Lösung - Serie 20. D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 2018 Dr. Andreas Steiger. MC-Aufgaben (Online-Abgabe)

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1 D-MVT/D-MTL nalysis II FS 8 Dr. nreas Steiger Lösung - Serie MC-ufgaben (Online-bgabe). Es sei ie Einheitskugel um en Ursprung. Für welches er Vektorfeler (x, y, z) v(x, y, z) arf er Divergenzsatz für en ereich nicht angewenet weren? (a) v = (x, y, z) r (b) v = C (wobei r = (x, y, z) ist) r 3 (c) v = (xyz, x z, x 3 ze y ) () (e) v = ω r (wobei ω ein beliebiger Vektor ist) v = a (wobei a ein beliebiger Vektor ist) (f) v = (ln x, ln y, ln z) Der Divergenzsatz arf im Fall von bzw. v = C r r 3 v = (ln x, ln y, ln z) für en ereich nicht angewenet weren, a (,, ) nicht im Definitionsbereich von v un aher auch nicht im Definitionsbereich von iv v liegt. Dafür ist as Coulombsche Fel ein eispiel. itte wenen!

2 . Welche er folgenen fünf ussagen ist logisch unabhängig von en aneren vieren? (Das heisst, welche ussage folgt nicht aus einer aneren un hat auch keine er aneren ussagen als onsequenz?) (a) (b) Das Vektorfel v ist quellenfrei. Der Fluss Φ von v urch irgen eine geschlossene Fläche ist Null. (c) iv v =. () rot v = (,, ). (e) Das Vektorfel v könnte as Strömungsfel einer inkompressiblen Flüssigkeit sein. Die ersten rei ussagen sin mit Hilfe es Divergenzsatzes äquivalent. Wie im Stammbach nalysis uch, Teil, apitel VI, bschnitt 6, sei ϱ: (x, y, z, t) ϱ(x, y, z, t) ie Dichte es Meiums im Punkt (x, y, z) zur Zeit t. Im Fall einer Strömung eines inkompressiblen Meiums ist ϱ zeitlich un örtlich konstant. Dann gilt so ass sich ie ontinuitätsgleichung in iesem Fall auf ie ussage iv(ϱ v) = ϱ iv v, ϱ t + iv(ϱ v) = iv v = reuziert. Um weiters zu sehen, ass iv v = nicht rot v = (,, ) impliziert, betrachten wir as Vektorfel v = (x + y, x y 5z, ). Dann ist iv v =, aber rot v = (5,, ). Siehe nächstes latt!

3 3. Es sei f(x, y, z) = ( z ). erechnen Sie en Fluss von gra f urch ie Oberfläche er ugel vom Raius um (,, ) von innen nach aussen. (a) (b) 4π (c) 3 5 π () 5 3 π Für f(x, y, z) = ( z ) ist gra f = (,, 4z( z ) un somit iv(gra f) = z ( 4z( z )) = 4( z ) + 8z = 4 + z. Nach em Divergenzsatz ist er Fluss von gra f urch ie Oberfläche er ugel vom Raius um (,, ) von innen nach aussen gleich Φ = gra f n O = iv(gra f) V. In ugelkoorinaten sin z = r cos θ un V = r sin θ r ϕ θ un folglich ist Φ = π π π ( 4 + r cos θ)r sin θ θ ϕ r ( = π 4r sin θ + r 4 cos θ sin θ ) θ r ( [ ] r 3 [ ] = π 4 [ cos θ] π r 5 [ ] π ) 3 + cos3 θ 5 3 = 3 5 π. 4. Die rbeit W eines Vektorfeles v längs es Geraenstücks von (,, ) nach (,, ) sei gleich 5. Welches Resultat erhält man, wenn man ie rbeit W von v längs es Geraenstücks von (,, ) nach (,, ) berechnet? (a) Die rbeit W lässt sich aus en ngaben nicht berechnen. (b) Die rbeit W beträgt ebenfalls 5. (c) Die rbeit W beträgt 5. Wenn einen Weg un en Weg mit em ungekehrten Durchlaufsinn bezeichnet, ann gilt v r = v ( r) = v r. Deswegen ist (c) ie richtige ntwort. itte wenen!

4 5. Das rbeitsintegral v r es Vektorfeles v(x, y, z) = (e y + e z, (z + )xe z + (x + )ye y, xyze x +y ) entlang es geschlossenen Weges, welcher aus en Seiten es Dreieckes mit en Eckpunkten (,, ), (,, ) un (,, ) besteht un im Gegenuhrzeigersinn urchlaufen wir, beträgt: (a) (b) (c). Möglichkeit ( mit Stokes ): Da rot ( v) = (,, (z + )e z ) un n = (,, ) sin un er Weg auf er xy-ebene (z = ) liegt, ist ie rbeit von v entlang genau er Flächeninhalt es von beraneten Dreieckes D: = x y =.. Möglichkeit ( irekt ): Seien D (t) = ( t, t, ), t [, ] (t) = (t, t, ), t [, ] 3 (t) = (t,, ), t [, ] Parametrisierungen er anten es Weges. Die gesuchte rbeit ist gleich W = v r = v r = v r ( )+ 3 e t + T T = ( t) + (( t) + )te t t+ = = e t + (t ) + ((t ) + )te t T ( e t + ( t) + 4( t)te t )t + 4 = T t + T e t ( + 4t 4t )t + 3 e t ( t + t )t + 3 = [e t (t )] + 3 = + 3 =. T t Übungsaufgaben Siehe nächstes latt!

5 6. erechnen Sie en Fluss es Vektorfeles v(x, y, z) = (x, y, z) urch as Paraboloi P = { (x, y, z) R 3 : z = x + y, x + y } von oben nach unten. Lösung:. Methoe: irekt. Eine Parameterarstellung es Parabolois P ist urch gegeben. Es gilt: (u, v) r(u, v) = (u, v, u + v ) r u (u, v) = (,, u) r v (u, v) = (,, v) r u (u, v) r v (u, v) = ( u, v, ). lso er Fluss urch P von oben nach unten ist gleich Φ P = v n O = v( r(u, v)) ( r u (u, v) r v (u, v)) uv P P = u v u v uv = (u + v )uv. P u + v P Mit Polarkoorinaten bekommen wir Φ P = π r 3 rϕ = π.. Methoe: Gauss scher Divergenzsatz. Nach em Gauss schen Divergenzsatz ist er Fluss von v von innen nach aussen urch ie beranene Fläche es gefüllten Parabolois gleich em Volumenintegral er Divergenz von v über en erech. Die Divergenz von v ist gleich un also er Fluss Φ = iv v(x, y, z) = 3, iv v V = 3vol() ( ) = 3 zπz = 3 π, wobei wir für (*) benutzt haben, ass auf er Höhe z eine Scheibe vom Raius z liegt, also eine Fläche von π ( z) = πz. Die beranene Fläche es gefüllten Parabolois besteht aus einem reis zur Höhe un aus em Paraboloi = {(x, y, z) R 3 x + y, z = } P = {(x, y, z) R 3 z = x + y, x + y }. Sei Φ er Fluss urch (von unten nach oben) un Φ P er gesuchten Fluss urch P (von oben nach unten). Es gilt: Φ P + Φ = Φ, Lösung: π/. itte wenen!

6 un also Φ P = Φ Φ. erechnen wir noch en Fluss urch. Mit n(x, y, z) = (,, ) rechnen wir en Fluss von unten nach oben aus: Φ = v no = xy = π, a auf ist z = un a ie Fläche es reises vom Raius gleich π ist. Der gesuchten Fluss urch P, von oben nach unten, ist also gleich Φ P = 3 π π = π. 7. a) Man berechne en Fluss Φ es Vektorfeles ( ) v : (x, y, z) 3 x3 xz, xy + yz, y z xz von innen nach aussen urch ie Oberfläche es geraen reiskegels mit Spitze in (,, ) un Grunfläche { (x, y, z) z =, x + y 4 }. b) Sei R > fest gewählt. erechne en Fluss es Vektorfeles v : (x, y, z) ( R ( y + z ), R ( x + z ), R 3 ( x + y )) von innen nach aussen urch ie Oberfläche E := { (x, y, z) x + y + z = R, x oer y oer z }. Lösung: Siehe nächstes latt!

7 c) Sei F ie Oberfläche es geraen reiskegels un sei er egel. Wir weren en Divergenzsatz anwenen: Es gilt iv v (x, y, z) = ( x z ) + (x + z) + ( y x ) = x + y, un er Gauss sche Satz liefert amit Φ = v n S = Wir benützen Zylinerkoorinaten: F iv v V = ( x + y ) V. x = ϱ cos φ, y = ϱ sin φ, z = z mit ϱ <, φ < π, z R Es folgt V = ϱ ϱφz un x +y = ϱ. Um ie ϱ Integrationsgrenze zu bestimmen, betrachten wir a b c Es gilt ϱ z. Wir erhalten Φ = = π ( x + y ) V = [ ( z) 4 z = π 4 π z ( z)5 [ ϱ ϱ 4 ϱ ϱφz = π 4 ] = π [ + 5 = 6 5 π. ) etrachte ie folgene Skizze (ie urven sin reisbögen mit Raius R un Zentrum im Ursprung): ] ] z z itte wenen!

8 z R C R y R x Wir berechnen en Fluss urch ie folgenen Flächen, respektive C in Richtung n =, n = respektive n 3 =. erechne zuerst en Fluss Φ urch : Dazu führen wir Polarkoorinaten ein: x = r cos φ un z = r sin φ. Es folgt Φ = = R π v n S = [ r 4 4 ] R = πr6 8. R ( x + z ) S = R π R r rrφ erechne en Fluss Φ urch : Wir benutzen Polarkoorinaten y = r cos φ un z = r sin φ. Es folgt Φ = v n S = R ( y + z ) π R S = R r rrφ = πr5 8. erechne nun en Fluss Φ 3 urch C: Mit Polarkoorinaten x = r cos φ un y = r sin φ folgt Φ 3 = C v n 3 S = Es gilt iv v (x, y, z) =. Definiere en örper R 3 ( x + y ) S = R 3 π R := { (x, y, z) x + y + z R, x, y, z } r rrφ = πr7 8 mit Ran = E C. Der Divergenzsatz liefert ann = iv v V = v n S + v n S + v n S + v n 3 S E C Der gesuchte Fluss ist amit ( v n S = v n S + E = π ( R 5 + R 6 + R 7). 8 ) v n S + v n 3 S C Siehe nächstes latt!

9 8. Es sei as Vektorfel v urch v : (x, y, z) ( x 3 x + z, y 3 y + x, z 3 z + y ) un er Weg wie in er untenstehenen Figur efiniert (er folgt zunächst a, ann b un schliesslich c). erechnen Sie as Integral v r a) irekt; b) mit Hilfe es Satzes von Stokes. z b a y c x Lösung: a) Wir parametrisieren ie urve a urch Somit ist ta (t) = (,, ), un es folgt v r = v (a (t)) t Lösung: 3/. a = = a : t (, t, t) mit t. a (t) t 3 + t ( t) 3 ( t) + t 3 t + ( t) t [ t4 + t 3 4t + 4t ( t 3 + 3t 8t + 4 ) t = = =. Die urven b un c können analog parametrisiert weren b : t (t,, t) mit t b (t) = (,, ) t c : t ( t, t, ) mit t c (t) = (,, ). t ] itte wenen!

10 us en Symmetrien von v sieht man, ass Damit folgt v (a (t)) a (t) = v (b (t)) b (t) = v (c (t)) t t t c (t). v r = a v r + v r + v r = 3 b c = 3. b) Sei F as Dreieck mit en Eckpunkten (,, ), (,, ) un (,, ). Der Flächeninhalt es Dreiecks ist somit gleich 3. Weiter gilt, ass rot v (x, y, z) = Mit em Satz von Stokes folgt v r = un n = F = 3 3 rot v no = F F O = = 3. 3 = 3 O. 9. Ein Heissluftballon habe ie Form einer Sphärenkappe (also einer ugeloberfläche mit horizontalem Schnitt) vom Raius R un Öffnungsurchmesser < R, wie in er untenstehenen Figur. Das heisse Gas ringt urch ie poröse Oberfläche er appe mit er Geschwinigkeit v = rot F, wobei F (x, y, z) = ( y, x, ). erechnen Sie en Fluss v n O urch ie allonoberfläche a) irekt; b) mit em Satz von Gauss; c) mit em Satz von Stokes. Lösung: ist Teil er Sphäre mit Raius R um en Ursprung, abgeschnitten in einer Höhe z ie urch en Öffnungsurchmesser bestimmt wir. Siehe nächstes latt!

11 Es ist F(x, y, z) = y x v = rot F =. a) (irekte Rechnung): wir parametrisiert urch ugelkoorinaten R cos ϑ cos ϕ r(ϕ, ϑ) = R cos ϑ sin ϕ, ϕ [, π), ϑ [ ) ϑ, π, R sin ϑ wobei er Winkel ϑ em Winkel er bschneihöhe entspricht. Dort muss gelten: x + y = R cos ϑ cos ϕ + R cos ϑ sin ϕ = R cos ϑ = 4 ) ( ) cos(ϑ ) = R ϑ = arccos( R = arccos R, amit ϑ zwischen un π liegt. Mit ieser Parametrisierung ist r ϕ r R cos ϑ sin ϕ R sin ϑ cos ϕ ϑ = R cos ϑ cos ϕ R sin ϑ sin ϕ = R cos ϑ Dieser Vektor ist tatsächlich nach aussen orientiert, wie verlangt. Damit ist v n O = R sin(ϑ) cos(ϑ) ϕϑ. R cos ϑ cos ϕ R cos ϑ sin ϕ R sin ϑ cos ϑ Der Fluss ist also: b) (Gauss): Es gilt v n O = π ϑ π = πr π ϑ = πr [ cos ϑ R sin ϑ cos ϑ ϕ ϑ sin ϑ cos ϑ ϑ ] π ϑ = πr cos ϑ = πr iv( v) = iv(rot( F )) =. 4R = π. itte wenen!

12 Sei D er kreisförmige Deckel, er en allon verschliesst, un sei G as Innere er urch D gebileten geschlossenen Fläche. Der Satz von Gauss besagt: v n O + v n O = v n O = iv v V =. lso ist D G v n O = v n O. D erechnung es Flusses urch D: Es ist n = (,, ) un amit v n =, also Damit ist D v n O = D O = Fläche(D) = π v n O = π. G ( ) = π. c) (Stokes): Da v = rot F gilt, lässt sich er Fluss auch mit em Satz von Stokes berechnen. Sei ie geschlossene urve, ie beranet. Der Satz von Stokes besagt: rot F n O = F s. Da ein reis mit Raius un Mittelpunkt (,, z ) ist, parametrisieren wir ihn urch (t) = cos t sin t z t [, π). Der Weg umläuft ie allonoberfläche im mathematisch positiven Sinn,. h. wir weren am Ene er Rechnung as richtige Vorzeichen erhalten. Der Fluss berechnet sich zu v n O = = π rot F n O = sin t cos t F s = π sin t cos t F((t)) (t)t = t = π π t = 4.