2. Berechnung der dynamischen Viskosität η aus der kinematischen Viskosität ν sowie der Aktivierungsenergie

Transkript

1 M 7a Vikoimetriche Meungen Tohiki Ihii Matrikel Stuiengang Chemie Bachelor of Science Aufgabentellung 1. Betimmung er Temperaturabhängigkeit er kinematichen Vikoität einer Flüigkeit mit einem Ubbelohe-Vikoimeter in gegebenem Temperaturintervall. 2. Berechnung er ynamichen Vikoität au er kinematichen Vikoität ν owie er Aktivierungenergie E A für a vikoe Fließen er Flüigkeit. 3. Betimmung er Vikoität einer hochvikoen Flüigkeit mit er Kugelfallmethoe nach Stoke un Berechnung er Reynol-Zahl. Zubehör Stoppuhr Ubbelohe-Vikoimeter Nummer 3, Kapillare III mit Thermotat un Digitalthermometer 6 m2 k = 1, ±0,5 % 2 ϱ Flui = ϱ 0 1 γ T 293,15 K Rohr für Kugelfallmethoe nach Stoke 2R = 35 mm ϱ Flui = 1055 kg Hexantriol mit ϱ 0 = 1225 kg ±2 % un γ = 5, K ±2 % 1

2 Grunlagen Bernoulli-Gleichung Die Bernoulli-Gleichung it eine Anwenung e Energieerhaltungatze auf ie Fluimechanik. Sie kann al m t 2 w2 + p V + m g z = 0 formuliert weren un agt au, a ie Summe er kinetichen Energie, er Volumenenergie un er potentiellen Energie eine Meium zeitlich kontant it. Gebräuchlicher it ie Formulierung mit Höhenäquivalenten Umrechnung aller Energien in potentielle Energien: w 2 t 2g + p ϱ g + z = 0 In ihr tauchen ie Strömunggechwinigkeit w, er Druck p ie Höhe z auf. Die Gravitationbechleunigung g un ie Dichte ϱ weren abei genutzt, um w un p in Höhenäquivalente umzurechnen. Beie Formulierungen berückichtigen weer Reibungverlute noch ie Temperaturabhängigkeit er Dichten, ie inbeonere bei Gaen tark augeprägt it. Kontinuitätgleichung Die Kontinuitätgleichung er Fluimechanik lautet ivϱ u + ϱ t = 0 un agt au, a ie zeitliche Änerung er Dichte von einer Differenz zwichen er Strömung, ie zu einem Ort hinführt, un er Strömung, ie von ihm wegführt, herrührt. It a Meium inkompreibel, o it ie Dichte zeitlich kontant, oa auch ie Divergenz er Strömung null ein mu. Vikoität innere Reibung Die Vikoität it ein Maß für ie Zähflüigkeit eine Flui. Sie rührt aher, a für a Fließen e Flui ich ie Fluiteilchen aneinaner vorbeibewegen müen. Hohe Vikoität geht abei mit hoher Kohäion einher, a bei hoher Anziehung a Flui urch attraktive intermolekulare Wechelwirkungen tark reiimenional vernetzt it. Um iee Vernetzung zu überwinen un zwei Schichten e Flui gegeneinaner zu verchieben, bearf e einer gewien Energie. Diee mu von einer Kraft F aufgebracht weren, ie nach F = A v proportional zur Oberfläche A er gegeneinaner verchobenen Schichten, proportional zur Strömunggechwinigkeit v un umgekehrt proportional zum Abtan er beien Flächen it. Der Proportionalitätfaktor wir al ynamiche Vikoität bezeichnet. Daneben gibt e ie kinematiche Vikoität ν, ie al ν = ϱ efiniert it. Der Proze er ich gegeneinaner bewegenen Schichten kann al chemicher Vorgang un er Reziprok er ynamichen Vikoität al Maß für ie Reaktiongechwinigkeit aufgefat weren, oa er ich mathematich ähnlich wie ie Kinetik chemicher Reaktionen ie er Arrheniu-Gleichung folgen bechreiben lät. 2

3 Die entprechene mathematiche Gleichung = 0 e E A R T wir al Arrheniu-Anrae-Beziehung bezeichnet. Strömungformen Strömungen können in laminare un turbulente Strömungen unterteilt weren. Laminare lamina: Platte Strömungen in olche, bei enen a Flui in Schichten trömt. Dabei änert ich gegebenenfall er Abtan er Schichten, ie Schichten vermichen ich jeoch nicht. Turbulente Strömungen in agegen olche Strömungen, bei enen e zu Verwirbelungen er Schichten kommt. Ob turbulente Strömungen auftreten, kann anhan er Reynol-Zahl fetgetellt weren. Die it al Re = v l ν = v l ϱ mit er Strömunggechwinigkeit v, er charakteritichen Länge l un kinematichen Vikoität ν efiniert. Überchreitet ie Reynol-Zahl einen kritichen Wert, o treten Turbulenzen auf. Der Übergang zwichen laminarer un turbulenter Strömung it allering fließen. Stoke-Reibung Die Stoke-Reibung bechreibt ie Reibungkraft, ie auf eine Kugel mit em Raiu r wirkt, ie ich in einem Flui er Vikoität mit er Gechwinigkeit v bewegt. F = 6π r v Die Gleichung gilt nur bei laminarer Strömung un für Kugeln, ie groß gegenüber er mittleren freien Weglänge im Flui in. Newton-Reibung Die Newton-Reibung bechreibt ie Reibungkraft, ie eine ich mit kontanter Gechwinigkeit auf einem Flui bewegene Platte erfährt, ie a Flui in er Fläche A berührt. F = A v y Dabei it v y a nicht notwenigerweie lineare Gechwinigkeitgefälle innerhalb e Flui. Die Gleichung gilt nur für Newtonche Fluie unter er Annahme, a ie Strömung laminar it. Bechreibung turbulenter Strömungen nach Newton Newton erkannte, a bei hohen Gechwinigkeiten Turbulenzen auftreten un ie Gleichungen für laminare Strömungen nicht mehr gelten. Er formulierte folgenen Zuammenhang für ie Reibungkraft, ie auf einen ich mit er Gechwinigkeit v in einem Meium er Dichte ϱ bewegenen Körper wirkt: F = c 2 A ϱ v2 Dabei it c er Wiertanbeiwert, er von er Form e Körper abhängt un A ie Projektion er Oberfläche e Körper in Strömungrichtung. 3

4 Geetz von Hagen-Poieuille Da Geetz von Hagen un Poieuille bechreibt a pro Zeit fließene Volumen eine Newtonchen Flui bei laminarer Strömung urch ein Rohr mit em Raiu r un er Länge l un einem Druckunterchie zwichen en Rohrenen von p. Au er Kontinuitätgleichung, er Definition er Vikoität un er Newton-Reibung folgt für ie zylinerförmige Schicht, ie von er Mitte e Rohre ie Entfernung r hat, folgene Gleichung für ie Strömunggechwinigkeit: vr = p r 4 l 2 r 2 Darau folgt nach Integration a Geetz von Hagen-Poieuille V t = 2π r 0 0 = π 8 r4 p l vr r ϕ Kugelfallmethoe nach Stoke Die Kugelfallmethoe nach Stoke nutzt a Kräftegleichgewicht, a entteht, wenn eine Kugel in einem Meium fällt. Dabei gilt F r = F g F a 6π r v = ϱ Kugel V Kugel g ϱ Meium V Kugel g = ϱ Kugel ϱ Meium VKugel g 6π r v 4 3 = ϱ Kugel ϱ Meium π r3 g 6π r v = 2 ϱ 9 Kugel ϱ Meium g r2 v Vikoimeter Ein Ubbelohe-Vikoimeter it eine mit einem Reervoir verbunene Kapillare, urch ie ein efinierte Volumen e vikoen Flui hinurchfließt. Au er afür benötigten Zeit lät ich bei Kenntni er Eigenchaften er Kapillare un e Volumen e Reervoir mithilfe e Geetze von Hagen-Poieuille ie Vikoität berechnen. Dabei lät ich für jee Ubbelohe-Vikoimeter eine Vikoimeter-Kontante angegeben, oa ich ie kinematiche Vikoität al Proukt er Kontante un er zum Durchfließen benötigten Zeit ergibt. Ein Höppler-Vikoimeter Kugelfallvikoimeter it ein Gerät, in em ich eine Kugel in rollener un gleitener Bewegung in einem geneigten zylinrichen Rohr hinunterbewegt. Da Rohr it abei mit em Flui gefüllt, een Vikoität betimmt weren oll. Diee Betimmung it nur für urchichtige Newtonche Fluie anwenbar. In einer ehr einfachen Methoe zur Vikoitätbetimmung wir ie Zeit gemeen, ie ein efinierte Volumen e Flui benötigt, um au einem Loch efinierter Größe im Boen eine Becher Vikoitätmebecher zu fließen. Weitere Bauarten von Vikoimetern umfaen a Rotationvikoimeter, a Stabinger-Vikoimeter un a Prozevikoimeter. 4

5 Mewerte Ubbelohe-Vikoimeter T K t 30,0 78,88 30,3 77,33 30,3 77,46 30,4 76,96 40,1 44,49 40,1 44,43 40,1 44,04 40,2 43,88 40,2 43,92 40,2 43,96 40,2 43,97 49,1 28,24 49,3 27,63 49,3 27,63 49,6 27,13 49,6 27,23 49,7 27,04 T K t 49,7 27,29 49,7 27,39 59,1 18,15 59,2 18,00 59,2 17,90 59,2 17,92 59,2 17,86 59,3 17,77 59,3 17,82 59,3 17,69 59,3 17,79 66,5 13,45 66,5 13,38 66,6 13,45 66,6 13,30 66,7 13,32 72,7 10,83 T K t 72,7 10,77 72,7 10,77 72,7 10,72 72,7 10,83 72,7 10,83 72,7 10,69 72,7 10,71 78,7 9,00 78,7 8,93 78,8 8,87 78,8 8,97 78,8 8,89 78,8 8,91 78,9 8,90 78,9 8,92 79,1 8,91 79,1 8,87 Mewerte Kugelfallmethoe nach Stoke Da Experiment wure bei einer Raumtemperatur von 24,5 ± 0,5 C urchgeführt. Kugel mm t Fall 5,00 9,82 5,00 9,82 5,00 9,85 5,00 9,80 Kugel mm t Fall 3,000 ± 0,003 23,34 3,000 ± 0,003 23,25 3,000 ± 0,003 23,33 3,000 ± 0,003 23,21 Auwertung Ubbelohe-Vikoimeter 6 m2 Die Berechnung er kinematichen Vikoität erfolgt au er Vikoimeterkontante k = 1, er Durchfluzeit nach Darau folgt mit er temperaturabhängigen Dichte ϱ = 1225 kg ν = k t = ν ϱ au en Mewerten un Auftragung von ln gegen 1 T = k t ϱ un 1 5, K T 293,15 K. Berechnung von liefert folgene Diagramm: 5

6 mpa T K E gilt ie Arrheniu-Anrae-Gleichung Logarithmieren liefert ie lineare Abhängigkeit = 0 e E A R T ln = ln 0 + E A R 1 T mit er unabhängigen Variable x = 1 T, em y-achenabchnitt n = ln 0 un em Antieg m = E A R. Die Aktivierungenergie it folglich E A = m R Dabei it nach einem linearen Fit mit qtiplot m = 2057 ± 17 K, oa E A = 2059 ± 17 K 8,314 E A = 17,12 ± 0,14 kj mol Auwertung Kugelfallmethoe nach Stoke J K mol Die Vikoität berechnet ich nach er in er Vorbereitung hergeleiteten Gleichung = 2 ϱ 9 Kugel ϱ Meium g t r2, 6

7 ie jeoch nur für hinreichen kleine Kugeln gültig it. Bei größeren Kugeln mu er in er Veruchanleitung gegebene Korrekturterm 1 r R n eingefügt weren, oa = 2 9 ϱ Kugel ϱ Meium g t r2 = ϱ Kugel ϱ Meium 18 Einetzen er Mewerte owie er gegebenen Werte ϱ Kugel = 7680 kg ϱ Meium = 1055 kg g = 9,806 m 2 = 40,0 cm 2R = 35 mm n = 1,85 liefert folgene Vikoitäten: mm t Pa 5,00 9,82 1,711 5,00 9,82 1,711 5,00 9,85 1,716 5,00 9,80 1,707 mm t Pa 3,000 23,34 1,649 3,000 23,25 1,643 3,000 23,33 1,649 3,000 23,21 1,640 g t 2 1 2R 1 r R Die ergibt für ie 5 mm-kugeln einen Mittelwert von 1,711 Pa, für ie 3 mm-kugeln einen Mittelwert von 1,645 Pa. Für ie Kugelfallmethoe nach Stoke wir ie Reynol-Zahl üblicherweie nach Re = 2R v ν = 2R t ϱ berechnet. Für ie beien Kugelgrößen ergibt ie mit en Mittelwerten für t un Re 3 = 2 35 mm Re 5 = 2 35 mm 40,0 cm 9,83 Meunicherheit Ubbelohe-Vikoimeter n 1055 kg 1,711 Pa = 1,76 n 40,0 cm 23, kg 1,645 Pa = 0,77 Der zufällige Fehler wure urch mehrfache Meung pro Temperatur mineten rei Meungen mit Zeitmeung urch beie Experimentatoren minimiert. Er wir bei er Auwertung mit qtiplot berechnet. E oll jeoch noch er maximale ytematiche Fehler er Vikoität ermittelt weren. Die Temperaturen wuren mittel eine Digitalthermometer gemeen un konnten auf 0,1 K genau abgeleen weren. Für ie Fehlerrechnung wir von einer Unicherheit von ±0,1 K augegangen. Die Vikoität wure nach = k t ϱ = k t ϱ 0 1 γ T 293,15 K 7

8 berechnet. Nach em Fehlerfortpflanzunggeetz nach Gau beträgt er Fehler für : u = uk t ϱ 0 + k ut ϱ 0 + k t uϱ 0 1 γ T 293,15 K k t ϱ 0 uγ T T 0 + γ ut Eine Computer-Auwertung iee Auruck für alle Mewertpaare bringt ie Erkenntni, a er zweite Teil e Auruck vernachläigbar klein it, alo vereinfachen mit u = uk t ϱ 0 + k ut ϱ 0 + k t uϱ 0 1 γ T 293,15 K gerechnet weren kann, wobei er Fehler bei er Zeitmeung kein ytematicher, onern ein zufälliger it, un urch Mehrfachmeung noch verkleinert wure, oa er an ieer Stelle nicht betrachtet weren oll. 2 2 u = t uk ϱ 0 + k uϱ 0 1 γ T 293,15 K Die ergibt einen relativen ytematichen Fehler von maximal 2 2 t uk ϱ u 0 + k uϱ 0 1 γ T 293,15 K = k t ϱ 0 1 γ T 293,15 K uk 2 2 uϱ0 = + k ϱ = 2,1 % Da e ich hierbei um einen ytematichen Fehler hanelt, hat er auf ie Betimmung er Aktivierungenergie keinen Einflu. Dort wir zur Betimmung er Aktivierungenergie formal E A = R ln T 1 1 T 2 berechnet, oa ich er relative ytematiche Fehler heraukürzt. Die Unicherheit er Aktivierungenergie ergibt ich emzufolge allein au em zufälligen Fehler, en qtiplot berechnet. Meunicherheit Kugelfallmethoe nach Stoke Die Berechnung er Vikoität au en experimentellen Daten erfolgt nach = ϱ Kugel ϱ Meium g t 2 1 n, 18 2R wobei von folgenen Unicherheiten augegangen weren kann: uϱ Kugel ϱ Meium ϱ Kugel ϱ Meium = ±0,2 %, wenn man von einer Unicherheit von ±10 kg für ie Dichte er Stahlkugeln un einer vernachläigbaren Unicherheit für ie Dichte e Meium augeht. ug g < ±0,1 % ut = ±0,05 m 8

9 u = ±0,1 % laut er Bechriftung für ie 3 mm-kugeln un u u < ±0,2 % laut er Bechriftung für ie 5 mm-kugeln. = ±0,5 % für ie Strecke von 40 cm, wobei ie Ableegenauigkeit urch Umwickeln e Rohre mit Klebetreifen gegenüber er einfachen Markierung erheblich erhöht wure, oa ie Abweichung mit ±2 mm relativ großzügig angegeben it. u1 2R n 1 2R n = ±1,0 % unter er Annahme, a ie Unicherheit von ±0,2 %, ie von 2R ±0,5 mm un ie von n ±0,03 beträgt. Ingeamt ergibt ich bei Aition er Quarate ein relativer Fehler von ±1,2 % für ie 3 mm-kugeln un ein relativer Fehler von 1,3 % für ie 5 mm-kugeln. Die Reynol-Zahl berechnet ich nach Re = 2R t ϱ = 2R 2 t 2 18ϱ Meium ϱ Kugel ϱ Meium 1 g 2 1 n 2R Mit en oben genannten Unicherheiten ergibt ich bei quaraticher Aition er Unicherheiten inbeonere ±1,5 % für R, ±1 % für en Korrekturterm, ±0,5 % für, ±0,05 für t für ie 5 mm-kugeln eine Unicherheit von 2,1 % für Re, für ie 3 mm-kugeln eine Unicherheit von 2,0 %. 9

10 Zuammenfaung Ubbelohe-Vikoimeter Folgene Vikoitäten wuren für unterchieliche Temperaturen fetgetellt: ϑ C mpa 30,3 97 ± 3 40,2 55 ± 2 49,7 33,7 ± 0,8 59,3 22,0 ± 0,5 66,6 16,4 ± 0,4 72,7 13,2 ± 0,3 79,0 10,8 ± 0,3 Die Aktivierungenergie für a vikoe Fließen beträgt 17,12 ± 0,14 kj mol. Kugelfallmethoe nach Stoke Die Vikoität un ie Reynol-Zahlen für en Fall er Kugel in: mm Pa Re 3,00 1,711 ± 0,026 1,76 ± 0,04 5,00 1,645 ± 0,025 0,77 ± 0,02 Beie Werte für ie Reynol-Zahlen in weit unterhalb er Grenze von 2,0 10 3, ab er turbulente Strömungen auftreten. E fällt auf, a ie beien Vikoitäten auch bei Berückichtigung er Unicherheiten nicht übereintimmen. Die rührt wahrcheinlich aher, a ie Experimente mit en 5 mm-kugeln einige Minuten päter urchgeführt wuren, währen nebenan a Ubbelohe-Vikoimeter beheizt wure, oa ich in er Zwichenzeit ie Temperatur e Meium veränert hatte. Im Experimentierraum hingen Werte für ie Vikoität e Meium au, ie mit einem Höppler-Vikoimeter gemeen wuren. Für 24,4 C wure ein Wert von 1,80 Pa, für 25,6 C ein Wert von 1,56 Pa angegeben. Die teht im Einklang mit en Mewerten iee Experiment. Voraugeetzt, a ie augehängten Werte korrekt betimmt wuren, betrug ie Temperatur e Flui währen iee Experimente 25,0 ± 0,1 C. 10