitteln. Verwenden Sie bitte für den eglerentwurf mittel WOK da MATLAB SISO-Deign-Tool, aufzurufen auf der MATLAB-Oberfläche mit dem Befehl rltool. Eine auführliche Bechreibung dieer Toolbox finden Sie in Einführung in MATLAB / SIMULIK in den Kapiteln 8.2 und 8.3. V2_Veruchbechreibung_er9.doc / letzte Aktualiierung: 3. März 27 (A. Bol) 7

8 aenburg-weingarten Veruch r. 2 3/27 Labor egelungtechnik eglerentwurf mit Wurzelortkuren Abb. : rltool Strecke mit PID-egler, nach Import de egler zieht rltool den Faktor 2 au dem enner or den Bruch. Achtung: In der Takleite on rltool unter Compenator, Format und Zero/pole/gain auwählen. Die it die bei un gebräuchlichte Dartellungform. Beor Sie anfangen, die eglerertärkungen durch Verchieben der Pole auf der WOK zu ermitteln, achten Sie darauf, da nach dem Import de egler der Faktor or dem egler K it. Fall der Faktor ungleich ein ollte, mu die ermittelte eglerertärkung durch dieen Faktor geteilt werden, damit die eglereintellungen im praktichen Veruch timmen, z.b. wichtig beim PID-egler (gl. Abb. 3). a) P-egler: () K b) PI-egler mit T n T : ( ) K + T K T + T ( + Tn) K T c) PID-egler mit T T 2 T, d.h. T und T V ind zu ermitteln durch Koeffizientenergleich anhand der folgenden leichung: ( ) K + T + T V K 2 ( TnTV + T+ ) 2 K T ( + T ) ( + T ) Beim PID-egler ollte der Koeffizientenergleich durchgeführt und T V, owie T berechnet werden, da diee Werte päter zuammen mit dem ermittelten K - und nicht K - im praktichen Veruch erwendet werden. Für diee drei eglertypen a) bi c) ollen die Vertärkungwerte K für folgende Vorgaben ermittelt werden: () K für ein Überchwingen on h m % bzw. einer Dämpfung on D.825, (2) K für ein Überchwingen on h m 2% bzw. einer Dämpfung on D.78, 2 (3) K für eine Dämpfung on D. 77, d.h. die Pole liegen auf der Winkelhalbierenden ( 45 ), (4) K für eine Dämpfung on D.5, bzw. für ein Überchwingen on h m 6.3%, (5) K,krit für den Stabilitätgrenzfall, d.h. die harmoniche, ungedämpfte Schwingung, fall möglich. d) PI-egler mit ariablem Verhältni on T /T mit jeweil zu ermittelndem K für eine Dämpfung on D.77, d.h. die Pole liegen auf der Winkelhalbierenden ( 45 ): () T /T.2 (2) T /T.8 (3) T /T.6 (4) T /T.4 8 V2_Veruchbechreibung_er9.doc / letzte Aktualiierung: 3. März 27 (A. Bol)

9 aenburg-weingarten Veruch r. 2 3/27 Labor egelungtechnik Aufgabe 3: eglerentwurf mit Wurzelortkuren Betimmung der ulltellen de ennerpolynom und Dartellung al Wurzelortkure a.) Bitte berechnen Sie mit Hilfe on MATLAB für jeden der in Aufgabe 2 dimenionierten egler die Führungübertragungfunktion, d.h. egelkrei chließen, für die jeweiligen Vorgaben und tellen Sie die Führungprungantworten für die egler a) bi d) in jeweil einem Diagramm dar, d.h. alle P-egler in einer rafik, uw... b.) Berechnen Sie zuätzlich jeweil die Poltellen de gechloenen egelkreie und tellen Sie diee für jeden egler jeweil in der komplexen -Ebene dar (Wurzelortkure bzw. WOK). Hinweie zur Durchführung finden Sie im Anhang (Kap. 8). 6. Experimentelle Unteruchungen Aufgabe 4: Aufgabe 5: Aufgabe 6: Aufgabe 7: Aufnahme der Übergangfunktion der egeltrecke und der einzelnen Teil-egeltrecken, d.h. Eingang y, Augang x, x 2 und x. Aufnahme der Führungübergangfunktion de gechloenen egelkreie, d.h. Eingang y, Augang x, für die erchiedenen eglertypen a) bi d) und eglereintellungen entprechend den unter Aufgabe 2 betrachteten Vorgaben. Zu den Aufnahmen it zuätzlich jeweil eine Eintellung für K orzunehmen, d.h. der Strecke im offenen egelkrei. Bitte erläutern und bewerten Sie jeweil die Ergebnie der einzelnen egler a) bi d). Aufnahme der Störübergangfunktion, d.h. Eingang z, bei Verwendung de PID-egler entprechend Aufgabe 2c). Eintellung on egelkreien (PID-egler bei Störübergangfunktion) optimieren durch experimentelle Eintellung der eglerparameter: Durch gezielte Verändern der egelparameter (K, T, T V ) it ein güntiger Verlauf (d.h. geringe orübergehende egelabweichung und eine kurze Auregelzeit) der Störübergangfunktion einzutellen. 7. Auwertung Aufgabe 8: Welcher prinzipielle Zuammenhang beteht zwichen der Lage der Wurzeln in der -Ebene und dem Stabilitäterhalten de egelkreie? Erläutern Sie dieen Zuammenhang anhand der aufgenommenen Führungübergangfunktionen. Aufgabe 9: P-egler: a.) Ermitteln Sie die Schwingfrequenz der egelgröße au der Lage der Pol- und ulltellen für K K,krit und ergleichen Sie den berechneten Wert mit dem aufgenommenen Verlauf. b.) It bei der gegebenen egeltrecke der Einatz eine P-egler innoll? Bitte mit Begründung. c.) Bitte berechnen Sie die bleibende egelabweichung für die gegebenen Vertärkungwerte K und ergleichen Sie diee Werte in einer Tabelle mit den im praktichen Veruch ermittelten Werten. Aufgabe : PI-egler: Wehalb nimmt die Schwingneigung de PI-egler mit abnehmender achtellzeit T zu? Erklären Sie dieen Sacherhalt anhand der zugehörigen Wurzelortkuren. Aufgabe : PID-egler: Erklären Sie die reduzierte Schwingneigung eine egelkreie mit D-Anteil (qualitati) anhand der Wurzelortkure de offenen egelkreie. V2_Veruchbechreibung_er9.doc / letzte Aktualiierung: 3. März 27 (A. Bol) 9

10 aenburg-weingarten Veruch r. 2 3/27 Labor egelungtechnik eglerentwurf mit Wurzelortkuren 8. Anhang MATLAB-Befehle zu Aufgabe Die folgenden MATLAB-Befehle zur einfachen Durchführung der Berechnungen on Aufgabe 2 ind auch im Skript Einführung in da Programm MATLAB / SIMULIK zu finden: 8.. Berechnung der Führung- und der Störübertragungfunktion MATLAB-Befehle: (inkl. rafik der Übergangfunktion) 8.2. Berechnung der Poltellen Führungübertragungfunktion: Störübertragungfunktion: W X ( ) O () W ( ) + S + w feedback(*r,) tep(w); grid S O X ( ) z() Z( ) + S + S z feedback(,r) tep(z); grid Die Poltellen und die Wurzelortkure (WOK) können ehr leicht mit Hilfe on MATLAB berechnet werden. Um die Poltellen für definierte K zu berechnen, kann unter MATLAB eine Variable al Zeilenektor mit den gewünchten K Werten definiert werden (WICHTI: o mit K berechnen): Kr[ 2 3 4]; [Pole,Kr]rlocu(o,Kr) 8.3. rafiche Dartellung der Wurzelortkure (WOK) Die WOK kann auch nur für betimmte Kr-Werte berechnet werden, die dann mit x markiert in der komplexen -Ebene dargetellt werden. Diee Markierungen können mit der durchgezogenen WOK überlagert werden. MATLAB berechnet die WOK au der Übertragungfunktion de offenen egelkrei! 8.4. Berechnungen mit FO-Schleife % Vertärkungwerte Kr al Zeilenektor def. % Berechnung der Pole für alle Kr figure % eue rafikfenter öffnen hold on % Ab hier alle rafiken in da gleiche rafikfenter rlocu(o,kr) % Wurzelorte für definierte Kr, markiert mit x rlocu(o) % Wurzelortkure (WOK) mit durchgezogenen Linien et(gca,'xrid','on');et(gca,'yrid','on') % hor./ert. itternetzlinien hold off % Beenden on alle rafiken in da gleiche Fenter Für die Berechnung der Variante de PI-egler d) mit ariablem T /T n -Verhältni empfiehlt ich die Berechnung der Poltellen und der WOK innerhalb einer FO-Schleife für einen gegebenen Zeilenektor der T -Werte. Eine FO-Schleife it auch bei der Berechnung der Stör- und Führungübertragungfunktionen angezeigt. Die gilt auch für die anderen egler mit unterchiedlichem K : echo on; diary('v2.doc ) % Augabe aller Befehle und Protokoll-Start Kr[ ] % Vertärkungwerte Kr al Zeilenektor def. z; % Hilfzahl al Index on Kr Tn[/.2 /.8 /.6 /.4] % Zeilenektor mit Werten für Tn figure; hold on % eue rafikfenter, alle rafiken hier rein for itn % Start der FO-Schleife für Elemente on Tn i % Berechnung für diee Tn zz+; % Index hochzählen rtf([i ],[i ])*Kr(z) % PI-egler für jeweilige Tn; Kr an Stelle z or* % Offener egelkrei mit PI-egler zfeedback(,r)* % Störübertragungfunktion berechnen tep(z); % raf. Dartellung der Störübertragungfkt. end; % Ende der FO-Schleife grid; hold off % itternetzlinien; rafik chließen echo off; diary off; % Befehlaugabe au, Protokoll abchlieen S V2_Veruchbechreibung_er9.doc / letzte Aktualiierung: 3. März 27 (A. Bol)