Regelungs- und Systemtechnik 1. Kapitel 5: Entwurf von Regelungssystemen im Frequenzbereich

Transkript

1 egelung- un Sytemtechnik apitel 5: Entwurf von egelungytemen im Frequenzbereich rof. Dr.-Ing. u Li Fachgebiet Simulation un Optimale rozee SO

2 roblemartellung: Da Sytem wir von einem Signal mit einer betimmten Frequenz betrieben: u t Aint U A Welche Frequenz hat ie Augangvariable? Wie groß it ie Amplitue er Augangvariable? Wie groß it ie haenifferenz zwichen er Eingang- un Augangvariablen?

3 3 α α A A A A t Wenn nur tabile oltellen hat, ergibt ich ie Augangvariable quai-tationär bei Die Frequenzgangartellung Augang: A U Y.h. 4 3 Y α α α α wobei Augang: [ ] t t e e A t y

4 4 Die Frequenzgangartellung Da e aher e Der Augang hat ie gleiche Frequenz Die Amplitue wir veränert mit em Faktor E gibt eine haenverchiebung [ ] [ ] [ ] in t A e e A e e A t y t t t t

5 5 Frequenzgangortkurve e Wie läuft, wenn ich von bi zu änert? arctan -lie: - 45

6 Frequenzgangortkurve I-lie: I-lie: D-lie: D-lie: I D π I I I I D D I I D D π D D 6

7 7 Frequenzgangortkurve -lie:.h. ~ ~ ~ arctan, ~ alo, ~, π Bei

8 8 Frequenzgangortkurve f f ur Analye von efiniert man amit für, < r un min f f r Alo ~ max r eonanzfrequenz : r e kann ehr gefährlich ein! < r

9 Frequenzgangortkurve 3-lie: alo 3 arctan arctan arctan3

10 Stabilität rückgekoppelter Syteme It a gechloene Sytem tabil? Die charakteritiche leichung e gechloenen Sytem: Die ulltellen ieer leichung entprechen en oltellen e gechloenen Sytem. Unterchieliche otellen führen zu unterchielichen Sprungantworten. Wenn alle oltellen auf er linken Seite liegen, it a Sytem tabil.

11 Bechreibung er oltellen urch ie offene ette aher p p p B z z z k B A p p p z z z k B B A B B A B A D.h. Die offene ette: z z z,,, in ie oltellen e gechloenen Sytem ulltellen e charakteritichen olynom. ann man anhan er bekannten offenen ette fettellen, a alle oltellen e gechloenen Sytem auf er Linkeite er S-Ebene liegen? p p p,,, in ie oltellen er offene ette bekannt. z z z,,,

12 Beziehung zwichen er S-Ebene un er -Ebene : Anzahl er ulltellen, : Anzahl er oltellen Die roektion von er S-Ebene zu er -Ebene: p p p z z z k σ σ Im e Wa it ie Wirkung er ull- un oltellen von auf?

13 Beziehung zwichen er S-Ebene un er -Ebene 3 Für eine reelle ulltelle: z σ z σ σ z ie Differenz e Winkel: ie Differenz e Winkel: π

14 Beziehung zwichen er S-Ebene un er -Ebene 4 Für eine reelle oltelle: σ p σ p σ p σ p ie Differenz e Winkel: ie Differenz e Winkel: π

15 5 Beziehung zwichen er S-Ebene un er -Ebene Auf er S-Ebene wir ein rei im Uhrzeigerinn um ein ebiet ertellt. Eine ulltelle im umrienen ebiet führt zu einmal π. Eine oltelle im umrienen ebiet führt zu einmal -π. D.h. wenn alle ull- un oltellen im rei: i i i p z p p p z z z k, π Da Im e σ σ Diee Auagen gelten auch für komplexe ull- un oltelle.

16 Bechreibung er Umläufe von 6 I II Wenn e im Bereich I ull- un oltellen gibt, ann mit : : : π Anzahl er ulltellen im Bereich I Anzahl er oltellen im Bereich I Anzahl er Umläufe von um - im Uhrzeigerinn D.h.

17 Stabilitätanalye mittel yquit-riterium yquit-urve: 7 : Die Frequenzgangortkurve it zu er ealache ymmetrich. : : : Anzahl er oltellen e gechloenen Sytem in er rechten albebene er S-Ebene zu ermitteln Anzahl er oltellen er offenen ette in er rechten albebene er S-Ebene bekannt Anzahl er Umläufe e Frequenzgang um -, im Uhrzeigerinn bekannt anhan er Frequenzgangortkurve

18 Stabilitätanalye mittel yquit-riterium 8 Weil alo : : : Anzahl er oltellen e gechloenen Sytem in er rechten albebene er S-Ebene zu ermitteln Anzahl er oltellen er offenen ette in er rechten albebene er S-Ebene bekannt Anzahl er Umläufe e Frequenzgang um -, im Uhrzeigerinn bekannt anhan er Frequenzgangortkurve Da yquit-riterium: Wenn, it a gechloene Sytem tabil. > Wenn, it a gechloene Sytem intabil.

19 Beipiel : aher 3 In welchem Bereich von it a gechloene Sytem tabil? 3 9 Weil Wenn Wenn ± ± <, ann am unkt A:, ann >

20 Beipiel : 3 Da offene Sytem it intabil! ann man e urch ein gechloene Sytem tabiliieren? aher 3 Am unkt A: 3 Wenn Wenn, ann < 3, ann > 3

21 Beipiel 3: 3 It a gechloene Sytem tabil? Moifizierte yquit-urve: aher 3 bei bei Am unkt A: ± alo ±,5 9 Da gechloene Sytem it intabil. 9

22 Amplituenran un haenran tabil intabil Der kritiche unkt B: -, kr kr kr, 8 Anhan unkt A berechnet man en Amplituenran: Ar W A Anhan unkt C berechnet man en haenran: θ r 8 C Durch Ar an θr erkennt man ie Entfernung e gechloenen Sytem zu er Stabilitätgrenze.

23 Boe-Diagramm 3 e etrennte Betrachtung: : Amplituengang : haengang wir umgerechnet in Dezibel : lg Vorteile: Einfache Approximation mit en aymptotichen Linien Umformung eine roukt zu einer Aition utzung e Logarithmu für beie Achen

24 4 Boe-Diagramm, -lie: arctan arctan Amplituengang: haengang: lg lg Approximation aymptotiche Linien: 3 lg lg lg, lg lg, lg, >> >> << << ein Filter. Ornung

25 Boe-Diagramm e Eckfrequenz 5 -/Dekae otzeit-lie: t e, t e t

26 6 I-lie: π I-egler: π, lg arctan, lg lg lg, lg lg, >> >> << << -/Dekae -/Dekae

27 D-lie: D-egler: V lg, V V V V π π V 7 lg lg V, arctan V <<, V >>, V << >> V V lg lg lg V /Dekae /Dekae

28 8 -lie: arctan, ~ alo lg ~ lg >> >> << << 8, 4lg ~ lg,, ~ lg, wenn lg ~ lg 9,

29 -lie: 9-4/Dekae r : : : b eonanzfrequenz Eigenfrequenz er ungeämpften Schwungung Banbreite

30 3 Beipiel: 5, Eckfrequenzen: 5, 5 5,, 5,,,, : e

31 Minimal- un ichtminimalphaenyteme 3 Beipiel: Fülltanregelung eine Verampfer Analye e rozee: Erhöhung e Dampftrom Abnahme e Druck im Verampfer Vermehren er Spruelung Steigen e Fülltan h, falche! Erhöhung e Dampftrom Verringern er Waermenge im Verampfer Abnahme e Fülltan h, tatächlich! egelgröße: Fülltan, h Störgröße: Dampftrom, z Stellgröße: einwaertrom, u Diee Verhalten führt zu Schwierigkeiten bei er egelung!

32 3 Minimal- un ichtminimalphaenyteme alo h h h E gibt eine ulltelle auf er echteite er S-Ebene. Da nennt man ein ichtminimalphaenytem. k k k k k k k Dartellung eine ichtminimalphaenytem:, > z B A z

33 Minimal- un ichtminimalphaenyteme z A Offene ette:, z > B z A Da gechloene Sytem: B B z A Die ulltelle bleibt bei em gechloenen Sytem. Antworten e gechloenen Sytem nach einer Sollwertprung: 33 nichtminimalphaig minimalphaig,,

34 Minimal- un ichtminimalphaenyteme 34 Unterchie zwichen minimalphaigen un nichtminimalphaigen Sytemen: Der Frequenzgang: Amplituengang:,, >, haengang: arctan, arctan Da ichtminimalphaenytem hat eine haenchiebung bi zu 8.

35 Minimal- un ichtminimalphaenyteme 35 Weil Allpaglie: aher Allpaglie A A A Ein ichtminimalphaenglie wobei A arctan A arctan it ein lie mit reiner haenchiebung. kann argetellt weren mit z A z z A B z B m A m minimalphaig it.

36 Amplituenran un haenran 36 Der kritiche unkt B: -,, 8 kr kr kr Anhan unkt A berechnet man en Amplituenran A r W A Anhan unkt C berechnet man en haenran γ θr 8 C tabil intabil

37 Amplituenran un haenran γ θ 8, Ar Ar lgw r C W Beingung eine tabilen Sytem:, A > γ > r lg 37 A tabil intabil C C A A

38 38 egleraulegung mittel Boe-Diagramm S S S S lg lg lg Der Amplituen- un er haengang e Sytem können urch en egler veränert weren, um ie gewünchte egelungqualität zu erzielen. S Erhöhung e haen- un Amplituenran Stabiliieren S roße Amplitue im Arbeitfrequenzbereich Durchgehen leine Amplitue im ichtarbeitfrequenzbereich Filtern S

39 egleraulegung mittel Boe-Diagramm D-egler: Vorteil: Erhöhung e haenran achteil: roße Amplitue bei hoher Frequenz ompenator Anheben er hae: α, α < V 39

40 Beipiel: Wirkung eine ompenator S -/Dekae 4 ompenator Anheben er hae:,5, -4/Dekae,5, Die Eckfrequenzen: e, e, e3 Durch ie ompenation wir er haenran von 6 auf 4 erhöht. 6 4

41 egleraulegung mittel Boe-Diagramm I-egler: Vorteil: roße Amplitue bei kleiner Frequenz Beeitigung tationärer Fehler achteil: euzierte hae bei kleiner Frequenz Verzögerung ompenator Abenken er hae: α, α > 4

42 Beipiel: egelung e Michungprozee 4 S S e t mit S,8,,, t It er egelkrei tabil? Wie groß it er haenran? Welchen Wert mu annehmen, wenn er haenran 4 ein oll? alo S e Die Eckfrequenzen:,,, 5 t e e

43 Beipiel: egelung e Michungprozee 43 γ S 8 6 Der egelkrei it tabil. 7,7 Um en haenran auf 4 zu erhöhen, mu ie Amplitue um 7,7 reuziert weren, alo lg lg ˆ. h. ˆ lg ˆ,885 7,674 ˆ,33 7,7